Descreve o conceito de função, objetos, imagens, domínio e contradomínio.

Descreve o conceito de função, objetos, imagens, domínio e contradomínio.

1. Conceito de função

2. Conceito de função Através de um diagrama de setas , vamos estabelecer a correspondência entre o conjunto dos países, , e o conjunto das capitais, .   na fatura do supermercado, cada artigo surge associado ao seu preço; no horário, cada aula está associada a uma hora do dia; no boletim meteorológico, a cada cidade corresponde uma temperatura máxima; cada freguesia corresponde a um concelho.                     Nesta correspondência observa-se que: a cada elemento do conjunto (país) corresponde um elemento do conjunto (capital);   a cada elemento do conjunto (país) corresponde apenas um elemento do conjunto (capital), isto é, essa capital é única.   Quando uma correspondência verifica estas duas condições diz-se que é uma função .

3. Em alternativa, pode dizer-se que a cada elemento do conjunto (país) corresponde um e apenas um elemento do conjunto (capital).                       Uma correspondência entre dois conjuntos, e , que a cada elemento de associa um único elemento de , é uma função .   É usual representar-se uma função de em por , ou apenas por quando tal não for ambíguo.   Numa função, diferentes elementos de podem ter o mesmo correspondente em . Contudo, diferentes elementos de não podem estar associados a um mesmo elemento de .   Conceito de função

4. Exemplo :   É função , pois a cada elemento do conjunto corresponde um único elemento do conjunto .                         Exemplo :   Não é função , pois existe um elemento do conjunto , « », que não tem qualquer correspondente no conjunto .                         Conceito de função

5. Exemplo :   Não é função , pois existe um elemento do conjunto , « », com mais do que um correspondente no conjunto , « » e « ».                     Exemplo :   É função , pois a cada elemento do conjunto corresponde um único elemento do conjunto .                 Conceito de função

6. Domínio e contradomínio de uma função Observa a função representada no diagrama de setas ao lado.   As funções são geralmente designadas por letras minúsculas: , , ,   Cada elemento do conjunto que é correspondente de algum elemento do conjunto designa-se por imagem .   Ao conjunto de todas as imagens dá-se o nome de contradomínio , e representa-se por ou .   Cada elemento do conjunto designa-se por objeto .   Ao conjunto de todos os objetos dá-se o nome de domínio da função (ou conjunto de partida ), e representa-se por .                             Ao conjunto dá-se o nome de conjunto de chegada .     Repara que o contradomínio nem sempre é igual ao conjunto de chegada.

7. Domínio e contradomínio de uma função Repara que nesta função: é a imagem do objeto e representa-se por ;                           é a imagem do objeto e representa-se por ;   é a imagem do objeto e representa-se por ;   é a imagem do objeto e representa-se por .   lê-se « de é igual a » ou «a imagem de por é ».     De uma maneira geral, para nos referirmos a um objeto usamos a letra e para nos referirmos a uma imagem usamos a letra .   Uma vez que tanto uma como outra letra podem representar vários valores, designam-se por variáveis , sendo a variável independente e a variável dependente .            

8. A imagem de 2 é 4 Passar lê-se « de é igual a » ou «a imagem de por é ».  

9. Passar x é a variável independente y é a variável dependente

10. Exercício ) Justifica que é uma função.   Considera a função , representada no diagrama de setas seguinte.   ) Completa as seguintes expressões:   ) o domínio, o contradomínio e o conjunto de chegada da função .   ) Indica:   ) a imagem do objeto .   ) o(s) objeto(s) cuja imagem é .   )   )                           Sugestão de resolução: ) é função, pois a cada elemento do conjunto corresponde um e um só elemento do conjunto .   )   )   )   )   ) , e o conjunto de chegada é o conjunto .   ) A imagem do objeto é .   ) Os objetos e têm imagem .   Passar

11. Manual Vol 2 - Página 8 4, 5, 6 e 7 Próxima aula trazer computador

12. Página 8 7.3 Resolve a equação  

13. Exercício – Considera a função f definida por: f ( x ) = 2 x +1 Determina a imagem de -2, 0 e 1; Representa graficamente a função .

14. Considera a função afim definida por .                                   O gráfico da função está contido numa reta e os pontos de coordenadas , e pertencem ao gráfico da função.  

15. Lição nº 121 19/04/24 Sumário – Efeito da variação dos parâmetros a e b no gráfico da função f(x) = ax + b.

16. Definição – Dá-se o nome de função afim a uma expressão cuja expressão é do tipo , em que a é o declive e b a ordenada na origem.   (0, b ) O gráfico de uma função afim é uma reta oblíqua que passa no ponto de coordenadas Função Afim  

17. Manual Vol 2 - Página 10 Vamos começar

18. Considera as funções afins e definidas por e .   Função afim Retas paralelas As retas que representam as funções e , definidas respetivamente por e são retas paralelas, pois têm o mesmo declive, que é .   Duas funções afins com o mesmo valor do parâmetro são representadas por retas com o mesmo declive e, portanto, por retas paralelas .  

19. Função afim Função linear Um caso particular da função afim é a função linear , cuja expressão algébrica é do tipo , sendo um número racional. O gráfico de uma função linear está contido numa reta que passa na origem do referencial.   Ao fixar o parâmetro em zero, na função afim, definida por , obtém-se uma função linear .  

20. Considera a função linear definida por .   Função afim Função linear | EXEMPLO 1                           O gráfico da função linear está contido numa reta que passa na origem do referencial. Os pontos de coordenadas , e pertencem ao gráfico da função.    

21. Função afim Função linear Sendo a expressão algébrica de uma função linear , tem-se: , logo é a ordenada do ponto de abcissa , do gráfico de ; , sendo diferente de zero, ou seja, é o quociente entre a ordenada e a abcissa de qualquer ponto do gráfico de , à exceção da origem do referencial; designa-se por declive da reta que representa graficamente a função.  

22. Definição Uma função linear é uma função do tipo y = a x . FUNÇÃO LINEAR O gráfico de uma função linear é uma reta não horizontal que passa pela origem . A a também se chama declive da reta que representa graficamente a função. Forma canónica, sendo a o coeficiente do x.  

23. Considera a função linear definida por .   Função afim Função linear | EXEMPLO 2                           O gráfico da função linear está contido numa reta que passa na origem do referencial e os pontos de coordenadas , e pertencem ao gráfico da função.    

24. Função afim Função linear Como se verificou nos exemplos da função linear, a reta que representa graficamente a função contém a origem do referencial , mas, sendo diferente de zero, o valor do parâmetro influencia a direção da reta que é o gráfico da função linear .          

25. Função afim Função linear Como se verificou nos exemplos da função linear, a reta que representa graficamente a função contém a origem do referencial , mas, sendo diferente de zero, o valor do parâmetro influencia a direção da reta que é o gráfico da função linear .          

26. Função afim Função linear     Se , então o gráfico coincide com o eixo das abcissas.   Se , a reta atravessa o primeiro e o terceiro quadrantes. Dizemos que « a reta sobe ».   Se , a reta atravessa o segundo e o quarto quadrantes. Dizemos que « a reta desce ».   Quanto maior é o valor absoluto de 𝑎, mais a reta se aproxima do eixo das ordenadas.

27. Função afim Função constante Um outro caso particular da função afim é a função constante , cuja expressão algébrica é do tipo , sendo um número racional. O gráfico de uma função constante está contido numa reta horizontal .   Ao fixar o parâmetro em zero, na função afim, definida por , obtém-se uma função constante .   Se , então o gráfico está contido no eixo das abcissas.  

28. As funções e , definidas por e são funções constantes . As retas que representam as funções e , definidas respetivamente por e , são retas paralelas, pois têm o mesmo declive, que é . Quando o declive é zero, as retas são horizontais , ou seja « não sobem nem descem ».   Função afim Função constante | EXEMPLO

29. Função afim Síntese   Função afim       Função constante   Função linear                              

30. Função afim EXERCÍCIO Considera a função definida por . Justifica, sem a representar, que a origem do referencial não pertence ao gráfico da função . Indica as coordenadas do ponto de interseção do gráfico da função com o eixo das ordenadas. Determina a abcissa do ponto de interseção do gráfico da função com o eixo das abcissas. Mostra que o ponto de coordenadas pertence ao gráfico da função . Representa graficamente a função .  

31. Função afim EXERCÍCIO | Resolução A função não é do tipo , logo não é uma função linear e, portanto, o seu gráfico não contém a origem do referencial. As coordenadas do ponto de interseção do gráfico da função com o eixo das ordenadas são . Observa que, em , a ordenada na origem é . Um ponto pertencente ao eixo das abcissas tem ordenada igual a zero. Assim, pretendemos determinar o objeto cuja imagem é zero, ou seja:                   A abcissa do ponto de interseção é .      

32. Função afim EXERCÍCIO | Resolução (continuação) As coordenadas dos pontos pertencentes ao gráfico de uma função são do tipo . Assim, para mostrar que o ponto de coordenadas pertence ao gráfico da função , vamos mostrar que . Sabemos que o ponto de coordenadas pertence ao gráfico da função e, como a abcissa do ponto de interseção do gráfico da função com o eixo das abcissas é , sabemos que o gráfico interseta o eixo das abcissas no ponto de coordenadas .              

33. Função afim EXERCÍCIO | Resolução (continuação) Ponto de interseção do gráfico da função com o eixo das ordenadas: Ponto de interseção do gráfico da função com o eixo das abcissas:   Observa que o gráfico da função é uma reta e que para definir uma reta são suficientes dois pontos.  

34. Manual Vol 2 - Página 16 Tudo

35. Nº de cadernos Custo (em euros.) 1 2 2 4 3 6 4 8 Se a quantidade de cadernos for representada por x , então o custo correspondente é representado por 2 x X 2 2 = 2 x 1 4 = 2 x 2 6 = 2 x 3 8= 2 x 4 2 x Se Custo = y então y = 2 x x Expressão Algébrica A Marta foi a uma papelaria comprar um caderno e pagou 2 euros. Expressão Algébrica

36. Expressão algébrica A função fica definida por: O custo depende da quantidade, logo diz-se que: y Variável dependente x Variável independente f ( x ) = 2 x y = 2 x f : x y = 2 x ou ou Nº de bolos Custo (em euros.) 1 2 2 4 3 6 4 8 X 2 Nº de cadernos Custo (em euros.) 1 2 2 4 3 6 4 8 2 x x

37. Gráfico da Função 1 2 3 4 8 6 4 2 x y Representação gráfica Pode-se calcular e representar a imagem de qualquer objeto dado através da expressão analítica f ( x ) = 2 x x Y = f(x) 1 2 2 4 3 6 4 8 y Variável dependente x Variável independente Gráfico = {(1;2), (2,4), (3;6), (4,8)} y = 2 x

38. x y Função Constante y=3   x 1

39. Cálculo do declive de uma reta não vertical

40. Cálculo do declive de uma reta não vertical

41. DETERMINAR A EXPRESSÃO ALGÉBRICA DE UMA FUNÇÃO AFIM 1 - 0 3 - 1 5 - 3 f g 0 - 2 Função f Função g Determinar a ordenada na origem, b. y = -2 x + b b = 2 y = - 2x + 2 O valor de b é - 2 y = x - 2 Determinar o declive, a. Determinar o declive, a. y = -2 x + b 2 = -2 x 0 + b a = = 1 2 2 a = = -2 -2 1

42. MANUAL Página 22: exercícios 1, 2 e 3

43. x y Equação de uma reta vertical x = 3

44. MANUAL Página 22: exercícios 4 e 5

45. MANUAL Página 23: exercícios 6

46. FIM

47. x y b x y b ● ●