DERET.pptxhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

deret

1. DERET

2. Perbedaan Barisan dan Deret Barisan adalah himpunan besaran u1, u2, u3, …., yang disusun dalam urutan tertentu dan masing-masing sukunya dibentuk menurut suatu pola yang tertentu pula. Yaitu Contoh : 1,3,5,7, …. Adalah barisan ( suku berikutnya haruslah 9 ) 2,6, 18, 54, …. Adalah barisan ( suku berikutnya adalah 162) , adalah barisan ( suku berikutnya adalah  

3. Perbedaan Barisan dan Deret Macam – macam Barisan Barisan berhingga Barisan yang banyak sukunya berhingga Barisan tak berhingga Barisan yang tak ada akhirnya Uji pemahama : Diantara barisan berikut , manakah yang merupakan barisan terhingga Semua bilangan asli Nomor halaman sebuah buku Nomor telepon didalam buku telepon

4. Perbedaan Barisan dan Deret Deret dibentuk oleh jumlah suku-suku barisan . Contoh : 1,3,5,7,…. Adalah barisan 1+3+5+7+ …. Adalah deret Suku-suku deret akan kita nyatakan sebagai berikut : U1 menyatakan suku pertama , U2 menyatakan suku kedua , U3 suku ketiga , dst . Jika Ur menyatakan suku ke r dan ur+1 menyatakan suku ke (r+1) jumlah 5 suku pertama kita nyatakan dengan S5. jadi jumlah n suku yang pertama kita nyatakan dengan Sn

5. Jenis jenis deret Deret Hitung ( deret aritmetika ) Contoh : 2 + 5 + 8 + 11 +14 + ….. Beda ( pertambahan yang teratur ) dari deret diatas adalah 3 Deret Hitung secara umum dapat dituliskan Dengan a = suku pertama , dan  

6. DERET HITUNG Suku ke – n dan jumlah suku ke – n Suku ke – Jumlah n buah suku (Sn) = Contoh1: carilah jumlah 20 suku yang pertama dari deret berikut : 10 + 6 + 2 – 2 – 6 …. Contoh 2: Diketahui suku ke 7 = 22 dan suku ke 12 = 37, tentukan deret hitung tersebut  

7. Mean Aritemetika dan Bagaimana mencari mean aritmetika dua buah bilangan ?? Apabila terdapat dua bilangan P dan Q, maka kita dapat mencari mean aritmetikanya dengan cara menyisipkan sebuah bilangan A di antara P dan Q sedemikian rupa sehingga P + A + Q membentuk sebuah Deret Hitung ( aritmetika )   Jadi Mean Aritmetika dua bilangan tidak lain adalah nilai tengah dari kedua bilangan tersebut

8. Contoh : Jika diminta untuk menyisipkan 3 buah mean aritmetik diantara dua bilangan yang diketahui P dan Q. maka kita harus menyisipkan tiga buah bilangan A, B, C, diantara P dan Q sedemikian hingga membentuk sebuah deret hitung (DH). Contoh : sisipkan 3 buah mean aritmetika di antara 8 dan 18 Maka : membentuk suatu DH Suku pertama , Setelah kita substitusikan nilai Maka :  

9. Latihan Soal ( Tugas ) Sisipkan 5 buah mean aritmetika diantara bilangan 12 dan 21,6

10. DERET UKUR ( deret Geometrik ) Deret Ukur yang biasa kita akronimkan dengan (DU) Contoh : Terlihat bahwa suku-sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan dengan sebuah faktor konstan 3. faktor konstan disebut pengali atau rasio . Besarnya rasio dapat diperoleh dengan memilih sembarang suku kemudian membaginya dengan suku sebelumnya . Misal kita ambil salah satu dari deret di atas yaitu 27 maka kita bisa mencari rasio dari deret tersebut 27: 9 = 3  

11. Bentuk Umum Deret Ukur Dengan Rumus suku ke -n adalah : Rumus Jumlah Suku ke -n :  

12. Soal Latihan ( Tugas ) 1. Tentukan jumlah 8 suku yang pertama , dari deret berikut : 2. Jika suku ke 5 suatu DU adalah 162 dan suku ke 8 adalah 4374. tentukan deret tersebut .  

13. Mean Geometrik Mean Geometrik dari 2 buah bilangan P dan Q adalah sebuah bilangan A sedemikian rupa sehingga membentuk suatu DU  

14. Soal Sisipkan 4 buah mean geometric di antara 5 dan 1215 Sisipkan 2 buah mean geometric di antara 5 dan 8,64

15. Deret Pangkat Bilangan Asli Deret Seperti kita lihat , deret ini termasuk salah satu contoh DH, dengan Jumlah n buah suku yang pertama diberikan oleh :   Hitunglah 100 bilangan asli yang pertama (  

16. Lanjutan 2. Deret , kita gunakan identitas Kita tuliskan sebagai : Bila kita ganti kita dapatkan Sekali lagi Apabila dilanjutkan lagi Bila kita lanjutkan terus , akhirnya kita sampai kepada  

17. Lanjutan Sehingga kita temukan perumusan : Contoh : Tentukan jumlah 12 suku pertama deret  

18. Lanjutan 3. Jumlah bilangan asli berpangkat tigaa dapat dicari dengan rumus berikut ini :  

19. Kesimpulan Deret Pangkat Bilangan Asli  

20. Latihan Tentukan Jumlah deret  

21. Deret tak berhingga Deret tak berhingga adalah deret yang banyak sukunya . Cara menyelesaikan deret tak hingga,perhatikan penjelasan di bawah ini : Contoh : tinjaulah deret tak hingga Deret ini kita kenal dengan deret ukur dengan Jumlah n suku yang pertama dibrikan oleh : Jika n sangat besar , akan sangat besar pula dan karena itu akan sangat kecil . Sesungguhnya , jika . Jumlah semua suku dalam deret tak berhingga diberikan oleh jika yaitu : Dari uraian di atas dapat dikatakan bahwa untuk membuat jumlah deret tersebutsedekat mungkin dengan , maka kita dapat mengambil banyaknya suku yang cukup banyak .  

22. Deret tak berhingga untuk deret hitung Tinjau deret tak berhingga Di atas adalah deret hitung dengan Jadi Dalam hal ini jika besar , maka akan besar pula. Jika Ini bukan suatu harga numerik tertentu , pada deret hitung apabila kita mencoba mencari jumlah tak berhingganya kita akan memperoleh harga bergantung pada deret yang sesungguhnya .  

23. Harga Limit Harga . Untuk mengetahui proses penentuan harga limit tinjaulah beberapa contoh soal berikut ini . Contoh 1. Tentukan harga Untuk memecahkan kita gunakan cara berikut : Bila , maka Jadi  

24. Contoh 2: Temtukan harga Latihan : Tentukan  

25. Kaidah Uji Kekonvergenan Kaidah 1 . Suatu deret tidak mungkin konvergen kecuali bila suku-sukunya akhirnya menuju nol , yaitu kecuali jika Jika deretnya divergen Hal tersebut benar , karena agar jumlahnya menuju ke sebuah harga tertentu bila n bertambah , maka haruslah harga numerik suku-sukunya berkurang terus menuju nol. Sebagai contoh kita lihat deret berikut ini Deret Deret  

26. Kaidah Uji Kekonvergenan Kaidah 2. Uji Perbandingan (The Comaparison Test). Suatu deret dengan suku-sukunya lebih kecil daripada suku-suku seletak deret positif lain. Dengan kata lain deret akan divergen apabila suku-sukunya lebih besar daripada suku-suku seletak deret lain yang telah diketahui divergen . Contoh : Uji kekonvergenan deret . Perhatikan 2 deret berikut : Kita bandingkan dengan deret berikut : Jika kita mulai suku ketiga kita bandingkan suku-suku seletaknya dapat kita lihat bahwa :  

27. Kaidah Kekonvergenan Kaidah 3. Uji Pembagian D’Alembert untuk deret bersuku positif Misalkan adalah deret dengan suku-suku positif . Carilah pernyataan untuk dan , yakni suku ke -n dan suku ke , dan kemudian bentuklah pembagian Tentukanlah harga limit pembagian tersebut bila . Penyelesaian dari kasus tersebut kita gunakan kaidah pembagian D’Alembert untuk deret bersuku positif . Kaidah tersebut adalah : Jika  

28. Uji Kekonvergenan Contoh: Ujilah deret berikut ini Langkah-langkah penyelesaian : Menentukan dahulu pola umum suku-sukunya yaitu : sehingga untuk suku ke mempunyai bentuk yang sama dengan mensubstitusikan (n+1) ke pola umum yang di dapat yaitu : Jadi Tentukan harga limitnya bila Jadi Karena  

29. Kekonvergenan Mutlak Kita tinjau deret yang tanda sukunya bergantian positif dan negative Contoh : Deret Deret Jika menyatakan suku ke -n pada umumnya sukunya mungkin positif atau mungkin juga negative. Tetapi menyatakan harga numerik dari Un, sehingga jika U1+U2+U3+U4+ …. Adalah deretdengan suku-suku bercampur baik positif atau negative maka deret adalah deret dengan suku-suku positif Jadi jika +… Maka  

30. Kekonvergenan Mutlak Perhatikan! Jika deret konvergen , maka deret mungkin tidak konvergen . Tetapi jika diketahui konvergen , maka dapat dipastikan bahwa juga konvergen Jika konvergen , maka deret dikatakan konvergen mutlak Jika divergen , tetapi konvergen , maka dikatakan konvergen bersyarat Jadi jika konvergen Dan divergen Maka adalah deret yang konvergen …… ( mutlak bersyarat )  

31. Rangkuman Deret Hitung : 2. Deret Ukur : jika 3. Deret Pangkat Bilangan Asli : Deret Tak Berhingga : jika memberikan sebuah harga tertentu , maka deretnya konvergen jika tidak memberikan sebuah harga tertentu , maka deretnya divergen  

32. Rangkuman Kaidah Uji Kekonvergenan (1) jika deret mungkin Konvergen Jika deret pasti divergen (2) Uji Perbandingan – deret pembanding yang penting Jika deret konvergen : jika deret divergen (3) Uji Pembagian D’Alembert untuk deret-deret bersuku positif  

33. Rangkuman (4) Deret Pada Umumnya Jika konvergen , maka deret dikatakan konvergen mutlak Jika divergen , tetapi konvergen , maka dikatakan konvergen bersyarat