Continuous Geometry John Von Neumann Israel Halperin

Continuous Geometry John Von Neumann Israel Halperin
Continuous Geometry John Von Neumann Israel Halperin
Continuous Geometry John Von Neumann Israel Halperin

1. Continuous Geometry John Von Neumann Israel
Halperin download
https://ebookbell.com/product/continuous-geometry-john-von-
neumann-israel-halperin-51952302
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

2. Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Methods Of Bosonic And Fermionic Path Integrals Representations
Continuum Random Geometry In Quantum Field Theory Luiz C L Botelho
https://ebookbell.com/product/methods-of-bosonic-and-fermionic-path-
integrals-representations-continuum-random-geometry-in-quantum-field-
theory-luiz-c-l-botelho-1187448
Differential Geometry And Continuum Mechanics 1st Edition Guiqiang G
Chen
https://ebookbell.com/product/differential-geometry-and-continuum-
mechanics-1st-edition-guiqiang-g-chen-10303536
Geometry Of Incompatible Deformations Differential Geometry In
Continuum Mechanics
https://ebookbell.com/product/geometry-of-incompatible-deformations-
differential-geometry-in-continuum-mechanics-51111760
Geometry Of Incompatible Deformations Differential Geometry In
Continuum Mechanics Sergey Lychev Konstantin Koifman
https://ebookbell.com/product/geometry-of-incompatible-deformations-
differential-geometry-in-continuum-mechanics-sergey-lychev-konstantin-
koifman-7308750

3. Material Geometry Groupoids In Continuum Mechanics Manuel De Len
https://ebookbell.com/product/material-geometry-groupoids-in-
continuum-mechanics-manuel-de-len-32702740
Teaching And Learning Geometry Issues And Methods In Mathematical
Education Doug French
https://ebookbell.com/product/teaching-and-learning-geometry-issues-
and-methods-in-mathematical-education-doug-french-2188420
Geometric Continuum Mechanics And Induced Beam Theories 1st Edition
Simon R Eugster Auth
https://ebookbell.com/product/geometric-continuum-mechanics-and-
induced-beam-theories-1st-edition-simon-r-eugster-auth-5054436
Geometric Continuum Mechanics Advances In Mechanics And Mathematics 42
Band 42 1 Ed 2020 Reuven Segev Editor
https://ebookbell.com/product/geometric-continuum-mechanics-advances-
in-mechanics-and-mathematics-42-band-42-1-ed-2020-reuven-segev-
editor-11019636
Foundations Of Geometric Continuum Mechanics Reuven Segev
https://ebookbell.com/product/foundations-of-geometric-continuum-
mechanics-reuven-segev-56880310

5. CONTINUOUS GEOMETRY

6. PRINCETON LANDMARKS IN MATHEMATICS AND PHYSICS
Non-standard Analysis,
by A braham Robinson
General Theory of Relativity,
by P.A.M. D irac
Angular Momentum in Quantum Mechanics,
by A. R. Edm onds
Mathematical Foundations of Quantum Mechanics,
by John von Neum ann
Introduction to Mathematical Logic,
by Alonzo Church
Convex Analysis,
by R. Tyrrell Rockafellar
Riemannian Geometry,
by Luther P fahler Eisenhart
The Classical Groups,
by Hermann Weyl
Topology from the Differentiable Viewpoint,
by John W. M ilnor
Algebraic Theory of Numbers,
by Hermann Weyl
Continuous Geometry,
by John von Neum ann
Linear Programming and Extensions,
by George B. D an tzig
Operator Techniques in Atomic Spectroscopy,
by Brian R. Ju dd

7. CONTINUOUS
GEOMETRY
BY
John von Neumann
FOREWORD BY
ISRAEL HALPERIN
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
PRINCETON, NEW JERSEY

8. Copyright © 1960 by Princeton University Press
Copyright renewed © 1988 by Princeton University Press
Published by Princeton University Press, 41 William Street,
Princeton, New Jersey 08540
In the United Kingdom: Princeton University Press, Chichester, West Sussex
L.C. Card: 59-11084
ISBN 0-691-05893-8
Princeton University Press books are printed on acid-free paper and meet the guidelines
for perm anence and durability of the Committee on Production Guidelines for Book
Longevity of the Council on Library Resources
First printing, in the Princeton Landmarks in Mathematics and Physics series, 1998
http://pup.princeton.edu
Printed in the United States of America
1 3 5 7 9 10 8 6 4 2

9. FOREWORD
This book reproduces the notes of lectures on Continuous Geometry
given by John von Neumann at Princeton. Part I was given during the
academic year 1935—36, and Parts II and III were given during the
academic year 1936—37. The notes were prepared, while the lectures were
in progress, by L. Roy Wilcox, and multigraphed copies were distributed
by the Institute for Advanced Study. The supply was soon exhausted,
and the notes have not been reproduced until now.
In the present edition many slips in typing have been corrected, in
Part I with the help of Wallace Givens. I have inserted a few editorial
remarks and I have made a small number of changes in the text. These
changes, together with some comments, are listed at the back of the book.
Of these changes, only one is essential and it was authorized explicitly by
von Neumann.
Continuous geometry was invented by von Neumann in the fall of 1935.
His previous work on rings of operators in Hilbert space, partly in collabo­
ration with F. J. Murray, had led to the discovery of a new mathematical
structure which possessed a dimension function (cf. F. J. Murray and
J. von Neumann, On Rings of Operators, Annals of Mathematics, vol. 37
(1936), page 172, Case (Hi)). The new structure had incidence properties
resembling those of the system Ln (Ln denotes the lattice of all linear sub­
sets of an n—1 dimensional projective geometry), but its dimension func­
tion assumed as values all real numbers in the interval (0, 1).
Von Neumann set out to formulate suitable axioms to characterise the
new structure. It happened that just previously, K. Menger and G. Birk-
hoff had characterised Ln by lattice-type axioms; in particular, Birkhoff
had shown the structures Ln could be characterised as the complemented
modular irreducible lattices which satisfy a chain condition. Von Neu­
mann dropped the chain condition and replaced it by two of its weak
consequences: (i) order completeness of the lattice (Axiom II on page 1 of
this book), and (ii) continuity of the lattice operations (Axiom III on page
2 of this book). Lattices which are complemented, modular, irreducible,
satisfy (i) and (ii), but do not satisfy a chain condition, were called by
von Neumann: continuous geometries (reducible continuous geometries
were considered later, in Part III). It is easy to see that in a continuous

10. geometry there can be no minimal element — that is, no atomic element or
point.
The structure previously discovered by Murray and von Neumann in
their research on rings of operators was an example, the first, of a con­
tinuous geometry.
Von Neumann’s first fundamental result was the construction, for an
arbitrary continuous geometry, of a dimension function with values rang­
ing over the interval (0, 1). The construction was based on the definition:
x and y are to be called equidimensional if x and y are in perspective rela­
tion, that is: for some w the lattice join and meet of x with w are identical
with those of y with w. The essential difficulty is to prove that the per­
spective relation is transitive.
Part I of this book discusses the axioms for continuous geometry and
gives the construction of the dimension function. These results were sum­
marized in von Neumann’s note, Continuous Geometry, Proceedings of the
National Academy of Sciences, vol. 22 (1936), pages 92—100.
In a second note, Examples of Continuous Geometries, Proceedings of
the National Academy of Sciences, vol. 22 (1936), pages 101—108, von
Neumann used a simple device to construct an extensive class of new con­
tinuous geometries. He started with finite dimensional vector spaces over
an arbitrary but fixed division ring 3 and showed how to imbed an n-
dimensional vector space in a ^-dim ensional one with k ^ 2 ; a countable
number of repetitions of this imbedding procedure, followed by a metric
completion, gives a continuous geometry. This construction uses a coun­
table number of factors k, each ^ 2, but the final result is independent of
the particular choice of the k. This was shown by von Neumann in a
manuscript (still unpublished): Independence of From The Sequence v
(MS written in 1936—37).
If 3 is the ring of all complex numbers, the continuous geometry
obtained by the imbedding procedure is non-isomorphic to, and simpler
than, the continuous geometry obtained from a ring of operators. This
non-isomorphism is established in von Neumann’s paper The Non-Iso­
morphism Of Certain Continuous Rings, Annals of Mathematics, vol.
67 (1958), pages 485—496 (MS actually written in 1936—37). The
imbedding procedure, the new examples, and the non-isomorphism
theorem are not mentioned in the present book.
Von Neumann’s next fundamental result was a deep and technically
remarkable generalization of the classical Hilbert - Veblen and Young
coordinatization theorem. This classical theorem asserts that if n ^ 4,
then the points of Ln can be coordinatized with homogeneous coordinates,
vi

11. the coordinates to be taken in some suitable division ring.®. Von Neumann
first expressed this classical theorem in the following two equivalent forms
which do not mention points explicitly and which coordinatize all the
linear subsets in Ln: Ln, as a lattice, is isomorphic to
(i) the lattice of all right ideals in ® n («®n denotes the ring of n-th
order matrices with elements in Sf)
and to
(ii) the lattice of all right submodules of Q)n (<®n denotes the right
module over ® of all w-tuples (a;1, • • *, xn) with all x* in ®).
Then he established these coordinatization-isomorphism theorems for
every complemented modular lattice of order n ^ 4 (this restriction is a
lattice generalization of the condition n ^ 4 for Ln). But in formulating the
general coordinatization theorem, von Neumann made some changes:
first, the division ring ® was replaced by a more general ring © with the
properties: © has an identity element and for each x in @, xyx = x for
some y in © (such rings © were called by von Neumann: regular)] second­
ly, in the isomorphism with right ideals in ©n only principal right ideals
were to be used; finally, in the isomorphism with right submodules of ©n
only those right submodules were to be used which are spanned by a finite
number of vectors.
The properties of regular rings and the proof of the coordinatization-
isomorphism theorem are the main content of Part II of this book. This
material was summarized in two notes: On Regular Rings, Proceedings
of the National Academy of Sciences, vol. 22 (1936), pages 707—713; and
Algebraic Theory of Continuous Geometries, Proceedings of the National
Academy of Sciences, vol. 23 (1937), pages 16—22.
The coordinatization is carried out and the ring 3? = ©n (©n is a
regular ring along with ©) is obtained, without using any of the following
axioms: completeness of the lattice, continuity of the lattice operations,
irreducibility. However, if these axioms do hold, the ring 91 has special
properties: a rank function R(x) can be defined for all x in 91. This rank
function leads to a natural metric in 91 and 91 is topologically complete
with respect to this metric. Rings with a rank function were called by von
Neumann: rank rings, and when complete with respect to the rank metric:
continuous rings. Rank rings and continuous rings are studied in Chapters
XVII and X V III of this book.
Chapter IV of Part II considers complemented modular lattices L of
order n ^ 3. If L can be coordinatized by a regular ring 91 (the coordinati­
zation theorem shows that n ^ 4 is sufficient), then as von Neumann shows,
vii

12. every lattice isomorphism of L is generated by a ring isomorphism of 9t,
and every dual-automorphism of L can be generated by an anti-automorph­
ism of 9T If the anti-automorphism of L is an orthogonalization, then the
corresponding anti-automorphism of 91 is a Hermitian conjugation:
x -> x*, which is non-singular in the sense that x*x = 0 implies x = 0.
The continuous geometries obtained from rings of operators do, in fact,
possess such orthogonalizations; the Hermitian conjugation in the co-
ordinatizing continuous ring coincides with the operation of taking the
Hermitian adjoint operator in Hilbert space.
In a continuation of Part II (not mentioned in this book) von Neumann
studied continuous geometries which possess an orthogonalization. In
particular, he analysed such geometries which, in addition, possess a tran­
sition probability function P(x, a). This means: P(x, a) is defined for all x
and all non-zero a in the geometry, 0 ^ P(x, a) ^ 1, and P(x, a) has
certain properties characteristic of the transition probability function in
quantum mechanics. Von Neumann showed that every such geometry
can be obtained from a ring of operators in a suitable Hilbert space (the
dimensionality of the Hilbert space must not be restricted). This result is
embodied in a manuscript (still unpublished) Continuous Geometries With
A Transition Probability (MS written in 1936—137) and is im portant in
applications to quantum mechanics. Von Neumann lectured on this topic
at Princeton in 1937—38, but detailed lecture notes did not become avail­
able.
In a continuation of Part II in another direction, von Neumann develop­
ed the theory of arithmetic of continuous rings. In a manuscript (still un­
published {Arithmetics of Regular Rings Derived From Continuous Geome­
tries (MS written in 1936—37), von Neumann proved that every element
in a continuous ring has a natural decomposition into a set of algebraic
parts together with a purely transcendental part; he also gave other arith­
metic theorems. These results were summarized in a note Continuous Rings
And Their Arithmetics, Proceedings of the National Academy of Sciences,
vol. 23 (1937), pages 341—349. These results are not mentioned in the
present book.
Part III of this book is concerned with lattices which are continuous
geometries except that irreducibility is not assumed. The center of such a
geometry may be any continuous Boolean algebra. Von Neumann analysed
the reducible geometry relative to its center and introduced the basic
concept of central envelope of an element a — that is, the least element e
in the center which satisfies e ^ a. He used central envelopes to establish
the transitivity of perspectivity for reducible continuous geometries. Then
viii

13. he began the construction of the dimension functions.
At this point the lecture notes break off abruptly. In a letter dated
November 12, 1936, von Neumann wrote: “ I can get the 'central decom­
position’ of the various dimension functions and in particular their exist­
ence, enumeration, etc., in ‘reducible’ continuous geometries, but I have
not yet succeeded in decomposing these lattices themselves as completely
as I could do it for bounded operator rings in Hilbert space. But I have
some hope to do it.” It is not difficult to see how he meant to get this
central decomposition of the various dimension functions (cf. Page 294).
But whether he succeeded in getting a satisfactory decomposition for
the lattices themselves is not known to me.
Von Neumann reviewed his previous work on continuous geometries in
four colloquium lectures delivered before the American Mathematical
Society, in September, 1937, at Pennsylvania State College, State College,
Pa., U.S.A. Later, he began to write a systematic account of his research
on continuous geometry which he planned to publish as a book in the
American Mathematical Society Colloquium Series. But his work in the
theory of games, other interests, and the war, intervened. As the years
went by, he finally decided that the Princeton lecture notes, at least, should
be reproduced. This is now accomplished with the publication of the present
book.
Kingston, Ontario, Canada
December 14, 1959
Israel Ha lper in

14. Table of Contents
Foreword by Israel H a lp erin
................................................................. v
PART I
Chapter I. Foundations and Elementary Properties . . . 1
Chapter II. In d ep en d en ce
.............................................................. 8
Chapter III. Perspectivity and Projectivity. Fundamental
Properties
...................................................................... 16
Chapter IV. Perspectivity by D ecom position
............................ 24
Chapter V. Distributivity. Equivalence of Perspectivity and
P ro jectiv ity
................................................................. 32
Chapter VI. Properties of the Equivalence Classes .... 42
Chapter VII. Dim ensionality
.............................................................. 54
PART II
Chapter I. Theory of Ideals and Coordinates in Projective
G eom etry
..................................................................... 63
Chapter II. Theory of Regular R in g s
......................................... 69
Appendix 1
................................................................. 82
Appendix 2
................................................................. 84
Appendix 3
................................................................. 90
Chapter III. Order of a Lattice and of a Regular R in g . . 93
Chapter IV. Isomorphism Theorem s
...................................................103
Chapter V. Projective Isomorphisms in a Complemented
Modular L a ttic e
..............................................................117
Chapter VI. Definition of L-Numbers; Multiplication . . . 130
A p p en d ix
...........................................................................133
Chapter VII. Addition of L-Numbers
...................................................136
A p p en d ix
...........................................................................148
Chapter VIII. The Distributive Laws, Subtraction; and Proof
that the L-Numbers form a R in g
...........................151
A p p en d ix
...........................................................................158
Chapter IX. Relations Between the Lattice and its Auxiliary
R i n g
...................................................................................160
Chapter X. Further Properties of the Auxiliary Ring of the
Lattice
...........................................................................168
X

15. Chapter XI.Special Considerations. Statement of the Induc­
tion to be P ro v e d
..................................................
Ch aptfr X II.Treatment of Case I ..............................................
Ch apter X III.Preliminary Lemmas for the Treatment of Case
I I
...............................................................................
Completion of Treatment of Case II. The Funda­
mental T heorem
......................................................
Chapter XIV.
Chapter XV.Perspectivities and P rojectivities
.......................
Chapter XVI.Inner A u to m o rp h ism s ..........................................
Ch apterXVII.Properties of Continuous R in g s .........................
ChapterXVIII.Rank-Rings and Characterization of Continuous
R in g s
..........................................................................
P A R T I I I
Chapter I.Center of a Continuous G eom etry
.....................
Appendix 1..............................................................
Appendix 2..............................................................
Chapter II.Transitivity of Perspectivity and Properties of
Equivalence C la s s e s
..............................................
Chapter III. Minimal E le m e n ts ..................................................
List of Changes from the 1935—37 Edition and comments on the
text by Israel Halperin
.........................................
In d e x ........................................................................................................................
177
191
197
199
209
217
222
231
240
245
259
264
277
283
297
xi

17. PA R T I

19. PART I • CHAPTER I
Foundations and Elementary Properties
The basis of our discussion is a class L of elements a, b, c, •••, two or
more in number, together with a binary relation < between pairs of
elements of L. Unless otherwise specified, Axioms I—VI listed below will
be assumed.
Axiom I: Order.
Ix: a < a for no element a.
I2: a < b < c implies a < c.
De f in it io n 1.1: a > b means b < a\ a ^ b means a < b or a = b;
a ^ b means b a.
Axiom II. Continuity.
I I X: For every set 5 7, there is an element 27(5) in L, which
is a least upper bound of 5, i.e.
(a) 27(S) ^ a for every a in 5,
(b) x ^ a for every a in 5 implies x ^ 27(S).
I I2: For every set S <= L there is an element IT(S) in L, which
is a greatest lower bound of S, i.e.
(a) II(S) a for every a in S,
(b) x ^ a for every a in S implies x ^ 77(S).
Co rollary: 27(S) and 77(5) are unique.
Pr o o f: If 27x(5), 272(5) satisfy (a), (b) of I I X, then since 27x(5) satisfies
(a) and272(5) satisfies (b), we have271(5) 2^272(5). Similarly, 27x(5)^272(5).
If 27x(5) =£272(S), we have both 27x(5) > 272(5) and 272(5) > 27x(5), so
I 2 implies 27x(5) > 27x(5), which is contradictory to lv In a similar
manner, 77(5) is unique.
De f in it io n 1.2: The elements 77(L), 27(7) will be denoted by 0, 1
respectively. It follows from H v (b) and I I 2,(&) that if 0 is the empty
subset of 7, 0 = 27(0), 1 = 7 7 (0 ).
De f in it io n 1.3: Let (a, b) denote the class consisting of the elements
a, b. Then we define
a + b = 27(a, b), ab = a • b = TI{af b).
Corollary: a + a = a, aa = a.
De f in it io n 1.4: Let Q be any infinite Cantor aleph. Let there be
W

20. 2 PART I • CHAPTER I
given a system of elements (aa; a < Q). We consider only the two cases
(i) a < P implies aa ^ a
(ii) a < implies aa ^ afi.
In case (i) we define
hm* aa = Z(aa; a < Q),
a - + Q
where the right member denotes the least upper bound of the set of all
aa; a < Q; in case (ii) we define
lim* aa = IJ(aa; a < Q).
Corollary: Let (aa) be a system satisfying (i). Then for every b,
the system (b + #«) satisfies (i) and
lim* (b aa) = b + lim* aa.
a - + Q <x—+Q
Similarly if (aa) satisfies (ii), (baa) satisfies (ii) and
lim* (baa) — b lim* aa.
a —>Q a —>Q
Pr o o f: Consider the first part in which (i) holds. Clearly
Z(b + aa; a <Q) ^ b + aa ^ b and aa for all oc < 12 (use IIV (a)).
Hence it is ^ Z ( a a; a < 12) and ^ b -\-E{a(t\a <12) (use 11^ (b)). On
the other hand b + Z(aa;a < 12) ^ b and ^ Z(aa; a < 12) ^ aa for all a <12
(use IIlt (a)). Hence it is ^b-\-aa and ^ Z(b + aa\ a < 12) (use 11^ (b)).
Thus gives Z(b + aa; a < 12) = b + Z(aa; a < 12), that is
lim* (b + aa) = b -f- hm* aa. The second part is similarly proved.
a — a - > Q
Axiom III: Continuity of addition and multiplication.
111^ Let 12 be an infinite aleph and (aa; a < 12) a system
satisfying (ii) of Definition 1.4. Then
lim* (b + aa) = b + lim* aa.
a —>Q a —
II I2: Let 12 be an infinite aleph and(aa; a < 12) a system
satisfying condition (i) of Definition 1.4. Then
hm* (baa) = b hm* aa.
a - ^ S i a - > Q
Axiom IV: Modularity.
IVX: a < c imphes (a + b)c = a + be for every b.
Axiom V: Complementation.
Vx: Corresponding to each element a of L there exists an element
x in L such that
a + x = 1, ax — 0.

21. FOUNDATIONS AND ELEMENTARY PROPERTIES 3
The element x is referred to as an inverse of a. It is not assumed to be
unique.
Ax io m VI: Irreducibility.
It is to be noted that if in the axioms I—VI the relations < and >
be interchanged, the statements thus obtained are equivalent to the
original axioms, provided, of course, that the accompanying substitution
be made. This invariance of the postulates is referred to as the duality
of our theory. Because of it, any theorem possesses a dual theorem ob­
tained from it by means of the substitution (1) and any other inter­
changes arising by subsequent definitions. The system L is seen to form
a lattice in the terminology of G. Birkhoff.*
Several further remarks concerning the axioms are in order at this
point. First, it should be observed that Axioms IIX and II2 are not in­
dependent. In fact if I be assumed, then IIX and II 2 are equivalent. By
duality, it suffices to show that IIX implies II2. Let 5 be any subset of
L, and let F be the set of all elements a x for every x in S. Then 27(F) ^ x
for every x in S, and if a ^ x for every x in 5, then a e F, whence a 27(F).
Hence I7(S) = 27(F) is effective in II 2. Both IIj and I I 2 have been stated
as axioms for purposes of symmetry. Secondly, it is worthy of note that
if a set L' is given which satisfies I but not II, then L' may be completed
by a process** similar to the method of completing the rational numbers
by Dedekind cuts, and the completion of L' will satisfy II. Thirdly,
some explanation concerning the use of the term “irreducibility” in con­
nection with Axiom VI is necessary. This will be given at the end of the
chapter. Finally, although this axiom is included at the outset of the
theory, no use will be made of it until the latter part of Chapter VI.
Th e o r e m 1.1:
(i) a -J~ b = b -j- a, ab = ba, (a -}- 6) -j- c = a -f- (b -f- c),
(ab)c = a(bc).
(ii) O ^ a ^ l .
(iii) a + 0==a-l — a, a - 0 = 0, a + 1 = 1.
(iv) 0 ^ 1 .
* G. Birkhoff, Combinatorial relations in projective geometries, Annals of M athe­
m atics, vol. 36 (1935), pages 743— 748.
** H. M. M acNeille, Extensions of partially ordered sets, Proceedings of the
National Academ y of Sciences, vol. 22 (1936), No. 1, pages 45— 50.
VIX: If a has a unique inverse, then a is either 0 or 1.
a )
>
Z 0
n i+

22. 4 PART I • CHAPTER I
(v) a ^ b, b ^ a if and only if a = b.
(vi) a + ba = + a) = a.
(vii) a + b = a if and only if a ^ b.
(viii) ab = b if and only if a ^ b.
(ix) If a 2^ b and c ^ d, then a + c ^ b + d and ac ^ bd.
Proofs: Parts (i), (ii), (v) are immediate, and their proofs will be
omitted.
(iv) Suppose 0 = 1 . Then by (ii) 0 ^ a ^ 0 for every a. B y (v) a = 0
and L consists of but one element, contrary to the supposition that there
are at least two elements.
(vi) Clearly a + ba ^ a. But a ^ ba, whence a ^ a + ba. Hence by
(v) a = a + ba. Dually, a(b + a) = a.
(vii) Clearly a-\-b ^ b, hence a + b = a implies a ^b . Conversely:
a 2^ b implies by llv (b), owing to a ^ a, that a ^ a + b. But a + b ^ a,
so Ii gives a + b = a.
(viii) This is the dual of (vii).
(iii) This is immediate from (ii), (vii), (viii).
(ix) a + c 2^ a ^ b, whence a + c ^ b. Similarly a + c ^ d. There­
fore a + c 2^ b + d. Dually, ac ^ bd.
Theorem 1.2: If [a + c){b + d) — 0, then {a + b){c + d) = ac + bd.
P ro o f: Define e = a -{- c, f = b + d. Then a ^ e, c rg e, b /, d ^ /,
ef = 0. Now
(a + f)(c + f) = (a + f)c + f (by IV)
= (a + f)ec + /
= (a + fe)c + / (by IV), and
(2) (a + /) (c + /) = ac + /.
Similarly,
(3) (b -}- c) [d -{- e) = bd -f- c.
Also, by two applications of IV,
(4) (a + f){b + e) = a + f(b + e) = a + b,
and similarly,
(5) (c + /) (d + e) = c + d.
Therefore,
(a + b)(c + d) = (a + f)(b + e)(c + /)(<* + e) (by (4), (5))
= (ac + f)(bd + e) (by (2), (3))
= ac + bd,
the final step being proved in a manner similar to the proof of (4).

23. FOUNDATIONS AND ELEMENTARY PROPERTIES 5
De f in it io n 1.5: If a fi b, we define L(a, b) to be the class of all ele­
ments x in L such that a ti*x fib.
Co rollary: If L satisfies Axioms I—IV, then L(a, b) satisfies these
axioms, whenever a fib . (Of course, L (a,b) fails to have two or more
elements if a = b. — Ed.)
Pr o o f: Axiom I is obviously satisfied by L(a, b). To prove Axiom II,
let S <= L(a, b). If 5 is non-empty, then Z(S) (as defined in L) is an
effective least upper bound of S, and lies in L{a, b). For, let x € S. Then
x ^ £(S), a fix , whence a ^ £(S). Also b ^ y for every y in S, whence
b ^H (S). If S = 0, £(S) is 0 and does not in general he in L(a, b). But
in this case the element a is effective as least upper bound of S (in L(a, b)).
This, together with dual considerations, proves II. Axioms II I and IV
are immediate. Hence in passing from L to L(a, b), the operations of
addition and multiplication as well as the order relation are preserved,
while 0, 1 are replaced by a, b, respectively.
Theorem 1.3: If a fi c fib , then there exists an element x in L(a, b)
such that c + x = b, cx = a.
Pr o o f: By V there is an inverse y to c, whence c + y = 1, cy = 0.
Define x = yb + a. Hence
c + x = c + (yb + a) — c + yb = (c + y)b = b,
cx = c(yb + a) = a + cby = a + cy = a.
Corollary: If L satisfies Axioms I—V, and if a fib , then L(a, b)
also satisfies these axioms.
De f in it io n 1.6: An element x will be called an inverse of a in b in
case a + x = b and ax — 0.
Corollary: If a ^ b then there exists an inverse of a in b, and con­
versely.
Pro o f: This results from setting a = 0 in Theorem 1.3. The converse
is obvious.
Theorem 1.4: If a; is an inverse of a in b, and y is an inverse of b in c,
then x + y is an inverse of a in c.
P r o o f: By hypothesis, x a = b, y - f b = c, ax = yb = 0. Hence
(# + y) + 0 = o. Also, with the help of Theorem 1.2 it is seen th at
a(x + y) = (a + 0)(x + y) = ax + 0 -y = 0.
Hence x - f y is an inverse of a in c.
Co rollary:
(i) Let ax = 0. Then there exists y ^ x such that y is an inverse of a.
(ii) Let a + x = 1. Then there exists y ^ x such that y is an inverse
of a.

24. 6 PART I • CHAPTER I
Pr o o f: (i) Clearly x is an inverse of a in a + x. Let z be an inverse
oi a x. Then y = x + z is an inverse of a by Theorem 1.4. Also y ^ x,
whence y is effective.
(ii) This is dual to (i).
Lemma 1.1: Let x and a be given. Then there exist elements u and z
such that u a, az — 0, and x = u + z-
Pr o o f: Define « = ax. Let z be an inverse of u in x (Corollary to Defini­
tion 1.6), x = u + z. Then uz = 0, z x, whence az = axz = uz = 0.
Lemma 1.2: Let there be given two elements a, b with the following
properties:
(i) ab = 0,
(ii) Every element x is expressible in the form x = u + v, with u ^ a ,
v ^ b. Then the elements u, v are unique and are equal to ax, bx, respec­
tively. Moreover, a and b have unique inverses equal to b and a respectively.
Pr o o f: Suppose x = u + v for every x, with u tSt a, v ^ b. Then
ax = a(u + v) = u + av by IV. But av ^ ab — 0. Hence ax = u\
similarly bx = v. Then x = ax + bx, whence 1 = a + b. Therefore a
and b are mutual inverses.
Let us now suppose that bx is an inverse of a. Then = abx + bblf
b±a = 0, bx + a = 1. Hence bx = bbv whence bx b. Thus by IV
bj = —}~ ab = (a —f- b-y)b = b.
This proves that a has but one inverse, viz., b; similarly, a is the unique
inverse of b.
Axiom VI is referred to as an axiom of irreducibility, although its
statement does not resemble the notion generally called irreducibility
in algebraic theories. However, we shall now formulate a property A
that bears a close resemblance to the ordinary notion of irreducibility,
and shall show its equivalence to VI.
Theorem 1.5: Suppose th at L satisfies Axioms I—V. Let L be said to
satisfy A in case for every pair of elements a, b such that ab = 0 and
such that every element x is expressible as a sum u + v, with u ^ a,
v b, it is so that a = 0 and b = 1, or a = 1 and b = 0. Then L satisfies
VI if and only if it satisfies A.
Pro o f: All the results thus far obtained are valid, since none depends
on Axiom VI. Suppose VI is satisfied. Then if ab = 0 and every x is
expressible as u + v, u ^ a, v ^ b, we have by Lemma 1.2 that b is the
unique inverse of a. Hence by VI, a = 0 or a = 1, and b = 1 or b = 0 in
the respective cases. This proves A.

25. FOUNDATIONS AND ELEM ENTARY PROPERTIES 7
Conversely, suppose that an element a has a unique inverse b, whence
a + b = 1, ab = 0. By Lemma 1.1 to every x there correspond elements
u, z, with u a, u + z = x, az = 0. Now there is an inverse b' of a with
b' ^ z, by the corollary to Theorem 1.4. Hence b' = b, and b ^ z. Thus
every x is expressible in the form u + v, with u ^ a, v ^ b. Therefore
a = 0 or a = 1 by A.

26. PART I • CHAPTER II
Independence
In what follows arbitrary sets of indices will frequently enter the
discussion. These sets will be denoted by 7, / , K, • • •, while the indices
will be denoted by p} o, r, • • \ Set theoretical summation and inter­
section will be denoted by the symbols ©, ^ respectively, in order to
avoid confusion with the symbols £, 77 already in use.
De f in it io n 2.1: If I is any set, and if (ay a el) is a system of elements
in L, the system (aa) is said to be independent, in notation (ay <r €/)_[_,
in case
(1) Z(ay a € J)E (ay aeK ) = 0,
for every pair of non-intersecting subsets / , K of 7. In (1) the notation
E(ay a e j) denotes the least upper bound (defined in Axiom II) of
the class of all elements a y o e j .
Corollary: If (ay a e l) ± , then (ay o e / 0)_L for every 70 <= I.
Theorem 2.1: Let I v 72 be two non-intersecting sets. If (ay o g IJ J l,
(ay o’ € 72) _L and E(ay a e I1)E(ay a e l2) = 0, then (ay 0€<g>(Ilf / 2))J_.
Pr o o f: Let / , K be two non-intersecting subsets of (S(7X, / 2). Then
define
h = w , h ). / . = m h),
K x = %(K, I,), K 2 = $(K, h).
Thus / = <S(JV J 2), K = © (* ,. K t) and W v «i) = W » « .) = «•
If we define
a=Z(a„; i r e / , ) , b = 2(av; a e j 2),
c = 2 (a a] oeKj), d = £(aa; a e K 2),
we have ac = 0, since J v K x c and (aa; a e J,) J_ by hypothesis.
Similarly bd = 0. Now from
a fkZ{aa-, <re A), c ^ a e lj)
we conclude
a + c a e l ,),
and similarly
b + d a e l 2).
[«]

27. INDEPENDENCE 9
Hence (a + o)(b + d) = 0 and by Theorem 1.2,
(a -f- b) (c -j- d) = ac -f~ bd = 0.
This states that
Z(ay ae J)Z(ay a e K) = 0,
whence (ay a e® (I1} / a))-L-
Co r o l l a r y: Let (/*; i = 1, • • *, n) be a finite disjoint system of sets.
If (ay a e I {) _L (i = 1, • • •, n), and if (Z(ay ore/*); i = 1, • • •, »)_L,
then (a^; a * = 1, • • •, n))J_.
P ro o f: The proof will be made by induction on w. The case n = 1 is
obvious, and the case n = 2 is treated in Theorem 2.1. Suppose the
corollary is true for n = 1, • • *, m. Consider a system of sets (/*; i = 1, • • *,
m + 1) and m + 1 systems of elements (ay a e/*) (i = 1, • • •, m + 1)
of L satisfying the hypotheses. The systems (ay (Xe/t) (i = 1, • • •, m)
also satisfy the hypotheses, whence we may conclude
{aa\ a * ® (/,;* '= 1, • • •, w ))X .
Now
Z (ay a €©(/<; $ = 1, • • -, w)) = Z (Z (a y aeli); i = 1, • • *, m)
as may be readily verified. Hence by the independence of (Z(ay aeli);
i = 1, • • •, m + 1) it follows that
Z(ay a e I m+1)Z(ay a e ® (I{; i = 1, • • •, m)) = 0.
By the induction hypothesis, (tfg.; e re /w+1) J_. Therefore, by Theorem 2.1,
(ay a e © (/*; * = 1, • • •, m + !))_!_• This completes the induction.
Theorem 2.2: Let (a{, i = 1, • • *, n) be a finite system of elements in
L. Then (a{; i = 1, 2, • • *, w)_L if and only if *
(2) K
-H------+ = 0 (i = 1, • • •, n — 1).
P ro o f: Condition (2) is obviously necessary. Its sufficiency is proved
by induction. Clearly (alf a2) _|_, since axa2 = 0. Suppose 2 < n,
and (ai, i = 1, • • *, m) J_. Define I x =(!,•• •, m), I 2 = (m + 1). Then
(flm+i)-L and by hypothesis
(#1 + * * * + ^m)am+1 =
Thus Theorem 2.1 applies, and we conclude (a{; i = 1, • • •, m + 1)_L.
Hence by the induction, (a^ i = 1, • • •, n)J_.
It should be observed that while condition (2) seems to depend on the
order of the elements in the system (a*), its equivalence to the independence
of the system, which is readily shown not to depend on order, shows
* The notations ax -f • • • + an, frequently be used in place of their
equivalent, 2 (ai> * = 1, • • w).

28. 10 PART I • CHAPTER II
that (2) is equivalent to the condition resulting from (2) by effecting any
permutation on the at. More precisely, if i ki is a permutation of the
integers 1, • • •, n, then (2) is equivalent to
(«*, H h = 0 (i = 1, • • •, n - 1).
Theorem 2.3: A system (ay, a el) is independent if and on ly if
(ay a e I 0) is independent for every finite I 0 c: / .
P r o o f : Clearly (ay a el) JL implies (ay a e l 0)j_ for every finite
/ 0 c= I by the Corollary to Definition 2.1. To prove the converse, suppose
J, K c: I t with *$(/, K) = 0. Then it must be shown that
(3) oeJ)Z{aa-, ocK)=0.
If (3) does not hold for every disjoint pair (/, K), then there is a pair
(/, K) violating (3) such that
(A) the power of / is a minimum =
(B) for power of J = # lt the power of K is a minimum = ^ 2*
We note these facts:
(a) Ni =2 Ki. for since / , K violate (3), the same is true of K, / .
(b) is infinite, for otherwise both and are finite, whence / ,
K are both finite sets and I 0 — @ (/, K) is finite. Hence (ay a e l 0)_\_
by hypothesis, and
Z(ay a e J)E(ay o e K) = 0,
contrary to our assumption.
(c) If / , K' violate (3), then if is the power of K', ^ fc$2.
Now let Q be the smallest ordinal corresponding to fc$2. Clearly Q is
a limit ordinal. Evidently the system (ay, a e K) can be replaced by
the system (ay, o il <Q). If we define a = E(ay a e J), we have by the
contrapositive of (c),
aZ(ay, (3 < a) = 0 (a < Q).
Hence
E(aZ(ay, (i < a); a < Q) = 0.
But a' < a" implies Z(ay, fi < a') ^ E(ay, {} < a"), whence Axiom I I I 2
applies, and we have
aZ(E(ay, (i < a); a < Q) = 0.
It is easily seen that
E(Z(ay, ji < a); a < jQ) = E (ay /3 < i3),
since Q is a hmit ordinal. Hence
aZ(ay, ft < Q ) = 0,

29. INDEPENDENCE 11
or
E(ay o e J)Z(ay a eK )= 0,
which contradicts the assumption that / , K violate (3). This proves
that (3) holds, and therefore that (ay a el) is independent.
Theorem 2.4: Let / be any class and (Ip; pej) any disjoint system
of classes. If (ay a elp)± for every pej, and if (E(ay a e l p); pe / ) J_,
then (ay, ae@(Ip; pej))±.
P ro o f: Let K = (cq, • • *, an) be any finite subset of I = © (/p; p e / ) .
It will be shown that (ay oeK) J_, whence the independence of (ay a el)
will follow by Theorem 2.3.
For every i = 1, • • •, n there is a unique class such th at Oj e l t. Let
the system (7f) be replaced by the system (Kj) j = 1, • • *, m) of distinct
classes. For every j= 1, • • •, m there is a unique pU) in / such that Kj = ,
and each I pU) arises from but one j. Hence (ay a eKj)_L (j = 1, • • •, m);
also, the system (E(ay a eK j); j = 1, • • *, w) may be represented as a
subsystem of (E(ay a elp); pej) and is therefore independent. From
this follows the independence of (ay oe?$(K, Kj)) (j = 1, • • •, m) and
of (E(ay a e Kj); j = 1, • • *, m). By the Corollary to Theorem 2.1,
(ay aeK)J_, since K = (&(?$(K, Kj); j = 1, • • *, m). This completes
the proof.
The theorem just proved is the extension of Theorem 2.1 and its corol­
lary to arbitrary systems of sets.
Theorem 2.5: A system (ay a el) is independent if and only if for
every J lt J2 c 11
(4) £(a y aeJ1)E(ay aeJ2)=Z(a(r; a e W v /.))•
Pr o o f: The sufficiency of (4) is evident, since (4) implies (1). To
prove the necessity, define
k = ji - Wi> / .) , « = /.) .
b=Z(ay a e K), c = Z (ay a e / ,) .
Since $ ( / 2, K) = 0, we have be = 0. By IV,
Z(ay a e J l)Z(ay a e J 2) = (a + b)c = a + be =
= a=E(ay a e W i, /.))•
Coro llar y: Let (ay, a el) J_. If (If, t = 1, • • •,«) is a finite system
of subsets of I, then
(5) II(Z(ay aeli); * = !,•••, n) = Z (a y <xe $(/,■; *=!,•••, n)).

30. 12 PART I • CHAPTER II
Pr o o f: The case n = 1 is trivial, and the case n — 2 is treated in
Theorem 2.5. Suppose that (5) holds for n = m, where m ^ 2. Then
n { Z (a (T; a e li) ; i = 1, • • •, m + 1) =
= i7(Z'(a0.; aeli); i = 1, • • •, m) • Z {a a e l m+1)
= 2 ’(a0.; ae $(/,•; i = 1, • • •, m)) ■ Z{a<T; a e l m+1)
= Z(aIT; a «$(/<; i = 1, • • •, m + 1)),
the last equality holding by Theorem 2.5. Hence (5) holds for all values
of n.
T h e o r e m 2 .6 : Let (aa; ael)_[_. If (I p; pej) is any system of subsets
of I, then
(6) 77(ZX; oeIp); pe J) = Z(atr; aeW p l P*J))-
Pr o o f: By the Corollary to Theorem 2.5, (6) holds if J is finite. Suppose
(6) does not hold for all sets / . Then there is one, which we denote by
/ , of minimum power for which (6) fails. Let Q be the smallest ordinal
corresponding to this power. It is a limit ordinal, and / may be replaced
by the set of all ordinals a < Q. Our hypotheses yield that
(7) n(Z(a<r; aelfi); p< y) = Z{aa; aeWpP<Y))
holds for y < Q and fails for y = Q. We shall reach a contradiction by
proving that (7) holds for y = Q. Now
b = II(Z(aIT; a e l a); a.< Q ) = II(II(Z(a(r; aelff); ft < y); y < Q),
as can be easily verified since Q is a limit ordinal. By applying (7), we have
b = n ( i : ( a <r; < a)); a <Q).
Similarly,
c=Z(aa; <r€ $ (/« ; *<Q)) = £ ( * , ; £<oc); *<Q)).
For each a < Q define = fi < a). Then
b = n (Z (a a\ of€/a); a < Q),
c = Z (a v; o tW a l *<Q)),
and a' < a " implies / a, / a„.
Thus in the problem of proving (7) for y = Q, i.e. of proving b = c,
we have replaced the sets Ia by a monotonic decreasing system / a. If
we define
J O = $(/„; « < O ) . J a = /a - J a (a < Q ) ,
the sets Ja are monotonic decreasing and have the empty set as inter­

31. section. Hence a ' < a " implies
<*«/“ ) ^ Z ( a<r', <*€/“").
Since
27(«„; a e / J = 27(«„; a {f ) + I K ; <re/«),
it follows that
6 = 7 7 (2 K ; * €/*)+ Z fc ,; or e /« ); a < fi).
Hence by III^ b = c + a> where
a = II{Z{a(r; oeJa); a < fi).
In order to prove that b = c, we show that a = 0, which is our original
problem with the sets Ia replaced by a decreasing system Ja which have
the empty set as intersection. Now if /? < fi,
n m a<r; a e / “); «<£?)• £ (« ,; a e (/ - / ' ) )
^ ( a , ; a e p )-Z (a<r; a e ( I - J *))
= 0,
since (a,; <re/)_L and $ (/* , I - Jf) = 0. Hence
27(« • £ (« ,,; or e ( / - / ' ) ) ; p < Q ) = 0.
But a ' < a" implies 7 — / “’<=/_ Ja" whence
£(«„; a e (7 - /« ')) <S 2 7 ^ ; <r e (7 - / “")),
and we have by I I I 2
aZ(Z(a<r; o e { I - J*))\ /? < Q) = 0.
But
27(27(«<r; o€(I-J*));P < Q ) =
= 27(«<r; o e < S { ( I - J 'y ,p < Q ) )
= 27(«<r; o e ( I - W > P<Q)))
= 27(«„; a e 7).
Thus aZ(a(T; o* e /) = 0; but obviously a 5^ a el), and consequently
a — 0. This completes the proof that b — c, from which it is seen that (7)
holds for y = Q.
The theorem just proved is the extension of Theorem 2.5 and its corol­
lary to arbitrary systems of subsets of /.
T h eo rem 2.7: A system (ay, a el) JL if and only if the class 5 of all
E (ay a e J), J I,\s isomorphic to the Boolean algebra J of the subsets
INDEPENDENCE 13

32. 14 PART I • CHAPTER II
of 7, where isomorphism means a transformation of J into 5 carrying
the operations ©, $ into E, 77 respectively.
Pr o o f: Let us first consider the forward implication. Clearly
^j(E(ay oe J)), where J ranges over any subset of J is equal to
E(aa.; cre@(/; / e Jf1)), which shows that the operation © in J is carried
by the correspondence / ->E(ay a e J) into the operation E in 5. It
remains to prove the similar statement concerning and 77, i.e., to prove
(8) II(E(ay oejy, J e J 1)=E(ay o e W . J * Si))-
This is a special case of Theorem 2.6, where the J appearing in the statement
of that theorem is and I j = J for every J e <fv
To prove the converse, we see that (8) implies (1) by letting range
over the class of all pairs of disjoint subsets of J>.
Le m m a 2.1: Let (ay, aeI)A_, and let pel, p el with p ^ p , and
(9) xp ^ ap + ap,, ap.xp = 0.
Then (by, ael)±, where ba = aa(o ^ p), bp = xp.
Pr o o f: Define 7X = 7 — (p, p), 72 = (p, p). Now (by, o,e71)_L, since
aelx implies ba = aa. Also (by, a el2)±_ by (9). Finally,
E(by oelJE iby, ael2) =
= E(ay oeI,)(xp + ap.)
<E(ay a e / 1)(ap + ap.)
= Elay, a e IJElay a e l 2) = 0.
Hence by Theorem 2.1, (by, ae/)J_.
Co r o l l a r y: Let (ay, cre/)_L, and let J = (plt • • *, pn), K be two
finite disjoint subsets of 7 ( / consisting of n elements). Suppose there is
given a mapping p p of / on K, such that K = (p'v • • •, pn), where
the p[ are not necessarily distinct, and suppose
(10) xpt ’^ api + aP,> aP(xPi = Q (* = i,•••,«).
Then (by oeI)±, where bc = aa(o4j), bp, = xfl( (i = 1, • • •, n).
Pr o o f: Define for each i — 1, • • •, n
Ji=(Pi. • • Pi), = a Act 4 J,), bft = (j = 1, • • •. *).
The system (6^ ; a e I) is independent by Lemma 2.1. Suppose 1 ^ m < n
and (^m); oeI)±_. Then by applying Lemma 2.1 to this system, with
P = pm+v P = p'm+i> we find (cy, ael)\_, where ca= b ^ {o=£pm+1),
cpm+1 — xpm+1' Hence c(r = b(Jn+1) (del), and (^ w+1); a e I) _L, whence
by induction (by, ael)j_, since b^ = ba (a el).

33. INDEPENDENCE 15
Th e o r e m 2.8: Let (ay a e l)_[_, and let J, K be two non-empty disjoint
subsets of I, with a mapping p -> p of J on K, not necessarily one-to-one.
Suppose that for each p € J,
(11) xp ^ ap + ap, , ap.xp = 0.
Then (by <7 e/)_[_, where ba = aa(o4J), bp = xp(pe J).
Pr o o f: Let I 0 be any finite subset of I. It suffices to prove (by a e l0) J_
by Theorem 2.3. Obviously J x = *{$(/, I 0) is finite, and we may write
Ji = (Pv * * Pn)• Define K x = (pv • • •, pn). Clearly J v K ± are disjoint
and equation (10) is satisfied. Hence by the Corollary to Lemma 2.1,
(cy cs € I) JL, where = av(a 4 A ), cPi = xP{ (i = 1, • • •, n). We have
also that (cy <7€ / 0)J_. But O€l0 implies ca = 6^ and therefore
( b y o e l0)±..
No t e: In the applications of Theorem 2.8 the conditions
aP + XP = V + */> = + V »
apxp = ap,xp == 0 (p€/)
are satisfied, instead of (11). These clearly imply (11) however.

34. PART I • CHAPTER III
Perspectivity and Projectivity.
Fundamental Properties
D e f in it i o n 3.1: An element a is said to be perspective to an element b
( a ~ b) in case a and b have a common inverse.
Co rollary: The relation ~ is reflexive and symmetric.
The relation ~ is also transitive, although the proof of this fact will
not be given until later in Chapter V, after a considerable amount of
preliminary theory has been developed (see the Corollary to Theorem
5.16; for a proof that the relation ~ is transitive without assuming
Axiom VI, see these Notes, P art III, Theorem 2.3. - Ed.).
Lemma 3.1: If bt i.e., if there is an element x such that a-\-x=b+x= 1,
ax = bx — 0, then for every c1 ^ a + b, c2 ^ ab there is an element y
such that a Jry = b + y = c1, ay — by — c2.
P r o o f: Define y = cxx + c2. Then
a + y = a + (c2 + cxx) = a + cxx
= (a + z)ct (by IV)
= H,
and b + y = cx similarly. Also
ay = a(cxx + c2) = c2 + acxx (by IV)
= °2 + 0 = c2,
and similarly, by = c2.
Lemma 3.2: Let a, b be given. If there exists an element x such that
a + x = b + x, ax = bx, then there is an element w which is inverse
to both a and b, i.e. a ~ b.
Pr o o f:
I. Suppose a-\-x = b'\-x — 1, ax — bx. By the Corollary to Defini­
tion 1.6 there is an inverse w of ax in x. Hence w + ax = x, wax — 0,
whence also aw — 0 since w ^ x. But
1 = a + x = a~{-w-{-ax — a-\-wf
and w is an inverse of a. Since ax = bx, w is also an inverse of b by sym­
metry.
[16]

35. II. Suppose a + x = b + ax = bx = 0. Then by dualizing I, we
find that a, b have a common inverse.
III. Consider the general case a x — b x, ax = bx. By the Corol­
lary to Theorem 1.3, any result deduced for L from Axioms I—V is true
also for L{c, d), where c d. Hence by applying the result obtained in
I to the lattice L(0, a -f x), we see that there is an element y such that
a,-\ry — b-\-y = a -\-xt ay = by = 0, since 1 must be replaced by
a + x in passing from L to L(0, a + £)• Now an application of II yields
the desired common inverse of a and b.
De f i n i t i o n 3.2: We shall write u ~ v (mod x) in a, b to mean u a,
v ^ b , u -f- x = v + x.
Th e o r e m 3.1: Let a, b be given. Then for each of the following sets
of equations it is so that a ~ b is equivalent to the existence of a solution
of that set:
(a) a + x — b -f x = clt ax = bx = c2 (cx ^ a + b, c2 ^ ab),
(b) a + x = b + x, ax = bx,
(c) a + x = b + x, ax = bx = 0,
(d) a + x — b + x = a + b, ax = bx — ab,
(e) a + x = b -f x = 1, ax = bx = 0.
Pr o o f: We shall write (i) -> (j) if when (i) has a solution (j) also
has a solution. Clearly {a) -» (c) -> (6), (a) -> (df) -» (6). By Lemma 3.2
(b) -> (e), and by Lemma 3.1 (tf) -> (a). Hence
<“> C w )(i,) ~<e) -
The proof is completed by observing that a ~ b is equivalent to the
existence of a solution of (e) by Definition 3.1.
Th e o r e m 3.2: Let a, b, x be given. Then the equations a + x = b + x,
ax = bx = 0 are equivalent to
(a) for every u ^ a there is a unique element vu such that vu
(mod x) in a, b, and
(b) for every v ^ b there is a unique element uv such that uv ~ v
(mod x) in a, b.
Note: Since the equations in the hypothesis are precisely equations
(c) of Theorem 3.1, it follows from th at theorem that a ^ b is equivalent
to the existence of an element x satisfying conditions (a), (b) of Theo­
rem 3.2.
Pr o o f: Only (a) will be proved since (b) follows from it by symmetry.
PERSPECTIVITY AND PROJECTIVITY: PROPERTIES 17

36. 18 PART I • CHAPTER III
Let u a, and define vu = b(u + x). Then vu ^ b, and
vu + x = b{u + x) + x — (b + x) (u + x) (by IV)
= {a + x) (u + x)
= U + X,
whence u ~ v u (mod x) in a, b. To prove the uniqueness of vu, let v
(mod x) in a, b. Then since v fg b and
V - \ - X = U - \ - X = Vu - \ - X ,
we have with the help of IV,
v = v + bx = {v + x)b = (vu + x)b = vu + bx = vu.
Conversely, let (a), (b) hold. By (a) we have an element va fib such
that a + x = va + x. But va + x fg b + x, whence a + x b + x.
Similarly, by (b) we have b + x a + and therefore a + x = b +
Now by (a) there is a unique element v0 such that
(1) v0 ^ b, x = 0 + x = v0 + x.
But v0 = 0 and vQ = bx both satisfy (1), and hence by the uniqueness of
v0, bx = 0. Similarly, ax — 0.
De f i n i t i o n 3.3: Two lattices Llt L2 (i.e., systems satisfying I and
a weaker form of II which requires the existence of greatest lower bounds
and least upper bounds for finite subsets) will be said to be isomorphic
if a one-to-one correspondence exists between Lx and L 2 which preserve
addition and multiplication and hence order.
Co r o l l a r y: If Lx and L2 are isomorphic, and if L± has a zero element
Oj (which satisfies, by definition, 0a for every a in L±), then L2 has
a zero element 02, and the two zero elements correspond. Dually, if Lx
has a unit element l x (such that 1 x ^ a for every a in Lx), then L2 has
a unit 12 and the two units correspond.
Th e o r e m 3.3: Let a~b. Then L(0, a) and L(0, b) are isomorphic.
If # is any element such that a + x = b + x, ax = bx = 0, then the
equations
(2) v = b(u + x), u = a(v + x)
define such an isomorphic correspondence between L(0, a) and 1,(0, b).
If u, v correspond under (2), then u ~ v (mod x) in a, b.
Proof: B y Theorem 3.2 we see that there is a one-to-one correspondence
between L(0, a) and L(0, b) which is defined by (2), and that u ~ v
(mod x) in a, b for every pair u, v of corresponding elements. It remains

37. PERSPECTIVITY AND PROJECTIVITY: PROPERTIES 19
to prove that the correspondence (2) preserves addition and multiplica­
tion. If ux, vx and u2, v2 are two pairs of corresponding elements under (2),
then ux~ vlt u2~ v2 (mod x) in a, b. It follows then that ux + vi+ v2
(mod x) in a, b, whence (2) preserves addition. We have also that
K + x)(u% + x) = (vx + x)(v2 + x).
But
K + x)(u2 + x) = X + u2(ux + x) (by IV)
= x + u2ux -)- 0 • x
= X + uxu2,
the second equality holding by Theorem 1.2, which applies since
(w2 + ux) (0 + x) ^ ax = 0. Similarly {vx + x) (v2 + x) = x + vxv2, and
uxu2 ~ vxv2 (mod x) in a, b. This proves that (2) preserves multi­
plication.
Corollary: The elements a and b correspond under (2). An element u
is self-corresponding under (2) if and only if u ab.
Pr o o f: The first part is obvious since a ~ b (mod x) in a, b. Suppose
ur+~> u (mod x) in a, b. Clearly u ^ a, u fi b, whence u ab. Conversely,
if u ^ ab, then u ^ a, and u ^ b , whence « ~ u (mod x) in a, b, and u
is self-corresponding..
De f in it io n 3.4: If a + x = b + x, ac = bx — 0, the isomorphism (2)
is called the perspective isomorphism of L(0, a) and L(0, b) with axis x.
De f in it io n 3.5: An element a is said to be projective to an element
b (a & b) in case there exists a finite sequence (a0, • • *, an) such that
a0 — a, an — b, a{_x~ a{
(i = 1, • • •, n).
Corollary 1: The relation & is reflexive, symmetric and transitive.
Corollary 2: If a ~ b, then a ^ b.
Let a b by means of the sequence (a0, • • •, an). Then by Theorem
3.3 there is a perspective isomorphism Pt between L(0, ai_x) and L(0, a{)
[i = l, • •n). Hence the product Px • • • Pn defines an isomorphism
between L (0, a) and L(0, b). This is called a projective isomorphism of
L(0, a) and L(0, b).
Theorem 3.4: If (a, b, c)J_, then a~b, b ~ c implies a~c.
Pro o f: By Theorem 3.1 there exist x, z such that
a Jrz = b-\-z = a-\-b, az = bz = 0,
b + x = c + x — b + c, bx = cx — 0.

38. 20 PART I • CHAPTER III
Define y = (a + c)(x + z). Now
« + y = « + (« + c) (a: + 2)
= (fl + c)(« + x + z) (by IV)
= (a *f- c) (a -j- b -j- c) = a -j- c.
Similarly, c + y — a + c. Also,
ay = a(a + c)(x + 2:)
= a(x + z)
fg (a + b)(x + z) = z + (a + (by IV).
But (a, b, x)±_ by Theorem 2.8. Hence (a + b)x — 0, and ay ^ z. Thus
ay ^ az = 0, and ay = 0. Similarly, cy = 0. This completes the proof
of a ~ c.
C o r o lla r y 1: For the elem ents a, 6, c, xt y, 2 of the theorem w e have
a-\-z = b + z = a-\-b, ^ + x = c + a; = & + c,
az = bz = ab = 0, bx = cx = be = 0,
ay = cy = ac = 0.
P r o o f: These results are contained in the proof of Theorem 3.4.
C o r o ll a r y 2: For the elements a, b, c, x, yt z of the theorem, v
(mod z) in a, b, v~ w (mod x) in b, c implies u ~ w (mod y) in a, c.
P r o o f: By hypothesis u + z = v + z, v + x = w + x. Therefore
u + y = u+(a + c)(x + z)
= (a + c)(u + x + z) (by IV)
= (a + c)(v + x + z)
= (a + c)(w + x + z)
= w + (a + c)(x +' z) (by IV)
= w + y-
T h eorem 3.5: If (a, b, c)_L and a ~ b, then a + b + c.
P r o o f: By hypothesis and Theorem 3.1 there exists an x such that
a-{-x = b + x = a-{-b,
ax = bx = 0.
Clearly (a + c) + x = (b + c) + x = a + b + c. Now since (a, b, c) JL,
we have (a + b)c = 0, whence (a + x)c = 0. Hence by Theorem 1.2,
(a + c)x = ax + c • 0 = 0.
Similarly (6 + c)x = 0, and a + c ~ b + c.

39. Th e o r e m 3.6: Let I be any class, and (aa\ a el) any independent
system. If / and K are two non-intersecting subsets of I with a one-to-
one correspondence /> <-» p' between them, such that ap ~ ap. for each
pair p, p of corresponding elements, p e J, p eK, then
2 (aP'» P €^)*
Pr o o f: By the hypothesis that ap~ ap. and Theorem 3.1, there exists
for each p in J an element xp such that
( 3 ) a p + x P = a P ' + x p = a P + v *
aPxP = ap-xP =
Hence it is clear that
Z{*p> pej) + 2 = Z(ap.; p eK) + x,
where x = Z{xp\ pej). By Theorem 2.8, (ba; a el) _L, where
b<r = «<>*/). bp = xp(peJ)- Thus
Z(bp; peJ)Z(b„; aeK )= 0,
or
p' eK) = 0.
Similarly,
pej) = 0,
and the theorem follows by Theorem 3.1(c).
Th e o r e m 3.7: If b, a b, then a = b.
Pr o o f: Since b, there is a perspective isomorphism P of L(0, a)
and L(0, 6). By the Corollary to Theorem 3.3, since a = ab, we have
that a corresponds to itself under P. But a also corresponds to b, whence
b — a.
Th e o r e m 3.8: Let (ap, i = 1, 2, • • •) be an infinite independent sequence.
If for every i = 1, 2, • • •, ai+1, then each at = 0.
Pr o o f: By Theorem 3.4, an (n = 2, 3, • • •), whence there is a
sequence (xn; n = 2, 3, • • •) such that
(4) a, + xn = an + xn = a, + a,a;B = anxn = 0 (« > 1).
Define
oo oo
C = 2Xit bn = 2 «<, '» = c + (« ^ !)•
i= 2 * = n + l
Since *n+1 + an+1 = xB+1 + a,, r„ ^ Hence
PERSPECTIVITY AND PROJECTIVITY: PROPERTIES 21

40. (5) f k ^ *i-
n = l
Now bn ^ 6n+1, whence 11^ applies, and
oo oo
n r» = c + n K-
n - 1 n=»l
But since (#*)_[_, it follows that n„“ x k = 0 by Theorem 2.6, whence
by (5)
(6) 2 *< ^ ai-
<=2
By (4) we may apply Theorem 2.8 to the system (a,-; * = 1, 2, • • •),
letting I be the class of all positive integers, J the class of all integers
^ 2, and K the class consisting of 1 alone. This yields (&,•; i = 1, 2, • • •) J_,
where bx = ax, ^ (i ^ 2). Hence
oo
= 0,
i-2
and therefore at = 0 by (6). Replacing the sequence (av a2t • • •) by
(at-, at+1, • • •), which satisfies the hypotheses and to which the result just
proved therefore applies, we have at= 0 (t = 1, 2, • • •).
T h eo rem 3.9: If a ~ c ~ b, be = 0, a ^ b , then a = 6.
P r o o f: Define ^ = a, and let ^ be an inverse of bx in b (cf. the Corol­
lary to Definition 1.6). We have
(7) bx + b[ = b, bxb[ = 0.
Now since b ~ c , there is a perspective isomorphism P(b, c) of L (0, b)
and L (0, c). This carries bv b[ into elements clt cx of L (0, c). Similarly,
there is a perspective isomorphism P(c, a) of L (0, c) and L (0, a). This
carries clt c[ into elements alt a[ of L (0, a). We define
b2 — t b^ —
In general, if bit b\ have been defined, let cif c\ be their images under
P(b, c)t ait a\ the images of cit c\ under P(c, a), and bi+1 = ait b'i+1 = a'-.
The sequences thus defined have the following properties:
(a) b'i+1 is an inverse of bi+1 in bit
(b) &; ^ b, c\ ^ c,
(c) b’i ~ c 'i ~ b '{+1 ( i — 1,2, •••).
22 PART I • CHAPTER III

41. By (a), bit bi+1 ^ b{. Hence b'i+j bt for every i, j, and so b’k ^ bt
for all k > i.
Thus K ^ K and K ^ K bi- But K bi = 0 by (7) and
(a). Hence for every i, I,
(8) *<$+i + • • • + K+i) = 0.
Let n be any positive integer. For each i < n , let I = n — i. Hence
by (8)
(9) K(b'i+1 + . . . + &;)= 0 =
This proves (b[, ■ • b'n)±_ (n = 1,2, • • •) by Theorem 2.2. Hence by
Theorem 2.3 (£'; i = 1, 2, ■ • •) J_. By hypothesis be = 0, whence we see
from (b) that {b't + 6'+1)c' = 0. Therefore (b'it c', b'i+l) J_ (i = 1, 2, • • •),
and by Theorem 3.4, (c) implies b'{~ b 'i+1. Hence b\ = 0 by Theorem 3.8,
and in particular b[ = 0. But then from (7) we have bx = b, or a = b.
T h e o r e m 3.10: If a ~ b ~ c, ab — 0, be = 0, b ^ a + c, then c.
P r o o f : Define c' = c(a + b). Now a + b a + c, since b ^ a + c.
Hence
(10) a + b = {a + b){a + c) = a + c(a + b) (by IV)
= a + c’.
Now since ac' c’ there is an inverse c" of ac’ in c’. Thus ac' + c” = c’,
ac'c” = 0. In fact ac” = ac'c” = 0 since c ” ^ c’. Hence by (10),
( 1 1 ) a b = a c’ = ■ a - \ - {ac’ -j- c”) = a c”t
and
(12) ab = ac” = 0,
whence c” ~ b. We have therefore
c” ~ b ~ c, c” ^ c, be = 0,
and hence c” = c by Theorem 3.9. Thus we obtain from (11) and (12),
(13) a + b = a + c, ab = ac = 0.
Interchanging a and c in (13), as we may do, since a and c enter sym­
m
etrically in the hypothesis, and combining the result with (13), we have
a-\-b = b + c = c-\-a, ab = be = ca = 0,
from which we may infer a c.
PERSPECTIVITY AND PROJECTIVITY: PROPERTIES 23

42. PART I • CHAPTER IV
Perspectivity by Decomposition
D e f in it i o n 4.1: A triple (a, b, c) is said to be perspective by decom­
position ((a, b, c)pd)t in case there exist three independent sequences
(a{; i = 1, 2, • • •), (&*), (c,), such th at a* (i = 1, 2, • • •),
and
oo oo oo
a = J >ai , b= ^bi, c=^Cf.
1 = 1 1 = 1 1= 1
Corollary 1: If a ^ b ^ c ^ a , then [a, bf c)pd.
Pr o o f: Define ax = a, a{ = 0 (i = 2, 3, • • •). Then (at-; i = 1, 2, • • •)_[_
and a = 2<^i at • Proceed similarly for 6, c. Clearly ~ ~ c{ ~
(i = 1, 2, • • •), and (a, c)pd.
(The converse to Corollary 1 also holds, i.e. if (a, b} c)pd then
b ~ c ~ a but the proof of this fact will not be given until later;
it follows from Theorem 6.9 (iii)" and Lemma 7.1 - Ed.)
Corollary 2: If a~b, then (a, b, b)pd.
Pr o o f: Obviously a<—>b<—» b<—> a, since ~ is reflexive and symmetric.
Hence by Corollary 1, (a, b, b)pd.
Corollary 3: The relation pd is symmetric, i.e. (av a2, a^)Pd implies
(akp ak2> ak3)pd f°r every permutation i kt of the integers 1, 2, 3.
Lemma 4.1: Let a, b, c be given. Suppose
oo oo oo
« = 2 «<. t> = J, bt, c = ^ ct ,
1= 1 1 = 1 1= 1
where each sequence (a^ i = 1, 2, • • •), (&*•), (c*) is independent. If for
each i = 1, 2, • • •, (ait bif c^pd, then (a, b, c)pd.
Pr o o f: By hypothesis,
oo oo oo
&i = ^ &ij * = ^ ^ij > ~ *
; = 1 ; = 1 i = l
where for every i each of the sequences (atj; / = 1, 2, • • •), (&*•,), (c^)
is independent. Hence by Theorem 2.4, the double sequences (a^; i,
j = 1, 2, • • •), (bu), (cu) are independent. Furthermore,
~ &i>~ ca ~ aa (h / = 2, • • •).
[24]

43. Therefore, if we renumber the double sequences (ai3), (b{j)t (c^) into
simple sequences (a'i)f (b*), (c^), respectively, we have
a[ ~ 6' ~ c[ ~ a\ (i = 1, 2, • • •),
K-; i=l,V --)_L , (K)±, (c'i)±.
oo oo oo
* = 2 *i', t = Z K ’ c = 2 c'i>
i=i i=i *=i
and (a, 6, c)pd.
C o r o lla r y : If (ax, 6X, c^)pd, (a2, b2, c2)pd, and = &x&2 = cxc2 = 0,
and a = + a2, & — bx + b2, c = cx + c2, then (a, b, c)pd.
Pr o o f: Define a{ = b{ = ct- = 0 (i = 3, 4, • • •). Then Lemma 4.1 ap­
plies and (a, 6, c)pd.
Lemma 4.2: Let two sequences (a^ i = 1, 2, • • •), (a'; * = 1, 2, • • •)
be such that
(1) = 0, «<+1 ^ a', a'+1 ^ (» = 1, 2, •••)•
Then (a,; i = 1, 2, • • •) J_. If a0 = I J “ i <*«'. then (ao t = 0, 1, • • -)J_-
P r o o f: By (1) we have am ^ a'e (m > /), whence
2 ^ (/ = 1, 2, • • •),
W=/+l
and
oo
2 am = af = 0 (* = 1. 2, • • •)•
W=/+l
Thus
oo
aMi+1 H H a(+*) ^ ai 2 = 0 {l,k = l,2,-- •).
w»=/+l
and we may infer
a<K+i -I h «») = o (*<»,« = 2, 3, • • •).
and hence for each w = 1, 2, • • *, (ax, • • *, an)J_ by Theorem 2.2. Thus
by Theorem 2.3 (a,-; i — 1, 2, • • •)_[_, since every finite subsequence of
this sequence is contained in one of the form (av • • •, an), and is hence
independent. In order to prove the second part, it clearly suffices to prove
(2) H
---------f- a„) = 0 (» = 1, 2, ■ • •).
Now by (1), axax = 0. Suppose ^ ( a x -f • • • + at) = 0. Then define
a = 0, b = ai+1, c = ax + • * • + aif d = ai+1.
PERSPECTIVITY BY DECOMPOSITION 25

44. Obviously,
(a + c)(b + d) — (ai+1 + tf!+i)(ai + ••• + #<)
^ <*'Mi H h «<) (by (1))
= 0,
and Theorem 1.2 applies, yielding (a + b)(c + d) = ac + bd, or
a i+ i(a i + ’ * * + a»+i) = a ’i+ ia i+ i = 0*
This induction proves (2), since a0(tfj-f * * • + tfn) ^ #n(ai + * * ‘ + an) = 0*
L e m m a 4.3. If b ~ c and (a + c)b = 0, then (a, bt c)pd.
P r o o f : Define a0 = a, b'0 = bf c'0 = c, a[ = ac, and let ax be an inverse
of a[ in a. Let P(a, b) and P(b, c) be perspective isomorphisms of L(0, a),
L(0, b) and L(0, b), L(0, c), respectively. By P(a, b) we obtain images
bv b[ in L(0, b) of av a'x\ and by P(b, c) we obtain images clt c[ in L(0, c)
of bx> b[. If ait bit cit ait b’if c'- have been defined, put ai+i = ajc*, let at+1
be an inverse of ai+1 in aif and let bi+1, b'i+1 be the images of ai+1, a'i+1
under P(a, b), and ci+1, c'+1 the images of 6i+1, b'M under P(b, c). This
construction gives rise to six sequences (a,-; i = 1, 2, • • •), (6f), (ct),
(a'; i = 0, 1, • • •), (&'), (Ci), which have in particular the following
properties;
(a) a'i+i = a 'ic'i (* = 0. 1. • • •).
(b) at+1 is inverse to a'i+1 in ait
bi+1 is inverse to &'+1 in b[,
ci+1 is inverse to c'i+1 in cj (i = 0, 1, • • •),
(c) ct (t = 1, 2, • • •), a'i~ c\ (i = 0, 1, • • •).
From (b) we have immediately
(3) «;+1 ^ b'i+1 ^b\^b, c'M ^ c't < c (* = 0. i. • • •).
and
(4) ai+1 ^ «;, bi+1 g 6', c<+1 ^ c' (t = 0, 1, • • •).
also, from (3), (4) and (a) there results
ai+l ci+l ^ ai+lCi = a 'i aM C'i = ai+lai+l = 0 (* = 0 , 1 , • • • ) .
whence aici = 0 (i = 1, 2, • • •). But we also have by (4) and the
hypothesis,
(ai + c ^ ^ (a + c)b = 0,
and we may conclude (ait bit ct)_L (i =? 1, 2, • • •) by Theorem 2.2. There-
26 PART I CHAPTER IV

45. fore we infer from (c) that a{ ~ c{ by Theorem 3.4, and we have
(5) a{~ h i~ Ci~ Ui (* '= 1 , 2, •••).
Now if a0 = X I~ i a't, K = J J S i K> co = IL = i c< - we have bY an
apphcation of Lemma 4.2,
(6) (a,-; i = 0, 1, • • • ) ! , (&,; i = 0 , 1, • • -)±, (c,; * = 0. 1, • • -)±.
From (b) it follows readily that
n
a = a ' + ax = a ' + a2 + ax = • • • = a'n + 2 ai (» = 1, 2, • • •)•
i=l
Hence, since each a{ ^ a,
00
a = a 'n + 2 ai (» = 1. 2, * • •).
1 = 1
and also
« = fr«+i^)-
n = l i = l
By (3), I lli applies, and a = 1 7 “ = i a'n + 2 “ i ai = 2 “ o ai• This> together
with similar considerations for b, c, yields
(7) a = f a it b=fbi. c = f c t.
i=0 i=0 t=0
Now by (a), a'm+1 < cm, whence
OO OO
n a; ^ n c'(
i—1 i=l
and a0 ^ c0. Let x be the axis of the perspective isomorphism P(a, b).
Then a\ + x = b\ + x (t = 1, 2, • • •), and by IIIj, a0 + x = b0 + x.
This together with ape ^ ax — 0, bpc bx = 0 imphes a0 ~ b0. Similarly,
b0 ~ Cq. Finally,
b0c0 ^ be ^ b(a -f c) = 0.
Thus Theorem 3.9 apphes, and we have a0 = c0, whence
(8) a0~ b0~ c0~ a0.
But (5), (8), (6), (7) tell us that (a, b, c)pd by Definition 4.1, and the
lemma is proved.
Le m m a 4.4: If a ~ b ~ c and ab = cb = 0, then {a, b, c)pd.
Pr o o f: Let P(a, b) and P{b, c) be perspective isomorphisms of L(0, a),
L(0, b) and L(0, b), L(0, c), respectively. Define a0 = a, b'0 = b, c'Q = c,
b'i= (a + c)bt and let bx be an inverse of b'x in b. Let cv c[ be the images
in L(0, c) of blt b[ under P(b, c), and alt a[ the images in L(0, a) of blt
PERSPECTIVITY BY DECOMPOSITION 27

46. 28 PART I • CHAPTER IV
under P(a, b). If ait bit cit ait b\, c\ have been defined, put b'i+1=
and let bM be an inverse of b'i+1 in b\. Also, let ci+1, c'i+1 be the images
of 6i+1, 6'+1 under P(b, c) and let ai+1, ai+1 be the images of bi+1, b'i+1
under P(a, b). This construction gives rise to six sequences (a*; i = 1, 2, • • •),
(bi), (Ci), (a'.; i = 0, 1, • • •), {b[), (ct'), which have in particular the following
properties:
(a) b'M = K + <)K (*' = o, 1, • • •).
(b) ai+1 is inverse to a'+1 in ait
bi+1 is inverse to b'i+1 in b\ ,
ci+1 is inverse to c'.+1 in c! (i = 0, 1, • • •),
(c) ai^bi^Ci (i = 1, 2, •••), (i = 0, 1, • • •).
From (b) it follows readily that equations (3) and (4) hold, and we have
by (a)
(«.+i + cM )bi+l ^ « + c')6' = b'M ,
whence by (b)
(9) (^t+i + c<+i)^<+i = bi+ibi+1 = 0 (i = 0, 1, • • •).
If ao = nr=i ai > bo = IT»“ 1 K- co = n ,“ I ct > we have> by Lemma 4.2,
(10) (at; i = 0,1, ■•■)!, (bt; i = 0, 1, • • •) ± , (c<; i = 0,1, • • •)_!_.
As in the proof of Lemma 4.3,
(11) a = f a i, b = f b i, c = f c i.
i—Q i =0 i=0
By (9), (a{ + cjbi = 0 (i = 1, 2, • • •). This together with (c) yields
(12) {ai9 bi9 Ci)pd (i = 1,2, - - •)
by Lemma 4.3. Now by (a), b'i+1 a\ + c\ (i = 1, 2, • • •), whence
b0 <^a'i + ct {i = I, 2, • • •), and
&0<;/ = n (*; + *;).
i = l
If we define
* = n fr k + o.
n = l m = l
then clearly / ^ dt since each factor in / occurs in Consider any factor
« » + Cm i n d- I f m^ n, a'n + C’m^ a'm+ a n <l i f m< n> K + Cm ^ a'n+C'n^f>
whence d ^ /, and therefore d = /. Thus 60 ^ But

47. PERSPECTIVITY BY DECOMPOSITION 29
« 0 + Co = n a 'n + n C 'm
n = l m—1
= fun <4 + 0 (by nil)
n = l m —1
oo oo
= n n k + c 'm ) (by nil)
n = l r a = l
= d.
Hence b0 fg aQ + c0. We have also a0b0 ^ ab = 0, cQbQ cb = 0. Finally,
if x is the axis of perspectivity of P(a, b), then a[ + x = b\ + x
(i = 1, 2, • • •), whence by III^ aQ x = b0 x. This, together with
a(p s^ax = 0, btfc ^ bx = 0, imphes Similarly 60~ c 0, and
Theorem 3.10 applies, yielding whence (a0, b0, c0)pd
by the Corollary to Definition 4.1. Combining this result with (10), (11),
(12), we may infer by Lemma 4.1, (a, b, c)pd.
Lemma 4.5: If and ab = 0, then {a, b, c)pd.
Pr o o f: Let b’ be an inverse of be in b. Thus
(13) b = be + b', b'c = b'bc = 0.
Let P(a, b) and P(b} c) be perspective isomorphisms of L(0, a), L(0, b)
and L(0, b), L(0, c) respectively, and let av c1 be the images of be under
P(a, b), P(b, c), respectively, and a2, c2 the images of b' under P(a, b),
P(b, c) respectively. By the Corollary to Theorem 3.3, c1 = be. Also,
av a2 are inverses in a, and cx, e2, i.e., be, e2, are inverses in c, whence
(14) ax + a2 = a, axa2 = 0, be + c2 = c
and (ax, be, bc)pd by Corollary 2 to Definition 4.1, since a±~ be. Now
a2<—' b'r^j c2, and a2b' ab = 0, b'c2 ^ b'c = 0, so that a2b' = b'c2 = 0.
Hence by Lemma 4.4, (a2, b', c2)pd, and the Corollary to Lemma 4.1
applies by (13) and (14), yielding (a, b, c)pd.
Lemma 4.6: If b ~ c and be = 0, then (a, b, c)pd.
Pr o o f: By hypothesis, b ~ a, cb = 0, whence Lemma 4.5 applies,
and (c, b, a)pd. Thus (a, b, c)pd by Corollary 3 to Definition 4.1.
Th e o r e m 4.1: If a ~ b ~ c , then (a, b, c)pd.
Pr o o f: This follows from Lemma 4.6 in precisely the same manner
as Lemma 4.5 follows from Lemma 4.4.
Le m m a 4.7: If (a i = 0, • • •, n) is a finite sequence such that
ai-1~ ai (i »), a0an = 0, then a0~ an.
Pr o o f: The lemma is obvious for n = 0, 1. Let m ^ 1 and suppose th at
it is true for » = 1, • • •, m. Then consider a sequence (a0, • • *, am+1) of

48. 30 PART I • CHAPTER IV
m + 2 terms satisfying the hypotheses. Since a0 ~ ax ~ a2, we have by
Theorem 4.1 that (a0, av a2)pd. Hence a0, alf a2 are expressible in the form
«.• = 2 au (* = °> l > 2)>
l
where j = 1, 2, • • •) JL for i = 0, 1, 2, and
(15) aoj~ ai ^oj (/ = 1, 2, • • •)•
Thus if w = 1, a0 and am+1 are expressed as the sums of independent
sequences, corresponding terms of the sequences being perspective.
Suppose m > 1 and let P { be a perspective isomorphism of L (0, a{) and
L(0, ai+1) (i — 2, • • •, m). The independent elements a2j ^ a2 are thus
mapped by P 2 into independent elements azj ^ az, which in turn are
mapped by P z into independent elements azj 5^ az, etc.; finally, the
ami ^ am are mapped by Pm into am+M ^ aw+1. Hence (a*,; / = 1, 2, • • •) _L
(i = 3, • • •, w + 1), and we have
o o
= 2 (* = 3, • • •, w + 1).
1 = 1
Moreover,
(16) azj~ • • • ~ (/ = 1, 2, • • •)•
But by (15), an(i we may compress (16) into
(!7) a2, ~ ~ *«+m (/ = 1, 2, • • •);
obviously am+i,j ^ aoam+i — Hence the induction hypothesis applies
to the sequences of length m in (17), and we may conclude aoj~ am+l j .
Therefore, in the case m > 1 also, a0 and am+1 are expressed as sums of
independent sequences with corresponding pairs of terms perspective.
Since
o o o o
2 a0i 2 am+l,i “ aQam+l —
1 = 1 1 = 1
the combined system (a01, a02, • • •, am+l lf am+12, • • •) is independent, and
a0~ am+1 by Theorem 3.6. This completes the induction.
Theorem 4.2: If ab = 0, then a & b if and only if b.
P roof: It has already been noted (Corollary 2, Definition 3.5) that
a ~ b implies a ?&b. Suppose a & b. Then there is a sequence (a0, • • •, an)
with a0 = a, an = b, a,_i~ a* (i = 1, • • •, n). Since a0an = 0, we have
by Lemma 4.7, a0~ a n, i.e., a~b.
Theorem 4.3: Let (a*; i — 1, 2, • • •) be an infinite independent sequence.
If for every i — 1, 2, • • •, a{ ai+lt then each = 0.

49. PERSPECTIVITY BY DECOMPOSITION
Pr o o f: Clearly the pair (ait ai+1) is independent, whence atai+1 = 0
(i = 1, 2, • • •)• Therefore by Theorem 4.2, ai+1 for i = 1, 2, • • *,
and by Theorem 3.8 each = 0.
Th e o r e m 4.4: If a & b, a ^ b, then a = b.
Proof: Define b[ = a ^ b , and let bx be an inverse of b[ in b. If P
is a projective isomorphism of L(0, a) and L(0, b), we obtain images
av ax in L(0, a) of ^ under P . If a<f bit b\ have been defined, put
( a ) ^*+1 = &i* bi+1 = ai>
and let ai+1, aM be the images of bi+1, b'i+1 under P in L(0, b). Thus there
are defined four infinite sequences (a*; i = 1, 2, • • •), (bt), (a'.; i = 0, 1, • • •),
(b't), which have the following properties:
(b) at is inverse to a[ in a\_x (a'0 = a),
b{ is inverse to b\ in b (6' = b) (i = 1, 2, • • •),
(c) & bit a[ & b[ (i = 1, 2, • • •).
From (b) we conclude immediately
= 0, bM £b'i9 b'M ^ b ' (i = 1, 2, • • •).
But these conditions imply (b i = 1, 2, • • •) J_ by Lemma 4.2. Now by
(c) and (a) we have b{ & a{ = bi+1 (i = 1, 2, • • •). Hence by Theorem 4.3,
b{ = 0 (i = 1, 2, • • •). In particular, bx = 0. Since bt is an inverse of a
in 6, a = b + bx = b.

50. PART I • CHAPTER V
Distributivity, Equivalence of
Perspectivity and Projectivity
De f in it io n 5.1:
a) (a, bt c)D means
(1) (a + b)c — ac + bc\
b) (a, b)D means {a, b, c)D for every c in L, i.e., (1) holds for every
choice of c;
c) (a)D means (a, b)D for every b, i.e., (1) holds for every choice
of b, c.
C o r o lla r y : {a, 6, c)D is equivalent to (b, a, c)D; (a, 6)Z> is equivalent
to (b, a)D.
T h eo r em 5.1: The relations D defined in Definition 5.1 are self-dual
and symmetric.
P r o o f: It suffices to prove the theorem for the ternary relation D
defined in part a), since it then automatically follows for the binary and
unary relations of b) and c). Let D' be the dual relation to the ternary
relation D, so that (a, b, c)D' in case ab + c = (a + c)(b + c). It will
first be shown that (a, b, c)D implies (b, c, a)D’. Suppose (a, b, c)D, i.e.,
that (1) holds. Then
(b + a)(c + a) = a + (a + b)c (by IV)
= a + ac + be
= a -(- be,
whence (&, c, a)D \ Dually, (a, b, c)D' implies (b, c, a)D. Hence from a
statement of the form (a, b, c)D or (a, b, c)D' we may infer one obtained
by simultaneously interchanging D and U and performing the cyclic
permutation of the letters which replaces each letter by its right neighbor.
Hence, by three applications of this principle,
(2) (a, bt c)D (b, cf a)D‘ -> (c, a, b)D -> (a, b, c)D'.
From (2) we may conclude that D is self-dual, since (a, b, c)D implies
(a, b, c)D', and hence by duality (a, b, c)D' implies (a, b, c)D. We have
V2]

51. PERSPECTIVITY AND PROJECTIVITY: EQUIVALENCE 33
also from (2) that (a, b, c)D implies (c, a, b)D; this states that a statem ent
of the form (a, b, c)D implies the statement obtained from it by performing
the cyclic permutation on the letters which replaces each letter by its
left neighbor. By this result and the Corollary to Definition 5.1, we have
{a, b, c)D^(c, a, b)D-+(b, c, a)D^(c, b, a)D->(a, c, b)D->(b, a, c)D^(a, b, c)D,
which proves the symmetry of D.
Tacit use of Theorem 5.1 will be made constantly in the sequel, the
frequency of its application prohibiting references to it.
In the discussion of Axiom VI in Chapter I, it was seen (Theorem 1.5)
that this axiom is equivalent to a property which resembles algebraic
irreducibility. Since this notion and the accompanying notion of direct
sum are vital in what follows, we shall give at this point precise definitions
of them.
De f i n i t i o n 5.2: The lattice L is said to be the direct sum of L(0, a) and
L(0, b) (L — L(0, a) © L(0, b)) in case ab = 0 and each element x of L
is expressible in the form x = u + v, with u ^ a, v ^ b. We shall say that
L is reducible if there exist elements a, b, both distinct from 0, 1, such
th at L = L(0, a) ©L(0, b), and irreducible if it is not reducible. Ir­
reducibility is the property denoted in Chapter I by J .
Co r o l l a r y: If L = L(0, a) ©L(0, b), then
(a) a b — 1, and
(b) each element x is expressible uniquely in the form x — u + v,
u ^ a , v ^ b; in fact u — ax, v — bx.
Pr o o f: (a) Since 1 is of the form u + v, we have 1 ~ u + v^a-\-b,
whence a + b = 1. (b) See Lemma 1.2.
Th e o r e m 5.2: L — L(0, a) ©Z,(0, b) if and only if a is inverse to b
and (a, b)D.
Pr o o f: By Definition 5.2, L = L(0, a) © L(0, b) implies ab = 0,
a + b = 1 and x = u + v = ax + bx for every x. Hence x = 1 • x =
— (a + b)x = ax + bx and (a, b)D. Conversely, let ab = 0, a + b = 1,
{a + b)x — ax + bx for each x. Then x — ax + bx — u + v, with
u = ax ^ a, v = bx fg b.
Th e o r e m 5.3: The following statements are equivalent to each other:
(a) a has an inverse b, for which (a, b)D.
(b) a has a unique inverse.
(c) (a)D.

52. 34 PART I • CHAPTER V
Pr o o f: We prove that {a) (6), and that (a) ^ (c).
(а) -> (6): See Theorem 5.2 and Lemma 1.2.
(б) -> (a): See Theorems 1.5 and 5.2.
(a) (c): By Theorem 5.2, L = L(0, a) © L (0, 6). Hence for every
x, y, x — u + v, y = ux + vv with u, ux fg a and v, vx b. Consequently
x + y = (u + Ui)-\~(v + ^i)> where u + ux ^ a and v + vx ^ b. Thus
by Lemma 1.2 (or by the Corollary to Definition 5.2), u = ax, ux = ay,
u + ux — a(x + y), and therefore a(x -f y) = ax + ay. This proves (a)D.
(c) -> (a): Let b be an inverse of a. Since (a)D, therefore (a, b)D.
Th e o r e m 5.4: If (a)D, (b)D, and if a' is the unique inverse of a, then
(a + b)D, (ab)D and (a')D.
Pr o o f: ab(x y) = a(bx - f by) = abx + &by, whence (ab)D. By
duality (a + b)D. The inverse a' of a is unique by Theorem 5.3, (b), (c),
and both (a)D and (<a')D are equivalent to (a, a')D by Theorem 5.3,
(a), (c).
By Theorem 5.4 we see that the set of all elements x such that (x)D
forms a Boolean algebra D. Axiom VI states that D consists of the elements
0, 1 alone. Although we shall devote our attention to systems in which VI
is satisfied, one might study systems in which VI fails, the essential
difficulties arising from the fact that the algebra D is considerably more
complicated. (For such a discussion of systems in which VI fails, see Part
III of these Notes - Ed.)
Th e o r e m 5.5: Suppose ab = 0. If (a, b)D is false, (i.e. if not (a, b)D)
then there exist elements av bv both different from 0, such that ax a,
bx ^ b and ax ~ bv
Pr o o f: The denial of (a, b)D states that there exists an element x such
that
(3) x(a + b) ^ xa + xb.
Now xa ^ x(a + b), xb fg x(a + b), whence xa + xb ?g x(a + b), and
therefore xa xb < x(a + b) by (3). Hence if u is an inverse of xa + xb
in x{a-\-b), th enu ^ 0 . Now u^x{a+b) f^a+b,din& uaf^x- a{a-\-b) = x a.
Thus ua = ua • xa = u * xa ^ u(xa + xb) = 0; similarly ub = 0. Now
define
ax = a(u + b) gj a, bx = b(u + a) ^ b .
Then axu :g au = 0, bxu ^ b u = 0, and
ax + u = a(u + b) + u
= (u + a)(u + b) (by IV);

53. similarly bx + u = (u + a)(u + 6). Therefore
bx + u = ax + u, axu = bxu = 0,
and ax ~ bx by Theorem 3.1. Suppose now ax = 0. Then (a + 0) [b + u) = 0,
and Theorem 1.2 applies, yielding
u — (a + b) (0 + u) = a • 0 + bu = 0 + 0 = 0,
contrary to u + 0. Hence ax + 0, and bx + 0 similarly. This completes
the proof.
Theorem 5.6: If (a, b)D , a' ^ a, b' 6, a' - ab = b' - ab = 0, then
(a', 6')Z), a '6' - 0.
Pr o o f: By hypothesis, a' a; therefore a'b = a'ab = 0. Similarly,
b' ^ 6, Pa = b'ba = 0. Now for every x
(<a' + P)z = (a + 6) (a' + b')x =
— a (a' + b')x + 6(a' + b')x (since (a, b)D)
= (af + aV)x + (V + ba')x (by IV)
= a'x + b'x,
and hence (a', b')D. Moreover, a'b' ^ a'b = 0.
Theorem 5.7: (a, &)D, a& = 0 if and only if
(4) ax ^ a, bx ^ 6, ax ~ 6j_ implies ax = bx = 0.
Pro o f: First suppose that (4) holds. Then ax = bx = ab is effective
in the hypothesis of (4), and hence ab = 0. If (a, b)D is false, then by
Theorem 5.5 there exist ax, bx such that ax, bx + 0, ax a, bx ^ b, ax~ bx.
But this is the denial of (4), whence (a, b)D.
Conversely, let ab = 0, {a, b)D, and ax ^ a, bx ^ b, ax~ bx. Then by
Theorem 3.1 there exists x such that
ax + x — bx + x = ax + bx> axx = bxx — 0.
Hence x ax + bx, and (ax, bx)D by Theorem 5.6. Thus
x = x(ax + 6X) = xax + xbx = 0 + 0 = 0.
Then ax = bx ^ ab = 0, so ax — bx — 0.
Corollary: (a, b)D, ab = 0 if and only if
(5) ax ^ a, bx b, ax bx implies ax = bx = 0.
Pro o f: The forward implication is evident since if ab = 0, then also
PERSPECTIVITY AND PROJECTIVITY: EQUIVALENCE 35

54. 36 PART I • CHAPTER V
a1b1 = 0, and ax bx implies ax ~ bx by Theorem 4.2, whence Theorem
5.7 applies, yielding ax = bx = 0. Conversely (5) imphes (4) and hence
implies (a, b)D, ab = 0, by Theorem 5.7.
We are now in a position to clarify to some extent the motivation of
the present discussion. Since this theory is similar to the theory of sets,
one would expect in it an analogue of the theory of comparability. It is
natural in the light of Theorem 4.4, which states that a ^ b & a implies
a = b, to define a < b as the existence of b' such that a & b' < b. (The
corresponding relation in set theory is “a has smaller power than b”.)
One expects the relations a<b, a ^ b, & < a to be exhaustive. This
matter is, however, closely connected with the question of irreducibility,
as is seen by the following consideration. Suppose that L is reducible,
i.e., is a direct sum L (0, a) ©Z,(0, b), a =£ 0, b ^ 0. Then by Theorem 5.2,
(a, b)D, and ax ^ a, bx ^ b, ax bx imphes ax = bx = 0 by the Corollary
to Theorem 5.7. If now a < b, there exists bx^ b with a & bv and
a = bx = 0, which is impossible. Similarly neither a b nor b < a
holds. This shows that Axiom VI must hold if comparability holds. The
converse to this, viz., that VI imphes comparabihty, is one of the essential
results to be obtained at the end of the present chapter.
L e m m a 5.1: If {av b)D, (a2, b)D, axb = a2b = 0, then (ax + a2, b)D
and (ax + a2)b = 0.
P r o o f : For every x
(ax + a2 + x)b = axb + (a2 + x)b (since (av b)D)
= axb + a2b + xb (since (a2, b)D)
= K + &2)b + xb (since {a2> b)D).
Hence (ax + a2, b)D. Clearly (ax + a2)b = axb + a2b = 0.
L e m m a 5.2: Let Q be any ordinal and (aa; a < Q) a system such
that a < ft imphes aa ^ aIf
(aa> b)D, aab = 0 (a < Q )f
then
(hm* aa, b)D, (hm* aa)b = 0.
a — ► O oc—yQ
Pr o o f:
(lim* aa)b = lim* baa (by III2)
a—+Q a-~+Q
= hm* 0 = 0.
a-+Q

55. Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

56. Se on juuri tällaista luokkaa, jotka tunnustavat olevansa kristittyjä,
jota apostoli tarkottaa, sanoessaan: "Viimeisinä päivinä
[evankelikauden viimeisinä vuosina — elonkorjuuaikana] tulee
pilkkaajoita, jotka vaeltavat omien himojensa [suunnitelmiensa,
tieteisoppiensa j.n.e.] mukaan sanomaan: 'Missä on lupaus hänen
parusiastansa [läsnäolostansa]? Sillä onhan siitä asti, kun isät
nukkuivat pois, kaikki pysynyt niinkuin se on ollut luomisesta
alkaen'." Kun heitä muistutetaan Herramme lausunnosta (Matt. 24:
37—39; Luuk. 17: 26), että hänen päivinään, hänen läsnäolonsa
päivinä kaikki menisi entistä menoaan; ja että, niinkuin Noan aikana,
ihmiset söisivät, joisivat, naisivat, istuttaisivat ja rakentaisivat; ja
että, niinkuin silloin, maailma ei tietäisi hänen läsnäolostansa, eikä
ymmärtäisi lukea niiden suurien ja pian tapahtuvien muutoksien
merkkejä, jotka ovat kynnyksellä, on heillä liian suuri kiire
ottaakseen todistus huolellisen tarkastuksen alaiseksi ja jatkavat
pilkkaamista.
Ah, sanoo Pietari, he unohtavat sen suuren muutoksen, joka
tapahtui Noan päivinä; ja sitten kuvailee hän tulella sitä valtaavan
ahdistuksen hyökyaaltoa, joka pian on vyöryvä koko maailman yli ja
perinpohjin kaatava kumoon kaikki maalliset ja kirkolliset hallitukset
[taivaat] saaden koko yhteiskuntarakennuksen [maan] sulamaan —
ja jättäen jälkeensä anarkiiaa ja yhteiskunnallista sekasortoa, jota on
kestävä kunnes uudet taivaat [uusi hallitusvalta — Jumalan
valtakunta] ovat täydellisesti pystytetyt, samoin kuin uusi maa [uusi
yhteiskunta järjestettynä uudelle ja paremmalle, rakkauden ja tasa-
arvoisuuden oikeudenmukaiselle perustukselle]. Apostoli huomauttaa
sitten (värssy 8) että tämä Herran läsnäolon päivä, jota Seurakunta
niin kauvan on toivonut ja odottanut, on tuhatta vuotta kestävä
päivä — Kristuksen hallituksen tuhatvuotiskausi.

57. 10:ssä värssyssä vakuuttaa hän meille, että "Herran päivä on
tuleva [kreik. heko] niinkuin varas" [huomaamatta, salaa; se tulee
olemaan läsnä toisten pilkatessa ja lyödessä niitä kanssapalvelijoita,
jotka ilmottavat totuuden]. Apostoli kehottaa sen jälkeen pyhiä
pysymään erillään maailmasta; ettei politiikka, rahanansio j.n.e. saisi
niellä heitä, vaan että he kiinnittäisivät pyrkimyksensä korkeampiin
asioihin. Hän sanoo: "Kun nyt Jumalan suunnitelman mukaisesti
nykyiset maalliset suhteet ovat ainoastaan hetkellisiä ja tulevat pian
antamaan tilaa paremmalle järjestykselle, millaisia tuleekaan meidän
olla, kaikessa pyhässä vaelluksessa ja jumalisuudessa? odottaen
[engl. Raam. tarkastaen] Jumalan päivän läsnäoloa [parusiaa]" —
etsien todistuksia (merkkejä) siitä, että hän on tullut.
Ja, kiitetty olkoon Jumala, hän on niin yltäkyllin pitänyt huolta
meistä, että kaikki hurskaat, jotka odottavat sitä päivää, tulevat
tietämään siitä ennenkuin vihan tuli täydellisesti puhkeaa. Paavalin
kautta vakuuttaa hän meille, ettei ketään valon lapsista jätetä
pimeyteen, niin että se päivä tulisi heidän ylitsensä äkkiarvaamatta.
(1 Tess. 5: 4.) Me näemme siis vaikka jo olemmekin Herran
läsnäolon päivässä ja suuren hädän tulen alussa, että tulee käymään
kuten kuvauksellisesti on näytetty (Hm. 7: 1—3.) Myrskyä pidetään
aisoissa, kunnes Jumalan uskollisten lasten "otsaan on painettu
leima", s.o. kunnes nämä ovat olleet tilaisuudessa saamaan selvän ja
oikean käsityksen ajasta, läsnäolosta y.m., joka ei ainoastaan tule
antamaan heille lohdutusta, ja olemaan heille suojana, vaan tulee
myös olemaan tunnusmerkkinä, leimana eli todistuksena heidän
lapseudestansa, johon Herramme viittasi, kun hän lupasi, että pyhä
Henki uskollisille "tulevaiset ilmottaisi" — Joh. 16: 13.
Muutamat käsittävät kirjaimellisesti Pietarin lausunnon, että
"taivaat hehkuen hajoavat ja katoavat ryskeellä", samoinkuin

58. apostoli Johanneksen kertomuksen Ilmestyskirjassa samasta
tapauksesta, samantapaisella kuvauksella: "Taivas poistui niinkuin
kirja, jota kääritään kokoon." Luulisi kumminkin yhden ainoan
silmäyksen ylöspäin tuhansiin tuikkiviin tähtiin, jotka loistavat
miljoonien peninkulmien avaruudessa, pelkkää tyhjyyttä välillänsä,
jota ei voi kääriä kokoon eikä sytyttää tuleen, tuokiossa todistavan
tarpeeksi vakuuttavasti sellaiselle, että ovat erehtyneet, kun pitävät
näitä lausuntoja kirjaimellisina — vakuuttaen heitä, että heidän
odotuksensa kirjaimellisesta täyttymisestä on aivan mahdoton.
Siten on Jumala pitänyt salassa ihmiskunnalta, pasuunien, äänien,
tulen y.m. kuvien kautta, tiedon (joka ei ollut aijottu
maailmallismielisille, vaan ainoastaan vihkiytyneiden pyhien "pienelle
laumalle") elonkorjuusta, Herran läsnäolosta, hänen hengellisestä
valtakunnastansa j.n.e.; ja kumminkin järjesti hän ne niin, että ne,
kun aika tulisi, tulisivat puhumaan selvästi ja painavasti sille luokalle,
jolle hän tämän tiedon oli aikonut. Ja samoin kuin ensimäisessä
tulemisessa, saatetaan nytkin sanoa samanlaiselle vihkiytyneelle
luokalle toisen tulemisen aikana: "Teille Jumalan valtakunnan
salaisuus on annettu, mutta noille ulkopuolella oleville kaikki tulee
vertauksissa — kuvauksissa ja himmeissä lauseissa — jotta, vaikka
onkin Raamattu edessänsä, sitä ei muut kuin vihkiytyneet todellisesti
voisi nähdä ja ymmärtää." — Mark. 4: 11, 12.
Maailma ei ole tietämätön niistä ennen kuulumattomista seikoista
ja tapauksista, joita nykyaikana tapahtuu, ja niiden enentyvästä
merkillisyydestä vuosi vuodelta; mutta kun he eivät näe tuota
suuremmoista päämäärää, täyttää tämä kaikki vaan heidän mielensä
synkillä aavistuksilla tulevasta pahasta. Niinkuin oli ennustettu, ovat
he peloissansa, odottaen sitä, joka on tuleva maailman yli; sillä nyt
jo ovat taivaan vallat (nykyiset hallitsevat vallat) alkaneet järkkyä.

59. Profeetallisen ketjun yhdistäminen.
Edellisessä luvussa esitimme todistuksia, joista ilmeni, että
"pakanain ajat", tahi heidän valtuutensa, tulevat täydellisesti
päättymään kohta v:n 1914 jälkeen, ja että ne kaikki silloin ovat
kukistuneet ja Kristuksen valtakunta kokonaan pystytetty. Siten on
selvästi määrätty, että Herran on oltava läsnä ja pystytettävä
valtakuntansa sekä käytettävä suurta valtaansa musertaakseen
kansoja kuten saviastioita; sillä "näiden kuninkaiden päivinä" —
ennen heidän kukistumistansa — s.o. ennen vuotta 1914 — on
taivaan Jumala pystyttävä valtakuntansa. Ja se on musertava ja
hävittävä kaikki muut. (Dan. 2: 44.) Ja yhtäpitävästi tämän kanssa
näemme ympärillämme todistuksia siitä, että nykyisten hallitusten
lyöminen, järkyttäminen ja kukistaminen on alkanut, valmistuksena
sen valtakunnan pystyttämiselle — vahvalle hallitukselle — "joka ei
voi järkkyä."
Seuraavassa luvussa esitetään Raamatun todistus siitä, että 1874
oli Ennalleenasettamisaikojen alkamisen ja siis Herramme
palaamisen oikea vuosi. Siitä vuodesta alkaen on hän toteuttanut
lupauksensa niille, jotka ovat oikeassa valvomistilassa: — "Autuaat
ovat nuo palvelijat, jotka heidän Herransa tullessaan, tapaa
valvomasta; totisesti sanon teille: hän vyöttäytyy ja asettaa heidät
aterioitsemaan ja menee ja palvelee heitä." (Luuk. 12: 37.) Niin, hän
on aukaissut meille kirjotukset, osottaen meille totuuden nykyisestä
ihanasta luonteestaan, hänen tulemisensa tarkotuksen, tavan ja ajan
sekä hänen ilmestymisensä luonteen uskon huonekunnalle ja
maailmalle. Hän on kiinnittänyt huomiomme niihin ennustuksiin,
jotka selvästi antavat meidän tietää, millä kohdalla nykyään olemme
ajan virralla, ja näyttänyt meille järjestyksen työsuunnitelmassaan

60. tänä elonkorjuun aikana. Hän on ensi sijassa näyttänyt meille, että
nyt on pyhien korjuu, aika heidän täydelliselle kypsymisellensä ja
heidän erottamisellensa lusteista, ja toiseksi, että nyt on aika maan
viinipuun kypsymiselle ennenkuin sen hedelmä poljetaan Jumalan
Kaikkivaltiaan vihan viinikuurnassa. — Ilm. 14: 1—4, 18—20.
Mutta vaikka lukijalle näin ilmotetaan, mitä seuraavassa luvussa
tullaan todistamaan, ei hänen tule odottaa saavansa nähdä sellaisia
raamatunpaikkoja, joissa nämä asiat ja vuosiluvut ovat selvästi
kirjotetut. Päinvastoin on hänen muistettava, että kaiken tämän on
Herra salannut sellaisella tavalla, ettei sitä ole voitu ymmärtää tai
oikein käsittää, ennenkuin oikea aika oli tullut, ja silloinkin
ainoastaan voivat sen ymmärtää hänen vakavat, uskolliset lapsensa,
jotka pitävät totuutta rubiineja kalliimpana, ja jotka ovat halukkaat
etsimään sitä, niinkuin hopeata etsitään. Totuutta on, hopean lailla,
ei ainoastaan kaivettava kaivoksesta, vaan myös puhdistettava,
erotettava kuonasta, ennenkuin sen arvoa saatetaan käsittää. Se,
mitä tässä muutamalla sanalla mainitaan, tulee kohta kohdaltaan
todistettavaksi; ja joskin monet tulevat uskomaan tiedonantojamme
vaivaamatta itseään hakemalla todisteluja Raamatusta, niin ei
todellinen totuuden etsijä tule sitä tekemään. Hänen tulee, mikäli
mahdollista, tehdä jokaisen kohdan, jokaisen johtopäätöksen,
jokaisen todistuksen omakseen, suoraan Jumalan Sanasta, etsimällä
kaikki yhdistyspaikat, ja siten on hänen tultava vakuutetuksi esitetyn
asian todenmukaisuudesta.
Vaikka Herramme hankkii ja palvelijat kantavat esille sitä, jota
sanotaan "ruokaa ajallansa palvelusväellensä" [uskon
huonekunnalle], on kumminkin jokaisen, vahvistuakseen siitä,
syötävä omasta puolestansa.

61. KUUDES LUKU.
MAAN SUURI RIEMUVUOSI.
Mooseksen ennustamat "ajat, jolloin kaikki ennalleenasetetaan".
— Vuosiluku niiden alkamiselle ilmaistu. — Ne eivät voi alkaa
ennenkuin suuri Ennalleenasettaja on tullut. — Todistuksia laista. —
Vakuuttavia totuuksia profeetoista. — Johdonmukaisia
johtopäätöksiä niistä, yksitellen ja yhteisesti tarkastettuina. —
Nykyisten merkkien yhtäpitäväisyys näiden kanssa.
Totisesti sanon teille: kunnes taivas ja maa katoavat, ei
pienintäkään kirjainta eikä yhtäkään piirtoa katoa laista,
ennenkuin kaikki on tapahtunut. — Matt. 5: 18.
Ainoastaan silloin, kun me näemme tyypillisen tahi
esikuvauksellisen luonteen Jumalan menettelytavassa Israelin
suhteen, voimme saada oikean käsityksen tämän kansan
merkillisestä historiasta, tahi ymmärtää, miksi profeetat ja Uuden
Testamentin kirjailijat ovat panneet muistiin heidän historiansa
tarkemmin kuin kaikkien muiden kansojen. Niissä on Jumala,
niinkuin Uuden Testamentin kirjailijat ovat osottaneet, antanut
sattuvia valaistuksia suunnitelmistaan sekä Seurakunnan että

62. maailman suhteen. Heidän Tabernaakelijumalanpalveluksensa, joka
oli niin tarkasti määrätty jumalallisesti annetussa laissa,
vertavuotavine uhrieläimineen ja kaikkine omituisine määräyksineen,
heidän juhlansa ja pyhäpäivänsä, heidän sabbattinsa ja kaikki heidän
uskonnolliset menonsa, osottavat esikuvina niitä vastaaviin paljon
suurempiin todellisuuksiin (antityyppeihin), jotka olivat korkeampia
ja suuremmoisempia kuin nämä varjot. Ja apostoli Paavali vakuuttaa
meille, että nämä vastakuvat (antityypit) tulevat olemaan täynnä
siunausta ihmissuvulle, kun hän sanoo, että laki on vain "tulevan
hyvän" varjo (Hebr. 10: 1; 8: 5; Koi. 2: 17); Herramme vakuuttaessa
meille yllämainituissa lauseissa, että kaikki se hyvä, jota esikuvataan,
varmasti tulee täyttymään.
Kumminkin on meidän, tutkistellessamme esikuvia, huolellisesti
harkittava sitä erehdystä, jonka useat hyväntahtoiset henkilöt
tekevät, jotka, nähdessään Raamatussa olevan merkillisiä esikuvia,
menevät niin pitkälle, että he käsittelevät jokaista luonnetta ja
tapausta Raamatussa esikuvauksellisena joutuen siten väärälle tolalle
pelkästä uteliaisuudesta ja kekseliäisyydestä. Me emme rakenna niin
epävarmalle perustukselle, kun tutkimme juutalaisen lain menoja,
jotka erityisesti ovat annetut esikuviksi ja apostolitkin ovat ne
sellaisiksi selittäneet. Emme voikaan sivuuttaa näitä esikuvia
omistamatta niille tarpeellista huomiota ja huolellisesti tutkimatta,
mitä ne opettavat. Vielä vähemmin voimme omistaa aikaa
aprikoimisiin tahi uskomme rakentamiseen pelkille arveluille.
Kun Herramme sanoi, ettei ainoakaan kirjain tahi piirre laista
häviäisi, kunnes se tulisi täytetyksi, niin ei hän ainoastaan
tarkottanut liittovelvollisuuksien täyttämistä, jotka kuuluivat kaikille
niille, jotka olivat tämän lakiliiton alaisia, ja jonka täyttymyksen hän
itse suoritti antamalla oman henkensä heidän edestänsä, vaan hän

63. tarkotti jotakin enemmän: hän tarkotti sen lisäksi, että kaikki ne
siunaukset, jotka siinä olivat esikuvauksellisesti lausutut, tulisivat
myös varmasti täytetyiksi niiden vastakuvissa.
Kaikissa juutalaisissa menoissa, ei Jumala ole antanut ilmaista
ainoatakaan tarkotuksetonta esikuvaa tahi sellaista, joka häviäisi
täyttymättä; ja kaikkien näiden esikuvien pitäminen, suorittaminen
jatkui, kunnes niiden täyttäminen ainakin oli alkanut. Kaikkia esikuvia
täytyi alituisesti uudistaa, kunnes vastakuva tuli näkyviin; sillä
esikuvan pitäminen ei ole sama kuin sen täyttäminen. Täyttäminen
saavutetaan, kun esikuva lakkaa, todellisuuden, vastakuvan
korvatessa sitä.
Niin tuli esimerkiksi passah-karitsan teurastaminen täytetyksi
Kristuksen, "Jumalan Karitsan" kuolemassa, ja sen kautta alkoi
erityinen siunaus vastakuvauksellisille esikoisille, evankelikauden
uskovaisille. Se siunaus, jota tämä esikuva kuvaa, ei ole vielä
täydellisesti täyttynyt, vaikka sen täyttyminen alkoi Kristuksen,
meidän Pääsiäislampaamme kuolemalla. Sillä tavalla näyttäytyy
jokainen laissa määrätty meno olevan täynnä esikuvauksellista
merkitystä. Se tarkkuus, jolla jokainen esikuvien yksityiskohta oli
suoritettava koko juutalaisena aikana, antaa täyden merkityksen
Herramme ylempänä lainatuille sanoille — että jokainen pieni
asianhaara, jokainen piirre ja kirjain, on yhtä tarkasti täytettävä, kuin
se oli huolellisesti pidettävä lain menoissa.
Tässä luvussa aijomme tutkia sitä esikuvallista piirrettä Mooseksen
laissa, joka on tunnettu riemuvuoden nimellä, ja näyttää, että se oli
aijottu esikuvaamaan suurta ennalleenasettamista, ihmissuvun
nostamista lankeemuksesta, joka tulee toimitettavaksi
tuhatvuotiskautena; että se rakenteeltaan oli valaistuksena tulevalle

64. ennalleenasettamiselle ja että se siinä tavassa, jolla aika sen
pitämiselle määrättiin, antaa ohjeita profeetallisen ajan laskemiselle,
joka, kun se oikein ymmärretään ja sovellutetaan, selvästi ilmaisee
ajan vastakuvan alkamiselle, ennalleenasettamiselle. — Apt. 3: 19—
21.
Koska riemuvuosi oli osa laista ja koska sen uudistaminen tahi
pitäminen ei täytä sitä, ja koska Herramme selitti, ettei esikuva
voinut hävitä täyttymättä, ja sitäpaitsi, koska tiedämme, ettei
sellaista, kaiken ennalleenasettamista, jota on ennustettu "kaikkien
pyhien profeettojen suun kautta maailman alusta" ja jota
riemuvuodella esikuvattiin, vielä ole tapahtunut, niin tiedämme, että
se tulevaisuudessa on täyttyvä.
Israelin Riemuvuosi.
Riemuvuosi oli levon ja virkistyksen sabbatti sekä kansalle että
maalle, jonka Jumala heille antoi. Se oli tärkein sabbattien eli
lepoaikojen jaksossa. [Sana "sabbat" merkitsee lepoa.] Heillä oli
sabbatti-päivä joka seitsemäs päivä; ja kerran vuodessa saavuttivat
nämä esikuvaukselliset sabbatit klimaksin — s.o. seitsemää tällaisen
sabbatin jaksoa, jotka siten tekivät yhteensä
neljäkymmentäyhdeksän päiväisen aikakauden (7X7=49) seurasi
Riemupäivä, viideskymmenes päivä (3 Moos. 23: 15, 16),
juutalaisten kesken tunnettu helluntain nimellä. Se oli ilon ja
kiitoksen päivä.
Sabbatti-vuosi sattui joka seitsemäs vuosi. Sinä vuonna sallittiin
maan levätä, eikä mitään laihoja saatu kylvää. Näiden sabbatti-

65. [lepo-] vuosien klimaks saavutettiin samalla tavalla kuin helluntai
tahi viideskymmenes sabbatti-päivä. Seitsemän sabbattivuotta,
käsittäen seitsemän kertaa seitsemän vuotta tahi
neljäkymmentäyhdeksän vuotta (7X7=49) tekivät yhden
sabbattivuosijakson, ja sitä seuraava vuosi, viideskymmenes vuosi oli
Riemuvuosi.
Tarkastakaamme nyt, mitä Raamattu kertoo siitä ja
huomatkaamme, miten sopivasti se kuvaa suurta
ennalleenasettamisvuosituhatta.
Kun Israelin lapset tulivat Kaanaaseen, jaettiin maa heidän kesken
arvan kautta heidän heimojensa ja sukujensa mukaan. Senjälkeen
saattoi menestys enentää, tahi vastoinkäyminen vähentää heidän
yksityistä omaisuuttaan, miten aina sattui. Jos joku henkilö
velkaantui, saattoi hän tulla pakotetuksi myymään osansa, jopa koko
omaisuutensakin ja perheineen menemään orjuuteen. Mutta Jumala
piti yltäkyllin huolta niistä, joille ei käynyt hyvin: hän piti huolta siitä,
etteivät sellaiset epäsuotuisat olosuhteet jatkuneet ainaisesti, vaan
että kaikki heidän keskinäiset asiansa — velat ja saatavat —
laskettiin ainoastaan Riemuvuoteen, jolloin kaikki vapautettiin
vanhoista velkasitoumuksista j.n.e. alkaakseen uudelleen seuraavaa
viisikymmenvuosikautta.
[Jotakuinkin samanlainen toimenpide konkurssilain yhteydessä on
huomattu sopivaksi meidän ajallemme ja maallemme (Amerika),
jossa siten on annettu tunnustusta samalle periaatteelle. Siitä ei
sentähden seuraa että velan kuolettaminen joka viideskymmenes
vuosi ja juutalainen muoto soveltuisivat paremmin meille kuin
nykyinen tapa; sillä juutalaisiin nähden, eivät aika, asianhaarat y.m.
erityisesti olleet heitä itseään, heidän hyötyään ja asioitaan varten,

66. vaan olivat ne erityisiä profeetallisia kuvauksia ja opetuksia, jotka
tarkoittivat Jumalan suunnitelmaa ja sen kehitystä tulevaisuudessa.]
Siten oli jokainen viideskymmenes vuosi, joka laskettiin heidän
tulostansa Kaanaaseen, israelilaisille riemuvuosi, ilon ja
ennalleenasettamisen aika, jolloin hajaantuneet perheet jälleen
yhdistettiin ja kadotetut kodit ja tilat annettiin takasin. Eipä ihmettä,
että sitä nimitettiin Riemuvuodeksi. Jos omaisuutta oli myyty velasta,
saattoi sellaista myymistä pitää kiinteimistön luovuttamisena
seuraavaksi Riemuvuodeksi; ja sen myymähinta riippui siitä, oliko
seuraava Riemuvuosi lähellä tahi kaukana.
Tästä lakimääräyksestä kerrotaan 3 Moos 25: 10—16 ja kuuluu
näin: "Ja teidän pitää sen viidennenkymmenennen vuoden
pyhittämän, ja julistaman vapautta maassa kaikille niille, jotka siinä
asuvat; sillä se on teidän Riemuvuotenne; silloin pitää kunkin
saaman takasin oman perintömaansa jokainen sukunsa
omaisuuden… Jos jotakin myöt lähimmäisellesi, taikka ostat jotakin
häneltä niin älköön toinen toistansa pettäkö. Vaan vuosien luvun
jälkeen Riemuvuodesta pitää sinun ostaman lähimmäiseltäsi, ja
vuodentulon jälkeen pitää hänen sinulle myömän. Jota useammat
vuodet ovat sitä enemmän korota hinta, mitä harvemmat vuodet
ovat sitä enemmän alenna hinta; sillä vuoden tulojen luvun jälkeen
myöpi hän sinulle."
Tämä järjestys, jonka Jumala antoi heille Mooseksen heidän
johtajansa ja esikuvauksellisen valittajan kautta, oli itsessään
siunattu asia, mutta se esikuvasi suurempaa siunausta, joka oli
Jumalalla mielessä — koko ihmiskunnan vapauttamista synnin
velasta ja sen ikeestä ja orjuudesta, Kristuksen meidän Herramme,
tuon suuren välittäjän ja Lunastajan kautta, jota Mooses esikuvasi.

67. (5 Moos 18: 15). Juuri tällä tavoin esikuvissa, Mooses kirjotti
Kristuksesta ja niistä siunauksista, jotka tulevat hänen kauttansa
(Joh. 5: 46; 1—46) — tuosta suuresta ennalleenasettamisesta ja
suuresta Riemuvuodesta, joka on tuleva koko katoavaisuuden ikeen
ja synnin orjuuden alla huokaavalle ihmissuvulle.
Jos varjo tuotti esikuvaukselliselle kansalle onnea ja iloa, niin on
todellisuus, todellinen ennalleenasettaminen tuottava ääretöntä
riemua ja on todellisesti tuleva ihanaksi Riemuvuodeksi kaikelle
kansalle — koko maailmalle, Israel siihen luettuna, jota maailmaa
tämä kansa juuri esikuvasi, samoin kuin sen papisto Seurakuntaa
"kuninkaallista papistoa." Joskaan meillä ei olisi varmoja tietoja siitä,
että asia on niin, eikö olisi kyllin syytä olettaa, että sama ääretön
rakkaus, joka piti nuolta Israelin ajallisesta menestyksestä, tuosta
"uppiniskaisesta kansasta", paljon enemmän huolehtisi koko
maailman pysyväisestä menestyksestä, maailman, jota Jumala niin
rakasti, että hän lunasti sen, heidän vielä syntisinä ollessaan. Ja
tässä lienee paikallaan huomauttaa seikasta, jota myöhemmin
tarkemmin osotetaan, että niinkuin israelilaiset eräässä suhteessa
esikuvasivat uskovaisia evankelikautena, niin esittivät he toiselta
puolen katsoen, kaikkia, jotka tulevana aikakautena uskovat
Jumalaan ja jättäytyvät hänen johdettaviksensa. Ja juuri siinä
merkityksessä me nyt tarkastamme heitä. Heidän liittonsa, joka oli
vahvistettu härkäin ja kauristen verellä, esikuvasi uutta liittoa, joka
on vahvistettu parempien uhrien verellä, jossa maailman sovinto
tulevan ajan suhteen on aikaansaatava. Heidän sovintopäivänsä ja
syntiuhrinsa, esikuvasivat, vaikka olivatkin ainoastaan sille kansalle ja
sen syntien edestä, "parempia uhreja" ja todellista sovitusta "koko
maailman syntien edestä." Mutta huomaa, ettei Riemuvuosi ollut
Israelin papistolle joka esikuvasi (evankelista Seurakuntaa), vaan
ainoastaan yleiselle kansalle, sillä papisto ei saanut mitään

68. omaisuutta, eikä niinmuodoin voinut kadottaa mitään, eikä saada
mitään takasinkaan. Riemuvuosi oli koko kansalle, paitsi
pappisheimolle, eikä sentähden esikuvannut niitä siunauksia, jotka
tulevat Seurakunnan "Kuninkaallisen Papiston" osaksi, vaan
ennalleenasettamissiunauksia — maallisia siunauksia —, jotka, kun
aika on tullut, tulevat kaikkien niiden osaksi, jotka uskovat ja
seuraavat Jumalaa.
Se, mitä tämä esikuva opettaa, on täydellisesti yhtäpitävä sen
opetuksen kanssa, jonka saimme tutkiessamme Aikakausien
jumalallista suunnitelmaa. Se osottaa ilmeisesti "niitä aikoja, jolloin
kaikki asetetaan ennalleen ja joista Jumala on ammoisista ajoista
asti puhunut (engl. Raam. kaikkien) pyhien profeettain suun kautta."
Mooses oli yksi profeetoista; ja tässä puhuu hän erityisesti ihmisen
alkuperäisen tilan ja vapauden ennalleenasettamisesta, joka niin
kauvan on ollut kadoksissa, myytynä synnin alle. Esivanhempaimme
erehdyksestä kadotettiin kaikki: kaikki oikeudet menetettiin ja kaikki
tulivat Synti-tyrannin orjiksi ja olivat kykenemättömiä vapautumaan.
Katoavaisuuden orjuus — kuolema — on surkealla tavalla rikkonut
perhepiirin. Kiitetty olkoon Jumala luvatusta lunastajasta!
Riemuvuosi on kohta käsissä, ja pian saavat Kuoleman vangit ja
Synnin orjat jälleen alkuperäisen perintönsä maan — Jumalan lahjan
Jeesuksen Kristuksen, uuden liiton välittäjän ja vahvistajan kautta.
Vaikka esikuvauksellisena Riemuvuonna saatiin nauttia useista
vapauksista ja siunauksista heti, meni todennäköisesti suurin osa
vuodesta asioiden selvittelemiseen ennenkuin kaikki olivat saaneet
täydelleen takasin vapautensa, oikeutensa ja omaisuutensa. Niin
myös vastakuvassa, tuhatvuotisessa ennalleenasettamisajassa. Se
tulee alkamaan perinpohjaisilla uudistuksilla, tullaan huomaamaan
oikeuksia, vapautta ja omaisuuksia, jotka kauvan ovat olleet

69. kadonneina näkyvistä; mutta täydellinen kaiken sen
ennalleenasettaminen (tottelevaisille), joka alkujaan on ollut
kadotettu tulee vaatimaan koko tämän ennalleenasettamisajan —
tuhatta vuotta.
Varmaa on, ettei mitään Riemuvuoden vastakuvaa vielä ole ollut;
ja Herramme lausunnon perustuksella olemme myös yhtä varmat,
ettei esikuva saattanut hävitä täyttymättä: "Mutta pikemmin taivas ja
maa katoavat, kuin yksikään lain piirto häviää." (Luuk. 16: 17.) Mutta
näyttää siltä, kuin tämä paikka laista olisi hävinnyt. Totta on, että
esikuvaa, jota pidettiin säännöllisesti joka viideskymmenes vuosi, niin
kauvan kun israelilaiset olivat omassa maassaan, ei ole pidetty
Baabelin vankeuden jälkeen. Näyttää sentähden siltä kuin tämä
kohta laista olisi "hävinnyt" ilman edes täyttymisen alkuakaan. Mitä
meidän on sanottava tästä Herramme sanojen näennäisestä
ristiriitaisuudesta? Mutta onko todella niin? Tahi voidaanko löytää
Riemuvuoden vastakuvaa, joka alkaa siitä, missä viimeksi pidetty
esikuvallinen riemuvuosi päättyi? Kyllä, vastaamme; selvästi merkitty
vastakuva alkoi juuri siinä kohdassa ja suuremmassa ja
suuremmoisemmassa asteikossa, niinkuin vastakuvien laita on. Me
näemme todellisesta täyttymisestä, että esikuvaan sisältyivät jaksot
niin hyvin kuin Riemuvuodetkin, joihin ne kohosivat, ja että samaa
menettelytapaa (kertolaskua), jonka kautta esikuvauksellinen
Riemuvuosi saatiin selville, oli käytettävä laskiessa aikaa
vastakuvallekin — maan suurelle Riemuvuodelle. Kun viimeinen
esikuvauksellinen Riemuvuosi oli pidetty ja päättynyt, alkoi se suuri
jakso kulua, jonka päättyessä vastakuvauksellinen Riemuvuosi eli
ennalleenasettamiskausi oli alkava.
Olemme jo maininneet sabbattiaikojen laskemistavan — että
nimittäin kertomalla sabbattia eli seitsemättä päivää seitsemällä

70. (7X7=49) saatiin helluntai, näitä seuraava Riemupäivä; ja kertomalla
seitsemännen vuoden seitsemällä (7X7=49) saatiin se jakso, joka
johti viidenteenkymmenenteen tahi Riemuvuoteen. Jos me nyt
sovellutamme samaa periaatetta, on selvää, että tullaksemme
suureen vastakuvaan, jota etsimme, on meidän kerrottava samalla
tavalla Riemuvuosi omalla luvullaan — s.o. kertoa viideskymmenes
vuosi viidelläkymmenellä. Siis on vastakuvauksellinen jakso tämän
kertolaskutavan mukaan, jota meille tässä opetetaan, laskettava
kertomalla esikuvauksellinen riemuvuosi tahi viideskymmenes
sabbattivuosi viidelläkymmenellä, samoin kuin siihen tullaksemme
kerroimme seitsemännen vuosisabbatin seitsemällä. — 3 Moos. 25: 2
—13.
Jos me seuraamme tätä jumalallista ilmotettua laskutapaa,
avautuu meille ihmeellisiä tuloksia, jotka vakuuttavat meitä, että
meillä on oikea avain ja että me käytämme sitä niinkuin Hän, joka on
laatinut tämän jalokivilippaan, on aikonut. Kun kerromme
viisikymmentä kertaa viisikymmentä, saamme tuon pitkän ajan
kaksituhatta viisisataa vuotta (50X50=2500) sen suuren jakson
pituudeksi, joka alkoi kulua, kun Israelin viimeinen esikuvauksellinen
Riemuvuosi päättyi ja joka on kohoava huippuunsa suuressa
vastakuvauksellisessa Riemuvuodessa. Me tiedämme, että sellainen
jakso on täytynyt alkaa kulua, kun esikuva lakkasi; sillä jos ei
ainoakaan kirjain tahi piirto laissa saattanut hävitä ilman että
täyttyminen edes alkoi, ei Riemuvuotta — esikuvaa, joka oli paljon
enemmän kuin kirjain tahi piirto, todellakin suuri ja tärkeä kohta
laissa, voitu antaa hävitä, ennenkuin oikea aika oli tullut, jolloin sen
vastakuva oli alkava. Ettei Riemuvuoden vastakuva missään
tapauksessa alkanut, kun Israelilaiset lakkasivat pitämästä sitä, on
selvää. Me voimme siis olla varmat, että suuremmoinen jakso silloin
alkoi kulua. Uusi pitkä jakso alkoi silloin, vaikka Israel ja koko

71. maailma ovat tietämättömiä sekä siitä, että suuri jakso on ollut
kulumassa, että siitä suuresta vastakuvauksellisesta
Riemuvuodestakin, jolla se tulee päättymään. Emme saa odottaa,
että tuo suuri Riemuvuosien Riemuvuosi on alkava tämän jakson
jälkeen, vaan että se vastakuvana on ottava viidennenkymmenennen
tahi jakson viimeisen Riemuvuoden paikan. Vastakuva ei milloinkaan
seuraa esikuvansa jälessä, vaan ottaa sen paikan samana vuonna.
Niinmuodoin on 2500:das vuosi, joka tulee olemaan suuri 50:nes
riemuvuosi, vastakuva, todellinen Riemuvuosi tahi
ennalleenasettaminen. Mutta vuoden sijasta esikuvassa tulee tämä
olemaan suurempi; se tulee olemaan suuren
tuhatvuotisriemukauden — tuhatvuotiskauden alku. Aivan samalla
tavalla on käynyt jokaisen esikuvan täyttymiseen nähden, johon
aikaa on sisältynyt. Niinpä tapahtui pyhän Hengen helluntaivuodatus
esikuvauksena helluntaipäivänä — eli viidentenäkymmenentenä
päivänä. Kristus, meidän passah-uhrimme kuoli samana iltana, jona
esikuvauksellinen lammas määräyksen mukaan oli tapettava —
päivää aikasemmin tahi päivää myöhemmin ei käynyt päinsä.
Samalla tavalla ei tässäkään kelpaa vuosi jälkeen tahi vuosi ennen
2500:taa, vuodeksi, joka päättää esikuvauksellisen jakson; vaan juuri
tämä vuosi, alkaen lokakuussa v. 1874 on täytynyt alkaa vastakuvan
tahi ennalleenasettamisajat.
Esikuvan pitäminen ei voinut lakata ennenkuin alettiin laskea
suurta (50X50) jaksoa. Se tärkeä kohta, josta meidän on otettava
selvää, on siis tarkka vuosiluku, jolloin Israelin kansa piti viimeisen
esikuvauksellisen riemuvuoden. Sitten kun tämä vuosiluku on tullut
varmasti vahvistetuksi, on hyvin yksinkertainen asia laskea suuri
jakso viisikymmentä kertaa viisikymmentä tahi kaksituhattaviisisataa
vuotta ja siten lopullisesti määrätä vuosiluku, maan suuren
Riemuvuoden — kaiken ennalleenasettamisaikojen alkamiselle.

72. Mutta meidän on valmistauduttava näkemään ainoastaan
alkutapahtumia tästä äärettömän suuresta tehtävästä, kaiken
ennalleenasettamisesta. Esikuvauksellisen Riemuvuoden ensimäisinä
päivinä toimitettiin verrattain vähän; ja samalla tavalla on meidän
odotettava näkevämme ainoastaan vähän tulevan suoritetuksi
suuren tuhatvuotiskauden alussa, sen ensimäisinä vuosina.
Ensimäinen työ esikuvauksellisena Riemuvuotena oli luonnollisesti
koettaa ottaa selvää entisistä oikeuksista ja omistamisista sekä
saada selville, mitä nykyään puuttui. Tehdessämme tämän vertailun,
on meidän odotettava vastakuvassa juuri sitä, mitä näemme
ympärillämme tapahtuvan; sillä me olemme jo, kuten kohta
osotetaan, suuressa vastakuvauksellisessa riemukaudessa, ja
olemme olleet siinä lokakuusta v. 1874. Mitä näemme
ympärillämme? Me näemme, että kansa alkaa ruveta etsimään
alkuperäistä Jumalan lahjottamaa perintöään, ja ottamaan selvää
nykyisistä puutteista, oikeuksista j.n.e. jolloin monet
tietämättömyydessä ja itsekkäisyydessä vaativat sellaistakin, joka
kuuluu toisille; ja että ne, joilla jotakin on, koettavat säilyttää
itselleen niin paljon kuin voivat — joka aiheuttaa toraa, riitaisuutta,
lakkoja ja työmiesten sulkemista työstä, suuremmalla tahi
pienemmällä oikeudella ja vääryydellä molemmin puolin, kaikki
asioita, jotka lopullisesti ovat jätettävät Kristuksen tuomittaviksi,
niinkuin riitaisuudet lain aikana vietiin Mooseksen ratkaistaviksi, ja
Mooseksen jälkeen niille, jotka istuivat Mooseksen istuimella (Matt.
23: 2.) Lähtekäämme nyt, tietoisina näistä johtopäätöksistä ja
odotuksista, etsimään sitä vuosilukua, jonka Jumala ilmeisesti on
kätkenyt meille tässä esikuvassa, "jotta tietäisimme, mitä Jumala on
meille lahjottanut", ja jota nyt on aika ymmärtää.
Meillä ei ole mitään suoranaista tiedonantoa Raamatussa
israelilaisten esikuvauksellisten Riemuvuosien pitämisestä, joka

73. näyttäisi, mikä oli viimeinen, joka pidettiin. Me pidämme sen
Riemuvuoden vuosiluvun, joka oli lähinnä ennen Baabelm vankeutta
ja maan seitsenkymmenvuotista autiona oloa viimeisenä, kahdesta
syystä: Ensinnäkin se ei voinut olla autiona olemisen jälestä, koska
varmaan esikuva silloin lakkasi, "katosi", sillä kun maa oli autiona
seitsemänkymmentä vuotta ja kansa vankeudessa vieraassa maassa,
niin Riemuvuosi, joka sattui johonkin aikaan näinä
seitsemänäkymmenenä vuotena, täytyi jäädä pitämättä. Tarvitaan
ainoastaan silmäys nähdäkseen, että käskyt ja määräykset
Riemuvuoden pitämisestä eivät voineet tulla täytetyiksi, kun he
kansana olivat vankeudessa, ja maa oli autiona. Siten me näemme,
että esikuva katosi joko silloin tai ennen tätä autionaoloaikaa.
Jälkeenpäin se ei voinut tapahtua. Ja milloin tahansa esikuvan
pitäminen lakkasikaan, on suuri vastakuvan jakso pakosta alkanut
vieriä. Yksi ainoa pitämättä jäänyt esikuva ilmaisi, että esikuva oli
lakannut, ja että se jakso, joka johtaa vastakuvaan, oli alkanut.
Sitäpaitsi eivät israelilaiset Baabelin vankeuden jälkeen enää koskaan
täydellisesti omistaneet maata; he ja heidän maansa ovat siitä asti
olleet pakanain vallan alla.
Toiseksi: Jokaisesta tätä ennen sattuneesta vankeudesta pelasti
Jumala heidät vihollisistansa kyllin ajoissa, jotta he ennättäisivät
takaisin omaan maahansa pitämään Riemuvuotta, ja siten
jatkaakseen sitä esikuvana oikeaan aikaan asti, kunnes suurta
(50X50) jaksoa alettaisiin laskea; sillä heidän edelliset vankeutensa
eivät milloinkaan, niinkuin näyttää, kestäneet neljääkymmentä
vuotta kauvemmin, joten he siis riemuvuosijärjestyksen mukaisesti
saattoivat tulla vapaiksi ja kukin saada takasin perintönsä kunakin
Riemuvuonna. Sitäpaitsi, kun kohta tulemme näyttämään, että,
laskemalla noiden Baabelin seitsemänkymmenen autiona olemisen
vuoden alusta, suuri jakso päättyy vuotena 1875, tulee kaikille

74. selviämään, ettei se voinut alkaa ennen Baabelin vankeutta; sillä jos
me ajattelemme sen alkaneen ainoastaan yhtä riemuvuotta
aikasemmin, johtuisi siitä, että jakso päättyisi viittäkymmentä vuotta
ennen 1875:tä, nim. 1825, ja varmastikaan ei sinä vuonna alkanut
mikään ennalleenasettamisen Riemukausi.
Siten vakuutettuina, ettei viimeinen esikuvauksellinen riemuvuosi,
josta suuri (50X50) jakso lasketaan, ollut ennen eikä voinut olla
Baabelin vankeuden jälkeen, ja että se siis, joka oli lähinnä ennen
vankeutta, oli viimeinen esikuvauksellinen riemuvuosi, ja että sen
päätyttyä suuri hiljainen jakso alkoi kulua, menemme nyt
määräämään tarkkaa aikaa viimeiselle esikuvaukselliselle
Riemuvuodelle, seuraavalla tavalla: —
Koska vuosisabbattijärjestelmä oli yhteydessä heidän maansa,
Kaanaan, ja heidän perintö-osansa kanssa, siinä olisi ensimäistä
neljäkymmentäyhdeksänvuotisjaksoa, joka johti ensimäiseen
riemuvuoteen, alettava laskea heidän tulostansa Kaanaaseen. Tämä
hyvin perusteltu otaksuma saa täyden vahvistuksen Herran sanassa:
"Kun te tulette siihen maahan, jonka minä teille annan, niin maa
pitäköön Herralle lepoa. Kuusi vuotta pitää sinun peltosi kylvämän, ja
kuusi vuotta viinimäkesi leikkaaman, ja sen hedelmät kokooman,
mutta seitsemäntenä vuonna [tulon jälkeen maahan] pitäköön maa
Herralle sen suuren lepopyhän, jona ei sinun pidä kylvämän sinun
peltoasi, taikka leikkaaman sinun viinimäkeäsi." Siis alkoi se jakso,
jossa oli seitsemän kertaa seitsemän, tahi neljäkymmentäyhdeksän
vuotta (7X7=49) heti kulua, ja viideskymmenes vuosi tulon jälkeen
Kaanaaseen oli ensimäinen esikuvauksellinen Riemuvuosi.
[Muutamat ovat esiintuoneet sen ajatuksen, että kun kuusi vuotta
kului sotiin, ennen kuin maan jakaminen päätettiin, ei riemujaksojen

75. laskeminen voinut alkaa sitä ennen. Mutta ei, he tulivat maahan, kun
menivät Jordanin yli, ja käsky kuuluu: "Kun te tulette siihen
maahan", eikä: Kun te olette jakaneet maan. Maa jaettiin pala
palalta näiden kuuden vuoden aikana, mutta he eivät saaneet
omistaa koko maata näinä vuosina, eikä jonkun aikaa sen
jälkeenkään — ennenkuin viholliset olivat karkotetut, joka ei eräissä
suhteissa koskaan tapahtunut. (Katso Josua 18: 2, 3; 17: 12, 13; 23:
4, 7, 13, 15). Siis jos olisivat jättäneet jaksojen laskemisen
alottamisen kunnes täydellisesti olisivat omistaneet koko maan, eivät
he milloinkaan olisi voineet sitä alkaa.]
Me näemme kääntymällä ajanlaskulliseen tauluun, että 969 vuotta
kului tulosta Kaanaaseen aina seitsenkymmenvuotiseen autiona
oloon asti.
    Maan jakamiseen…………. 6 vuot ta
    Tuomarien aikakausi……… 450 "
    Kuninkaiden aikakausi……. 513 "
                        Yhteensä 969 "
Me saamme tietää montako riemuvuotta olivat pitäneet siihen asti
jakamalla 969 vuotta 50:nellä. Viisikymmentä sisältyy yhdeksäntoista
kertaa 969:sään, joten se siis oli riemuvuosien luku, ja jälellä olevat
19 vuotta ilmottavat meille, että yhdeksästoista, joka oli viimeinen
esikuvauksellisista Riemuvuosista, oli juuri yhdeksäntoista vuotta
ennen maan autiona olemisen ja heidän, Baabelin vankeudessa
olonsa alkua, ja yhdeksänsataaviisikymmentä vuotta Kaanaaseen
tulon jälkeen.
Siis silloin, tasan yhdeksäntoista vuotta ennen heidän maansa
"seitsenkymmenvuotista autiona oloa" viimeisen riemuvuoden —
yhdeksännentoista loputtua — alettiin laskea suurta 2500 vuoden

76. (50X50=2500) jaksoa; ja tulee olemaan aivan yksinkertainen asia
saada selville, milloin nämä 2500 vuotta päättyivät ja milloinka siis
kahdestuhannesviidessadas vuosi, suuren vastakuvauksellisen
riemuajan alkaminen, alkoi. Niinkuin seuraa: —
    Viimeisestä tahi yhdeksännestätoista
    Riemuvuodesta maan autionaolemiseen……………. 19 vuot ta
    Autiona olemisen aika………………………… 70 "
    Siitä ajasta, jolloin Kyyro asetti Israelin kansan
    ennalleen, siihen vuoteen, jota nimitetään A.D.
    (Anno Domini — Herramme vuosi)……………….. 536 "
                                                       ____
    Siis heidän viimeisestä riemuvuodestaan vuoteen 1 . 625 "
    Niiden vuosien lukumäärä, joita tarvitaan v:sta 1
    täyttämään 2500 vuotisjaksoa…………………. 1875 "
    Viimeksi pidetystä Riemuvuodesta — ____
                                              Yhteensä 2500 "
Siten huomaamme, että kahdestuhannesviidessadas vuosi alkoi v.
1875 alussa, joka juutalaisen porvarillisen ajan mukaan laskettuna (3
Moos. 25: 9) alkoi noin lokakuussa 1874. Jos siis suuri riemuaika olisi
kestänyt vaan yhden vuoden, olisi se, esikuvansa lailla, alkanut
lokakuussa 1874, 2499 vuoden lopulla, ja päättynyt lokakuussa
1875. Mutta tämä ei ole esikuva, vaan todellisuus: se ei ollut
riemuvuosi, vaan vastakuvauksellinen aika kaiken ennalleen
asettamisen tuhatta vuotta, jotka alkoivat lokakuussa 1874.
Siten näemme, ettei Israelin Riemuvuosi ainoastaan selvästi ja
nimenomaan esikuvannut suuria "kaiken ennalleenasettamisaikoja,
joista Jumala on puhunut kaikkien pyhäin profeettainsa suun kautta
maailman alusta asti", vaan ilmaisee myöskin sen laskemistapa yhtä

77. selvästi vuosiluvun maan suuren Riemuvuosikauden alkamiselle. Jos
emme omaksu näitä päätelmiä, emme huomaa muuta vaihtoehtoa,
kuin että tämä esikuva hävisi täyttämättä, vaikka Herramme mitä
varmimmin sanoi, ettei niin voinut käydä — että maan ja taivaan olisi
helpompi hukkua kuin ainoankaan kirjaimen tahi rahdun häviäminen
täyttymättä. (Matt. 5: 18.) Me omaksumme ne tosiasiat, jotka tällä
tavalla ovat jumalallisesti ilmotetut, miten hämmästyttäviä ne
johtopäätökset ovatkaan, jotka niistä järjellisesti täytyvät johtua.
Mutta mitkä ovat ne päätökset, joihin näistä Raamatun opetuksista
tullaan? Ajatelkaamme järjen kannalta, mitä tästä täytyy seurata, ja
katselkaamme sitten, antavatko toiset Raamatun paikat tukea, taikka
vastustavatko ne näitä johtopäätöksiä. Ensiksi päätämme, että kun
hetki on tullut ennalleenasettamisaikojen alkamiselle, niin silloin on
hetki myös tullut suuren ennalleenasettajan läsnäololle, Tämä olisi
hyvin järkevä väitös, mutta siitä tulee paljon enemmän kuin väitös,
kun apostolin varma, henkeyttämä lausunto vahvistaa sen
sanoessaan: "jotta (kun engl. Raam.) Herran [Jehovan] kasvoilta,
koittaisi virkistyksen ajat… ja hän lähettäisi teitä varten määrätyn
Kristuksen Jeesuksen. Hänet oli taivaan otettava vastaan ja pidettävä
niihin aikoihin asti, jolloin kaikki asetetaan kohdalleen (ennalleen) ja
joista Jumala on ammoisista ajoista asti puhunut pyhäin
profeettainsa suun kautta." — Apt. 3: 19—21.
[Se ajatus, joka on pohjana tälle lausetavalle, on tavallinen meillä
ja oli paljon tavallisempi itämaalla muinoin; kasvonsa näyttäminen oli
merkki hyväntahtoisuudesta, ja selkänsä kääntäminen oli epäsuosion
merkki. Niin oli kirjotettu Herrastamme ensimäisessä tulemisessa,
että "me peitimme kasvomme" häneltä, s.o. hävettiin eikä tahdottu
tunnustaa häntä. Samalla tavalla sanotaan Jehovasta, "ettei hän
tahtonut katsella syntiä" ja peitti kasvonsa syntiseltä. Mutta nyt, kun

78. lunastushinta on maksettu, odottaa Jehova määrättyä aikaa,
ollakseen armollinen. Silloin hän ei enää tule olemaan
epäsuosiollinen ihmisille, eikä kohtele heitä syntisinä, kääntäen
selkänsä, vaan tulee lähettämään heille virvotusta kasvoistansa,
suosiotansa, ja tulee lähettämään Jeesuksen, asiamiehensä kaiken
ennalleenasettamisessa. Sama ajatus on englantilaisessa laulussa:
"Käännä kasvosi puolemme, niin kaikki on valoisaa".]
Ainoastaan tässä henkeyttämässä lausunnossa, on meillä selvä
todistus, että hetki on tullut Herramme toiselle tulemiselle, kun hetki
oli tullut ennalleenasettamisaikojen alkamiselle, s.o. lokakuussa
1874, niinkuin riemuvuosijärjestelmästä ilmenee. Näyttää todella
olevan epäilemätöntä, että Riemuvuosi, kaiken muunkin tavalla tässä
armotaloudessa järjestettiin "meidän sovitukseksemme, [meidän
opetukseksemme], jotka olemme joutuneet maailman loppuaikoja
elämään." (1 Kor. 10: 11.) Yksi asia näyttää selvältä — ellei se ole
hyödyksi meille, on se tähän asti ollut melkein hyödytön; sillä
Raamattu ilmottaa meille, etteivät juutalaiset milloinkaan täydellisesti
ja oikealla tavalla pitäneet esikuvaa, edes yhdeksänätoista
ensimäisenä Riemuvuonna. (3 Moos. 26: 35.) Heille oli epäilemättä
melkein mahdotonta hillitä voitonpyyntiään. Se järjestettiin kaikkien
ennustusten ja esikuvien tapaisesti, epäilemättä heittämään valoa,
milloin ja missä sitä tarvittiin vanhurskasten tielle — johtamaan
Kristuksen ruumiin "jalkoja".
Muistutelkaa nyt, mitä näytettiin edellisessä luvussa Herramme
palaamisen ja ilmestymisen tavasta, ettette loukkautuisi väärien
käsityksien johdosta, mitä tähän kohtaan tulee. Muistakaa myös,
että "niinkuin oli Noan päivinä, niin on myös ihmisen Pojan läsnäolo
[kreik. parusia] oleva; sillä niinkuin ihmiset olivat niinä päivinä ennen
vedenpaisumista — — eivätkä tietäneet — — — niin on myös

79. ihmisen Pojan läsnäolo oleva." (Matt. 24: 37—39.) Muistakaa myös,
mitä me jo olemme oppineet henkeyttämästä lähteestä, että
nimittäin ainoastaan ne, jotka uskollisesti pitävät katseensa
kiinnitettyinä vahvaan profeetalliseen sanaan ja rakastavat ja
odottavat hänen ilmestymistänsä, saattavat huomata hänen
läsnäolonsa, kunnes hän ilmaisee sen maailmalle "tulen liekissä ja
kostaa" — suuren hädän aikana. Se asianhaara siis, ettei hänen
läsnäolonsa ole tunnettu eikä yleisesti huomattu maailman, eikä
edes kristittyjenkään keskuudessa, ei millään tavalla vastusta tätä
totuutta. Maailma ei usko ennustuksiin, eikä luonnollisestikaan saata
nähdä mitään sen valossa. Ja haaleat kristityt (ja sellaisia on suurin
enemmistö) eivät kiinnitä mitään huomiota "vahvaan profeetalliseen
sanaan"; ja useat, jotka tunnustavat valvovansa, lukevat ennustuksia
vanhojen ja kauvan suosittujen eksytyksillä värjättyjen silmälasien
läpi ja surkean taikauskon himmentämillä silmillä. Kaikkien sellaisten
on mentävä suuren Lääkärin luokse saamaan vähäsen nöyryyden
silmävoidetta (Ilm. 3: 18) ja kerran kaikkiaan heitettävä pois
inhimillisten perimätietojen värjätyt silmälasit ja kaikki omat ja
toisten tieteisopit, jotka eivät ole yhtäpitäviä Jumalan Sanan
todistuksen kanssa.
Mutta ei maailman tietämättömyys ja epäusko tahi se haalea
välinpitämättömyys ja ennakkoluuloisuus, jota suuri enemmistö
kristityiksi tunnustautuvia osottavat, tule olemaan kompastuskivinä
Jumalan valituille — niille, jotka yksinkertaisella lapsellisella uskolla
ottavat vastaan hänen siunatun sanansa todistuksen. Sellaiset eivät
voi kompastua; eikä myöskään ole mahdollista, että he voisivat
eksyä. Uskonsa kautta ja Jumalan johtamina tulevat sellaiset
voittamaan kaikki. Älkää peljätkö, te kallisarvoiset jalokivet, jotka
Herra itse on valinnut, nostakaa päänne ja iloitkaa, tietäen, että

80. teidän pelastuksenne, teidän korotuksenne ja kirkkautenne lähestyy.
— Luuk. 21: 28; 12: 32.
Toinen asia, jota oli syytä odottaa, jos ennalleenasettamisajat
todellakin alkoivat 1874, ja jos Herramme toisen läsnäolon aika
silloin oli tullut, oli se, että niiden, jotka valvoivat, tuli nähdä
muutamia huomattavia merkkejä siitä, mitä Raamattu sanoo olevan
hänen läsnäolonsa ajan ensimäisiä toimenpiteitä. Tähän kuuluu
evankelisen ajan hedelmän korjaaminen, hänen valittuinsa
kokoominen (hengelliseen yhdistykseen ja yhteyteen) ja ainakin
muutamia valmistavia toimenpiteitä Kristuksen valtakunnan
pystyttämiseksi. Muutamiin näihin merkkeihin olemme jo lyhykäisesti
viitanneet; mutta tässä kohdassa on niin paljon huomattavaa, että
me jätämme sen käsittelyn seuraavaan lukuun. Seurakunnan
elonkorjuu on totisesti jo käsissä. Vehnää erotetaan parhaillaan
lusteista; ja asiat maailmassa alkavat kiireellisesti järjestyä
Kristuksen valtakunnan pysyväistä pystyttämistä varten. Ennustetut
merkit tulevat täydellisesti sillä tavalla ja siinä järjestyksessä, jossa
niistä on edeltäkäsin sanottu, selvästi ilmotettaviksi niille, jotka
valvovat; mutta tämän jätämme tällä kertaa — sillä me tahdomme
ensin tuoda esille toisia profeetallisia todistuksia. Lienee kylliksi tässä
sanoa, että "viikate" tämän ajan "elonkorjuussa" on totuus, samoin
kuin se oli juutalaistenkin "elonkorjuussa"; ja "enkelit" eli lähettiläät,
jotka nyt käyttävät viikatetta, ovat Herran opetuslapset eli seuraajat,
vaikka muutamat heistä nyt, niinkuin silloinkin hyvin vähän
aavistavat, sen työn suuruutta, jota he toimittavat.
Vakuuttavia profeetallisia todistuksia.

81. Vaikka yllämainittu todistus, sellaisena kuin se seisoo, on vahva ja
selvä, esitämme nyt profeetallisen todistuksen, joka vahvistaa sen,
että aloimme laskea suuren (50X50) jakson oikeasta kohdasta.
Taivaallinen Isämme tiesi, millä pelvolla ja vapistuksella meidän
uskomme ottaisi vastaan näitä ylenmäärin suuria ja kalliita lupauksia,
sentähden hän onkin moninkertaisesti vahvistanut sen jo itsessään
lujan todistusten ketjun, joka meillä on laissa, antamalla
lisätodistuksia profeettainsa kautta. Ja meidän kallis Lunastajamme
ja Herramme, joka ojentaa meille tämän ketjun, ja jonka läsnäoloa
tämä todistus osottaa meille, näyttää sanovan, kun hän tulee
luoksemme tuhatvuotispäivän varhaisessa aamusarastuksessa,
niinkuin hän kerran sanoi Pietarille (Matt. 14: 25—32): "Sinä heikko-
uskoinen, miksi sinä epäilet? Tiedä, että olen henkiolento, jota eivät
ihmissilmät enää näe. Minä ilmotan itseni tällä tavoin Sanan lampun
valossa ymmärryksesi silmille, että, kun tulevina päivinä olen
kävelevä maailmanhädän äärettömän myrskyisellä merellä, sinä et
tarvitsisi peljätä, vaan voisit olla turvallisella mielin." Muista, minä se
olen, äläkä pelkää sentähden.
Tämä todella ihmeellinen profeetallinen vahvistus, jota nyt
lähdemme tarkastamaan, oli kätkettynä omaan yksinkertaisuuteensa,
kunnes käsitys ja sovitus Riemuvuoden esikuvauksellisuudesta,
sellaisena kuin se ylempänä on esitetty, antoi sille merkityksen.
Sitä seitsenkymmenvuotista ajanjaksoa, jota tavallisesti kutsutaan
Baabelin seitsenkymmenvuotiseksi vankeudeksi, nimitetään
Raamatussa maan seitsemäksikymmeneksi autiona olon vuosiksi.
Tästä autiona olemisesta oli Jumala jo ennakolta sanonut profeetta
Jeremian kautta näillä sanoilla: — "Ja koko tämä maa on oleva
autiona ja kauhistuksena, ja… saavat palvella Baabelin kuningasta
seitsemänkymmentä vuotta." (Jer. 25: 11.) "Sillä näin sanoo Herra:

82. kun Baabelille on täysin seitsemänkymmentä vuotta kulunut, etsin
minä teitä ja toteutan teissä minun hyvän sanani, tuottaen teidät
tähän paikkaan."; (Jer. 29: 10.) 2:ssa Aikak. 36: 17—21 on tämän
ennustuksen täyttyminen kerrottu; ja syyksi, miksi se juuri oli
seitsemänkymmentä vuotta ja miksi maa tehtiin kokonaan autioksi,
mainitaan seuraavaa: "Niin hän saattoi heidän päällensä
Kaldealaisten kuninkaan [Nebukadnesarin, Baabelin kuninkaan]. …
Ja ne, jotka olivat miekalta pääsneet, vietiin Baabeliin; ja he olivat
hänen ja hänen poikainsa orjat siihen asti kunnes Persialaiset
pääsivät valtaan: että täytettäisiin Herran sana, puhuttu Jeremian
suun kautta, — siksi kuin maa oli maksanut sabbattinsa. Sillä koko
hävityksen aikana oli lepo, siihen asti kuin seitsemänkymmentä
ajastaikaa täytettiin."
Tästä näemme, että Israel oli laiminlyönyt oikealla tavalla pitää
sabbattivuotensa, joista Riemuvuodet olivat tärkeimmät. Oli
todellakin niin erinomaisen ahneelle kansalle vaikea koetus totella
taivaallista Kuningasta, kun heitä käskettiin antamaan maan levätä,
antamaan takasin entisille omistajille maapalstoja, jotka olivat
ansaitut ja joita oli monta vuotta omistettu, ja antaa palvelijoille
heidän vapautensa takasin — etenkin, kun tottelevaisuutta vaan
käskettiin, eikä pakottamalla pakotettu. Jumala oli edeltäkäsin
varottanut heitä Mooseksen kautta, että jos he olisivat
tottelemattomia niitä lakeja vastaan, joita he kansana olivat
velvoittautuneet tottelemaan, rankaisisi hän heitä siitä. Samassa
luvussa, jossa hän puhuu seitsemän (kerran) ajan rangastuksesta
pakanavallan alla, sanoo hän heille myös, että jos he laiminlöisivät
vuosisabbatit, rankaisisi hän heitä siitä jättämällä heidän maansa
autioksi. (Ja seitsenkymmenvuotinen autiona oleminen, oli myös
todellisesti seitsemän pakana-ajan alkaminen, kuten jo on näytetty.)
Herran uhkaus kuului näin: "Maanne on tuleva kylmille ja

83. kaupunkinne raunioiksi. Silloin kelpaa maalle (saa maa) sabbattinsa,
niinkauvan kuin se autiona on ja te olette vihollisten maalla, — — —
koska se ei saanut pyhää pitää teidän sabbattivuosinanne, kun te
asuitte siellä." — 3 Moos. 26: 33, 34, 35, 43.
Jumala salli vähäksi ajaksi heidän puoli tiehen menevää, ja
puolesta sydämestä lähtevää tottelevaisuuttansa, mutta otti heidät
lopulta kokonaan pois maasta, teki sen autioksi, ettei sinne jäänyt
yhtäkään asukasta, ja antoi sille täyden luvun Riemuvuosia — ei
ainoastaan niistä, joita he vaillinaisesti olivat pitäneet, vaan myös
koko siitä määrästä tulevaisuudessa, joka hänen järjestyksensä
mukaan oli kuluva, kunnes vastakuvallinen Riemuvuosikausi,
ennalleenasettamis- eli tuhatvuotiskausi oli alkava. Ja koska
esikuvauksellisien Riemuvuosien kokonaisluku, jotka olivat aijotut
pidettäviksi ennen vastakuvan alkamista, siten todistetaan olleen
seitsemänkymmentä, annetaan meille vielä toinenkin tapa, jolla
voimme laskea ajan vastakuvan alkamiselle. Tämän ennustuksellisen
ilmotuksen mukainen laskeminen koko riemuvuosien luvusta on
yksinkertainen ja helppo; ja, niinkuin olemme odottaneetkin, käyvät
nämä tulokset täydellisesti yhteen niiden kanssa, joita jo olemme
saaneet lain osottamalla laskutavalla.
Kun koko luku on seitsemänkymmentä, ja Israel piti niistä
puolinaisesti yhdeksäntoista ennen autiona olemista, seuraa, että
jälellä olevat viisikymmentäyksi (70-19=51) osottavat ajan viimeistä,
Israelin vajanaisesti pitämästä riemuvuodesta, suureen vastakuvaan.
Mutta huomaa tässä eroavaisuutta laskutavassa. Lain vahvistamalla
laskutavalla laskimme tulevaiset, yhtähyvin kuin menneetkin
neljäkymmentäyhdeksänvuotisjaksot lisäämällä
viidennenkymmenennen eli Riemuvuoden; sillä laki esittää asiat
sellaisina kun ne olisivat olleet, jos israelilaiset olisivat pitäneet ne

84. oikealla tavalla. Mutta ennustus kertoo asiat juuri sellaisina, kuin ne
todellisuudessa tulevat tapahtumaan. Muistakaamme, että nyt
tutkimme profeetallista lausuntoa, ja niinmuodoin on meidän
laskettava nämä jaksot sellaisina, kuin ne todellisuudessa ovat olleet
— neljäkymmentäyhdeksän vuoden jaksoja ilman Riemuvuosia; sillä
israelilaiset eivät pitäneet ainoatakaan Riemuvuotta heidän
yhdeksännentoista Riemuvuotensa jälkeen. Yhdeksällätoista
ensimäisellä jaksolla oli Riemuvuodet, mutia seuraavilla
viidelläkymmenelläyhdellä ei niitä ole ollut; meidän on siis laskettava
viisikymmentäyksi neljäkymmentäyhdeksän vuotista jaksoa, tahi
2,499 vuotta (49X51=2499) viimeisestä Israelin kansan pitämästä
esikuvauksellisesta Riemuvuodesta vastakuvaan. Tämä laskelma,
ollen kokonaan riippumaton toisesta, päättyy tarkalleen samoin kuin
ylempänä tarkasteltu lain laskutapa — lokakuuhun 1874.
Esittäkäämme tämä viimeinen todistus muutamien tähden toisessa
muodossa seuraavalla tavalla: — Täysi luku riemukausia, joita
Jumala oli määrännyt, oli seitsemänkymmentä, kuten selvästi näkyy
ilmotuksista maan seitsenkymmenenvuotisen autiona olemisen
syystä. Tämä käsittää niinhyvin niitä, joita Israel oli pitänyt
tyydyttävällä tavalla, ja joita oli, kuten olemme nähneet,
yhdeksäntoista, kuin myös niitä, joiden sitten piti seuraaman,
vastakuvaan asti. Tahdomme nyt laskea ne kaikki niiden alusta,
tulosta Kaanaseen, ja katsella mihin ne päättyvät.
19 jaksoa Riemuvuosineen (kukin 50 vuotta)……… 950
vuotta 51 jaksoa ilman riemuvuosia (kukin 49 vuotta)……
2499 " 70 jaksoa käsittävät siis ajan joka on…………. 3449 "
Tämä 3499 vuoden aikakausi, laskettuna Kaanaaseen tulosta,
päättyy, kuten yllämainittukin lokakuuhun vuonna 1874 seuraavasti:

85. Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com