curva elastica.pptx

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1. Antes de determinar la pendiente o el desplazamiento en un punto especifico de una viga, se sugiere realizar el bosquejo de la forma flexionada de la viga cargada, con el fin de visualizar los resultados calculados, y obtener una comprobación en forma parcial de los resultados. El diagrama de deflexión del eje longitudinal que pasa por el centroide de cada área transversal de la viga se llama curva elástica En gran parte de vigas se puede obtener el bosquejo de la curva elástica si gran dificultad Pero se tiene que tener en cuenta las restricciones en la pendiente y desplazamiento producidas por los diversos tipos de soportes. los soportes que resisten fuerzas , por ejemplo el pasador, restringen el desplazamiento, y los que soportan un momento, por ejemplo una pared fija(empotrada), restringen la rotación o la pendiente, y también el desplazamiento Para un mejor entendimiento, visualice los dos ejemplos característicos de curvas elásticas para vigas cargadas, recordemos que estes bosquejos son a gran escala , .   12.1 La curva elástica      

2. Relación entre momento y curvatura. es el ángulo comprendido entre los cortes transversales después de la deformación y el radio curvatura será definido como medida desde el centro hasta La deformación unitaria del arco es : si Ya que el materiales es homogéneo y se comporta de forma lineal elástica se puede aplicar la ley de Hooke, . También se puede aplicar la formula de la flexión .sustituimos en la ecuación que se venia trabajando se obtiene:   radio de curvatura en un punto específico de la curva elástica (1/ se le llama la curvatura) momento interno en la viga, en el punto donde se va a determinar módulo de elasticidad del material momento de inercia del área transversal de la viga, respecto al eje neutro  

3. Relación entre momento y curvatura. Al producto de se le denomina rigidez flexionante o rigidez de flexion El signo depende únicamente de la dirección del momento si es positivo se dirige hacia arriba es decir en la dirección positiva de ,figura 12-6 Cuando es negativo se dirige hacia debajo de la viga o sea hacia la dirección de negativa, figura 12-6 Usando la formula de la flexion podemos expresar la curvatura en función del esfuerzo , como sigue: Las ecuaciones de curvatura en general son validos para radios pequeños y grandes , por lo general el valor de es una cantidad muy grande Los valores de calculados en otros puntos a lo largo de la curva elástica de la viga, pueden ser todavía mucho mayores , por que no puede ser mayor que en las fibras exteriores.                          

4. 12.3 Funciones de discontinuidad Como ejemplo de como se aplican las funciones de discontinuidad ,veamos la viga cargada como se muestra en la                 Para este caso fuerza de reacción del pasador es negativa y es negativo por que actúa en sentido de la manecillas de reloj. Al usar la la carga en cualquier punto de viga es: No se considera la fuerza de acción del rodillo, por que nunca es mayor que además no influye en la pendiente o deflexión.   Al integrar dos veces esta ecuación se obtiene la relación que describe el momento interno de la viga ,las constantes de integración no se toman en cuenta ,por que se han calculado las condiciones en la frontera, , También se puede obtener este resultado directamente utilizando . Podemos comprobar este resultado utilizando el método de las secciones , dentro de la región                   Este resultado concuerda con el obtenido anteriormente    

5. Como un segundo ejemplo, veamos la viga de la . La reacción en el apoyo se ha calculado en la y la carga trapezoidal se ha separado en cargas triangular y uniforme.   12.3 Funciones de discontinuidad                                     De acuerdo con la . la carga es: Se puede determinar las ecuación de momento. En forma directa con la en vez de integrar dos veces esta ecuación; en cualquier caso, Ahora se puede determinar la deflexión de la viga integrando dos veces sucesivas esta ecuación ,evaluando las constantes y usando las condiciones de frontera de cero desplazamiento en  

6. PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS . Este método es especialmente útil para resolver problemas de vigas o ejes sometidos a varias cargas, porque se pueden evaluar las constantes de integración usando sólo las condiciones en la frontera, solo si satisfacen en forma automática las condiciones de compatibilidad. Curva elástica. Hacer un Bosquejo de la curva elástica, e identificar las condiciones en la frontera para los apoyos. En todos los soportes que tengan pasador y rodillo existe desplazamiento cero, y en los soportes empotrados hay pendiente cero y desplazamiento cero. Establecer el eje x para que se extienda hacia la derecha, y tenga su origen en el extremo izquierdo de la viga. Función de carga o de momento. Hallar las reacciones en los apoyos, y a seguidamente usar las funciones de discontinuidad para expresar la carga o el momento interno en función de . seguir la convención de signos. Observar que las cargas distribuidas se deben prolongar hasta el extremo derecho de la viga, para ser válidas. Si eso no sucede, usar el método de la superposición.   Pendiente y curva elástica Sustituir w en el , o en la relación de momento curvatura, El = e integrar para obtener las ecuaciones de la pendiente y la deflexión de la viga Evaluar las constantes de integración usando las condiciones en la frontera, y sustituir esas constantes en las ecuaciones de pendiente y deflexión para obtener los resultados finales. Cuando evalúan las ecuaciones de pendiente y de deflexión, una pendiente positiva es en contra de las manecillas del reloj y un desplazamiento positivo es hacia arriba  

7. Ejemplo 12.5 Determine la ecuación de la curva elástica para la viga en voladizo de la es constante.                   Curva elástica. Las cargas hacen que la viga se flexione como se ve en la . Las condiciones en la frontera requieren que la pendiente y el desplazamiento en sean cero.   De acuerdo con nuestra convención de signos, el momento del par de , la fuerza de en y la parte de la carga distribuida a en la parte inferior de la viga, son negativas todas. En consecuencia, la carga de la viga es: La carga de 12 kN no se incluyen , Como sin tener en cuenta la constante de integración:   Función de carga. Las reacciones en el apoyo se han calculado con la estática, y se muestran en el diagrama de cuerpo libre de la Como la carga distribuida en la no se extiende hasta como sucede en realidad, se puede usar la superposición de las cargas que muestra la para representar el mismo efecto                          

8. Ademas. , por lo que al integrar de nuevo se obtiene Este mismo resultado se puede obtener en forma directa de la Pendiente y curva elástica . Se aplica la y se integra dos veces, para obtener Como ya que , entonces . Es decir:   Ejemplo 12.5                                        

9. 12.4 Pendiente y desplazamiento por el método del momento de área Teorema 2: La desviación vertical de la tangente en un punto sobre la curva elástica, con respecto a la tangente prolongada desde otro punto es igual al momento del área bajo el diagrama entre esos dos puntos Este momento se calcula con respecto al punto donde se va a determinar la desviación vertical ( ). La distancia también se puede interpretar como el desplazamiento vertical desde el punto ubicado en la tangente prolongada en hacia el punto de la curva elástica. Recuerda que no es igual a El momento bajo el diagrama entre se calcula respecto al punto A y se determina Y para realizar este calculo respecto al punto y determinar , observe la Si el momento de una área positiva de se calcula para nos indica que el punto B esta arriba de la tangente trazada desde el punto Y si es negativa indica que el punto esta debajo de la tangente prolongada desde el punto A. Esta misma regla se aplica para                        

10. PROCEDIMIENTO PARA EL ANALISIS . El siguiente procedimiento es un método para aplicar los dos teoremas del momento de área. Diagrama M/EI. • Determinar las reacciones en los apoyos y trazar el diagrama de la viga. Si la viga se carga con fuerzas concentradas, el diagrama consistirá en una serie de segmentos de recta, y las áreas y sus momentos necesarios en los teoremas del momento de área serán fáciles de calcular. Si la carga consiste en una serie de cargas distribuidas, el diagrama consistirá en curvas parabólicas, se sugiere usar la tabla del interior de la pasta anterior para ubicar el área y el centroide Curva elástica. • Trazar un esquema exagerado de la curva elástica. Recordar el efecto que tienen los soportes sobre la curva de deflexión • Si es difícil trazar la forma general de la curva elástica, usar el diagrama de momento (o de ). Además, se presenta un punto de inflexión o un cambio de curvatura donde el momento (o ) en la viga es cero.   • En la curva se deben indicar el desplazamiento y la pendiente desconocidos que se van a determinar. • se debe poner atención a cuáles tangentes deben trazarse para que los ángulos o las desviaciones entre ellas conduzcan a la solución del problema. A este respecto, se deben considerar las tangentes en los soportes, ya que en general la viga tiene desplazamiento cero y/o pendiente cero en los apoyos. Teoremas del momento de área. • Aplicar el para determinar el ángulo entre dos tangentes cualesquiera de la curva elástica, y el teorema para determinar la desviación tangencial. • El signo algebraico del resultado se puede comprobar con el ángulo o la desviación indicados en la curva elástica. • Un ángulo positivo representa una rotación en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de la tangente en B con respecto a la tangente en A, y un positivo indica que el punto B en la curva elástica está arriba de la prolongación de la tangente al punto A.  

11. Ejemplo 12.12 Determine el desplazamiento en el punto , de la viga de acero en voladizo que muestra la Tomar ,                   Solución: Diagrama M/EI. Vea la                 C x    

12. Curva elástica. La carga hace que la viga se flexione como muestra la . Se pide calcular . Si se trazan tangentes en y en los apoyos , se ve que . Sin embargo, se puede relacionar con con triángulos proporcionales; esto es, , o sea que Por consiguiente,   Ejemplo 12.12                     Teorema del momento de área. Se aplica el teorema 2 para determinar Entonces, ¿Por qué esos términos son negativos? Sustituyendo estos resultados en la ecuación se obtiene Como los cálculos se hicieron de , entonces