Definicion derivada

Explicación y presentación de ejemplos de la definición de la derivada. Curso Cálculo I. Dr. Juan R. Mejias Ortiz.

1. Definición de la Derivada
Dr. Juan R. Mejías Ortiz
By PresenterMedia.com
CURSO CÁLCULO I

2. SECANTE Y TANGENTE
Una secante es una línea que
interseca en dos o más puntos a
una curva. La pendiente de una
línea secante se encuentra
siguiendo la fórmula

�
��??????=
∆�
∆�
=
�
�−�
�
�
�−�
�

3. SECANTE Y TANGENTE
La pendiente de la recta secante pasa
por los puntos (a, f(a)) y (a+h, f(a+h)).
Observe la gráfica a la derecha. Al
aplicar la fórmula para encontrar la
pendiente de la secante obtenemos:

??????
�????????????=
∆�
∆�
=
�
2−�
1
�
2−�
1


??????
�????????????=
∆�
∆�
=
??????(??????+ℎ)−??????(??????)
??????+ℎ−??????


�
��??????=
∆�
∆�
=
�(??????+??????)−�(??????)
??????

4. •Encuentra la pendiente de la recta secante en ��=
�
�
+�.
??????
�????????????=
(�+ℎ)
2
+3−(�
2
+3)
ℎ

??????
�????????????=
[(�
2
+2�ℎ+ℎ
2
)+3]−(�
2
+3)
ℎ

??????
�????????????=
�
2
+2�ℎ+ℎ
2
+3−�
2
−3
ℎ

??????
�????????????=
2�ℎ+ℎ
2
ℎ

�
��??????=��+??????
Se le suma h a
toda x
Simplificar
términos
semejantes
Dividir y
simplificar h

5. •SECANTE Y TANGENTE
En la medida que la distancia de los puntos de la
secante disminuyen h se va acercando a 0. Cuando
esto ocurre eventualmente la recta secante pasa a
convertirse en la recta tangente de la curva.

6. La pendiente ??????
�???????????? de la línea tangente a y = f(x) en x = a está
dada por:


�
�??????�=�??????�
??????→�
�??????+??????−�(??????)
??????



siempre que el límite exista.
Definición Pendiente de la Recta Tangente
SECANTE Y TANGENTES

7. La recta tangente pasa por el punto (a, f(a)) y tiene pendiente
(m
tan) determinada por:


�
�??????�=
�−�(??????)
�−??????



De manera que la ecuación de la recta tangente es:

�=�
�??????��−??????+�(??????)

8. Encuentre una ecuación de la recta tangente a �=3�
2
−5 en x = 2.
�??????�
??????→�
[��+??????)
�
−�−(��
�
−�)
??????

�??????�
??????→�
[��
�
+��??????+??????
�
)−�−(��
�
−�)
??????

�??????�
??????→�
��
�
+��??????+�??????
�
−�−��
�
+�
??????

�??????�
??????→�
��
�
+��??????+�??????
�
−�−��
�
+�
??????

Se le suma h a
toda x
Simplificar
términos
semejantes

9. Encuentre una ecuación de la recta tangente a �=3�
2
−5 en x = 2.
=�??????�
??????→�
��??????+�??????
�
??????

=�??????�
??????→�
��+�??????
Si x = 2, ??????2=3(2)
2
−5. Así que el punto correspondiente a x = 2 es (2, 7) y la recta
de la pendiente m = 12. Ya que �=??????�−??????+??????(??????). O sea, �=12�−2+7

�=���−��

=�??????�
??????→�
��+��=��
Simplificar
términos
semejantes

10. La derivada de f(x) es la función es la función f’(x) dada por


�
′
�=�??????�
??????→�
��+??????−�(�)
??????



siempre que el límite exista. Este proceso se conoce como
derivación.
Definición de la Derivada
DERIVADA

11. •Calcule la derivada ��=��+�.
�′�=�??????�
??????→�
��+??????−�(�)
??????

�
′
�=lim
??????→�
[��+??????+�−(��+�)
??????

=
��+�??????+�−��−�
??????

=
�??????
??????

�′(�)=�
Se le suma h a
toda x
Simplificar
términos
semejantes
Dividir y
simplificar h

12. •Calcule la derivada ��=��
�
−��+�.
�′�=�??????�
??????→�
��+??????−�(�)
??????

�
′
�=�??????�
??????→�
��+??????
�
−��+??????+�−(��
�
−��+�)
??????

�
′
�=�??????�
??????→�
�(�
�
+��??????+??????
�
)−��+??????+�−(��
�
−��+�)
??????

�
′
�=�??????�
??????→�
��
�
+��??????+�??????
�
−��−�??????+�−��
�
+��−�
??????

�
′
�=�??????�
??????→�
��??????+�??????
�
−�??????
??????
�
′
�=��+�??????−�
�
′
�=��+��−� �
′
�=��−�

13. •Calcule la derivada de ��=
�
�+�
.
�
′
�=lim
??????→�
�
�+??????+�
−
�
�+�
??????

=lim
??????→�
��+�−�(�+??????+�)
�+??????+� (�+�)
??????

=lim
??????→�
��+�−��−�??????−�
(�+??????+�) (�+�)
??????

=lim
??????→�
−�??????
??????+�+�(�+�)
??????

=lim
??????→�
−�??????
(�+??????+�)(�+�)
×
�
??????

=lim
??????→�
−�
(�+�+�)(�+�)

�′(�)=
−�
(�+�)
�

14. •Calcula la derivada de ��=�+�.
�
′
�=lim
??????→�
�+??????+�−�+�
??????

�
′
�=lim
??????→�
�+??????+�−�+�
??????
×
�+??????+�+�+�
�+??????+�+�+�

�
′
�=lim
??????→�
(�+??????+�)−(�+�)
??????(�+??????+�)(�+�)

�
′
�=lim
??????→�
�+??????+�−�−�
??????(�+??????+�)(�+�)

Racionalizar el
numerador
Denominador
común

15. •Calcula la derivada de ��=�+�.
�
′
�=lim
??????→�
�+??????+�−�−�
??????(�+??????+�)(�+�)

�
′
�=lim
??????→�
??????
??????(�+??????+�)(�+�)

�
′
�=lim
??????→�
�
(�+??????+�)(�+�)

�
′
�=lim
??????→�
�
(�+�+�)(�+�)

�
′
�=lim
??????→�
�
(�+�)(�+�)
=
�
��+�