Continuidad Y Derivada

1. Continuidad de una función de dos
variables
),(),(
00
),(),(
lim
00
yxfyxf
yxyx
=
®
Una función f de dos variables es continua en un punto
(x
0
, y
0
) de una región abierta R si f (x
0
, y
0
) es igual al
limite de f (x

, y) cuando (x

, y) tiene a (x
0
, y
0
). Esto es si :
Se dice que f es continua en la región R si es continua
en todos los puntos de R .

2. Ejercicio: Determina la continuidad de las siguientes
funciones en el origen.
22
2
3
),(
yx
yx
yxf
+
=
a)
)ln(),(
22
yxyxf +=
2
22
22
),(
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
-
=
yx
yx
yxfb)
c)

3. Propiedades de las funciones
continuas de dos variables
Si k es un número real y f, g son funciones continuas en
un punto (x
0
, y
0
), las funciones siguientes son continuas
en (x
0
, y
0
).
1. Múltiplo escalar:
2. Suma y diferencia:
fk
gf±
3. Producto:gf
4. Cociente:gf
si 0),(
00
¹yxg

4. Continuidad de las funciones
compuestas
Si h es continua en (x
0
, y
0
), y g es continua en h(x
0
, y
0
), la
función compuesta (gºh)(x , y)=g(h(x, y)) es continua en
(x
0
, y
0
).
( ) ( )),(),(
00
),(),(
lim
00
yxhgyxhg
yxyx
=
®

5. Continuidad de una función de dos
variables en una región R
Puesto que las funciones racionales son continuas en
todos los puntos de su dominio, f es continua en todos los
puntos del plano xy excepto en la recta y=-x.
yx
yx
yxf
+
-
=),(a)
22
4
2
),(
yx
yxf
+-
=b)

6. Derivada parciales de una función
de dos variables
¿Cómo afecta a la función un cambio en una de sus
variables independientes?
¿Cómo hallar el ritmo de cambio de una función f con
respecto a una de sus variables independientes?
El procedimiento se llama derivación parcial y el
resultado se llama derivada parcial

7. Derivada parciales de una función
de dos variables
Si z=f(x, y), las primeras derivadas parciales de f con
respecto a x e y son las funciones f
x
y f
y
definidas:
x
yxfyxxf
yxf
x
x
D
-D+
=
®D
),(),(
lim),(
0
y
yxfyyxf
yxf
y
y
D
-D+
=
®D
),(),(
lim),(
0
y=
constante
x=
constante

8. Notación para las derivadas
parciales
Dada , sus derivadas parciales se denotan
por:
),(yxfz=
yxff,
x
f
x
z
zyxfyxf
x
xx
¶
¶
=
¶
¶
===
¶
¶
),(),(
El valor de las primeras derivadas parciales en el punto
(a, b) se denota por:
),(),(
),(),(
baf
y
z
baf
x
z
y
ba
x
ba
=
¶
¶
=
¶
¶
y
f
y
z
zyxfyxf
y
yy
¶
¶
=
¶
¶
===
¶
¶
),(),(

9. 22
34),( yyxxyxf +-=
y
exyxg
22
),(=
Ejercicio: Determina las derivadas parciales de las
siguientes funciones.
yx
yx
yxh
-
+
=ln),(

10. Derivadas parciales de orden
superior
Derivar dos veces
con respecto a x
Derivar dos veces
con respecto a y
Derivar dos veces,
primero respecto a x
y luego a y
Derivar dos veces,
primero respecto a y y
luego a x
x
z
x
¶
¶
z
z
x z
y
z
xx z
xyz
yx
z
yy
x
z
y
¶
¶
x
z
¶
¶
y
z
¶
¶
y
z
x
¶
¶
y
z
y
¶
¶

11. Derivadas parciales de orden
superior
Dada , sus derivadas parciales de segundo orden
se denotan por:
),(yxfz=
xxxx
zf
x
f
x
f
x
==
¶
¶
=÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
2
2
yyyy
zf
y
f
y
f
y
==
¶
¶
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
2
2
xyxyzf
xy
f
x
f
y
==
¶¶
¶
=÷
ø
ö
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
2
yxyx
zf
yx
f
y
f
x
==
¶¶
¶
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
¶
¶
¶
¶
2
Derivar dos veces
con respecto a x
Derivar dos veces
con respecto a y
Derivar dos veces,
primero respecto a x
y luego a y
Derivar dos veces,
primero respecto a y y
luego a x

12. Igualdad de las derivadas
parciales cruzadas o mixtas
Sea f una función de x e y con f
xy
y f
yx
continuas
en una región abierta R, entonces para todo (x, y)
en R
),(),( yxfyxf
yxxy =

13. Interpretación geométrica de la
derivada parcial
y=b{ }),(/),,( yxfzzyx ==S
{ }byyxfzzyxC =Ù== ),(/),,(
( )),(,, bafba

14. Interpretación geométrica de la
derivada parcial
x
y
a
f(a, b)
f(a+dx, b)
a+dx
by=
x
bafbxaf
m
D
-D+
=
),(),(
sec
x
bafbxaf
m
x
tag
D
-D+
=
®D
),(),(
lim
0
tagx
mbaf =),(

15. es la pendiente de la recta tangente a la curva ,
intersección de la superficie con el plano , en el punto

),(baf
x
by=
( )),(,, bafba
C
En forma análoga es la pendiente de la recta
tangente a la curva , intersección de la superficie con el
plano , en el punto
C
),(baf
y
ax= ( )),(,, bafba
Interpretación geométrica de la
derivada parcial

16. En lenguaje coloquial más simplificado, los valores de
y en el punto dan la pendiente de la
superficie en las direcciones x e y.
xz
yz ( )),(,, bafba
Halla la pendiente de la superficie dada por
en el punto en las direcciones e .
22
9),( yxyxf --=
)7,1,1( xy
Interpretación geométrica de la
derivada parcial
Ejemplo:

17. Interpretación geométrica de la
derivada parcial