Cramer method sd2020

Determinantes y Regla de Cramer
Determinants and Cramer's Rule

1. Determinants and
Cramer’s Rule
G. Edgar Mata Ortiz

2. Ecuaciones Lineales
Métodos de solución y
comprobación
El método por
Determinantes
Determinantes y regla
de Cramer
Contenido
.
??????
??????=
??????
????????????
??????
??????

3. Las ecuacioneslineales
Una ecuación lineal se caracteriza porque sus incógnitas
están elevadas a una potenciaunitaria.
No contiene funciones trascendentes como logaritmo,
seno o coseno, entre otras.
Un sistema de ecuaciones lineales consta de dos o más
ecuaciones, generalmente con el mismo número de
incógnitas.

4. Solución de un sistema de ecuacioneslineales
La solución de un sistema
de ecuaciones lineales
está formada por los
valores de las incógnitas
que, al mismo tiempo,
hacen verdaderas a todas
las ecuaciones que forman
elsistema.
��− ��+ ��=��
��− ��+ ��=��
−��− ��+ ��=��
�=−�
�=−�
�=�
Soluciones

5. Solución de un sistema de ecuacioneslineales
Se puede comprobar si la solución
obtenida es correcta sustituyendo
los valores obtenidos en todas las
ecuaciones: Si se obtienen
identidades, la solución es
correcta.
�(−�) − �(−�) + �(�) =��
�(−�) − �(−�) + �(�) =��
−�(−�) − �(−�) + �(�) =��
��− ��+ ��=��
��− ��+ ��=��
−��− ��+ ��=��
�=−�
�=−�
�=�
Soluciones

6. Solución de un sistema de ecuacioneslineales
No todos los sistemas de
ecuaciones tiene solución, y
cuando la tienen, no siempre
es soluciónúnica.
El sistema no tiene solución
única porque las ecuaciones
uno ydos son múltiplo una
de laotra
�− ��+ ��=��
por dos es iguala:
��− ��+ ��=��
�− ��+ ��=��
��− ��+ ��=��
−��+ ��+ ��=��

7. Solución de un sistema de ecuacioneslineales
Existen diferentes métodos de solución de
sistemas de ecuaciones lineales:
Método Gráfico
Métodos Algebraicos
Métodos Lineales
Métodos Numéricos

8. Solución de un sistema de ecuacioneslineales
Sin importar cuál método se
elija para resolver un sistema
de ecuaciones, la solución
será la misma.
A veces es preferible un método
de solución, en otras ocasiones
no es posible emplear algún
método en particular, por ello,
es necesario conocer diferentes
métodos y elegir el que mejor
responde a las necesidades
específicas de cadaproblema.
En este material estudiaremos
el método de Cramer o método
por determinantes.
Método Gráfico
Métodos Algebraicos
Métodos Lineales
Métodos Numéricos

9. El método deCramer
Este método tiene la ventaja de ser puramente mecánico, por lo que
resulta muy sencillo de recordar y, lo que es más importante, puede
ser programado con gran facilidad para que una computadora lo
resuelva, incluso puede elaborarse una hoja de cálculo en Excel que
resuelva un sistema y vaya mostrando elprocedimiento.

10. Ejemplo: Resolver
el siguiente
sistema de
ecuaciones por el
método deCramer

11. Observarás que el proceso de resolución del
ejemplo se llevó a cabo enExcel

12. Inicio del proceso: El DeterminantePrincipal
Talcomosucedeenlosmétodoslineales,vamosaomitirlas
incógnitasytomaremossolamentesuscoeficientes,aestearreglo
denúmerosselellamadeterminanteprincipal

13. Calcular el valor del DeterminantePrincipal
Existenvariasformasdecalculareldeterminanteprincipal,unadeellas
consisteenagregar,aladerecha,lasdosprimerascolumnasdelmismo
determinante.

14. Calcular el valor del DeterminantePrincipal
Ahora se multiplica en diagonal, como se muestra en la figura, y se
anotan los resultados de dichasmultiplicaciones.
+3-6+9+3-6
DP=+2-4+5+2-4
-3-4+6-3-4
-72

15. Calcular el valor del DeterminantePrincipal
Es importante ser ordenado al trabajar con determinantes para
evitar errores al efectuar estas multiplicaciones en diagonal
+3-6+9+3-6
DP=+2-4+5+2-4
-3-4+6-3-4
-72
+90

16. Calcular el valor del DeterminantePrincipal
Estos resultados se escriben a la derecha del determinante, como
veremos más adelante
+3-6+9+3-6
DP=+2-4+5+2-4
-3-4+6-3-4
-72
+90-72

17. Calcular el valor del DeterminantePrincipal
Continuando con el procedimiento se multiplica de derecha a
izquierda, y se cambia el signo del resultado
-108

18. Calcular el valor del DeterminantePrincipal
La primera multiplicación arroja un resultado positivo y se cambia
a negativo, mientras la segunda multiplicación da negativo y se
cambia a positivo
-108
+60

19. Calcular el valor del DeterminantePrincipal
En estas tres multiplicaciones de derecha a izquierdase cambia el
signo de losresultados.
-108
+60 +72

20. Procedimiento y presentación delresultado
La forma en la que se ha mostrado el procedimiento hasta ahora, tiene
la finalidad de explicar, pero en realidad se presenta como semuestra:
Naturalmente las flechas de color que señalan las multiplicaciones que se va a realizar son
opcionales, pero se recomienda emplearlas para facilitar la identificación de los factores de cada
producto.

21. Obtención de los otros tres determinantes, uno por
cadaincógnita.
El método de Cramer requiere que se desarrolle y calcule un
determinante para cada incógnita, es decir, habrá un determinante para
??????
�, otro para ??????
�, y uno más para ??????
�.
Para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es necesario
construir y calcular el valor de cuatro determinantes.
Determinante Principal ??????
??????
Determinante para ??????
�
Determinante para ??????
�
Determinante para ??????
�

22. Obtención de los otros tres determinantes, uno por
cadaincógnita.
Vamos a obtener y calcular el determinante para ??????
�.
Como podrás observar, está basado en el determinante principal, al cuál se le
cambia la columna de los coeficientes de ??????
�, quedando todos los demás valores sin
cambio.

23. Cálculo del determinante para equisuno.
+18-6+9
+11-4+5
+17-4+6
Determinante parax1
+18-6
Dx1= +11-4
+17-4
Al igual que con el determinante principal, se duplican las primeras dos
columnas para facilitar las multiplicaciones endiagonal.
Una vez duplicadas las primeras
dos columnas se procede a
efectuar las multiplicaciones. Es
importante tener presente que los
resultados de lastres
multiplicaciones de “derecha a
izquierda” cambian designo.

24. Cálculo del determinante para equisuno.
El procedimiento para calcular el valor de cualquier determinante es el
mismo, veamos el caso dex
1.
Efectúa las multiplicaciones para practicar el procedimiento y aprender cuáles son los tres
resultados que cambian designo.

25. En este caso, la columna con los coeficientes de x
2 será la que se
cambiará por los términosindependientes.
Como se observa,el
determinante
principal es
modificado,
cambiando la
columna que
contiene los
coeficientes dex
2.
Obtención del determinante para la segundaincógnita.

26. Al igual que con el determinante principal y el de equis uno, se duplican
las primeras dos columnas para facilitar las multiplicaciones en
diagonal.
Efectúa las multiplicaciones y
compara tusresultados conla
siguientediapositiva.
Cálculo del determinante para equisdos.
+3+18+9
+2+11+5
-3+17+6
Determinante parax2
+3+18
Dx2= +2+11
-3+17

27. Efectúa las multiplicaciones respetando las leyes de los signos, sólo en las últimas tres operaciones
cambia el signo delresultado.
Cálculo del determinante para equisdos.
Ahora vamos a calcular el determinante parax
2.

28. En este caso, la columna con los coeficientes de x
3 será la que se
cambiará por los términosindependientes.
En este caso, el
determinante
principal es
modificado
cambiando la
columna que
contiene los
coeficientes dex
3
Obtención del determinante para la terceraincógnita.

29. Al igual que con el determinante principal, el de equis uno y el de equis
dos, se duplican las primeras dos columnas para facilitar las
multiplicaciones endiagonal.
Al efectuar lasmultiplicaciones
recuerda cuáles resultados
cambian designo.
Cálculo del determinante para equistres.
+3-6+18
+2-4+11
-3-4+17
Determinante parax3
+3-6
Dx3= +2-4
-3-4

30. Ya se han calculado los valores de los cuatro determinantes: D
P, D
x1, D
x2 yD
x3
.
Cálculo del determinante para equistres.
Ahora vamos a calcular el determinante parax
3.

31. Valores de losdeterminantes
Hemos calculado los valores de los cuatrodeterminantes.
Determinanteprincipal
+3-6+9+3-6
DP=+2-4+5+2-4=-30
-3-4+6-3-4
Determinante parax1
+18-6+9+18-6
Dx1=+11-4+5+11-4=+30
+17-4+6+17-4
Determinante parax2
+3+18+9+3+18
Dx2=+2+11+5+2+11=+60
-3+17+6-3+17
Determinante parax3
+3-6+18+3-6
Dx3=+2-4+11+2-4=-30
-3-4+17-3-4

32. Valores de las incógnitas
1
2
3
P
P
P
D
Los valores de los cuatro determinantes se sustituyen en las siguientes
fórmulas para calcular los valores de lasincógnitas.
x=
D
x1
D
x=
D
x2
D
x=
D
x3

33. Valores de las incógnitas
Sustituciones yresultados
1
2
x2
3
P
D
P
D
D
x=
x1
x=
D
D
D
P
x=
x3
Determinanteprincipal
+3-6+9
DP=+2-4+5=-30
-3-4+6
Determinante parax1
+18-6+9
Dx1=+11-4+5=+30
+17-4+6
Determinante parax2
+3+18+9
Dx2=+2+11+5=+60
-3+17+6
Determinante parax3
+3-6+18
Dx3=+2-4+11=-30
-3-4+17
2 2
3 3
30
x
1=
−30
x
1=−1
x=
60
x=−2
−30
−30
x=+1
−30
x=

34. Comprobación
Para comprobar que el resultado es correcto, se sustituyen los valores de las
incógnitas en las tres ecuaciones y debemos obtener tresidentidades.
1 1
2 2
3 3
x=
30
x=−1
−30
x=
60
x=−2
−30
x=
−30
x=+1
−30
+3(-1)-6(-2)+9(1)=+18
-3 +12 +9=+18
+18=+18
+2(-1)-4(-2)+5(1)=+11
-2 +8 +5=+11
+11=+11
-3(-1)-4(-2)+6(1)=+17
+3 +8 +6=+17
+17=+17

35. Podemos observar
que, en las tres
ecuaciones se
obtuvieron
identidades, porlo
tanto, los
resultados con
correctos.
Comprobación
Para comprobar que el resultado es correcto, se sustituyen los valores de las
incógnitas en las tres ecuaciones y debemos obtener tresidentidades.
x
1= x
1 =−1
2 2
x
3=
30
−30
x=
60
x=−2
−30
−30
x
3 =+1
−30
+3(-1)-6(-2)+9(1)=+18
-3 +12 +9=+18
+18=+18
+2(-1)-4(-2)+5(1)=+11
-2 +8 +5=+11
+11=+11
-3(-1)-4(-2)+6(1)=+17
+3 +8 +6=+17
+17=+17

36. Gracias
Por suatención
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