Determinantes - 2º B

Determinantes

1. Determinantes

2. Determinante de uma matriz quadrada
A toda matriz quadrada A está associado um
número real, chamado determinante de A . Ele é
obtido por meio de certas operações com os
elementos da matriz.
O determinante de uma matriz A pode ser indicado
por det A ou, ainda, substituído-se os parênteses
ou colchetes da matriz por barras.

3. Exemplo
O determinante da matriz P abaixo pode ser
indicado
–50
–14
P =
Por det P;
–50
–14


4. Determinantes de 1ª e 2ª ordem
O determinante de uma matriz quadrada de 1ª
ordem (matriz 1 x 1) é igual ao valor de seu único
elemento.
Exemplo
2 Þ det A = 2A =
A = [a
11
] det A = a
⇒
11

5. Determinantes de 1ª e 2ª ordem
O determinante de uma matriz quadrada de 2ª
ordem (matriz 2 x 2) é igual ao produto dos
elementos da diagonal principal, menos o produto
dos elementos da diagonal secundária.
a
11a
12
a
21a
22
=a
11
. a
22
– a
12 . a
21

6. Exemplos
Calcule o determinante das matrizes M e N abaixo.
23
51
M =
–50
–14
N =
23
51
Det M = =2.1 – 3.5= 2 – 15= –13
–50
–14
Det N = =(–5).4 – 0.(–1)= –20

7. Exemplos
Resolver a equação
x 2
xx + 1
= 2.
x 2
xx + 1
=x.(x + 1) – 2.x= x
2
+ x – 2x= x
2
– x
x
2
– x = 2Þx
2
– x – 2 = 0Þx = –1 ou x = 2

8. Determinantes de 3ª ordem – Regra Sarrus
Para calcular determinantes de 3ª ordem, usamos
um dispositivo chamado Regra de Sarrus. Veja os
passos a serem seguidos, em que tomamos um
determinante de uma matriz genérica A.
a
11 a
12 a
13
a
21 a
22 a
23
a
31 a
32 a
33
A =

9. Determinantes de 3ª ordem – Regra Sarrus
a
11 a
12 a
13
a
21 a
22 a
23
a
31 a
32 a
33
a
11 a
12
a
21 a
22
a
31 a
32
A =
1
o
passo: Copiamos ao lado da matriz A as suas
duas primeiras colunas

10. Determinantes de 3ª ordem – Regra Sarrus
2
o
passo: Multiplicamos os elementos da diagonal
principal de A. Seguindo a direção da diagonal
principal, multiplicamos, separadamente, os
elementos das outras “diagonais”.
a
11 a
12 a
13
a
21 a
22 a
23
a
31 a
32 a
33
a
11 a
12
a
21 a
22
a
31 a
32
Det A =
A =
a
11
.a
22
.a
33+ a
12.a
23.a
31+ a
13.a
21.a
32

11. Determinantes de 3ª ordem – Regra Sarrus
3
o
passo: Multiplicamos os elementos da diagonal
secundária de A, trocando o sinal do produto obtido.
Seguindo a direção da diagonal secundária,
multiplicamos, separadamente, os elementos das
outras “diagonais”, também trocando o sinal dos
produtos.
a
11 a
12 a
13
a
21 a
22 a
23
a
31 a
32 a
33
a
11 a
12
a
21 a
22
a
31 a
32
Det A =
A =
a
11
.a
22
.a
33+ a
12.a
23.a
31+ a
13.a
21.a
32
– a
31
.a
22
.a
13
– a
32
.a
23
.a
11

12. Determinantes de 3ª ordem – Regra Sarrus
a
11 a
12 a
13
a
21 a
22 a
23
a
31 a
32 a
33
a
11 a
12
a
21 a
22
a
31 a
32
Det A =
A =
a
11.a
22.a
33+ a
12.a
23.a
31+ a
13.a
21.a
32
– a
31
.a
22
.a
13
– a
32.a
23.a
11– a
33.a
21.a
12
4
o
passo: Somamos todos os resultados obtidos.

13. 1–32
4 2 0
–21 3
Exemplos
Calcule o determinante da matriz A abaixo.
A =
1–32
4 2 0
–2 1 3
1–3
4 2
–21
1.2.3+ (–3).0.(–2)+ 2.4.1= 6 + 0 + 8= 14
–[2.2.(–2)]–[1.0.1]–[(–3).4.3]= 8 – 0 + 36= 44
Det A =14 + 44 = 58

14. x 2 3
–1 x 4
–3 0 1
Exemplos
Encontrar os valores de x que anulam o
determinante
x 2 3
–1x 4
–3 0 1
x 2
–1x
–30
x.x.1+ 2.4.(–3)+ 3.(–1).0= x
2
– 24
–[3.x.(–3)]–[x.4.0]–[2.(–1).1]= 9x + 2
Det A =x
2
+ 9x – 22Þx
2
+ 9x – 22 = 0Þ
x = –11
ou
x = 2

15. Determinantes de
matrizes n x n

16. Matriz reduzida
Dada uma matriz quadrada A, de ordem n ≥ 2,
chama-se matriz reduzida de A pelo elemento a
ij
à
matriz de ordem n–1 que se obtém de A
suprimindo sua linha i e sua coluna j.
Indicaremos a matriz reduzida de A pelo
elemento a
ij com D
ij.
O determinante da matriz reduzida é chamado de
menor complementar .

17. 21
82
Exemplo
Considerando a matriz A abaixo, obter as matrizes
reduzidas de A pelos elemento a
21
e a
13
.
A =
D
21
=
–25
108
D
13
=
321
–25–7
1082

18. Co-fator de um elemento de uma matriz
Numa matriz quadrada A, de ordem n≥2, chama-se
co-fator do elemento a
ij
(simbolicamente A
ij
) o
número real definido por
A
ij = (–1)
i+j
.det D
ij.
Obs.: D
ij é a matriz reduzida de A pelo elemento a
ij.

19. Exemplo
Considerando a matriz A abaixo, calcular A
13
, co-
fator do elemento a
13 e A
23, co-fator do elemento
a
23.
A =
A
ij = (–1)
i + j
. Det D
ij
A
13 = (–1)
1 + 3
. Det D
13
3 2
2 8
D
13
=
A
13
= (–1)
4
. (24 – 4)= 1 . 20= 20
254
320
281

20. Exemplo
Considerando a matriz A abaixo, calcular A
13
, co-
fator do elemento a
13 e A
23, co-fator do elemento
a
23.
A =
A
ij = (–1)
i + j
. Det D
ij
A
23 = (–1)
2 + 3
. Det D
23
2 5
2 8
D
23
=
A
13
= (–1)
5
. (16 – 10)= (–1) . 6= –6
254
320
281

21. Teorema de Laplace
O determinante de uma matriz quadrada de ordem
n, n ≥ 2, é igual à soma dos produtos dos
elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer
pelos respectivos co-fatores.

22. 1340
–1003
20–11
0213
Exemplo
Calcular, utilizando o teorema de Laplace, o
determinante da matriz
A =
Det A = a
12
.A
12
+ a
22
.A
22
+ a
32
.A
32
+ a
42
.A
42
Det A = 3.A
12 + 0.A
22 + 0.A
32 + 2.A
42
Det A = 3.A
12
+ 2.A
42

23. Exemplo
Calcular, utilizando o teorema de Laplace, o
determinante da matriz
A =
Cálculo de A
12:
A
12
= (–1)
1 + 2
. Det D
12
–103
2–11
013
D
12
=
A
12 = (–1)
3
. 10= (–1) . 10= –10
1340
–1003
20–11
0213

24. Exemplo
Calcular, utilizando o teorema de Laplace, o
determinante da matriz
A =
Cálculo de A
42:
A
42
= (–1)
4 + 2
. Det D
42
140
–103
2–11
D
42
=
A
42 = (–1)
6
. 31= 31
1340
–1003
20–11
0213

25. Exemplo
Calcular, utilizando o teorema de Laplace, o
determinante da matriz
A =
Det A = a
12
.A
12
+ a
22
.A
22
+ a
32
.A
32
+ a
42
.A
42
1340
–1003
20–11
0213
Det A = 3.A
12 + 2.A
42
Det A = 3.(–10) + 2.31 = 32

26. Propriedades dos
Determinantes

27. Propriedades dos determinantes
P1. O determinante de uma matriz vale zero se ele
tem:
Uma linha (ou coluna) nula.
–123
000
513
= 0
Duas linhas (ou colunas) iguais ou proporcionais.
151
2–42
303
= 0
013
226
–3412
= 0
2
º
coluna x 3
1
º
coluna =3
o

28. Propriedades dos determinantes
P2. se trocarmos de posição, entre si, duas linhas (ou
colunas) de um determinante, ele troca de sinal.
2–13
104
3–21
= –1
3–12
401
1–23
= 1

29. 2.3–5
1.3 4
2–5
14
Propriedades dos determinantes
P3. Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) de um
determinante por uma constante k, ele fica
multiplicado por k.
= 13
6–5
34
= = 39
13. 3 = 39

30. Propriedades dos determinantes
P4. O determinante de uma matriz é igual ao
determinante de sua transposta.
Det A
t
Û det A
Exemplo
31
–42
A =
3–4
12
Þ A
t
=
Det A = 10 Det A
t
= 10

31. 2 00
3–10
2 03
Propriedades dos determinantes
P5. Se forem nulos todos os elementos situados de
um mesmo lado da diagonal principal, o
determinante será igual ao produto dos
elementos da diagonal principal.
Exemplo
A =
Det A = 2.(–1).3= –6
A matriz A é triangular.

32. Propriedades dos determinantes
P6. O determinante do produto de duas matrizes é o
produto de seus determinantes (teorema de
Binet).
det (AB) = det A . det B
Exemplo
31
42
A =
2–3
41
B =
10 –8
16–10
AB =
Det A = 2 Det B = 14 Det AB = 28

33. Propriedades dos determinantes
P7. Se uma matriz é invertível, o determinante de
sua inversa é o inverso de seu determinante.
det A
–1
Û 1/det A
A.A
-1
= I
n
det (A.A
-1
) = det I
n
det (A) .det (A
-1
)= 1
Teorema
de Binet

34. Exemplo
Se A e B são matrizes quadradas invertíveis, com
det A = 2 e det B = 6, calcular det (B.A
–1
).
det (B.A
–1
) = det B . det A
–1
=6. 1/2= 3

35. Propriedades dos determinantes
P8. Uma matriz quadrada A é invertível se, e
somente se, seu determinante é diferente de
zero.
A é inversível Û det A ¹ 0

36. Exemplo
Calcular o parâmetro m para que seja invertível a
matriz A abaixo.
A =
m12
3m–1
201
m12
3m-1
201
¹ 0 Det A = m
2
– 4m – 5
Þm
2
– 4m – 5 ¹ 0
Þm ¹ –1 e m ¹ 5

37. 1 + (–2).22
3 + (–2).55
Propriedades dos determinantes
P9. Um determinante não se altera se substituirmos
uma de suas filas por ela própria somada com
uma outra paralela multiplicada por uma
constante (Teorema de Jacobi) .
Exemplo
12
35
=1.5 – 2.3= 5 – 6= –1
=
–32
–75
= –15 – (–14)= –1

38. Observação
A aplicação dessa propriedade pode facilitar o
cálculo de certos determinantes, principalmente os
de 4ª ordem ou de ordem superior.

39. 1111
1222
1233
1235
Exemplo
Calcular o determinante abaixo.
Vamos adicionar à segunda coluna
a 1ª coluna multiplicada por –2.
11 +(–2).1 11
12 +(–2).1 22
12 +(–2).1 33
12 +(–2).1 35
=
Det A = –1. A
12
1–111
1022
1033
1035

40. 122
133
135
1111
1222
1233
1235
Exemplo
Calcular o determinante abaixo.
Cálculo de A
12
:
A
12 = (–1)
1 + 2
. = –2
Det = (–1).(–2) = 2
1–111
1022
1033
1035

41. Regra de Chió
Permite baixar a ordem de um
determinante facilitando o seu cálculo.

42. Etapas
1ª Etapa: eliminamos da matriz A a linha i e a
coluna j do elemento a
ij
= 1.
2ª Etapa: Subtraímos de cada um dos elementos
restantes de A o produto dos elementos
eliminados que se encontra na sua linha e na sua
coluna, obtendo assim uma matriz B de ordem n –
1.
3ª Etapa: o determinante de A é igual a
(–1)
i+j
. det B.

43. Exemplo
Calcular o determinante abaixo utilizando a regra
de Chió.
Vamos aplicar a regra de Chió a
partir do elemento a
24.
23–1
322
–123
Þ 2 – (2.0)2 – (4.0)3 – (1.0)
3 – (2.2)
–1 – (2.0)3 – (4.0)2 – (1.0)
2 – (4.2)–1 – (1.2)
23–10
1421
3220
–1232

44. Exemplo
Calcular o determinante abaixo utilizando a regra
de Chió.
Vamos aplicar a regra de Chió a
partir do elemento a
24.
23–10
1421
3220
–1232
Þ
2 – (1.0)3 – (4.0)–1 – (2.0)
3 – (1.0)2 – (4.0)2 – (2.0)
–1 – (1.2)2 – (4.2)3 – (2.2)
23–1
322
–3–6–1
Det = (–1)
2 + 4
. det B= (–1)
6
. (–13)= 13

45. Matriz Inversa

46. Matriz inversa - Teorema
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A inversa
de A existe se, e somente se, det A ≠ 0.
A inversa da matriz A (caso exista) é dada por
A
–1
=
1
det A
. [cof A]
t
[cof A] = matriz dos cofatores de A, também
chamada de matriz adjunta (A) de A .

47. 2–5
1–3
Exemplo
Determine a inversa da matriz A abaixo.
A =
Vamos obter o co-fator de cada elemento de A.
A
11 = (–1)
1 + 1
. Det [–3]Þ A
11 = –3
A
12
= (–1)
1 + 2
. Det [1]Þ A
12 = –1
A
21
= (–1)
2 + 1
. Det [–5]Þ A
21
= 5
A
22
= (–1)
2 + 2
. Det [2]Þ A
22
= 2
cof A =
–3–1
52

48. 2–5
1–3
Exemplo
Determine a inversa da matriz A abaixo.
A =
A inversa da matriz A é obtida assim
A
–1
=
1
det A
. [cof A]
t
Det A =2.(–3) – (–5).1= –1
cof A =
–3–1
5 2
Þ (cof A)
t
=
–35
–12

49. 3–5
1–2
2–5
13
Exemplo
Determine a inversa da matriz A abaixo.
A =
A inversa da matriz A é obtida assim
A
–1
=
1
det A
. [cof A]
t
A
–1
=
1
–1
–35
–12
Þ A
–1
=