Diferencia simétrica de conjuntos

procedimientos para la adecuada resolucion de ejercicios de diferencia simetrica de conjuntos

1. DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOS

DEFINICION:
La diferencia entre dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto, cuyos
elementos son todos aquellos en el primero de los conjuntos iniciales que no estén en el
segundo. Dados dos conjuntos A y B, su diferencia es el conjunto que contiene todos los
elementos de A que no están en B:
La diferencia de A menos B (o entre A y B) es otro conjunto A \ B (o también A − B) cuyos
elementos son todos aquellos elementos de A que no lo sean de B:


NOTACION:
Su notación es: Δ
Ejemplo:
La definición de la diferencia simétrica puede reducirse fácilmente a las operaciones de
unión, intersección y diferencia:

2. PROPIEDADES:
Nilpotencia. Se lo llama así cuando se lo realiza la diferencia con el mismo y a este se le
llama conjunto vacío.

Propiedad asociativa. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B Δ C es igual que la
diferencia simétrica de los conjuntos A Δ B y C:

Propiedad conmutativa. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es igual a la
diferencia simétrica de los conjuntos B y A:

Elemento neutro. La diferencia simétrica de un conjunto A con el conjunto vacío es el
mismo conjunto A:

Propiedad distributiva. La propiedad distributiva solo se puede realizar a partir de tres o
más conjuntos. (Guardado, 2007)

3. EJEMPLOS:
Δ= {AUB} – {A ∩B} A= {1, 2, 3, 4, 5} B= {4, 5, 6, 7, 8, 9}
AΔB= {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9} – {4, 5}
AΔB= {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9}

Grafico 1. Diagrama de Venn, el área sombreada representa
AΔB(https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_sim%C3%A9trica)
A`ΔA= {A}

Grafico 2: diagrama de Venn (https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_sim%C3%A9trica)

4. A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,} B= {1, 2, 7, 8, 9}
AΔB= {3, 4, 5, 6, 8, 9} – {1, 2, 7} AΔB= {3, 4, 5, 6, 8, 9}

Grafico 3: Diagrama de Venn, el área sombreada representa
AΔB(https://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_sim%C3%A9trica)

5. EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dados los conjuntos

A= {a, b, c, d, e} A Δ B = {a, b, c, f, g}
B= {d, e, f, g}


Grafico 1: El área sombreada de color amarillo representa A Δ B
2. Dados dos conjuntos
A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será
A∆B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Ven se tendría lo siguiente:


Grafico 2: El área sombreada de color anaranjado representa A Δ B

6. 3. Dados dos conjuntos
F= {x/x estudiantes que juegan fútbol} y B= {x/x estudiantes que juegan básquet},
la diferencia simétrica será F∆B= {x/x estudiantes que sólo juegan fútbol y
básquet}. Usando diagramas de Ven se tendría lo siguiente:


Grafico 3: El área sombreada de color anaranjado representa F Δ B

7. EJERCICIOS PROPUESTOS
1: Sean los conjuntos
&#3627408503;={&#3627409361;????????????⁄∈&#3627408501;;&#3627409359;<??????≤6}={ }
&#3627408504;={??????+&#3627409359;??????⁄∈&#3627408501;;??????<5}={ }
Hallar: &#3627408503;∆&#3627408504; y su diagrama de Venn Euler
Solución:
&#3627408503; ∆ &#3627408504;={ }






2. DADOS LOS CONJUNTOS
&#3627408500;={&#3627409360;??????+&#3627409361;??????⁄∈&#3627408501;;&#3627409360;≤??????<7}={ }
&#3627408501;={??????−&#3627409359;??????⁄∈&#3627408501;;"X" es par, ??????<??????≤12}={ }
Hallar: "&#3627408500;∆&#3627408501;" y su diagrama de Venn Euler
Solución:
&#3627408500; ∆ &#3627408501;={ }

8. 3. Sean los conjuntos:
&#3627408437;={??????
2
+1??????⁄∈??????;??????<4}={ }
&#3627408438;={??????−3??????⁄∈??????;3<??????≤13}={ }
Hallar: "&#3627408437; ∆ &#3627408438;" y su diaframa de Venn Euler
SOLUCION:
B ∆ C={ }







4. SOMBREAR EN CADA CASO:
a) &#3627408436; ∆ &#3627408437; b) &#3627408437; ∆ &#3627408436;

9. b) &#3627408439; ∆ &#3627408440;