DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
capsidecarlos
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Sep 21, 2020
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About This Presentation
Distribución de probabilidad, calculo de probabilidad.
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1- Idea de investigación
htt...
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DISTRIBUCION DE
PROBABILIDAD
RESPONSABLE:
PROF. CARLOS MIGUEL SANTA CRUZ VERA
AÑO LECTIVO 2020
PROBABILIDAD
RESPONSABLE:
PROF. CARLOS MIGUEL SANTA CRUZ VERA
AÑO LECTIVO 2020
INDICE
1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 3
1.1 ASOCIACIÓN DE PROBABILIDAD CON CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. 3
1.2 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD. 4
1.3 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA DE PROBABILIDAD. 5
1.4 PARÁMETROS EN LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. 7
2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 7
PARA LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. 7
PARA LA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. 7
3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS. 8
1.5 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. 8
1.6 NOMENCLATURA. 8
1.7 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL. 9
1.8 PARÁMETROS DE LA BINOMIAL. 9
1.9 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA BINOMIAL. 10
4. DISTRIBUCIÓN POISSON. 12
1.10 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD PARA LA POISSON. 12
1.11 PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON. 13
1.12 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA POISSON. 13
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POSISSON-1 13
13
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POSISSON-2 13
5. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA. 16
1.13 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA. 16
1.14 PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA. 17
1.15 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA. 18
BIBLIOGRAFÍA 21
1. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 3
1.1 ASOCIACIÓN DE PROBABILIDAD CON CONCEPTOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA. 3
1.2 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD. 4
1.3 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULATIVA DE PROBABILIDAD. 5
1.4 PARÁMETROS EN LAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD. 7
2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES. 7
PARA LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA. 7
PARA LA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA. 7
3. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS. 8
1.5 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. 8
1.6 NOMENCLATURA. 8
1.7 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL. 9
1.8 PARÁMETROS DE LA BINOMIAL. 9
1.9 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA BINOMIAL. 10
4. DISTRIBUCIÓN POISSON. 12
1.10 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD PARA LA POISSON. 12
1.11 PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN POISSON. 13
1.12 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA POISSON. 13
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POSISSON-1 13
13
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE POSISSON-2 13
5. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA. 16
1.13 FUNCIÓN DE DENSIDAD DE PROBABILIDAD HIPERGEOMÉTRICA. 16
1.14 PARÁMETROS DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA. 17
1.15 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA. 18
BIBLIOGRAFÍA 21
1. Distribuciones de probabilidad
1.1 Asociación de probabilidad con conceptos de estadística descriptiva.
La variable dentro de un estudio estadístico, hace referencia a lo que se desea medir sobre cada
unidad o elemento de investigación. Cuando cada valor de la variable (o intervalos de la variable)
pueden ser asociados con un respectivo valor de probabilidad, se habla de variable aleatoria.
Video Variable aleatoria
https://www.youtube.com/watch?v=js_Y3dNGvag&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9M
pL6KkeI&index=24&t=5s
En estadística descriptiva se elaboran tablas de frecuencia, existe una columna que identifica los
respectivos valores de la variable (marcas de clase o intervalos) y otra columna con frecuencias
relativas (hi) las cuales pueden ser interpretadas en términos probabilísticos. Las frecuencias
relativas son valores entre 0 y 1, además, la sumatoria de las frecuencias relativas siempre es
igual a 1. Esta distribución de frecuencias se refiere a datos reales y se denomina distribución
empírica o simplemente distribución de frecuencias.
Video frecuencia relativa
https://www.youtube.com/watch?v=BZQUokCz6Qc&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5
G9MpL6KkeI&index=14&t=0s
Existen casos en que no se conoce la totalidad de datos reales, pero con base en los reales se
puede construir la distribución de probabilidad, se conoce como una distribución de
probabilidad teórica referida a una variable aleatoria o variable estocástica.
Video distribución de probabilidad discreta
https://youtu.be/R6OREXCJh98?list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI
1.1 Asociación de probabilidad con conceptos de estadística descriptiva.
La variable dentro de un estudio estadístico, hace referencia a lo que se desea medir sobre cada
unidad o elemento de investigación. Cuando cada valor de la variable (o intervalos de la variable)
pueden ser asociados con un respectivo valor de probabilidad, se habla de variable aleatoria.
Video Variable aleatoria
https://www.youtube.com/watch?v=js_Y3dNGvag&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9M
pL6KkeI&index=24&t=5s
En estadística descriptiva se elaboran tablas de frecuencia, existe una columna que identifica los
respectivos valores de la variable (marcas de clase o intervalos) y otra columna con frecuencias
relativas (hi) las cuales pueden ser interpretadas en términos probabilísticos. Las frecuencias
relativas son valores entre 0 y 1, además, la sumatoria de las frecuencias relativas siempre es
igual a 1. Esta distribución de frecuencias se refiere a datos reales y se denomina distribución
empírica o simplemente distribución de frecuencias.
Video frecuencia relativa
https://www.youtube.com/watch?v=BZQUokCz6Qc&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5
G9MpL6KkeI&index=14&t=0s
Existen casos en que no se conoce la totalidad de datos reales, pero con base en los reales se
puede construir la distribución de probabilidad, se conoce como una distribución de
probabilidad teórica referida a una variable aleatoria o variable estocástica.
Video distribución de probabilidad discreta
https://youtu.be/R6OREXCJh98?list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI
En estadística descriptiva se construye el gráfico del polígono para visualizar la forma de la
distribución real de los datos de la variable, este polígono (curva o línea) tiene una función
matemática específica que lo identifica, dependiendo de su forma. El polígono es una curva
elaborada en un plano cartesiano, en el eje X (abscisa) se ubican los valores de la variable
aleatoria, y en el eje Y (ordenada) se ubican los respectivos valores de probabilidad. Bajo estas
circunstancias se habla de función de densidad de probabilidad.
En la misma forma que las distribuciones de frecuencia, las distribuciones de probabilidad
pueden analizarse mediante algunas medidas estadísticas como la media y la varianza, las cuales
se identificarán de ahora en adelante como parámetros de la distribución de probabilidad,
siendo la media conocida con el nombre de esperanza matemática.
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas, dependiendo de si sólo admiten valores
enteros o expresiones decimales.
Variables aleatorias continuas y discretas
https://www.youtube.com/watch?v=js_Y3dNGvag&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9
MpL6KkeI&index=23
1.2 Función de densidad de probabilidad.
Para que una función matemática f(X) pueda ser definida como función de densidad de
probabilidad, debe cumplir las siguientes condiciones, para cada valor de X que forme parte del
dominio de la función.
Es importante recordar que una función matemática puede estar definida para valores de X
infinitos, o para determinados valores de X, lo que se conoce como el dominio de la función. En
este tema, el rango de la función esta dado por los valores de probabilidades, los cuales se ubican
en el eje Y.
distribución real de los datos de la variable, este polígono (curva o línea) tiene una función
matemática específica que lo identifica, dependiendo de su forma. El polígono es una curva
elaborada en un plano cartesiano, en el eje X (abscisa) se ubican los valores de la variable
aleatoria, y en el eje Y (ordenada) se ubican los respectivos valores de probabilidad. Bajo estas
circunstancias se habla de función de densidad de probabilidad.
En la misma forma que las distribuciones de frecuencia, las distribuciones de probabilidad
pueden analizarse mediante algunas medidas estadísticas como la media y la varianza, las cuales
se identificarán de ahora en adelante como parámetros de la distribución de probabilidad,
siendo la media conocida con el nombre de esperanza matemática.
Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas, dependiendo de si sólo admiten valores
enteros o expresiones decimales.
Variables aleatorias continuas y discretas
https://www.youtube.com/watch?v=js_Y3dNGvag&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9
MpL6KkeI&index=23
1.2 Función de densidad de probabilidad.
Para que una función matemática f(X) pueda ser definida como función de densidad de
probabilidad, debe cumplir las siguientes condiciones, para cada valor de X que forme parte del
dominio de la función.
Es importante recordar que una función matemática puede estar definida para valores de X
infinitos, o para determinados valores de X, lo que se conoce como el dominio de la función. En
este tema, el rango de la función esta dado por los valores de probabilidades, los cuales se ubican
en el eje Y.
Cuadro 8. Función de densidad de probabilidad
Video aproximación de la distribución normal a la binomial
https://www.youtube.com/watch?v=_4I42K-
ESSY&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=31
1.3 Función de distribución acumulativa de probabilidad.
La función de densidad de probabilidad se identifica con f(X).
La función de distribución acumulativa de probabilidad se identifica con F(X).
La probabilidad puntual P(X = xi) de que X tome un valor particular de xi sólo es posible
calcularla para el caso de la variable aleatoria discreta, para la variable aleatoria continua no
existen valores de probabilidad puntuales.
Cuadro 9. Probabilidad puntual
La probabilidad acumulativa, de que X sea menor o menor o igual que un valor respectivo de xi
se denomina función de distribución acumulativa F(X).
Variable aleatoria discreta Variable aleatoria conti nua
( ) ≥ 0 ( ) ≥ 0
∑ (
?????? )
?????? = 1
= 1 ( )
+ ∞
∞
�?????? = 1
Con (
?????? ) = (
?????? )
Esto significa que toda el área bajo la
función de densidad de probabilidad es
igual a 1.
Variable aleatoria discreta Variable aleatoria conti nua
( = ?????? ?????? ) = ( ?????? ?????? ) ( = ?????? ?????? ) = ( ) �??????
??????
??????
??????
??????
= 0
Video aproximación de la distribución normal a la binomial
https://www.youtube.com/watch?v=_4I42K-
ESSY&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=31
1.3 Función de distribución acumulativa de probabilidad.
La función de densidad de probabilidad se identifica con f(X).
La función de distribución acumulativa de probabilidad se identifica con F(X).
La probabilidad puntual P(X = xi) de que X tome un valor particular de xi sólo es posible
calcularla para el caso de la variable aleatoria discreta, para la variable aleatoria continua no
existen valores de probabilidad puntuales.
Cuadro 9. Probabilidad puntual
La probabilidad acumulativa, de que X sea menor o menor o igual que un valor respectivo de xi
se denomina función de distribución acumulativa F(X).
Variable aleatoria discreta Variable aleatoria conti nua
( ) ≥ 0 ( ) ≥ 0
∑ (
?????? )
?????? = 1
= 1 ( )
+ ∞
∞
�?????? = 1
Con (
?????? ) = (
?????? )
Esto significa que toda el área bajo la
función de densidad de probabilidad es
igual a 1.
Variable aleatoria discreta Variable aleatoria conti nua
( = ?????? ?????? ) = ( ?????? ?????? ) ( = ?????? ?????? ) = ( ) �??????
??????
??????
??????
??????
= 0
Cuadro 10. Probabilidad acumulativa
La probabilidad de que X se encuentre entre dos valores a y b (Incluyéndolos), se calcula de la
siguiente manera, dependiendo si es el caso de una variable discreta o una variable continua, así:
Cuadro 11. Cálculo de probabilidad de X entre a y b
La probabilidad de que X se encuentre entre dos valores a y b (Incluyéndolos), se calcula de la
siguiente manera, dependiendo si es el caso de una variable discreta o una variable continua, así:
Cuadro 11. Cálculo de probabilidad de X entre a y b
1.4 Parámetros en las distribuciones de probabilidad.
La media (esperanza matemática) y la varianza, se calculan de manera diferente dependiendo si
se trata de una variable aleatoria discreta o una continua.
Cuadro 12. Cálculo de parámetros
2. Cálculo de probabilidades.
Dependiendo del tipo de variable aleatoria discreta o continua, el cálculo de las probabilidades
presenta algunas diferencias.
Para la variable aleatoria discreta.
Para la variable aleatoria continua.
La media (esperanza matemática) y la varianza, se calculan de manera diferente dependiendo si
se trata de una variable aleatoria discreta o una continua.
Cuadro 12. Cálculo de parámetros
2. Cálculo de probabilidades.
Dependiendo del tipo de variable aleatoria discreta o continua, el cálculo de las probabilidades
presenta algunas diferencias.
Para la variable aleatoria discreta.
Para la variable aleatoria continua.
3. Distribuciones de probabilidad discretas.
1.5 Distribución binomial.
Es una distribución de probabilidad para una variable discreta X, la variable X representa el total
de “éxitos” dentro de n ensayos. La palabra éxito siempre estará asociada con la característica
de interés que se esté analizando dentro de la ocurrencia del evento. Es una distribución de
probabilidad con aplicaciones en inspección de calidad, ventas, mercadeo, investigación de
opiniones, entre otras.
1.6 Nomenclatura.
• n = Total de casos posibles, o total de ensayos.
• X = Total de éxitos dentro de los n ensayos.
• p = Probabilidad de éxito, en otras palabras, es la probabilidad de que ocurra la
característica de interés. El valor de p es una proporción, siempre se encuentra entre 0 y
1. La probabilidad p es conocida con estudios preliminares y se calcula como la relación
entre el total de casos favorables para la característica de interés sobre el total de casos
posibles.
Fórmula (44) Con a = total de casos favorables para la característica de interés.
0 ≤ p ≤ 1.
• q = probabilidad de fracaso, en otras palabras, la probabilidad de que no se
presente la característica de interés. También es una proporción y se puede calcular como
la relación entre el total de casos que no son favorables para la característica de interés
(b) dividido por el total de casos posibles, o simplemente utilizando la siguiente fórmula:
1.5 Distribución binomial.
Es una distribución de probabilidad para una variable discreta X, la variable X representa el total
de “éxitos” dentro de n ensayos. La palabra éxito siempre estará asociada con la característica
de interés que se esté analizando dentro de la ocurrencia del evento. Es una distribución de
probabilidad con aplicaciones en inspección de calidad, ventas, mercadeo, investigación de
opiniones, entre otras.
1.6 Nomenclatura.
• n = Total de casos posibles, o total de ensayos.
• X = Total de éxitos dentro de los n ensayos.
• p = Probabilidad de éxito, en otras palabras, es la probabilidad de que ocurra la
característica de interés. El valor de p es una proporción, siempre se encuentra entre 0 y
1. La probabilidad p es conocida con estudios preliminares y se calcula como la relación
entre el total de casos favorables para la característica de interés sobre el total de casos
posibles.
Fórmula (44) Con a = total de casos favorables para la característica de interés.
0 ≤ p ≤ 1.
• q = probabilidad de fracaso, en otras palabras, la probabilidad de que no se
presente la característica de interés. También es una proporción y se puede calcular como
la relación entre el total de casos que no son favorables para la característica de interés
(b) dividido por el total de casos posibles, o simplemente utilizando la siguiente fórmula:
Fórmula (45)
Fórmula (46)
Nota: Siempre, la unión de p con q representa el 100%, en términos relativos 1, por lo tanto, se
cumple que:
Fórmula (47)
De donde q = 1 p, o también, p = 1q
1.7 Función de distribución de probabilidad binomial.
f(X) = Probabilidad de que se presenten X éxitos dentro de los n ensayos.
Fórmula (48)
X = 0, 1, 2, 3,…, n. La variable X toma valores positivos y enteros (variable discreta).
1.8 Parámetros de la binomial.
Fórmula (49)
Fórmula (50)
Representa combinaciones de n en X, se calcula de la siguiente forma:
Fórmula (46)
Nota: Siempre, la unión de p con q representa el 100%, en términos relativos 1, por lo tanto, se
cumple que:
Fórmula (47)
De donde q = 1 p, o también, p = 1q
1.7 Función de distribución de probabilidad binomial.
f(X) = Probabilidad de que se presenten X éxitos dentro de los n ensayos.
Fórmula (48)
X = 0, 1, 2, 3,…, n. La variable X toma valores positivos y enteros (variable discreta).
1.8 Parámetros de la binomial.
Fórmula (49)
Fórmula (50)
Representa combinaciones de n en X, se calcula de la siguiente forma:
n! se lee n factorial. El factorial de un número se calcula así:
Por definición, 0! = 1
Nota: Por tratarse de una función de distribución de probabilidad, se tiene que la sumatoria de
todos los valores de f(X) es igual a 1:
Video Distribución binomial-1
https://youtu.be/3OwZm8uuw8w?list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI
Video Distribución binomial-2
https://www.youtube.com/watch?v=aFz0MkxC9hw&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9
MpL6KkeI&index=29
Video Distribución binomial-3
https://www.youtube.com/watch?v=jacPen4XHcw&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9M
pL6KkeI&index=30
Video Distribución normal a la binomial-4
https://www.youtube.com/watch?v=_4I42K-
ESSY&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=31
1.9 Representación gráfica de la binomial.
No existe un único gráfico que identifique la distribución binomial, existen tantos cuantos
valores de n, p y q diferentes se tengan, cada caso particular posee su respectivo gráfico
estadístico. El gráfico se elabora en un plano cartesiano, pero recordando que en el eje X sólo se
toman valores enteros, en el eje Y se ubican los valores de las probabilidades, se desplaza una
línea continua que una cada valor de X con el cruce donde se ubica su respectiva probabilidad.
Por definición, 0! = 1
Nota: Por tratarse de una función de distribución de probabilidad, se tiene que la sumatoria de
todos los valores de f(X) es igual a 1:
Video Distribución binomial-1
https://youtu.be/3OwZm8uuw8w?list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI
Video Distribución binomial-2
https://www.youtube.com/watch?v=aFz0MkxC9hw&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9
MpL6KkeI&index=29
Video Distribución binomial-3
https://www.youtube.com/watch?v=jacPen4XHcw&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9M
pL6KkeI&index=30
Video Distribución normal a la binomial-4
https://www.youtube.com/watch?v=_4I42K-
ESSY&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=31
1.9 Representación gráfica de la binomial.
No existe un único gráfico que identifique la distribución binomial, existen tantos cuantos
valores de n, p y q diferentes se tengan, cada caso particular posee su respectivo gráfico
estadístico. El gráfico se elabora en un plano cartesiano, pero recordando que en el eje X sólo se
toman valores enteros, en el eje Y se ubican los valores de las probabilidades, se desplaza una
línea continua que una cada valor de X con el cruce donde se ubica su respectiva probabilidad.
Para su gráfico se recomienda efectuar con anterioridad las respectivas tabulaciones, tal como
se presenta en el ejemplo a continuación (ver figura 45).
Ilustración 1 Tabulaciones para el caso particular de una binomial con n = 7, p = 0,30
se presenta en el ejemplo a continuación (ver figura 45).
Ilustración 1 Tabulaciones para el caso particular de una binomial con n = 7, p = 0,30
4. Distribución Poisson.
La variable aleatoria en la distribución Poisson representa el número de éxitos por unidad de
medición. Cada éxito que se presente es independiente de la ocurrencia de otro.
El número de éxitos hace referencia al número de veces de la ocurrencia de un evento,
entendiéndose por evento como llegada de personas, clientes, documentos, unidades
defectuosas, piezas examinadas, solicitudes, fallas en una máquina, accidentes, llamadas
telefónicas, entre otras.
La unidad de medición se define dependiendo de las necesidades específicas y particulares de la
situación, algunas unidades de medición que se adoptan son el tiempo (segundos, minutos, horas,
días, semanas, meses), la longitud (centímetros, metros, kilómetros), el área (cm
2
, m
2
, km
2
), el
volumen (cm
3
, m
3
, onza, litro, galón).
La distribución Poisson es muy utilizada dentro de la teoría de colas o líneas de espera para
analizar el comportamiento de una variable definida como el número de clientes que llegan para
ser atendidos en determinada unidad de tiempo.
1.10 Función de densidad de probabilidad para la Poisson.
La función de densidad de probabilidad para la Poisson está dada por:
para K ≥ 0, y valores enteros Fórmula (51)
Siendo: λ = Promedio de éxitos (llegadas, clientes) por
unidad de tiempo.
t =Unidad de tiempo.
K = Número de éxitos (llegadas, clientes) en el tiempo t.
La variable aleatoria en la distribución Poisson representa el número de éxitos por unidad de
medición. Cada éxito que se presente es independiente de la ocurrencia de otro.
El número de éxitos hace referencia al número de veces de la ocurrencia de un evento,
entendiéndose por evento como llegada de personas, clientes, documentos, unidades
defectuosas, piezas examinadas, solicitudes, fallas en una máquina, accidentes, llamadas
telefónicas, entre otras.
La unidad de medición se define dependiendo de las necesidades específicas y particulares de la
situación, algunas unidades de medición que se adoptan son el tiempo (segundos, minutos, horas,
días, semanas, meses), la longitud (centímetros, metros, kilómetros), el área (cm
2
, m
2
, km
2
), el
volumen (cm
3
, m
3
, onza, litro, galón).
La distribución Poisson es muy utilizada dentro de la teoría de colas o líneas de espera para
analizar el comportamiento de una variable definida como el número de clientes que llegan para
ser atendidos en determinada unidad de tiempo.
1.10 Función de densidad de probabilidad para la Poisson.
La función de densidad de probabilidad para la Poisson está dada por:
para K ≥ 0, y valores enteros Fórmula (51)
Siendo: λ = Promedio de éxitos (llegadas, clientes) por
unidad de tiempo.
t =Unidad de tiempo.
K = Número de éxitos (llegadas, clientes) en el tiempo t.
1.11 Parámetros de la distribución Poisson.
Fórmula (52)
Fórmula (53)
Para t = 1 Una unidad de tiempo, se tiene: µ = λ y σ
2
= λ
1.12 Representación gráfica de la Poisson.
Distribucion de probabilidad de Posisson-1
https://www.youtube.com/watch?v=eNVNa4LZtac&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5
G9MpL6KkeI&index=32
Distribucion de probabilidad de Posisson-2
https://www.youtube.com/watch?v=_9cY2bO-
Ko8&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=33
Distribución de probabilidad de Posisson-3
https://www.youtube.com/watch?v=j1Lq-
x25xCM&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=34
La representación gráfica de la distribución Poisson depende de los valores particulares que
tomen λ y t. Por tal motivo, no existe una forma única que represente a esta distribución.
A continuación se muestra la representación gráfica de la Poisson para un caso particular en que:
• Número de éxitos: Llegada de clientes.
• Unidad de medición: El tiempo en horas.
• λ = Número de éxitos por unidad de tiempo. λ = 20 clientes/hora.
• t = Tiempo en horas. t = 10 minutos.
Como t en este caso particular se expresa en horas, se tiene:
Fórmula (52)
Fórmula (53)
Para t = 1 Una unidad de tiempo, se tiene: µ = λ y σ
2
= λ
1.12 Representación gráfica de la Poisson.
Distribucion de probabilidad de Posisson-1
https://www.youtube.com/watch?v=eNVNa4LZtac&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5
G9MpL6KkeI&index=32
Distribucion de probabilidad de Posisson-2
https://www.youtube.com/watch?v=_9cY2bO-
Ko8&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=33
Distribución de probabilidad de Posisson-3
https://www.youtube.com/watch?v=j1Lq-
x25xCM&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=34
La representación gráfica de la distribución Poisson depende de los valores particulares que
tomen λ y t. Por tal motivo, no existe una forma única que represente a esta distribución.
A continuación se muestra la representación gráfica de la Poisson para un caso particular en que:
• Número de éxitos: Llegada de clientes.
• Unidad de medición: El tiempo en horas.
• λ = Número de éxitos por unidad de tiempo. λ = 20 clientes/hora.
• t = Tiempo en horas. t = 10 minutos.
Como t en este caso particular se expresa en horas, se tiene:
La función de densidad de probabilidad viene dada por:
A continuación se muestra la tabla con los cálculos de las respectivas probabilidades utilizando
la función de densidad de probabilidad dada para la distribución Poisson (ver figuras 46 y 47).
( 0 ) =
�
20
6 (
20
6
)
0
0 !
( 1 ) =
�
20
6 (
20
6
)
1
1 !
( 2 ) =
�
20
6 (
20
6
)
2
2 !
( 3 ) =
�
20
6 (
20
6
)
3
3 !
( 4 ) =
�
20
6 (
20
6
)
4
4 !
( 5 ) =
�
20
6 (
20
6
)
5
5 !
( 6 ) =
�
20
6 (
20
6
)
6
6 !
( 7 ) =
�
20
6 (
20
6
)
7
7 !
( 8 ) =
�
20
6 (
20
6
)
8
8 !
( 9 ) =
�
20
6 (
20
6
)
9
9 !
A continuación se muestra la tabla con los cálculos de las respectivas probabilidades utilizando
la función de densidad de probabilidad dada para la distribución Poisson (ver figuras 46 y 47).
( 0 ) =
�
20
6 (
20
6
)
0
0 !
( 1 ) =
�
20
6 (
20
6
)
1
1 !
( 2 ) =
�
20
6 (
20
6
)
2
2 !
( 3 ) =
�
20
6 (
20
6
)
3
3 !
( 4 ) =
�
20
6 (
20
6
)
4
4 !
( 5 ) =
�
20
6 (
20
6
)
5
5 !
( 6 ) =
�
20
6 (
20
6
)
6
6 !
( 7 ) =
�
20
6 (
20
6
)
7
7 !
( 8 ) =
�
20
6 (
20
6
)
8
8 !
( 9 ) =
�
20
6 (
20
6
)
9
9 !
Ilustración 2 Cálculo de probabilidades de Poisson para
Ilustración 3 Figura 47. Gráfica de probabilidades de Poisson para
( 10 ) =
�
20
6 (
20
6
)
10
10 !
( 11 ) =
�
20
6 (
20
6
)
1 1
11 !
( 12 ) =
�
20
6 (
20
6
)
1 2
12 !
( 13 ) =
�
20
6 (
20
6
)
1 3
13 !
0,0000
0,0125
0,0250
0,0375
0,0500
0,0625
0,0750
0,0875
0,1000
0,1125
0,1250
0,1375
0,1500
0,1625
0,1750
0,1875
0,2000
0,2125
0,2250
0,2375
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
K éxitos
Poisson para λ = 20; t 1/6 =
Ilustración 3 Figura 47. Gráfica de probabilidades de Poisson para
( 10 ) =
�
20
6 (
20
6
)
10
10 !
( 11 ) =
�
20
6 (
20
6
)
1 1
11 !
( 12 ) =
�
20
6 (
20
6
)
1 2
12 !
( 13 ) =
�
20
6 (
20
6
)
1 3
13 !
0,0000
0,0125
0,0250
0,0375
0,0500
0,0625
0,0750
0,0875
0,1000
0,1125
0,1250
0,1375
0,1500
0,1625
0,1750
0,1875
0,2000
0,2125
0,2250
0,2375
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
K éxitos
Poisson para λ = 20; t 1/6 =
5. Distribución hipergeométrica.
La variable aleatoria X representa el número de éxitos presentes en una muestra de tamaño n. La
palabra éxito hace referencia a la característica de interés estudiada, al suceso o evento de interés,
el cual se denota con la letra mayúscula A. Se tiene una población de tamaño N, dentro de la cual
NA elementos poseen la característica de interés y el resto poseen otra característica diferente a
la de interés, denominada B.
Para calcular la probabilidad de que se encuentren X éxitos en la muestra, se utiliza la función
de densidad de probabilidad hipergeométrica.
1.13 Función de densidad de probabilidad hipergeométrica.
N, n, NA, X, NB, nB enteros positivos
X = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , NA
X ≤ NA Fórmula (54)
nB ≤ NB
n ≤ N
Siendo:
N = tamaño de la población.
n = tamaño de la muestra.
NA = número de éxitos en la población, número de elementos que poseen la característica de
interés en la población.
X = número de éxitos en la muestra, número de elementos que poseen la característica de interés
en la muestra.
La variable aleatoria X representa el número de éxitos presentes en una muestra de tamaño n. La
palabra éxito hace referencia a la característica de interés estudiada, al suceso o evento de interés,
el cual se denota con la letra mayúscula A. Se tiene una población de tamaño N, dentro de la cual
NA elementos poseen la característica de interés y el resto poseen otra característica diferente a
la de interés, denominada B.
Para calcular la probabilidad de que se encuentren X éxitos en la muestra, se utiliza la función
de densidad de probabilidad hipergeométrica.
1.13 Función de densidad de probabilidad hipergeométrica.
N, n, NA, X, NB, nB enteros positivos
X = 0, 1, 2, 3, 4, . . . , NA
X ≤ NA Fórmula (54)
nB ≤ NB
n ≤ N
Siendo:
N = tamaño de la población.
n = tamaño de la muestra.
NA = número de éxitos en la población, número de elementos que poseen la característica de
interés en la población.
X = número de éxitos en la muestra, número de elementos que poseen la característica de interés
en la muestra.
NB = número de fracasos en la población, número de elementos que no poseen la característica
de interés dentro de la población. nB = número de fracasos en la muestra, número de elementos
que no poseen la característica de interés A dentro de la muestra.
De acuerdo a la nomenclatura presentada con sus respectivas definiciones, se tiene que:
Las diferentes combinaciones que definen la función de densidad de probabilidad de la
hipergeométrica, se calculan así:
Para efectos de calcular la función de densidad de probabilidad f(X) es adecuado expresar ésta
en términos de X, así:
Fórmula (55)
1.14 Parámetros de la distribución hipergeométrica.
Fórmula (56)
Fórmula (57)
de interés dentro de la población. nB = número de fracasos en la muestra, número de elementos
que no poseen la característica de interés A dentro de la muestra.
De acuerdo a la nomenclatura presentada con sus respectivas definiciones, se tiene que:
Las diferentes combinaciones que definen la función de densidad de probabilidad de la
hipergeométrica, se calculan así:
Para efectos de calcular la función de densidad de probabilidad f(X) es adecuado expresar ésta
en términos de X, así:
Fórmula (55)
1.14 Parámetros de la distribución hipergeométrica.
Fórmula (56)
Fórmula (57)
1.15 Representación gráfica de la distribución hipergeométrica.
Video de distribución hipergeometrica
https://www.youtube.com/watch?v=H8yojVMJmIY&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9
MpL6KkeI&index=35
La representación gráfica de la distribución hipergeométrica cambia dependiendo de los valores
particulares que asuman los tamaños N, NA, NB y n; por tal motivo no existe una sola forma de
la distribución hipergeométrica.
A continuación se muestra un caso en el cual N = 12, NA = 8, NB = 4 y n = 5, la variable X puede
asumir los valores de 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Efectuando la tabulación respectiva e indispensable para
efectuar el gráfico, se tiene (ver figura 48):
Video de distribución hipergeometrica
https://www.youtube.com/watch?v=H8yojVMJmIY&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9
MpL6KkeI&index=35
La representación gráfica de la distribución hipergeométrica cambia dependiendo de los valores
particulares que asuman los tamaños N, NA, NB y n; por tal motivo no existe una sola forma de
la distribución hipergeométrica.
A continuación se muestra un caso en el cual N = 12, NA = 8, NB = 4 y n = 5, la variable X puede
asumir los valores de 0, 1, 2, 3, 4 y 5. Efectuando la tabulación respectiva e indispensable para
efectuar el gráfico, se tiene (ver figura 48):
Ilustración 4 Figura 48. Cálculo de probabilidad de la distribución hipergeométrica para N = 12, NA = 8, NB = 4 y n = 5 y gráfica
1. Distribucion de probabilidad discreta
https://www.youtube.com/watch?v=R6OREXCJh98&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf
4e5G9MpL6KkeI&index=28&t=425s
2. Distribucion de probabilidad binomial ejercicio -1
https://www.youtube.com/watch?v=aFz0MkxC9hw&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf
4e5G9MpL6KkeI&index=30&t=6s
3. Distribucion de probabilidad binomial ejercicio -1
https://www.youtube.com/watch?v=aFz0MkxC9hw&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf
4e5G9MpL6KkeI&index=30&t=6s
4. Distribucion binomiaql Excel
https://www.youtube.com/watch?v=jacPen4XHcw&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4
e5G9MpL6KkeI&index=31&t=47s
5. Aproximacion de la distribución binomial a la normal
https://www.youtube.com/watch?v=_4I42K-
ESSY&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=32&t=10s
6. Distribucion de probabilidad de poisson
https://www.youtube.com/watch?v=eNVNa4LZtac&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4
e5G9MpL6KkeI&index=33&t=36s
7. Ejercicio Distribución de probabilidad de Poisson
https://www.youtube.com/watch?v=_9cY2bO-
Ko8&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=34&t=32s
8. Ejercicio Distribución de probabilidad de Poisson-2
https://www.youtube.com/watch?v=j1Lq-
x25xCM&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=35&t=211s
9. Ejercicio de distribución de probabilidad hipergeometgrica
https://www.youtube.com/watch?v=H8yojVMJmIY&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf
4e5G9MpL6KkeI&index=36&t=9s
https://www.youtube.com/watch?v=R6OREXCJh98&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf
4e5G9MpL6KkeI&index=28&t=425s
2. Distribucion de probabilidad binomial ejercicio -1
https://www.youtube.com/watch?v=aFz0MkxC9hw&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf
4e5G9MpL6KkeI&index=30&t=6s
3. Distribucion de probabilidad binomial ejercicio -1
https://www.youtube.com/watch?v=aFz0MkxC9hw&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf
4e5G9MpL6KkeI&index=30&t=6s
4. Distribucion binomiaql Excel
https://www.youtube.com/watch?v=jacPen4XHcw&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4
e5G9MpL6KkeI&index=31&t=47s
5. Aproximacion de la distribución binomial a la normal
https://www.youtube.com/watch?v=_4I42K-
ESSY&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=32&t=10s
6. Distribucion de probabilidad de poisson
https://www.youtube.com/watch?v=eNVNa4LZtac&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4
e5G9MpL6KkeI&index=33&t=36s
7. Ejercicio Distribución de probabilidad de Poisson
https://www.youtube.com/watch?v=_9cY2bO-
Ko8&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=34&t=32s
8. Ejercicio Distribución de probabilidad de Poisson-2
https://www.youtube.com/watch?v=j1Lq-
x25xCM&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf4e5G9MpL6KkeI&index=35&t=211s
9. Ejercicio de distribución de probabilidad hipergeometgrica
https://www.youtube.com/watch?v=H8yojVMJmIY&list=PLFkbGwyzAy6wT7OSCCUf
4e5G9MpL6KkeI&index=36&t=9s
Bibliografía
Gabriel, J. (2017). Diseños experimentales teoria y practica para experimentos agropecuarios.
Guayaquil, Ecuador: Compas.
Marro, E. D.‐A.–F. (s.f.). Prueba de Hipótesis para la diferencia de medias. Prueba de Hipótesis
para la diferencia de medias.
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V. (2009). Estadisticas cuarta
edicion. Mexico: The McGraw-Hill Companies, Inc.
Superprof material didactico. (26 de Agosto de 2015). Tabla de distribución normal. Obtenido de
Tabla de distribución normal:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/distribucion-
normal/tabla-de-la-distribucion-normal.html
Zuluaga, M. N. (s.f.). ESTADÍSTICA PARA EDUCACIÓN SUPERIOR. Medellin: Esumer.
Gabriel, J. (2017). Diseños experimentales teoria y practica para experimentos agropecuarios.
Guayaquil, Ecuador: Compas.
Marro, E. D.‐A.–F. (s.f.). Prueba de Hipótesis para la diferencia de medias. Prueba de Hipótesis
para la diferencia de medias.
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. de C.V. (2009). Estadisticas cuarta
edicion. Mexico: The McGraw-Hill Companies, Inc.
Superprof material didactico. (26 de Agosto de 2015). Tabla de distribución normal. Obtenido de
Tabla de distribución normal:
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/distribucion-
normal/tabla-de-la-distribucion-normal.html
Zuluaga, M. N. (s.f.). ESTADÍSTICA PARA EDUCACIÓN SUPERIOR. Medellin: Esumer.
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