Determinantes 2022 (3era Parte) (1).pdf matematica 2

Matematica 2

1. Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

3. Si aϵR
mxn
se llama operación elemental sobre las filas
a cualquiera de las siguientes:
1)Intercambiar dos filas entre sí
F
i⟷F
j
2) Reemplazar una fila por la que se obtiene multiplicando
a sus elementos por un escalar no nulo
F
i⟶k.F
i con k ∈R,k≠0
3) Reemplazar una fila por la que se obtiene sumando a
sus elementos los de otra fila multiplicados por un escalar.
F
i⟶F
i+k.F
j con k ∈R
OPERACIONES ELEMENTALES POR FILAS

7. MATRIZ EQUIVALENTE POR FILAS

9. Si aϵR
nxn
es una matriz cuadrada y se le aplica alguna de las
operaciones elementales por filas ¿qué pasa con el deta?
Si se intercambian dos filas
Si se multiplica una fila
por un k ≠ 0
Si se suma a una fila el
producto de un escalar
por otra
el deta
cambia de signo
el detaqueda
multiplicado por k
el deta
no cambia
CUALES OPERACIONES ELEMENTALES
POR FILAS AFECTAN EL VALOR deta ?

10. METODO DE TRIANGULACION
(para el cálculo de determinantes)

11. deta = ??????=
1−2−1
−13−2
201
1−2−1
−13−2
201
1−2−1
01−3
043
deta = ??????=
1−2−1
01−3
0015
= 1 . 1 . 15 = 15
??????2→??????2+??????1
1−2−1
01−3
201
??????3→??????3−2??????1
1−2−1
01−3
043
??????3→??????3−4??????2
1−2−1
01−3
0015

12. Es el orden de la sub-matriz cuadrada de mayor orden,
cuyo determinante tiene valor distinto de cero.
Si “a” es la matriz nula, su rango es cero.
En otras palabras, se llama rangode una matriz “a” de
orden mxnal orden del determinante de mayor orden no
nulo que pueda extraerse de “a” mediante la eliminación
de filas y/o columnas
RANGO DE UNA MATRIZ DE ORDEN
mxnNO NULA

13. RANGO DE UNA MATRIZ
¿Cuál es el rango de a=
231
464
?
¿Cuál es el rango de b=
231
462
?
El rango de una matriz coincide con el número de filas o
de columnas independientes de la misma.
rg(a) = 2
rg(a) = 1
Ejemplos

14. ¿Cuál es el rango de 0
nxm?
¿Cuál es el rango de Id
2?
¿Cuál es el rango de Id
3?
¿Cuál es el rango de Id
n?
Determina el rango de a =
4 2−1
0 5−1
12−4−1
3
2
5
rg(id
n) = n
rg(0
nxm) = 0
rg(id
3) = 3
rg(id
2) = 2
rg(a) = 2
10
01
100
010
001

15. El rango de una matriz no cambia si se aplican
a la misma cualquiera de las operaciones
elementales a las filas.
Es decir, las matrices equivalentes, además
del mismo orden, tienen el mismo rango
Hallar el rango de
PROPIEDAD
b =
11−2
22−3
33−4
4
1
−2
5
3
1

16. b =
11−245
22−313
33−4−21
??????2→??????2−2??????1
11−245
001−7−7
33−4−21
b =
11−2
22−3
33−4
4
1
−2
5
3
1
11−245
001−7−7
33−4−21
??????3→??????3−3??????1
11−24 5
001−7−7
002−14−14
11−24 5
001−7−7
002−14−14
??????3→??????3−2??????2
11−245
001−7−7
00000
rg(b) = 2

17. El procedimiento consiste en aplicar sucesivamente
operaciones elementales hasta lograr obtener ceros debajo
de todos los elementos diagonales a
i i.
Luego, el rango resultará igual al número de filas que queden
después de eliminar:
METODO PARA EL CALCULO DEL
RANGO DE UNA MATRIZ

18. El rango de fila es igual al rango de columna.
•Si a es una matriz cuadrada de orden n, rg(a) ≤n
•Si a es una matriz de orden mxn, rg(a) ≤min{m, n}
Ejemplo (para pensar …)
Hallar, si existe , el valor de k para que el rango de la
matriz csea 5, 4, 3, 2, 1 o 0.
Observaciones









−
−=
k4671
11231
02211
c