Distribución de la media muestral.pptx

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1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD Hugo Saavedra Saavedra [email protected]

2. DISTRIBUCIONES MUESTRALES Población Muestra aleatoria simple Distribución de la muestra Estadístico Distribución de un estadístico Distribución de la media muestral 2

3. Muestra Aleatoria Simple (MAS) Definición. Sea una población X, con función de probabilidades o función de densidad de probabilidad f(x). Una MAS de tamaño n es un conjunto: , … , de n variables aleatorias Independientes e Idénticamente distribuidas, ( iid .).   3 Distribución de una muestra aleatoria simple Es la distribución conjunta de las n VA que constituyen la MAS, está dada por: f( , … , f( … f(  

4. Estadística (estadístico) Definición. Es una función de las variables aleatorias que constituyen una MAS y no contienen constante desconocidas . Toda estadística es una variable aleatoria por ser una función de variables aleatorias y tiene distribución de probabilidad, llamadas distribuciones muestrales (distribuciones en el muestreo) Ejemplos T= Total de la muestra Media de la muestra Varianza de la muestra = Mínimo de la muestra = Máximo de la muestra R= - Rango de la muestra Mediana de la muestra, n impar , si se conoce el valor de la constante µ. En caso contrario no es un estadístico.   4

5. 5 La estadística inferencial se sustenta en las estadísticas y sus distribuciones.

6. Distribución de la media muestral Teorema 8.1 Si , … , , constituyen una muestra aleatoria de una población infinita con media µ y varianza entonces. E( )= µ y Var( )=   6

7. Distribución de estadísticas - Ejemplo 7 Sea una población X= edades de 4 niños cuya función de probabilidades es 1) Graficar la distribución de la población 2) Calcular la media, la varianza y la desviación estándar de X. 3) Hallar la distribución de la muestra de tamaño n=2, extracción con remplazo y graficarla 4) Hallar la distribución de la media muestral de tamaño n=2. construir la gráfica. 5) Calcular la media y varianza de la media muestral

8. Solución 1 . Gráfica de la distribución de la población X 2) - Media de X E(X)=µ = = 2(0.2)+4(0.1)+5(0.3)+6(0.4) E(X)=µ = 4.7 años. - Varianza de X Var(X) = = Var(X) = = (0.2)+ (0.1)+ (0.3)+ (0.4) Var(X) = =2.21 - Desviación estándar 1.48660687 años   8

9. 9 3) Hallar la distribución de la muestra de tamaño n=2 . La muestra aleatoria será el par de variables aleatorias   X1 X2 f(X1, X2) 2 2 0.04 2 4 0.02 2 5 0.06 2 6 0.08 4 2 0.02 4 4 0.01 4 5 0.03 4 6 0.04 5 2 0.06 5 4 0.03 5 5 0.09 5 6 0.12 6 2 0.08 6 4 0.04 6 5 0.12 6 6 0.16 Posible muestra: , su probabilidad es:   f( )* )=0.2*0.2=0.04   Posible muestra:   f( )* )=0.3*0.4=0.12   Posible muestra:   )* )=0.4*0.4=0.16   Así para todas las 16 muestras posibles (ver tabla adjunta) Existen   Distribución de la muestra

10. Gráfica de la distribución de la muestra 10 Distribución de la muestra f(X 1 , X 2 )

11. 4. Distribución de la media muestral     Medias muestrales P(   P(   P(   P(  

12. 5. Media y varianza de la media muestral 12 Se verifica que Var( )=   - Media. E( )= = 2(0.04)+3(0.04)+3.5(0.12)+4(0.17)+4.5(0.06)+5*(0.17=+5.5(0.24)+6(0.16) = 4.7 Se verifica el Teorema 8.1. E( )=µ = 4.7 años .   - Varianza. Var( ) = Var( ) = = (0.04) + ( 0.04) + (0.12) + (0.17) + (0.06)+ + (0.17) + (0.24) + (0.16) = 1.105   Var( )=  

13. El Teorema central del límite 13 Este teorema cobra importancia porque establece la distribución de la media muestral en el muestreo de poblaciones que no siguen el modelo de distribución de probabilidad normal

14. Ejemplo de aplicación del TCL , P( < < ) = P( < < ) P( < < ) = P( -3.95 < < 3.95 ) P( < < ) = P( < 3.95)- P( <- 3.95) P( < < ) =0.999961 – 0.000039 P( < < ) = 0.999922, aproximadamente   14 La población de los pesos de personas, X, tiene una media de 72 kilogramos y desviación estándar de 8 kilogramos. Se obtiene una muestra aleatoria de n = 40 personas. ¿Cuál es la probabilidad de la media muestral se encuentre entre 67 y 77? Solución. De acuerdo al TLC la media muestral tiene una distribución que se aproxima a la normal con media y varianza dadas por Cuando n es grande (n>=30) E( )= µ y Var( )=  

15. Muestreo en poblaciones normales (Teorema 8.4 ) Sea una población , y , … , una MAS tomada de X, entonces tiene distribución normal con media y varianza En forma breve: ,   Demostración. Usando FGM Hallaremos la FGM de   15

16. FIN Hugo Saavedra Saavedra [email protected] 16