DIAPOSITIVAS DE MATEMATICA AVANZADA, VARIABLE COMPLEJA

El estudio de las variables complejas constituye una de las ramas más elegantes y profundas de la matemática, debido a la forma en que une el álgebra, la geometría y el análisis. Una variable compleja es, en términos sencillos, una variable que puede tomar valores en el conjunto de los números complejos. Un número complejo se representa como
𝑧
=
𝑥
+
𝑖
𝑦
z=x+iy, donde
𝑥
x e
𝑦
y son números reales y
𝑖
i es la unidad imaginaria, definida por la propiedad
𝑖
2
=
−
1
i
2
=−1. Esta extensión de los números reales hacia los complejos no es solo un artificio algebraico, sino que abre la puerta a un campo con una gran cantidad de aplicaciones en ingeniería, física, matemáticas aplicadas, informática y diversas ciencias.

La función de variable compleja es el objeto central de esta teoría. Una función compleja puede entenderse como una aplicación que asigna a cada número complejo otro número complejo, es decir,
𝑓
:
𝐶
→
𝐶
f:C→C. La particularidad es que, a diferencia de lo que ocurre con las funciones de variable real, aquí intervienen simultáneamente dos dimensiones, porque cada número complejo puede visualizarse como un punto en el plano, conocido como plano complejo o plano de Argand. En este contexto, el eje horizontal representa la parte real (
𝑥
x) y el eje vertical la parte imaginaria (
𝑦
y). De esta manera, el análisis de funciones complejas no solo se desarrolla en el álgebra simbólica, sino también en la geometría, pues cada transformación compleja puede interpretarse como una transformación geométrica en el plano.

Uno de los aportes más significativos de esta teoría es el concepto de diferenciabilidad compleja. Una función de variable real puede ser diferenciable en un punto, pero la condición de diferenciabilidad en el plano complejo es mucho más exigente. Para que una función compleja
𝑓
(
𝑧
)
f(z) sea diferenciable en un punto, debe cumplirse la existencia de un límite único para la derivada, sin importar la dirección desde la que se aproxima el incremento en la variable. Esto conduce a la formulación de las célebres ecuaciones de Cauchy-Riemann, condiciones necesarias (y, bajo ciertas circunstancias, suficientes) para que una función sea analítica o holomorfa. Estas condiciones implican una relación estrecha entre las derivadas parciales de la parte real y la parte imaginaria de la función, estableciendo una simetría muy particular que no aparece en el análisis real.

El hecho de que una función compleja sea analítica tiene consecuencias profundas. Por ejemplo, las funciones analíticas son infinitamente diferenciables y coinciden con su desarrollo en series de potencias en torno a cualquier punto de su dominio. Este resultado es sumamente más fuerte que en el análisis real, donde muchas funciones diferenciables no pueden representarse por series de potencias.

1. MATEMÁTICA AVANZADA MIC - 611 VARIABLE COMPLEJA Alumnos: JHUNIOR SULCA HUAMÁN RAFAEL TABOADA TABOADA JHONNY JAIME NUÑEZ ESCALANTE YARKOFF WALTER PORRAS MARQUINA ELICIO MENDOZA DE LA CRUZ 1

2. CONTENIDO Capítulo 2: Función de variable compleja, Derivadas, Ecuaciones de Cauchy y Riemann. Capítulo 3: Probar la función exponencial. ¿Que es un residuo?, ¿que es un polo?, ilustrar con un ejemplo las transformaciones conformes. MIC - 611 2

3. CAPITULO 2 MIC - 611 FUNCIÓN DE VARIABLE COMPLEJA Una función compleja se define el dominio y el rango en los números complejos con En donde podemos representar a De igual manera nuestra función compleja podemos representarlas mediante dos funciones reales de variable real.   MIC - 611 3 Ejemplo: Si tenemos la función Hacemos Reagrupando tenemos nuestras funciones de reales de variable real. y Haciendo un cambio a coordenadas polares tenemos: y Reemplazando y factorizando en nuestra ecuación: , sabemos que Entonces tenemos: Adicionalmente la función compleja se escribe y se concluye:  

4. CAPITULO 2 MIC - 611 DERIVADA Sea una función cuyo dominio de definición contiene un entorno de . La derivada de en , escrita ,se define por la ecuación. Sabemos que , reemplazando tenemos: Tenemos la función compleja , entonces : Entonces la derivada de la función compleja:   MIC - 611 4 Ejemplo: Si tenemos la función Sabemos que: es un polinomio en ALGUNAS FORMULAS DE DERIVACIÓN , siempre y cuando existan las derivadas de las funciones en el punto . APLICACIONES Las funciones y derivadas de variable complejas, como una de sus aplicaciones es en la transformada de Laplace para resolver la dinámica de estructuras .  

5. Ecuaciones de Cauchy y Riemann. MIC - 611 5 En esta sección obtendremos un par de ecuaciones que deben satisfacer las primeras derivadas parciales de las funciones componentes u y v de una función.       y que existe en un punto Entonces las primeras derivadas parciales de y deben existir en ese punto y deben satisfacer en él las ecuaciones de Cauchy-Riemann:       Función compleja

6. Ecuaciones de Cauchy y Riemann. MIC - 611 6 Además, se puede expresar como: donde las derivadas parciales están evaluadas en   y que existe en un punto Entonces las primeras derivadas parciales de y deben existir en ese punto y deben satisfacer en él las ecuaciones de Cauchy-Riemann:  

7. CAPITULO 3 MIC - 611 7 Capítulo 3: Probar la función exponencial. Conocemos que la función exponencial de variable real es: Entonces, debería cumplir con las siguientes condiciones: Ahora, la función exponencial de variable compleja sería: ; ……………………. (1) ……………………. (2) Procederemos a buscar la función que cumpla dichas condiciones: Sea la función: De la condición (2): La ecuación es una EDO en x, cuya solución general es: ; Hallamos ɸ(y) a partir del teorema de funciones armónicas: si f es analítica en un dominio D, sus funciones componentes u y v son armónicas en D. ; Entonces: Como: Es una ÉDO Cuya solución general es: Teorema: ;

8. CAPITULO 3 MIC - 611 8 Capítulo 3: Probar la función exponencial. Hallamos Ψ (y): De las ecuaciones de Cauchy–Riemann tenemos: Igualando: De la condición (1): Por tanto: Pero: y Por tanto: Finalmente: Es decir: