Continuidade de funções

polígrafo

1. CONTINUIDADE DE FUNC
~
AO
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
1 Processo contnuo
Um processo contnuo e aquele que ocorre gradualmente, sem interrupc~oes
ou mudancas abruptas.
EXEMPLOS
ˆUma maquina de uma fabrica que funciona 24h por dia, 7 dias por
semana, tendo apenas suaves mudancas na velocidade de seu funcio-
namento, durante perodos de alterac~ao da atividade produtiva, e um
exemplo de um processo contnuo
ˆO movimento de um satelite de comunicac~oes, em orbita, cuja veloci-
dade angular e relativamente constante durante seu perodo util, e um
exemplo de um processo contnuo
2 Denic~ao de continuidade em um ponto
Uma func~aofecontnuaem um numeroase
lim
x!a
f(x) =f(a)
Esta denic~ao implica:
1.f(a) esta denida
2. limx!af(x) existe
3. limx!af(x) =f(a)
1

2. EXEMPLO
Seja o seguinte graco de func~ao
ˆObserve que nos pontosaed, a func~ao e contnua
ˆNo pontoc, a func~ao n~ao e contnua pois n~ao satisfaz o primeiro tem,
porque ela n~ao esta denida neste ponto
ˆNo pontob, os limites laterais s~ao diferentes, assim, n~ao existe o limite
pontual e a func~ao n~ao e contnua pois n~ao satisfaz a segunda condic~ao
ˆNo pontoe, o valor da func~ao ef(e) =z, mas o limite e limx!ef(x) =
k, comz6=k, e a func~ao n~ao e contnua pois n~ao satisfaz a terceira
condic~ao da denic~ao de continuidade
Uma func~aofecontnua a direitaem um numeroase
lim
x!a
+
f(x) =f(a)
efecontnua a esquerdaemase
lim
x!a

f(x) =f(a)
Estas ultimas denic~oes abrandam as exig^encias da primeira denic~ao.
Devemos rever o exemplo dado, considerando estas novas denic~oes. Neste
caso, a func~ao dada no graco e contnua a direita emx=b, mas n~ao e
contnua a esquerda neste mesmo ponto.
2

3. 3 Exemplos de determinac~ao de continuida-
de em um ponto
1. A func~ao
f(x) =
x
2
x2
x2
apresenta descontinuidade emx= 2 e e contnua em todos os demais
numeros deR. Isso ocorre porque a func~ao n~ao esta denida no numero
x= 2.
2. Seja a func~ao
f(x) =

1
x
2sex6= 0
1 sex= 0
cujo graco e mostrado a seguir.
Neste caso, a func~ao esta denida no numerox= 0,f(0) = 1. No
entanto, o limite limx!01=x
2
n~ao existe (n~ao e limitado, e um valor
innito). Logo, a func~ao apresenta descontinuidade no numero 0.
3. Sejaf(x) =bxc, chamada defunc~ao piso. O valor debxce dado pelo
maior inteiro que e menor ou igual ax.
O graco desta func~ao e apresentado na gura a seguir.
3

4. Esta func~ao apresenta descontinuidade em todos os numeros inteiros,
onde ela e contnua a direita, mas n~ao a esquerda.
4 Continuidade em um intervalo
Uma func~aofe contnua em um intervalo se for contnua em todos os
numeros deste intervalo. Casofseja denida somente em um lado da ex-
tremidade do intervalo, entenderemos continuidade na extremidade como
continuidade a direita ou a esquerda.
EXEMPLO
Sejaf(x) = 1
p
1x
2
, no intervalo [1;1]
4

5. ˆPara1< a <1
lim
x!a
f(x) = lim
x!a
(1
p
1x
2
) = 1lim
x!a
p
1x
2
= 1
q
lim
x!a
(1x
2
) =
1
q
1lim
x!a
x
2
= 1
q
1(lim
x!a
x)
2
= 1
p
1a
2
=f(a)
Observe que o passo 1limx!a
p
1x
2
= 1
p
limx!a(1x
2
) pode
ser feito pois no intervalo (1;1), 1x
2
>0.
ˆPara as extremidades do intervalo (a=1 ea= 1)
lim
x!1
+
f(x) = 1 =f(1)
lim
x!1

f(x) = 1 =f(1)
Logo,fe contnua a direita em1 e contnua a esquerda em 1. Assim,
fe contnua em [1;1].
5 Propriedades das func~oes contnuas
1. Sefegforem func~oes contnuas emaec2R, ent~ao tambem s~ao
contnuas ema:
(a)f+g
(b)fg
(c)f:g
(d)f=g, seg(a)6= 0
Observac~ao:
(a) (f+g)(x) =f(x) +g(x)
(b) (fg)(x) =f(x)g(x)
(c) (f:g)(x) =f(x):g(x)
(d) (f=g)(x) =
f(x)
g(x)
comg(x)6= 0
2. Qualquer polin^omio e contnuo emR.
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6. 3. Qualquer func~ao racional e contnua em todos os pontosaem que ela
esta denida, ou seja, contnua em seu domnio.
4. As func~oes exponencial, logartmica e as func~oes trigonometricas s~ao
contnuas em todo seu domnio.
5. Sefe contnua embe limx!ag(x) =b, ent~ao
lim
x!a
(fg)(x) = lim
x!a
f(g(x)) =f(b)
6. Sefe contnua, ent~ao
lim
x!a
f(g(x)) =f(lim
x!a
g(x))
7. Segfor contnua emaeffor contnua eg(a), ent~aofge contnua
ema. Ou seja, a composic~ao de duas func~oes contnuas resulta em uma
func~ao contnua.
6 Teorema do valor intermediario
Suponha quefseja contnua em um intervalo fechado [a; b] e sejavum
valor qualquer entref(a) ef(b),f(a)vf(b), em quef(a)6=f(b).
Ent~ao, existe um numeroc2(a; b) tal quef(c) =v,
O teorema garante a exist^encia de um valor intermediario no intervalo
em que a func~aofe contnua.
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7. EXEMPLOS
1. Sejaf(x) =e
x
no intervalo [1;1].
O graco desta func~ao e mostrado a seguir.
Observe que se tomarmos qualquer valorv,e
1
< v < e, poderemos
encontrar um numeroctal quef(c) =v, pois a func~ao e contnua no
intervalo dado.
2. Seja
f(x) =

x
2
sex <1
x
2
3
sex1
no intervalo [1;2].
O graco desta func~ao e mostrado a seguir.
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8. Observe que a func~ao n~ao satisfaz o enunciado do teorema, pois ela apre-
senta uma descontinuidade emx= 1. Isso signica que a conclus~ao do
teorema n~ao e valida, ou seja, n~ao poderemos aplicar o teorema. Basta ver
que a imagem desta func~ao e img(f) = (1;0][[1=3;+1). Podemos tomar
qualquer valorvno intervalo (0;1=3), que esta contido no intervalo do enun-
ciado do teorema,1< v <4=3, e n~ao poderemos encontrar umc2(1;2)
tal quef(c) =v.
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