Diagrammi di Bode

1. Teoria e applicazioni

2. I diagrammi di Bodesono due:
Diagrammi delle ampiezze
Diagrammi delle fasi
I diagrammi di Bodesono detti asintotici poiché
rappresentano le caratteristiche della f.d.tper
Ciascuno di essi è riportato su scala
semilogaritmica nel seguente modo:
Le pulsazioni vengono riportate sull’asse delle ascisse in
scala logaritmica base 10
La fase e le ampiezze sono riportate sull’asse delle
ordinate di ciascun grafico e in scala lineare
0ω
ω→
→∞

3. Si vuole tracciare il diagramma di Bodedella seguente f.d.t.
1.Bisogna prima fattorizzare la funzione di trasferimento,
trasformarla cioè nella seguente forma:
'' 22
'' 11
12 ' '2 ' '2
' 11 22
22
11
12 22
11 22
22
(1 )(1 )...(1 )(1 )...
()
22
(1 )(1 )...(1 )(1 )...
nn nn
h
nn nn
ssss
ss
Gj K
ssss
sssδδ
ττ
ωω ωω
ω
δδ
ττ
ωω ωω
++ ++ ++
=
++ ++ ++
' ' 2 ' ' '2 2 ' '2
1 2 11 1 1 2 2
2 22 2
1 2 11 1 12 2
( 1/ )( 1/ )...( 2 )( 2 )...
()
( 1/ )( 1/ )...( 2 )( 2 )...
nn n n
h
nn n n
ss s s
Gj K
ss s s sτ τ δω ω δω ω
ω
τ τ δω ω δω ω++ ++++
=
++ ++++
dove

4. K è detta costante di guadagno
Per h=0 s=0, K
’
è detta guadagno statico
Per h=1 s=0, K
’
è detta costante di velocità
Per h=2 s=0, K
’
è detta costante di accelerazione
''
' 12 1 2
'' ' '
12 1 2
... ...
... ...
nn
nn
KK
ττ ωω
ττ ωω
=

5. 2.Si esprime la funzione di trasferimento
fattorizzata, in decibel
10
'' 22
'' 11
12 ' '2 ' '2
' 11 22
10 22
11
12 22
11 22
( ) 20log ( )
22
(1 )(1 )...(1 )(1 )...
20log
22
(1 )(1 )...(1 )(1 )...
dB
nn nn
h
nn nn
Gj Gj
ssss
ss
K
ssss
sss
ωω
δδ
ττ
ωω ωω
δδ
ττ
ωω ωω
= =
++ ++ ++
=
++ ++ ++

6. 3.Ricordando le proprietà dei logaritmi:
log ( )
log( ) log( ) log( )
log( ) log( ) log( )
log( ) *log( )
log ( )
log ( )
log ( )
b
b
c
b
c
a
ab a b
a
ab
b
ab a
a
a
b
ab
= +
= −
=
=
=

7. '' '
10 10 1 10 2
'' 22
12
10 10' '2 ' '2
11 22
10 1 10 2 10
22
12
10 10' '2 ' '2
11 22
( ) 20(log log 1 log 1
22
log 1 log 1
log 1 log 1 log
22
log 1 log 1 )
dB
nn nn
nn nn
Gj K s s
ssss
s sh s
ssss
ω ττ
δδ
ωω ωω
ττ
δδ
ωω ωω
= +++++
+ +++ + ++
− +− +−• +
− ++− ++

8. 4.Ricordando la definizione di modulo di una
quantità complessa
Il modulo in decibel diventa:
22
x jy x y+= +
' '2 ' 2
10 10 1 10 2
'' 22
12
10 10' '2 ' '2
11 2 2
22
10 1 10 2 10
22
12
10 1022
11 22
( ) 20(log log 1 ( ) log 1 ( )
22
log 1 log 1
log 1 ( ) log 1 ( ) log
22
log 1 log 1 )
dB
nn n n
nn nn
Gj K
ssss
h
ssssω τω τω
δδ
ωω ωω
τω τω ω
δδ
ωω ωω
= +++++
+ +++ + ++
− ++ +−• +
− ++− ++

9. Per il diagramma delle fasi, lo sfasamento sarà
dato dalla somma di tutti gli sfasamenti
''
12
'
'
12
()
0
()()()
11
() ()
011
imm
arctg
re
arct arctg arctg
k
arctg n arctg arctgϕ
ωτ ωτ
ϕ
ωτ ωτω= →
=+++

+−+−+−



10. 5.Si noti che possiamo scomporre la f.d.t
espressa in dB, nelle seguenti parti:
Ciò ci permette di scomporre il suo grafico in altri grafici più semplici
'
10
'2
10 1
'2
10 2
' 2
1
10 ' '2
11
' 2
2
10 ' '2
22
20 log
20 log 1 ( )
20 log 1 ( )
2
20 log 1
2
20 log 1
nn
nn
K
ss
ss
τω
τω
δ
ωω
δ
ωω
+•
+• +
+• +
+• + +
+• + +
2
10 1
2
10 2
10
2
1
10 2
11
2
2
10 2
22
20 log 1 ( )
20 log 1 ( )
20 log
2
20 log 1
2
20 log 1
nn
nn
h
ss
ss
τω
τω
ω
δ
ωω
δ
ωω
−• +
−• +
− ••
−• + +
−• + +

11. Ricordiamo la definizione di decade
Siamo in scala logaritmica e, gli unico intervalli uguali sono quelli che vanno da
una decade all’altra, cioè di 10 in 10 . Esempio, l’intervallo 0.5-5 , 50-500.
In figura è riportato un esempio

12. 6.Si eseguono delle approssimazioni visto che
stiamo parlando di diagrammi asintotici.
Analizziamo il grafico di ogni singolo termine per
poi procedere alla sovrapposizione di tutti
0ω
ω
→
→∞

13. Retta parallela all’asse x con sfasamento
Modulo
Es: G(s)= 1
|G(s)|=20
()Gs K=
'
0
0arctg
K
ϕ

= =


10
( ) 20logGs K=

15. G(s)=10
|G(s)|=20
φ=0°
G(s)=-10
|G(s)|=20
φ=180°

17. n è la molteplicità del polo o dello zero
Siccome stiamo tracciando un diagramma asintotico, si
osserva una decade prima del polo (zero) e una decade
dopo. Il grafico sarà quello di una semiretta con pendenza –
(+) n*20dB/decade con origine sull’asse delle ascisse, una
decade prima.
In corrispondenza dello zero o del polo si commette un
errore di 3 dB nel tracciare il grafico asintotico.
Si definisce frequenza di taglio, quella frequenza in cui il
grafico taglia l’asse delle ascisse
2
10
2
10
20 log 1 ( )
20 log 1 ( )
1
n
n
n arctgτω
τω
τω
ϕ+• +
−• +

=±•



18. G(s)=1+0.1s
Es
ω <= 1, (una decade prima dello zero)
|G(s)|=0 φ=0
ω =10,
|G(s)|=20*log
102
1/2
φ=45°
ω >= 100, (una decade dopo lo zero)
|G(s)|=20 dBφ=90°
2
10
( ) 20 log 1 (0.1 )
0.1
1
Gs
arctg ω
ω
ϕ= +

=




20. EsG(s)=1/(1+10s)
ω <= 0.01, (una decade prima del polo)
|G(s)|=0 φ=0
ω =0.1,
|G(s)|=- 20*log
102
1/2
φ=−45°
ω >= 1, (una decade dopo il polo )
|G(s)|=- 20 dBφ=−90°
2
10
( ) 20 log 1 (10 )
10
1
Gs
arctg ω
ω
ϕ
=−+

=−




22. Sia data una f.d.tdata dal prodotto delle
precedenti
I diagrammi di Bodesono dati dalla
sovrapposizione degli altri tre
10(1 0.1 )
()
(1 10 )
s
Gs
s
+
=
+

23. Frequenza di
taglio

24. EsG(s)=(1+0.1s)
2
2
10
( ) 2 20 log 1 (0.1 )
0.1
2
1
Gs
arctg ω
ω
ϕ= +

=




ω <= 1, (una decade prima dello zero)
|G(s)|=0 φ=0
ω =10
|G(s)|=40*log
102
1/2
φ=90°
ω >= 100, (una decade dopo lo zero)
|G(s)|=40 dBφ=180°

26. EsG(s)=1/(1+10s)
2
ω <=0.0 1, (una decade prima del polo)
|G(s)|=0 φ=0
ω =0.0 1, |G(s)|=-40*log
102
1/2
φ=90°
ω >= 1, (una decade dopo il polo)
|G(s)|=-2*20 dBφ=−180°
2
10
( ) 2 20 log 1 (10 )
10
2
1
Gs
arctg ω
ω
ϕ=−+

=−





28. G(s)=s
n
|G(s)|=n*log
10s
φ=n*arctg(jω/0)=n90°
Es:
G(s)=s
|G(s)|=log
10s
φ=arctg(jω/0)=90°

30. G(s)=s-
n
|G(s)|=-n*log
10s
φ=-n*arctg(j ω/0)=−n 90°
Es:
G(s)=1/s
|G(s)|=-log
10s

φ=-arctg(jω/0)=−90°

32. 2
2
1
()
12
nn
Gs
s
s
ξ
ωω
=
++
( )
2
2
1,2
2
2
1,2
4
1
4
n nn
n
n
ξξ
ωωω
ω
ω
ωωξξ
−± −

=
= −± −

34. I vantaggi di una rappresentazione in scala
logaritmica sono i seguenti:
Alcune funzioni semplici come monomi, binomi,
…polinomiassumono una forma particolarmente
semplice
Possibilità di rappresentare ampie scale di variazione
Una funzione più complessa può essere espressa
come somma di più funzioni semplici e quindi, ogni
grafico di funzioni più complesse , può essere dato
dalla sovrapposizione di grafici di semplici funzioni