Dominio matematico

Dominio
Matemático
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PREUNIVERSITARIO
CRECER
DOMINIO
MATEMÁTICO

DOMINIO MATEMÁTICO ÍNDICE
PREUNIVERSITARIO CRECER preuniversitariocrecer
3
ÍNDICE
Contenido Dominio Matemático
CLASE CERO ............................................................................................................................. .7
INGRESA AL A ULA VIRTUAL ..................................................................................................... .7
BLOQUE 1 ............................................................................................................................... ...9
1.1 Porcentajes ...................................................................................................................... .10
1.1.1 Porcent aje como fr acción ..................................................................................... .10
........................................................................................... .10
1.1.3 Cálculo ment al ......................................................................................................... .11
1.1.4 Cálculo de porcent ajes en base al 10% y 1% ...................................................... .12
1.1.5 Cálculo del 50% y 25% ............................................................................................. .13
1.1.6 Cálculo de porcent ajes en base al 10% y 1% ...................................................... .14
1.1.7 Cálculo analítico de porcent ajes .......................................................................... .15
1.2 Utilización de respuestas ............................................................................................... .16
1.3 Razón y proporciones .................................................................................................... .20
................................................................................................. .20
1.3.2 Problemas de aplicación ........................................................................................ .22
1.4 Fracciones ....................................................................................................................... .24
................................................................................................... .27
............................................................................................................ .28
1.5 Series númericas y alfanúmericas................................................................................ .31
1.6 Regla de tres simple y compuesto ............................................................................... .34
1.7 Geometría ....................................................................................................................... .41
................................................................................... .41
................................................................ .43
...................................................... .44
................................................................................................. .47
........................................................................ .51
1.8 Trigono metría .................................................................................................................. .54
.................................. .54
.......................................................................................................... .54
.................................................................. .54
BLOQUE 2 ............................................................................................................................... .58
2.1 Progresión aritmética y geométrica ........................................................................ .59
............................................................................................... .59
....................................................................................... .60
2.2 Probab ilidad y estadística ............................................................................................. .62
2.2.1 Probabilida d .............................................................................................................. .62
.................................. .66
........................................................................................ .74
2.3 Matrices ........................................................................................................................... .77
....................................................................................... .77
2.3.2 Operaciones con m atrices. .................................................................................... .78
2.4 Factoreo y produc tos notables ..................................................................................... .82
2.4.1 Factoreo .................................................................................................................... .82
2.4.2 Productos notables .................................................................................................. .83

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4
2.4.3 Factor común ........................................................................................................... .83
2.4.4 Diferenc ia de cuadrados ........................................................................................ .84
2.4.5 Trinomio cuadrado perfect o ................................................................................... .84
...................................... .84
2.5 Ecuac iones y sistema de ecuac iones ......................................................................... .85
................................................................................. .85
.............................................................................. .85
........................................................................................... .85
2.6 Inecuac iones .................................................................................................................. .90
2.6.1 Intervalos operaciones ............................................................................................. .90
................................................................... .91
.................................................................... .94
.......................................................................... .96
2.6.5 Inecuación cu adrática ........................................................................................... .99
2.7 Programación lineal ..................................................................................................... .103
2.7.1 Func ión objetivo y variables de decisión. ........................................................... .103
2.7.2 Restricciones y región factible. ........................................................................... .105
2.7.3 Optimización .......................................................................................................... .111
2.8 Función lineal ............................................................................................................... .121
2.8.1 Ecuación de rect a .................................................................................................. .124
2.9 Función cuad rática ..................................................................................................... .128
............................................................ .128
mínimos de una función cu adrática .......................................................................... .133
2.10 Función exponenc ial y logarítmicas ...................................................................... .137
............................................................................................ .137
2.10.2 .............................................................................................. .143
2.11 Funciónes trigono métricas ....................................................................................... .149
2.12 Cónicas ........................................................................................................................ .152
2.12.1 Circunferenc ia ...................................................................................................... .152
2.12.2 Parábola ................................................................................................................ .157
2.12.3 Elipse ...................................................................................................................... .164
.............................................................................................................. .171

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7
BLOQUE 0
CLASE CERO
INGRESA AL AULA VIRTUAL
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8
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DOMINIO MATEMÁTICO BLOQUE I
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9
Matemático
Dominio
CONTENIDO:
Porcentajes
Utilización de respuestas
Razón y proporciones
Fracciones
Series númericas y alfanúmericas
Regla de tres simple y compuesto
Geometría
Trigonometría
BLOQUE 1

DOMINIO MATEMÁTICO PORCENTAJES
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10
1.1 Porcentajes
1.1.1 Porcentaje como fracción
1. Teoría
Todo porcentaje se puede expresar como una fracción en la cuál el denominador es 100.

x% =
2. Ejercicios Resueltos
1% = 10% = = 20% = = 39% =
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. 25% = = 2. 75% = = 3. 5% = = 4. h% = =
4. Tarea
1. 30% = 2. 70% = 3. 55% = 4. 40k% =
1.1.2 Gráﬁ ca de porcentajes
1. Teoría
El porcentaje se puede graﬁ car.
Número de partes que se toma.
Número de partes en las que se divide la unidad.
2. Ejercicios Resueltos
1. 10% = =

La unidad se divide en 10 partes iguales, de las cuales se toma una.
2. 100% = =
La unidad se divide en 1 parte, de las cuales se toma una.
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. 50% = =
La unidad se divide en _ _ _ _ _ _ _ _ iguales, de las cuales _ _ _ _ _ _ _.

2. 25% = =
La unidad se divide en _ _ _ _ _ _ _ _ iguales, de las cuales _ _ _ _ _ _ _.

3. 20% = =
La unidad se divide en _ _ _ _ _ _ _ _ iguales, de las cuales _ _ _ _ _ _ _.

DOMINIO MATEMÁTICO PORCENTAJES
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11
BLOQUE I
4. 5% = =
La unidad se divide en _ _ _ _ _ _ _ _ iguales, de las cuales _ _ _ _ _ _ _.
4. Tarea
1. 40% =
=
La unidad se divide en _ _ _ _ _ _ _ _ iguales, de las cuales _ _ _ _ _ _ _.
2. 60% = =
La unidad se divide en _ _ _ _ _ _ _ _ iguales, de las cuales _ _ _ _ _ _ _.
3. 70% = =
La unidad se divide en _ _ _ _ _ _ _ _ iguales, de las cuales _ _ _ _ _ _ _.
4. 15% = =
La unidad se divide en _ _ _ _ _ _ _ _ iguales, de las cuales _ _ _ _ _ _ _.
1.1.3 Cálculo mental
1. Teoría: Para el cálculo mental de porcentajes se basa en el 10% y 1%
10 % =
1% =
1.1 Calculo del 10%
Para calcular el 10% de cualquier número se debe
dividir el número para 10, para lo cual se debe
mover la coma un espacio hacia la izquierda.
1.2 Calculo del 1%
Para calcular el 1% de cualquier número se debe
dividir el número para 100, para lo cual se debe
mover la coma dos espacio hacia la izquierda.
2. Ejercicios Resueltos
Calcular el 10% de 150

El 10% de 150 es 15
Calcular el 10% de 98

El 10% de 98 es 9,8
Calcular el 1% de 150

El 1% de 150 es 1,5
Calcular el 1% de 98

El 1% de 98 es 0,98
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
Calcular los siguientes porcentajes
Cantidad 10% 1%
130
125
Cantidad 10% 1%
110
240

DOMINIO MATEMÁTICO PORCENTAJES
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12
4. Tarea
Calcular los siguientes porcentajes
Cantidad 10% 1%
142
190
3200
Cantidad 10% 1%
820
341
920
1.1.4 Cálculo de porcentajes en base al 10% y 1%
1. Teoría:
1.1 Cálculo del 5%, 20%, 30%, 40%, 60%, 70%, 80%, 90% en base al 10%
5% = .Para calcular el 5%, primero se calcula el 10% y luego se divide para 2
20% =10% (2). Para calcular el 20%, primero se calcula el 10% y luego se multiplica por 2
30% =10% (3). Para calcular el ___, primero se calcula el ___ y luego se multiplica por ___
40% =10% (4). Para calcular el ___, primero se calcula el ___ y luego se multiplica por ___
60% =10% (6). Para calcular el ___, primero se calcula el ___ y luego se multiplica por ___
70% =10% (7). Para calcular el ___, primero se calcula el ___ y luego se multiplica por ___
80% =10% (8). Para calcular el ___, primero se calcula el ___ y luego se multiplica por ___
90% =10% (9). Para calcular el ___, primero se calcula el ___ y luego se multiplica por ___
1.2 Cálculo del 2%, 3%, 4%, 6%, 7%, 8%, 9% en base al 1%
2% =1% (2). Para calcular el 2%, primero se calcula el 1% y luego se multiplica por 2
3% =1% (3). Para calcular el ____, primero se calcula el ____ y luego se multiplica por ___
4% =1% (4). Para calcular el ____, primero se calcula el ____ y luego se multiplica por ___
6% =1% (6). Para calcular el ____, primero se calcula el ____ y luego se multiplica por ___
7% =1% (7). Para calcular el ____, primero se calcula el ____ y luego se multiplica por ___
8% =1% (8). Para calcular el ____, primero se calcula el ____ y luego se multiplica por ___
9% =1% (9). Para calcular el ____, primero se calcula el ____ y luego se multiplica por ___
2. Ejercicios Resueltos
Calcular los siguientes porcentajes
Cantidad 10%
5%
20%=10% x 2
90 9
= 4,5
9 x 2 = 18
Cantidad 1% 2% = 1% x 23% = 1% x 3
1200 12 12 x 2 = 2412 x 3 = 36
1400 14 14 x 2 = 2814 x 3 = 42
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
Calcular los siguientes porcentajes en base al 10%.
CANTIDAD10% 5% 20% 30% 70% 90%
120 12
= 6
12X2=2412X3=3612X7=8412X9=108
240
180

DOMINIO MATEMÁTICO PORCENTAJES
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13
BLOQUE I
Calcular los siguientes porcentajes en base al 1%.
CANTIDAD 1% 2% 3% 8%
120 1,2 2,4 3,6 9,6
240
180
500
4. Tarea
Calcular los siguientes porcentajes en base al 10%
CANTIDAD10% 5% 20% 30% 70% 90%
140
280
190
610
Calcular los siguientes porcentajes en base al 1%.
CANTIDAD 1% 2% 7% 8%
1400
2800
170
610
1.1.5 Cálculo del 50% y 25%
1. Teoría:
El 50% es la mitad del 100%
El 25% es la cuarta parte del 100%
El 25% es la mitad del 50%
50% =

25% =
2. Ejercicios Resueltos
Calcular los siguientes porcentajes

600 500 700
50%
=300 =250 =350
25%
=150 =125 =175
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
Calcular los siguientes porcentajes
1800 2000 0,8 200
50%
25%
4. Tarea
Calcular los siguientes porcentajes 840 1400 0,4 240
50%
25%

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1. Teoría: Los porcentajes se pueden sumar.
15% = 10% + 5%
12% = 10% + 2%
35% = 30% + 5%
45% = 40% + 5%
2. Ejercicios Resueltos
Calcular los siguientes porcentajes
2.1 Calcular el 15% de los siguiente número.
Cantidad 420
10% 42
5% 21
15% 63
2.2 Calcular el 12% de los siguiente número.
Cantidad 240
10% 24
2% 4,8
12% 28,8
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. Un artículo cuesta $1500 sin IVA. Si el IVA es del
12%, ¿cuál es el precio del artículo incluido el IVA?
a) 1600 b) 1320 c) 1680 d) 1650
2. Un deportista se lesionó y su seguro médico
pagó el 80% de su tratamiento. ¿Cuánto pagó el
deportista si todo el tratamiento costó $2000?
a) $400 b) $500 c) $600 d) $800
3. Carlos tenía $200, gastó el 30%, regaló a su
hermano el 20% del resto, prestó el 50% de lo q le
quedó y ahorró lo que le sobró. ¿Cuánto ahorro?
a) 60 b) 56 c) 57 d) 58
4. En una oferta de camisas, cuyo precio normal es
de USD 50, se hace un descuento del 12 % en cada
una. ¿Cuál será el descuento porcentual que recibe
un cliente si compra 3 camisas?
Ejercicio 14, forma 5/ 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
a) 12 b) 14 c) 18 d) 36
5. Si en una tienda de electrodomésticos compramos
un frigoríﬁ co de 500 dólares con un 10% de
descuento y una lámpara de 60 dólares con un 20%
de descuento. ¿Cuánto hemos gastado?
a) $ 498 b) $ 488 c) $ 410 d) $ 408
6. En el cuerpo humano habitan aproximadamente
2 000 000 bacterias por cm
2
. Si al tomar un baño
se pierde el 20 % de estas, y si al usar un jabón
antibacteriano se pierde un 20 % adicional, ¿qué
porcentaje de bacterias se conserva en el cuerpo?
Ejercicio 5, forma 2/ 2018 Costa. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
a) 36 b) 40 c) 60 d) 64
4. Tarea
1. Calcular el 35% de los siguientes números.
1200320240015405840
30%
5%
35%
2. En el cuerpo humano habitan aproximadamente
100 000 000 de bacterias por mm2 . Si al tomar un
baño se pierde el 10 % de estas, y si al usar un jabón
antibacteriano se pierde un 10 % adicional, ¿qué
porcentaje de bacterias se conserva en el cuerpo?
Ejercicio 13, forma 001/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
a) 19 b) 20 c) 80 d) 81
3. Tenía 40 cuadernos. A mi amigo Jean Pierre le
di el 20%, a mi primo Pedro el 30% y a mi hermana
Julia el 40%. ¿Cuántos cuadernos me quedan?
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10
1.1.6 Cálculo de porcentajes en base al 10% y 1%

DOMINIO MATEMÁTICO PORCENTAJES
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15
BLOQUE I
4. Carlos tenía $180. Gastó el 50%; le dio a su
hermano el 20% del resto y perdió el 25% de lo que
le quedaba. ¿Con cuánto se quedó al ﬁ nal?
a) 49 b) 54 c) 55 d) 56
5. Ricardo, en su examen de ingreso a la
universidad, respondió el 80% de las preguntas, de
las cuales el 25% respondió incorrectamente. Si el
examen tiene 120 preguntas, ¿cuántas preguntas
respondió incorrectamente?
a) 34 b) 30 c) 16 d) 24
1.1.7 Cálculo analítico de porcentajes
1. Teoría: Para el cálculo analítico el porcentaje se pone como fracción y se multiplica por número.
2. Ejercicios Resueltos
Calcular el 20% de 70. Calcular el 30% de 90. Calcular el 15% de 200.
Calcular el 20% de un
número N
Calcular el 20% del 30% de
partes de 5000
Calcular el 30% del 60% de las
partes de 2000
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I.
1. Calcular el 40% del 20% de las dos quintas partes
de 5000.
2. Calcular el 10% del 40% de las tres cuartas partes
de 8000.

3. Calcular el 50% del 10% de las ocho décimas
partes de 10000.

4. Calcular el 10% del 60% de las ocho décimas
partes de 4000.

4. Tarea
1. Calcular el 60% del 80% de las siete décimas
partes de 6000.
2. Calcular el 60% de los ocho décimos de 7000.
3. Calcular el 50% de 60% de las tres quintas partes
de 1500.
4. Calcular el 80% del 50% de las de 1000.

DOMINIO MATEMÁTICO UTILIZACIÓN DE RESPUESTAS
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1.2 Utilización de respuestas
1. Teoría:
2. Ejercicios Resueltos:
1. La suma de dos números es 70 y su diferencia es igual a 20. Hallar los números.
a) 40 y 20 b) 45 y 25 c) 50 y 30 d) 42 y 22
Paso 1: Se debe comprobar la primera condición: dos números cuya suma sea 70.

Como solo hay una respuesta que cumple con la primera condición, no hay necesidad de comprobar
la segunda condición. Por lo tanto la respuesta correcta es la opción b) 45 y 25.
2. La suma de las edades de Tatiana y su prima es 35 y la diferencia de dichas edades es 5.
Hallar la edad de cada uno.
a) 18 y 12 b) 19 y 16 c) 20 y 15 d) 12 y 11
Paso 1: Se debe comprobar la primera condición: la suma de las edades es 35.
Paso 2: Como la primera condición se cumple para dos opciones, se debe comprobar la segunda condición:
la diferencia de las edades es 5.
Por lo tanto la respuesta correcta es la opción c) 20 y 15.
3. Hallar un número de 2 dígitos tal que la diferencia del cuadrado de sus dígitos sea igual a 11
a) 123 b) 65 c) 130 d) 144

DOMINIO MATEMÁTICO UTILIZACIÓN DE RESPUESTAS
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17
BLOQUE I
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. La suma de dos números es 24. Tres veces el
mayor excede en dos unidades a cuatro veces el
menor. Hallar los números

a) 14 y 16
b) 8 y 14
c) 20 y 10
d) 14 y 10

2. Un valor de x que satisface la ecuación
x
3
-5x
2
+ 2x +2 = 0 es:
a) 0 b) 1 c) 2 d) -1
3. Determine el valor de x en la siguiente ecuación.
5x + 3
x
= 8
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
4. La edad de Pedro es el triple de la de Juan
y ambas edades suman 40 años. Hallar ambas
edades.
a) 10 y 30

b) 20 y 60
c) 20y 20
d) 25 y 15

5. La raíz cuadrada de 126.736 es:
a) 355 b) 356 c) 357 d) 358
Nota: Ver el último dígito
6. La cantidad de automóviles que circulan por
la avenida frente a la casa de Juan incrementa
mensualmente; por ello Juan determinó una expresión
que permite obtener el número de vehículos en función
de cada mes, donde t está expresado en días:
C(t) = 2
t- 4
+ 2
t - 2
¿Al cabo de cuántos días habrán 20 automóviles
circulando por la avenida?
Ejercicio 14, forma 001/ 2018 Costa. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
a) 5
b) 6
c) 32
d) 64

7. Una persona gasta del saldo de su celular
en llamadas; de lo que sobra, gasta la mitad en
mensajes y le quedan USD 4,00. ¿Cuántos dólares
de saldo tenía originalmente?
Ejercicio 22, forma 2/ 2018 Sierra. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
a) 12
b) 16
c) 20
d) 24
8. Dividir el número 106 en dos partes tales que la
mayor exceda a la menor en 24
a) 41 y 65
b) 40 y 64
c) 39 y 63
d) 40 y 66
Paso 1: Se debe comprobar la primera condición: un número de 2 dígitos
Como solo hay una respuesta que cumple con la primera condición, no hay necesidad de comprobar
la segunda condición. Por lo tanto la respuesta correcta es la opción b) 65.

DOMINIO MATEMÁTICO UTILIZACIÓN DE RESPUESTAS
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9. El doble de un número más el triple de su
consecutivo es 23. Hallar el número.
a) 5
b) 8
c) 4
d) 6
10. Hallar el número de cuatro cifras tal que la
primera cifra sea 1/3 de la segunda, la tercera es
la suma de la primera y la segunda, la cuarta es
tres veces la segunda.
a) 1349 b) 2500 c) 342 d) 1253
11. La edad del Padre es cuatro veces la edad del
hijo. Hace 5 años la edad del padre era siete veces
la edad del hijo. Hallar la edad de cada uno.
a) 36 y 6
b) 40 y 10
c) 50 y 20
d) 35 y 5
12. En un teatro, las entradas de adulto costaban $
5 y la de niños $ 2, concurrieron 326 espectadores
y se recaudaron $ 1090. ¿Cuántos eran adultos y
cuántos niños?.
a) 146 y 180
b) 126 y 160
c) 156 y 196
d) 166 y 186
13. Luis tiene tres veces tanto dinero como José. Si
Luis le da a José $20 entonces tendría solamente el
doble. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
a) José=60; Luis=120
b) José=60; Luis=180
c) José=50; Luis=150
d) José=30; Luis=100
14. Pedro tiene 15 animales entre caballos y gallinas.
Estos animales juntos suman 46 patas. ¿Cuántos
caballos y gallinas tienen respectivamente?
a) 6 y13
b) 8 y 7
c) 10 y 7
d) 8 y10
15. Un jardín rectangular tiene el triple de largo que
de ancho y su perímetro mide 1200 m ¿Cuáles son
sus dimensiones en metros?
a) 200 y 400
b) 150 y 300
c) 200 y 600
d) 150 y 450
16. Un aeroplano recorrió 1940 Km el primer día, el
segundo recorrió 340 Km más que el primero y el
tercero 890 Km menos que entre los dos anteriores.
¿Cuántos Km recorrió el aeroplano en total?
a) 345km
b) 6678km
c) 7550km
d) 2341km

4. Tarea
1. Determinar el valor de x que satisfaga la
ecuación
3
x - 5
= 9
a) 0 b) 5 c) 7 d) 9
2. Determinar el valor de x que satisfaga la
ecuación
5
2x + 1
=
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
3.La solución del sistema de ecuaciones
a) x=1, y=2, z=3 b) x=-1, y=2, z=-3
c) x=0, y=2, z=3 d) x=-2, y=5, z=1
4. Hallar un número de 2 cifras tal que la suma de
los cuadrados de cada cifra sea igual a 20
a) 24 b) 12 c) 48 d) 21
5. El triple de un número más el quíntuple del mismo
es igual a 32. Hallar el número.
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

DOMINIO MATEMÁTICO UTILIZACIÓN DE RESPUESTAS
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19
BLOQUE I
6. ¿Cuál es el número que multiplicado por 3
añadiendo 5 a este producto y dividiéndole para
2 a esto, se obtiene 13?
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
7. Hallar 3 números cuya suma sea 80. Siendo que
el segundo es el triple del primero, el tercero es el
cuádruple del segundo.
a) 2,6,24
b) 2,6,25
c) 3,6,24
d) 5,15,60
8. Hallar 2 números tal que el uno sea 15 unidades
más que el otro y su suma sea 105
a) 45 y 60
b) 55 y 50
c)100 y 5
d) 30 y 45

9. Hallar 2 números tal que el uno sea el doble del
otro y su diferencia sea 5
a) 10 y 5
b) 2 y 4
c) 3 y 6
d) 4 y 8
10. Hallar un número cuya raíz cuadrada sea igual
al doble del mismo número
a) 1/4
b) 4
c) 16
d) 1/16
11. Hallar 2 números tales que su producto sea
igual a 35 y su diferencia sea igual a 2
a) 7 y 5
b) 8 y 6
c) 9 y 7
d) 10 y 9
12. Hallar 3 números pares consecutivos, tal que su
suma sea igual a 18
a) 4,6 y 8
b) 3, 4 y 5
c) 4, 5 y 6
d) 3, 5 y 7
13.Hallar 2 números múltiplos de 3 cuya suma sea
21.
a) 6 y 15 b) 6 y 9
c) 9 y 18 d) 6 y 18
14. Dos tanques almacenan 600 litros de agua en
conjunto. Si se extraen 50 litros de cada uno, un
tanque tendría cuatro veces el volumen de agua
del otro. ¿Cuál es el volumen de agua del tanque de
menor capacidad?
a) 150 litros
b) 200 litros
c) 250 litros
d) 450 litros

DOMINIO MATEMÁTICO RAZONES Y PROPORCIONES
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20
1.3 Razón y proporciones
1. Teoría:
Razón.- Es una comparación entre dos cantidades, del mismo tipo, por medio del cociente (división)
entre ellas. Si las cantidades son m y n, se puede escribir la razón entre m y n (en ese orden) como:
ó m : n Se lee “m” es a “n”
Ejemplo:
¿Cuál es la razón entre 5 y 15?.
Para encontrar la razón entre 5 y 15 dividimos 5 para 15.

Entonces la razón entre 5 y 15 es
Proporción.- Es una igualdad entre dos razones.

Se lee " a" es a "b" como "c" es a "d"
A los números a y d se les llama extremos y a los números b y c se les llama medios.
Propiedad fundamental de las Proporciones:
En una proporción se cumple siempre que el producto de los extremos es igual al de los medios.

.d = b.c
1.3.1 Artiﬁ cio matemático
Un artiﬁ cio matemático es una herramienta matemática, que permite resolver problemas de una manera
fácil y rápida.
2. Ejercicios Resueltos
1. Determinar AB y BC.

DOMINIO MATEMÁTICO RAZONES Y PROPORCIONES
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21
BLOQUE I
a) Utilizando un artiﬁ cio matemático.
. Artiﬁ cio Matemático

Paso 1:Asignar a cada segmento
el valor (en función de x).
Obtenido de la proporción .
Paso 2: De acuerdo a la gráﬁ ca
la suma de los segmentos AB y
BC es igual a 40.
Paso 3: Calcular lo pedido.
El valor de cada segmento se
calcula reemplazando el valor de
x.
AB = 15 BC = 25
b) Utilizando el artiﬁ cio matemático en el mismo gráﬁ co.
Paso 1:Asignar a cada segmento el
valor (en función de x). Obtenido de
la proporción.
Paso 2:Determinar x. Paso 3: Calcular lo pedido.
En resumen:
Paso
Paso
Paso

DOMINIO MATEMÁTICO RAZONES Y PROPORCIONES
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22
3. Ejercicios en clase. PARTE I
Determinar la longuitud de cada segmento.
1. Paso
Paso
Paso

2. Paso
Paso
Paso

3. Paso
Paso
Paso

4. Paso
Paso
Paso
4. Tarea
1.

2.

3.

4.

1.3.2 Problemas de aplicación
1. Teoría:
Muchos ejercicios vienen “maquillados”. Al tener como datos una proporción y un valor, se puede utilizar
EL ARTIFICIO MATEMÁTICO.
Ejemplo:
• Dos números están en una relación de 3 : 5. Si suman 40. Hallar los números.

DOMINIO MATEMÁTICO RAZONES Y PROPORCIONES
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23
BLOQUE I
• La edad de Pablo respecto de la de María estan en una relación de 3 : 5. Si sus edades suman 40 años.
Hallar la edad de cada uno.
• Dos ángulos están en una relación de 3: 5. Si los ángulos suman 40. Hallar los ángulos.
• A una ﬁ esta, por cada 3 hombres, asisten 5 mujeres. Si asistieron 40 personas. ¿Cuántos hombres y
cuántas mujeres asistieron?
• En una granja las gallinas ponen huevos blancos y huevos cremas en una relación de 3 : 5. Cierto día
las gallinas pusieron 40 huevos. ¿Cuántos son blancos y cuántos son cremas?.
Pasos: 1. Realizar un gráﬁ co (utilizar segmentos).
2. Aplicar el artiﬁ cio matemático.
3. Calcular lo pedido.
2. Ejercicios Resueltos
1. A una ﬁ esta asisten 32 personas, por cada 5 hombres, asisten 3 mujeres. Determinar el número de
mujeres que asistieron.
a) 20 b) 6 c) 12 d) 24
3. Ejercicios en clase. PARTE I
1. La suma de dos números es 180 y su razón es
5 : 4. ¿Cuál es la diferencia de los números?
a) 15 b) 20 c) 80 d) 100
2. Las edades de 3 personas están en la relación
de 1 : 5 : 4. Si sus edades suman 40 años. ¿Qué
edad tiene la mayor de dichas personas?
a) 4 b) 10 c) 16 d) 20
3. Las edades de tres hermanas: María, Carmen y
Lucía, son entre sí como 2:5:3. Si sus edades suman
30 años, entonces la edad de Lucía es:
a) 15 b)9 c) 6 d) 1
4. En un triángulo, los ángulos están en una relación
de 2 : 3 : 4. Hallar el mayor de ellos.
5. Dos personas se reparten $ 25.000 en la razón
2:3. ¿Cuál es la diferencia entre lo que recibe cada
una de ellas?
a) $ 10.000 b) $ 15.000
c) $ 5.000 d) $ 20.000
4. Tarea
1. En un triángulo, los ángulos están en una relación de 5 : 6 : 7. Hallar el mayor de ellos.

DOMINIO MATEMÁTICO FRACCIONES
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24
2. Mario, Rodrigo y Ernesto son hermanos y recibirán
un premio en efectivo que debe ser repartido de
acuerdo a la relación de sus edades. La razón
entre sus edades es 2:4:6. El dinero a repartir es
$180.000. ¿Cuánto dinero recibe Rodrigo?
a) 90000 b) 60000
c) 30000 d) 40000
3. En una elección en la cual participaron 180
personas, los votos a favor de los candidatos A y
B estuvieron en la relación de 2 a 3. Los votos a
favor de B y C, en relación de 3 a 5. Si todos los
votos fueron válidos. ¿Cuántos votaron a favor del
candidato que obtuvo mayor puntaje?
a) 54 b) 75 c) 80 d) 90
4. Paola y Andrea tienen una colección de
servilletas. Si la razón entre la cantidad de servilletas
que tiene cada niña es 3:6 y ambas suman en total
90 servilletas, ¿Cuántas servilletas tiene Andrea?
a) 30 b) 50 c) 60 d) 54
5. Un raro pez tiene 3 m de longitud total y la
cabeza está en una relación de 2 a 1 con respecto
al cuerpo. ¿Cuánto miden en ese orden la cabeza
y el cuerpo?
a) 2m y 1m b) 2.5m y 0.5m
c) 2.75m y 0.2m d) 2.25m y 0.75m
1.4 Fracciones
1. Teoría
La fracción es un numero que se obtiene de dividir la unidad en partes iguales.
Una fracción se representa matemáticamente por números que están que están escritos unos sobre
otros y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria. La fracción esta
formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el numero que esta sobre la
raya fraccionaria y el denominador es el que esta baja la raya fraccionaria.
Numerador
Raya de fracción
Denominador
La unidad se divide en cinco partes iguales (denominador).
El numerador es el 2 e indica el numero de partes que se
toma de partes que se toma de la unidad.
1.1 Table de Fracción
¿Cuántos medios tiene la unidad?
¿Cuántos tercios tiene la unidad?
¿Cuántos cuartos tiene la unidad?
¿Cuántos quintos tiene la unidad?
¿Cuántos sextos tiene la unidad?
¿Cuántos séptimos tiene la unidad?
¿Cuántos octavos tiene la unidad?
¿Cuántos novemos tiene la unidad?
¿Cuántos décimos tiene la unidad?
¿Cuántos cuartos tiene un medio?
¿Cuántos sextos tiene dos tercios?
¿Cuántos novenos tiene un tercio?
¿Cuántos décimos tiene tre quintos?
¿Cuántos octavos tiene tres cuartos?

DOMINIO MATEMÁTICO FRACCIONES
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25
BLOQUE I
2. Ejercicios Resueltos
1. Graﬁ ca de fracción
1. Graﬁ car
2. Graﬁ car
2. ¿cuál es el numero cuyo 2/5 equivale a 50?
Paso 1: Realice la graﬁ ca de la
fracción
Además se debe colocar en la
graﬁ ca el numero entero que
nos da como el ejercicio.
Paso 2: Determinar el valor
numérico de un cuadro
Paso 3: Calcular lo pedido
Como en este ejercicio la
pregunta es el total, se debe
multiplicar el valor de cada
parte por el numero total de
partes que es 5.
La unidad tiene 5 quintos.
Respuesta: b) 125
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. Graﬁ car
2. Graﬁ car
3. Graﬁ car
4. Graﬁ car
5. Graﬁ car
Graﬁ car
. Graﬁ car
Graﬁ car

6. Si la tercera parte de un curso son hombres y hay 8 hombres. ¿ Cuántas personas hay en el curso?

Paso 1
realizar la graﬁ ca de la fricción
Paso 2
Determinar el valor numerico de
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido

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7. Si las 3/7 de un curso son mujeres y hay 27 mujeres. ¿Cuántas personas hay en el curso?
a)9 b)36 c)63 d)45
Paso 1
realizar la graﬁ ca de la fricción
Paso 2
Determinar el valor numerico de
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
8. Si las 3/5 partes de un curso son hombres y hay 14 mujeres. ¿Cuántas personas hay en el curso?
a)21 b)7 c)35 d)14

Paso 1
realizar la graﬁ ca de la fricción
Paso 2
Determinar el valor numerico de
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
9. Si las 4/9 partes de un curso abandona y queda 20 estudiantes. ¿cuántos había originalmente?
a)16 b)36 c)20 d)24
Paso 1
realizar la graﬁ ca de la fricción
Paso 2
Determinar el valor numerico de
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
10. Un depósito parcialmente lleno contiene 180 litros de agua. Si este volumen corresponde a los 2/5 de
la capacidad del depósito. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar para volver a llenarlo?
a)108 b)230 c)270 d)90
Paso 1
realizar la graﬁ ca de la fricción
Paso 2
Determinar el valor numerico de
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
11. Las 2/7 partes del curso son hombres. Si hay 10 hombres. ¿Cuántas personas hay en el curso?
a)32 b)49 c)45 d)35
Paso 1
realizar la graﬁ ca de la fricción
Paso 2
Determinar el valor numerico de
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido

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27
BLOQUE I
4. Tarea
1.4.1 Gráﬁ ca de fricción
1. Los 2/5 de la capacidad de un estanque son 500 litros. ¿Cuál será la capacidad de los 3/5 del mismo
estanque?
a)450 litros b)600 litros c)750 litros d)350 litros
Paso 1
realizar la graﬁ ca de la fricción
Paso 2
Determinar el valor numerico de
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
2. Los 4/5 de un numero es 40. ¿Cuánto serían los 3/10 del número?
Paso 1
realizar la graﬁ ca de la fricción
Paso 2
Determinar el valor numerico de
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
3. Una rueda recorre 180m, cuando ha girado los 3/4de la rueda. Si da una vuelta completa. ¿Cuánto
recorrerá?
a)125 b)270 c)250 d)240
Paso 1
realizar la graﬁ ca de la fricción
Paso 2
Determinar el valor numerico de
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido
4. Hernàn tiene que resolver 30 problemas, un día resuelve los 3/10 y al dia siguiente los 4/7 del resto.
¿Cuántos problemas le faltan por solucionar?
a)9 b)12 c)3 d)20
Paso 1
realizar la graﬁ ca de la fricción
Paso 2
Determinar el valor numerico de
un cuadro
Paso 3
Calcular lo pedido

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1.4.2 Ampliﬁ cación
1. Teoría
Ampliﬁ cación. – La ampliﬁ cación e una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador
por un mismo entero, en el cual se obtendrá una fracción equivalente a la anterior.
Ejemplo: Para ampliﬁ cación la fracción 2/3 se multiplica numerador y denominador por 4 y obtenemos
la fracción equivalente 8/12.
Nota:
Los numeradores son múltiplos de 2.
Los denominadores son múltiplos de 3.

2. Ejercicios Resueltos
1. En un recipiente de caramelos, 1/8 de los caramelos son de sabor a miel, ¼ sabor a mantequilla, ½
sabor a chocolate, y el resto, 12, son de sabores a menta. ¿Cuántos caramelos son sabor a mantequilla?
a)24 b)28 c)32 d)48
Paso 1
Ordenar
Paso 2
Ampliﬁ car
Paso 3
Graﬁ car/ Calcular
2. Un padre de familia gasta 1/5 de su salario en alimentos y 1/8 en trasporte. ¿Qué parte de su salario le
queda?
a) 13/40 b) 11/13 c) 27/40 d) 13/20
Paso 1
Ordenar
Paso 2
Ampliﬁ car
m.c.m.= 40
para la cual se debe multiplicar
cada fracción por el numero
que haga falta para llegar al
40 que es el m.c.m. Se debe
multiplicar tanto al numerador
como al denominador
Paso 3
Graﬁ car/ Calcular
Como una pregunta es la parte
que queda del salario. Se debe
tomar el total (en este caso 40)
y restar el numerador (en este
caso 13) para saber la cantidad
de partes que queda.
Por lo tanto la fracción que
queda es 27/40 .
Respuesta: c) 27/40

DOMINIO MATEMÁTICO FRACCIONES
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29
BLOQUE I
3. Hallar el valor de x
a)20 b)15 c)7 d)35
4. Hallar la mayoría fracción entre:
3
7
y
4
9
.
a)
3
7
b)
4
9
c) son iguales.
Se multiplica en cruz para eliminar denominadores.
Por lo tanto la mayor fracción es
4
9
.
3. Ejercicio para resolver en clase. PARTE I
1. Sobre una ruleta están pintados aleatoriamnete colores. Si 1/10 es de color verde, ½ de colo blanco, ¼
de color azul, y el resto 30 colores son de color rosado, ¿Cuál es el numero de colores azules?
a)205 b)50 c)75 d)120

Paso 1
Ordenar
Paso2
Ampliﬁ car
Paso3
Graﬁ car/ Calcular
2. Un empleado gasto 1/10 de su salario em vestuario, 1/3 en alimentos y 1/5 en arriendo. ¿Qué parte de
su salario le queda para otros gastos y ahorros?
a)1/15 b)11/30 c)2/3 d)7/10
Paso 1
Ordenar
Paso2
Ampliﬁ car
Paso3
Graﬁ car/ Calcular
3. Un comerciante invierte 1/5 de su capital en ropa para niños, 1/10 en ropa para hombre y ¼ en ropa
para mujer. ¿Qué parte de su capital le queda para seguir invirtiendo?
a)9/10 b)9/20 c)3/10 d)1/20

Paso 1
Ordenar
Paso2
Ampliﬁ car
Paso3
Graﬁ car/ Calcular

DOMINIO MATEMÁTICO FRACCIONES
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30
4.Tarea
1. Perdí un quinto de mi dinero y preste un octavo. ¿Qué parte de m i dinero me queda?
a)3/56 b)46/25 c)27/40 d)26/56
Paso 1
Ordenar
Paso2
Ampliﬁ car
Paso3
Graﬁ car/ Calcular
2. Si . El valor x es:
a) 20 b)25 c)30 d) 35
Paso 1
Ordenar
Paso2
Ampliﬁ car
Paso3
Graﬁ car/ Calcular
3. Marìa José paso así su vida: 1/3 durmiendo, ½ comiendo, ¼ trabajando, 1/6 practicando deporte y el
resto de su vida que son 12 años la paso viajando. ¿Qué edad tuvo al morir?
a) 60 años b)24 años c)36 años d) 72 años
Paso 1
Ordenar
Paso2
Ampliﬁ car
Paso3
Graﬁ car/ Calcular
4. En una sociedad de tres personas, uno aporta $p que corresponde a los 2/5 del capital, otro aporto $
200 y el tercero aporto un tercio del capital. ¿Cuál es el valor de p?
a) $250 b)$300 c)$200 d) $350
Paso 1
Ordenar
Paso2
Ampliﬁ car
Paso3
Graﬁ car/ Calcular
4. Una familia compra dos moldes de ropa y come 5/12 del molde en el desayuno, 5/8 del molde en el
almuerzo, 5/6 del molde en la merienda y el resto en un refrigerio a medianoche, si a) 1/5 del molde
a) a>b b) a=b c) a<b d) no se puede determina
Paso 1
Ordenar
Paso2
Ampliﬁ car
Paso3
Graﬁ car/ Calcular

DOMINIO MATEMÁTICO SERIES NÚMERICAS Y ALFANÚMERICAS
PREUNIVERSITARIO CRECER preuniversitariocrecer
31
BLOQUE I
1.5 Series númericas y alfanúmericas
1. Teoría:
Una serie es un conjunto de números o letras que tienen una secuencia determinada o que siguen una
regla especíﬁ ca.
Ejemplos:
1, 2, 3, 4, 5, La secuencia consiste en sumar 1 a cada término para obtener el siguiente.
2, 4, 6, 8,10, La secuencia consiste en sumar 2 a cada término para obtener números pares.
1, 3, 5, 7, 9, La secuencia consiste en sumar 2 a cada término para obtener números impares.
Clasiﬁ cación
Básicamente existen dos tipos de series:
1. Series Numéricas.
2. Series Alfanuméricas.
Las mismas que pueden ser simples o alternadas
1.1 Series numéricas
Es una secuencia de números ordenados, llamados términos, que siguen una regla especiﬁ ca.
a) Series Simples
Cada término de una serie simple se obtiene en base al término anterior. A continuación se ponen
algunos ejemplos, que siguen una regla especíﬁ ca.
Ejemplos:

1)

2)
3)
4)
5)
6)
b) Series alternadas
Las series alternadas tienen una secuencia determinada, que se cumple o se repite saltándose uno o
más términos.

1)

2)

DOMINIO MATEMÁTICO SERIES NÚMERICAS Y ALFANÚMERICAS
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32
1.2 Series alfanuméricas
Son secuencias, en las que intervienen números ó letras del alfabeto, que siguen una regla especíﬁ ca.
Se considera el alfabeto español que contiene 27 letras. No intervienen las consonantes dobles (CH, LL, RR).
Ejemplos:
1) A, B, C, D _____
2) Z, Y, X, W _____
3) 1A, 2C, 3E, 4G, 5I _____
4) 3Z, 4X, 6V, 9T, 13R _____
Para hallar un determinado término de la serie, se debe identiﬁ car la regla
especíﬁ ca que siguen los términos, y luego aplicarla.
2. Ejercicios Resueltos.
1. La serie representa el número diario de hojas que
caen sobre una piscina, provenientes de un árbol
cercano. ¿Cuántas hojas caerán sobre la piscina
al octavo día?
2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, .........
a) 10 b) 12 c) 13 d) 14
Primero identiﬁ camos la regla que siguen los
términos.
Luego aplicamos dicha regla, hasta obtener el
término pedido.
Al octavo día caerán 12 hojas.
2. Determinar el cuarto término de la siguiente
secuencia:
4E, 8G, 16I,.....,64M
a) 20J b) 24J c) 28K d) 32K
Esta es una serie alfanumérica. Es recomendable
analizar primero la parte numérica.
Por lo tanto, en el cuarto término debe ir el 32. Al
ver las opciones, la única respuesta posible es la d),
con lo que el ejercicio está resuelto.
Sóloen el caso de que varias opciones tuvieran el
número 32, se debería analizar la parte literal.
Por lo tanto el cuarto término es 32K, siendo la
respuesta la misma opción d).
3. Ejercicios en clase. PARTE I
1. 1, 2, 4, 7, 8, 10,13……
2. 121, 144, 169,196,…..
3. 10, 15,25, 40,60,…….
4. 7, 9, 6, 8, 5, 7, 4,…….
5. 3, 7, 15, 31, 63,……….
6. 20, 19, 17, 14, 13,11,…..
7. 11, 2, 22, 3, 25, 4, 50,…..
8. 8, 24, 26, 25, 75,77,……..
9. 8, 9, 18, 19, 38, 39,…….
10. 22A, 19C, 16E, 13G……
11. E G H J K M N O P……
12. AB, ED, GH, KJ, MN….
13. La serie representa el número diario de hojas
que caen sobre una piscina, provenientes de
un árbol cercano al iniciar la estación de otoño.
¿Cuántas hojas caerán sobre la piscina al octavo
día?
Ejercicio 30, forma 2/ 2018 Costa. Recuperado el
6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.
ec/evaluaciones/pruebas-liberadas/
1, 3, 6, 11, 11, 19, 16, ___
a) 16 b) 21 c) 23 d) 27

DOMINIO MATEMÁTICO SERIES NÚMERICAS Y ALFANÚMERICAS
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33
BLOQUE I
4. Tarea
1. 2, 12, 6, 36, 30, 180,……..
2. 18, 9, 10, 5, 6, 3, 4,……..
3. 47, 44, 42, 41, 38,………
4. 17, 20, 23, 26, 29,………
5. 5, 11, 23, 47,……….
6. 24, 3, 12, 9, 6, 27, 3,……..
7. 4, 10, 9, 15, 16, 22,………
8. 3, -1, 6, -2, 12, -4,……
9. 6, 5, 9, 10, 12, 15,………
10. 2, 5, 10, 17, 26,……..
11. 1, 2, 4, 5, 7, 8,…..
12. 1, 2, 3, 3, 2, 3, 4, 5,…..
13. 1, 20, 5, 16, 9, 12,…..
14. 8, 6, 12, 7,16, 8, 20,…..
15. 6, 2, 5, 5, 4, 8, 3, 11,.....
16. 4, 10, 18, 29, 43,…….
17. La serie representa el número diario de hojas que caen sobre una piscina, provenientes de un árbol
cercano al iniciar la estación de otoño. ¿Cuántas hojas caerán sobre la piscina al octavo día?
Ejercicio 30, forma 5/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
1, 7, 4, 10, 7, 13, 10, ___
a) 7 b) 13 c) 16 d) 17
14. La sucesión permite generar códigos que
faciliten la búsqueda de cada nuevo cliente en un
almacén. ¿Cuál es el código que se le asignó al
cuarto cliente?
Ejercicio 28, forma 2/ 2018 Costa. Recuperado el
6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.
ec/evaluaciones/pruebas-liberadas/
4E, 8G, 16I, ___, 64M
a) 20J b) 24J c) 28K d) 32K
15. El concurso de una feria consiste en predecir
el siguiente número que aparecerá en la ruleta. Si
x es el próximo número en aparecer, ¿cuál es su
valor?
Ejercicio 23, forma F001/ 2017 Sierra. Recuperado
el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.
gob.ec/evaluaciones/pruebas-liberadas/
a) 1 b) 2 c) 13 d) 49
16. Una persona olvidó el último código de su caja
fuerte, pero recuerda haber ingresado la siguiente
sucesión de números:
3,5; 6; 8,5; 11; 13,5; ...
Si el último código que necesita la persona está
ubicado en la octava posición, ¿cuál es este
código?
Ejercicio 35, forma 2/ 2018 Costa. Recuperado el
6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.
ec/evaluaciones/pruebas-liberadas/
a) 16 b) 21 c) 26 d) 31
17. Identiﬁ que el siguiente término de la sucesión:
Ejercicio 2, forma 5/ 2017 Sierra. Recuperado el 6
de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.
ec/evaluaciones/pruebas-liberadas/
4 + a
3
,5 + a
5
,8 + a
9
,13 + a
15
, ?
a) 20 + a
23
b) 18 + a
27

c) 12 + a
27
d) 20 + a
18
18. Determine el número que continúa en la serie.
Ejercicio 31, forma 5/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
0, 1, 8, 63, 624, ___
a) 5 049 b) 6 178
c) 6 192 d) 7 775

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18. La sucesión permite generar códigos que
faciliten la búsqueda de cada nuevo cliente en un
almacén. ¿Cuál es el código que se le asignó al
cuarto cliente?
Ejercicio 28, forma 5/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
2E, 4G, 8I, ___, 32M
a) 10J b) 12J c) 14K d) 16K
19. La sucesión permite generar códigos que
faciliten la búsqueda de cada nuevo cliente en un
almacén. ¿Cuál es el código que se le asignó al
cuarto cliente?
Ejercicio 21, forma F001/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
3E, 6G, 12I, ___, 48M
a) 15J b) 18J c) 21K d) 24K
1.6 Regla de tres simple y compuesto
1. Teoría
Una regla de tres es una operación que se desarrolla para conocer el valor del cuarto término de una
proporción a partir de los valores de los otros términos. Las reglas de tres pueden ser simples o compuestas,
directas o inversas.
1.1 Regla de tres directa.
• Si una magnitud aumenta, la otra también aumenta.
• Si una magnitud disminuye, la otra también disminuye.
Ejemplos:
• Si hay más obreros, construyen más casas.
• Si hay que resolver más ejercicios, se demora más tiempo.
Para resolver la regla de tres directa se debe multiplicar en cruz
(x).
1.2 Regla de tres inversa.
• Si una magnitud aumenta, la otra disminuye.
• Si una magnitud disminuye, la otra aumenta.
Ejemplos:
• Si hay más personas construyendo una casa, se demoran menos tiempo.
• Si un auto va a mayor rapidez, se demora menos tiempo.
Para resolver una regla de tres inversa se debe multiplicar horizontalmente
(=).

Pasos para resolver:
1. Ordenar
2. Analizar
3. Simpliﬁ car

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BLOQUE I
2. Ejercicios Resueltos
1. Por 3 horas de trabajo Carlos paga 60 dólares. ¿Cuánto cobrará por 8 horas?
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar.
Si trabaja más horas,
entonces, ¿Cobrará más
dinero ó menos dinero?
Cobrará más dinero.

Paso 3: Simpliﬁ car.
Entonces lo que Carlos tiene que pagar es $160
2.Si 10 obreros construyen una casa en seis meses ¿Cuántos meses demorarán 45 obreros en construir 6
casas del mismo tipo, trabajando la misma cantidad de horas diarias?
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar.
Para resolver una regla de
tres compuesta se analiza por
separado.
Se compara cada columna con
la columna que tiene la X.
Si hay más obreros construyendo
una casa, entonces, ¿Se
demoran más meses o menos
meses?
Se demoran menos meses.
Si se contruyen más casas,
entonces, ¿Se demoran más
meses o menos meses?
Se demoran más meses.
Paso 3: Simpliﬁ car.
Se demorarán 8 meses.

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3. Un camión a 60 Km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un camión a 120 km/h?
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar.
Si va a mayor velocidad,
entonces. ¿Se demora más ó se
demora menos tiempo?
Se demora menos tiempo.
Paso 3: Simpliﬁ car.
Entonces el camión se demora 20 minutos.
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. 25 Trabajadores ejecutan una obra en 16 días. ¿En cuántos días menos harán la obra 40 trabajadores.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 10
Paso 1: Ordenar.
Trabajadores Días
Paso 2: Analizar.
Si aumento el número de
trabajadores, entonces,
¿Aumenta o disminuyen los días?
Paso 3: Simpliﬁ car.

2. Un auto a 100 Km/h de velocidad ha recorrido 150 Km. ¿Qué distancia recorrerá en el mismo tiempo si va a 80
Km/h?
a) 120km b) 180km c) 110km d) 150km
Paso 1: Ordenar.
Velocidad Kilometros
Paso 2: Analizar.
Si disminuye la velocidad,
entonces, ¿Aumenta o disminuye
la distancia?
Paso 3: Simpliﬁ car.
3. Una persona en 20 minutos recorre una distancia de 3 kilómetros; en una hora recorre:
a) 4 km b) 6 km c) 9 km d) 12 km
Paso 1: Ordenar.
Minutos Distancia
Paso 2: Analizar.
Si disminuye el tiempo, entonces,
¿Aumenta o disminuye la
distancia?

Paso 3: Simpliﬁ car.

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BLOQUE I
4. Si 3 ladrillos pesan 6 kg. ¿Cuánto pesarán una decena de ladrillos?
a) 18kg b) 20kg c) 22kg d) 24kg
Paso 1: Ordenar.
Ladrillos Kilogramos
Paso 2: Analizar.
Si aumenta el número de ladrillos,
entonces,
¿Aumenta o disminuye los
kilogramos?
Paso 3: Simpliﬁ car.
5. Cinco gatos cazan 5 ratones en 5 minutos. ¿Cuántos gatos cazarán 3 ratones en 3 minutos?
a) 3 b) 5 c) 10 d) 12
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar. Paso 3: Simpliﬁ car.
6. Quince obreros cavan una zanja de 60 m en 6 horas. ¿Cuántos metros cavarán 6 obreros en 4 horas?
Ejercicio 24, forma f001/ 2018 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) 16 b) 24 c) 36 d) 40
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar. Paso 3: Simpliﬁ car.
7. Tres obreros cavan en 24 horas una zanja de 12 m. ¿Cuántos metros cavarán en 12 horas 9 obreros?
Ejercicio 7, forma F001/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) 2 b) 6 c) 18 d) 72
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar. Paso 3: Simpliﬁ car.

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8. Cinco tornos hacen 2500 pernos en 16 horas. ¿Cuántos tornos más serán necesarios para producir
15000 pernos en 40 horas?
a) 10 b) 9 c) 7 d) 8
Paso 1: Ordenar.
Pernos Tornos Horas
Paso 2: Analizar.
Pernos Tornos
Tornos Horas
Paso 3: Simpliﬁ car.
9. El transporte de 150 toneladas de mineral de hierro a la distancia de 650 km, ha costado $2600. ¿Cuánto
costará el transporte de 225 toneladas de la misma mercancía a la distancia de 200 km?
a) 1200 b) 1301 c) 1999 d) 1300
Paso 1: Ordenar.
Toneladas Costo Distancia
Paso 2: Analizar.
Toneladas Costo
Costo Distancia
Paso 3: Simpliﬁ car.
10. Un taller automotriz cuenta con 6 técnicos especializados que realizan 6 mantenimientos de distintos autos
en 4 horas. Si el dueño del taller decide contratar a un técnico para aumentar la cantidad de mantenimientos,
¿cuántos se podrían realizar en 8 horas?
Ejercicio 40, forma F001/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-liberadas/
a) 4 b) 8 c) 18 d) 14
Paso 1: Ordenar.
Técnicos Mantenimiento Horas
Paso 2: Analizar.
Técnicos Mantenimiento
Mantenimiento Horas
Paso 3: Simpliﬁ car.
11. En una industria de producción de cosméticos, 10 operadoras producen 1 000 perfumes en 2 días de
4 horas de trabajo. Si se aumenta el número de operadoras en un 50 %, ¿cuántas horas deben trabajar
diariamente las operadoras para que la producción se triplique en 8 días?
Ejercicio 39, forma f001/ 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) 2 b) 12 c) 16 d) 98
Paso 1: Ordenar.
Operadoras Perfumes Días Horas
Paso 2: Analizar.
Operadoras Horas
Perfumes Horas
Días Horas
Paso 3: Simpliﬁ car.

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BLOQUE I
4. Tarea
1. Un buey atado a un árbol con una soga de 2 m de largo, demora 11 días en comer el pasto que está a su
alcance. Si la soga fuese el doble de larga, ¿Cuánto tardará en comer todo el pasto que está a su alcance?
a) 22 días b) 11 días c) 40 días d) 44 días e) N.R.
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar. Paso 3: Simpliﬁ car.
2. Para pintar una pared cuadrada de 4 m de lado, se necesita 3200 ml de pintura. ¿Cuánto se necesitará
para pintar una pared cuadrada de 5 m de lado?
a) 400 b) 4000 c) 5000 d) 2880 e) 6400
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar. Paso 3: Simpliﬁ car.
3. Cinco trabajadores construyen una muralla en 6 horas. ¿Cuántos trabajadores se necesitan para
construir 8 murallas en un solo día?
a) 12 b) 15 c) 20 d)10
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar. Paso 3: Simpliﬁ car.
4. Si tres personas arman un rompecabezas en 24 horas. ¿Cuántos rompecabezas armarán 36 personas
en 48 horas?
a) 20 b) 12 c) 24 d) 10
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar. Paso 3: Simpliﬁ car.

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5. Si 10 obreros construyen una casa en seis meses ¿Cuántos meses demorarán 45 obreros en construir 6
casas del mismo tipo, trabajando la misma cantidad de horas diarias?
a) 9 b) 12 c) 7 d) 8
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar. Paso 3: Simpliﬁ car.
6. Un ómnibus recorre 84km en una hora. ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 ¼ horas si mantiene su
velocidad constante?
a) 273 b) 270 c) 250 d) 253
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar. Paso 3: Simpliﬁ car.
7. Si 4 manzanas de una docena están dañadas. ¿Cuántas están buenas en 3 docenas?
a) 8 b) 6 c) 24 d) 12
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar. Paso 3: Simpliﬁ car.
8. Si un camionero realiza 5 viajes por hora para llenar un socavón del terreno. ¿Cuántos viajes realizará en
tres cuartos de hora?
a) 3 viajes b) 5 viajes c) 2 viajes d) casi 4 viajes
Paso 1: Ordenar. Paso 2: Analizar. Paso 3: Simpliﬁ car.

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BLOQUE I
1.7 Geometría
1.7.1 Clasiﬁ cación de los ángulos
1. De acuerdo a sus medidas
Agudo Recto Obtuso Llano
Ángulo cuya medida
está entre 0º y 90º, sin
que sea estos valores
extremos. 0º < x <90º
Ángulo que mide
exactamente 90º. Ya
que el ángulo entre
AD y DC es recto,
los segmentos son
perpendiculares.
Ángulo cuya medida
está entre 90º y 180º,
sin que sea estos
valores extremos.
90º < x < 180º
Ángulo que mide 180º.
Si el ángulo entre 2
rectas es llano, todos
los puntos de dichas
rectas son colineales.
2. De acuerdo a la posición
Adyacentes Complementarios Suplementarios
Ángulo que tienen un lado y
un vértica común. En el gráﬁ co
ADB Y BDC son adyacentes ya
que comparten el vértice D y el
lado BD.
Son dos ángulos adyacentes
no necesariamente iguales
que sumados dan 90º.
θ + β = 90º
Son dos ángulos adyacentes
no necesariamente iguales que
sumados dan 180º.
θ + β = 180º
Propiedades básicas de los ángulos
1. Ángulos opuestos por el vértice: Si escogemos uno de los cuatro ángulos que se forman al intersecar
dos rectas podremos observar que el ángulo adyacente a éste en cualquier sentido es su suplemento. Si
obviamos los suplementos, el siguiente ángulo será el opuesto por el vértice a nuestro ángulo base. Los
ángulos opuestos por el vértice son iguales.

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2. Postulado de Paralelismo: Dos rectas son paralelas si al cortarlas con una transversal, los ángulos internos
a un mismo lado de la transversal suman 180°.
NOTA: Las rectas del gráﬁ co también serán paralelas si los ángulos internos del lado izquierdo suman 180°.
3. Ángulos congruentes entre dos rectas paralelas y una transversal: Entre 2 rectas paralelas y una
transversal se forman pares de ángulos iguales. De acuerdo a la ubicación de los ángulos respecto a las
paralelas y/o a la transversal, se tienen los siguientes ángulos:
Ángulos Alternos Internos: Ángulos internos respecto a las paralelas y alternados respecto a la
transversal. Nótese que si tomamos como base , su ángulo alterno interno es ; por lo tanto = .
De la misma forma se cumple que = .
Ángulos Alternos Externos: Ángulos externos respecto a las paralelas y alternados respecto a la
transversal. Nótese que si tomamos como base , su ángulo alterno externo es ; por lo tanto = .
De la misma forma se cumple que = .
Ángulos Correspondientes: Ángulos a un mismo lado de la transversal y alternados respecto a
las paralelas. Ai tomamos como base su correspondiente debe ubicarse a la derecha de la
transversal y en la parte interna de las paralelas; es decir . Por lo tanto se cumple que = . Se
veriﬁ ca también que : = ; = ; =
4. Teorema del serrucho: Al cruzar un conjunto de transversales diferentes por un par de paralelas, la
suma de los ángulos agudos en la región izquierda será igual a la suma de los ángulos agudos en la
región derecha.

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BLOQUE I
1.7.2 Elementos y clasiﬁ cación de triángulos.
TRIÁNGULOS
Es la ﬁ gura geométrica que se forma al unir con segmentos tres puntos no colineales.
ELEMENTOS
Todo triángulo consta de los siguientes elementos:
Vértices: Los puntos no colineales que limitan la ﬁ gura. En el gráﬁ co: A, B y C.
Lados: Segmentos limitados por cada par de vértices. En el gráﬁ co (AB), (AC) y (BC)
Ángulos Internos: Ángulos formados entre cada par de lados. En el gráﬁ co A, B y C
Ángulos Externos: Ángulos formados entre un lado y la prolongación de otro. Al prolongar cada lado del
triángulo en ambas direcciones se forman 3 ángulos externos que son suplementarios con el respectivo
ángulo interno. En el gráﬁ co α, β y γ.
Clasiﬁ cación
1. De acuerdo a la longitud de sus lados
Equilátero Isósceles Escaleno
Tres lados iguales
AB = BC = AC
Cada uno de sus ángulos
internos mide 60°. Por lo tanto
todo triángulo equilátero es
tambien equiángulo.
A = B = C = 60°
Dos lados iguales
AB = AC
Los ángulos opuestos
a los lados iguales son
congruentes. En el gráﬁ co
se cumplirá entonces:
C = B
Ningún lado igual
AB AC BC
Como consecuencia,
ninguno de sus ángulos
internos es igual a otro y el
lado mayor será el que se
oponga al ángulo mayor.
A B C
2. Por sus ángulos
Acutángulo Obtusángulo Rectángulo
Todos sus ángulos internos son
agudos.
α, β , γ agudos
Uno de sus ángulos internos
es obtuso; los dos restantes
son agudos.
es obtuso, α Y β agudos.
Uno de sus ángulos internos
es recto; lod dos restantes son
agudos.
ABC = 90º, α Y β agudos.

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1. Teorema Fundamental: La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a 180°
B C
A
B C=180°A+ +
1.7.3 Triándulo recatngulo: Teorema de pitágoras
Triángulo rectángulo
1. Teoría
Es aquel que posee un ángulo interno que es recto. Los lados de ese ángulo recto reciben la denominación
de catetos, mientras que el lado opuesto de dicho ángulo se denomina hipotenusa.
Adicionalmente, si se considera el teorema fundamental de los triángulos, los ángulos agudos del triángulo
rectángulo siempre serán complementarios.
ABC es rectángulo
A Y B son catetos, C es la hipotenusa.

Teorema de pitágoras.
Para cualquier triángulo rectángulo, la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos.
c
2
= a
2
+ b
2
2. Ejercicios Resueltos.
Calcular
+ 30° = 90°
= 90° - 30°
= 60°
Calcular
+ 20º = 90º
= 90º - 20º
= 70º
Calcular
+ = 90º
2 = 90º
= 45º
Calcular
+ = 90º
= 90º -

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45
BLOQUE I
3. Ejercicios Resueltos
Escriba el teorema de Pitágoras.
Calcular x
y
2
= x
2
+ z
2
Calcular x
x
2
= 3
2
+ 4
2
x
2
= 9 + 16
x
2
= 25
x = x = 5
Calcular x

x
2
= 5
2
+ 12
2
x
2
= 25 + 144
x
2
= 169
x =
x = 13
Calcular x
x
2
= 1
2
+ 2
2
x
2
= 1 + 4
x
2
= 5
x =
4. Ejercicios para resolver en clase.
Encontrar el valor del ángulo x.
Encontrar cuanto mide el lado x.
Calcular la altura del triángulo Equilatero.

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5. Tarea
Calcular el valor de x
Calcular el valor de x

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47
BLOQUE I
1.7.4 Triángulos notables.
1. Teoría

Triángulo rectángulo (45º) Triángulo rectángulo (30º - 60º)

2. Ejercicios Resueltos.
1. En un triángulorectángulo la hipotenusa mide 5 cm, un cateto 4 cm. Hallar el otro cateto.
El valor de x = 3
2. En un rectángulo cuya base es 5 y su altura es 12. Calcular la diagonal del rectángulo.

La diagonal del rectángulo es la hipotenusa de los
dos triángulos formados.

El valor de la diagonal es 13
3. Determinar el valor de x

En el triángulo rectángulo
isósceles la hipotenusa se
obtiene Multiplicando el
cateto por
.
x = a

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4.Determinar el valor de a
En el triángulo rectángulo isósceles
el cateto se obtiene dividiendo la
hipotenusa para % .
c =
c = a
5. Hallar x e y
En el triángulo rectángulo (30 - 60) el cateto que
opone a 30º es " a ", la hipotenusa es el doble y el
otro cateto es " a " multiplicado por .
a = 4
x = 2a
y = a
x = 2 (4) = 8
y = 4
6. Hallar x e y
Aplicando el criterio anterior para el triángulo
rectángulo (30 - 60) tenemos:
a = 10 a =
y = a
x = 2a
y =
x = 2
x =
0
0
60

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49
BLOQUE I
3. Calcular el valor de x directamente
• Calcular el valor de X directamente
• Calcular el valor de x e y Directamente
7
4. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. Pablo parte del origen y camina 8 Km al norte,
6 Km al este, 20 Km al sur y 11 Km al oeste. ¿A qué
distancia del origen se encuentra Pablo?
a) 24 b) 13 c) 12 d)5
2. Una escalera está situada a 3 m de la base
de un ediﬁ cio formando un ángulo de 45° con la
horizontal. Si el otro extremo llega a una ventana,
determinar a qué altura esta la ventana.
a) 3/√2 b)6 c) 3 d)3√2
3. Un avión próximo a aterrizar se encuentra a una
altura de 1350 m. ¿A qué distancia del aeropuerto
está el avión si el piloto lo observa con un ángulo
de depresión de 30°?
a)1350√2m b)1350m c) 2700m d)30

4. Desde un punto a nivel del suelo y a una
distancia de 60 m del pie de un ediﬁ cio, el ángulo
de elevación de la terraza es de 30°. Que altura
tiene el ediﬁ cio.
a) 60√3 b) 60/√2 c) 60

d) 30√3

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5. Tarea
1.Una persona parte del punto A y recorre 4 Km al
norte, 12 Km al este y 12 Km al norte hasta el punto
B. Calcular la distancia desde el punto A al punto
ﬁ nal B.
a)10 km b) 13km c) 20km d)15km
2.Un árbol de 5 m de altura proyecta una sombra
de 5√3 m m. Encontrar el ángulo de elevación del
sol.
a) 60° b)90° c)45° d)30°
3. Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
5 cm y uno de sus catetos 3 cm, ¿Cuánto mide el
otro cateto?
a) 2 cm b) 4 cm c)5 cm d) 3 cm
4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual
a 12 y uno de los catetos es igual a 5. ¿Cuál es la
longitud del otro cateto?
a) 5√3 b)√119 c)√139 d)13
5. En el cuadrado de la ﬁ gura se inscriben cuatro
círculos de igual radio. Si el radio de cada uno de
ellos es 4cm, la diagonal del cuadrado es:
a) 16√2 b) √3 c) 6 d) 5
5. Hallar la medida de la diagonal del cuadrado.
A B
D C
11
a)11 b)11/√2 c)11√2 d)√11
6. Hallar la medida de cada lado del cuadrado
ABCD.
A
6
x
x
B
D
C
a) 6 b) 6√2 c) 6/√2 d) 3
7. Calcular la longitud de una escalera, sabiendo
que está apoyada en la pared a una distancia de
2m y alcanza una altura de 7m.
a)√41m b)√43m c) √53m d) 7,02 m
8. Un repartidor de pizza debe hacer una entrega
desde la pizzería ubicada en el punto X hasta el punto
Y para sortear el tráﬁ co hace el recorrido como se
muestra en la gráﬁ ca, las unidades están en metros;
¿Si el repartidor se pudiera movilizar directo de X
hasta Y cuanto metros recorrería?
a) 8 b) 12 c) 13 d) 9
9. ABCD es un paralelogramo donde AC BD. Si la
medida de AC es 8√2 y BD mide 6√2, ¿Cuál es la
longitud de AB?
A B
E
D C
a) 14 b)5√2 c) 7√2 d)5

DOMINIO MATEMÁTICO GEOMETRÍA
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51
BLOQUE I
1.7.5 Área y perímetro de ﬁ guras planas
1. Teoría
El perímetro es la medida del contorno de una ﬁ gura, este se mide en unidades lineales, tales como el
centímetro (cm), el metro (m), el kilómetro (km), etc.
El área es la medida de la superﬁ cie que abarca una ﬁ gura. Para calcular el área de una ﬁ gura hay que
determinar la cantidad de unidades de superﬁ cie que caben en su interior. Ejemplos de unidades de
superﬁ cie son el cm
2
, el m
2
y el km
2
.

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52
Forma. Elementos. Fórmula del
perímetro.
Fórmula del área.
Hexágono l : Lados del hexágono
ap: Apotema
P = 6l
A =
A =
3
A =
2. Ejercicios Resueltos.
1. Determinar la medida del área y apotema de un hexágono regular cuyo lado mide 10 [m]. Como
conocemos el valor del lado del hexágono aplicamos la fórmula del área del hexágono en función del
lado l = 10.
A =
A =
A =
A = 6 . 25
A =
150 =
ap =
A = 150
ap = 5
2. Un trapecio cuyas bases miden 12 , 15 cm y de altura mide 6cm. Calcular el área.
A
trapecio=
A
trapecio =
A
trapecio = 27 . 3
A
trapecio = 81
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. De acuerdo al siguiente gráﬁ co, el área del
triángulo ABC es:
a) 9 b) 12 c) 15 d) 18
2. En el cuadrado ABCD de la ﬁ gura BC= 2 y los
puntos F, G y H son puntos medios de los lados
del cuadrado. ¿Cuál es el área de la región
sombreada?
a) 3 b) 1 c) 4 d) 5

DOMINIO MATEMÁTICO GEOMETRÍA
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53
BLOQUE I
4. Tarea
1. Si en la ﬁ gura AC es perpendicular a BD y ambos
segmentos se bisecan mutuamente. ¿Cuál es el
área de ABCD?
a) 80u² b) 60u² c) 40u² d) 30u²
2. Dos veces el área de un cuadrado de lado L
es igual a cuatro veces el área de un triángulo de
altura L. ¿Cuál es la base del triángulo?
a) 2L b) L c)( ½)L d) 2
3. La mitad del lado de un cuadrado es x, luego su
área es:
a) x² b) 2x² c) 4x² d) x²/4
4. Si a y b son catetos de un triángulo rectángulo
donde su hipotenusa es 10 y su área es 20, ¿Cuál es
el valor de (a+b)² ?
a) 100 b) 120 c) 140 d) 180
5. Laura elaboró una cometa que tiene la forma
de un hexágono regular, cuya medida del lado es
20 cm. ¿Cuántos centímetros cuadrados de papel
se necesitan para decorar la cometa?
a) 100√3 b) 200√3

c) 300√3 d)600√3
6. En el rectángulo ABCD la diagonal AC forma un
ángulo de 30° con el lado AD. Si AC= 10, ¿Cuál es
el área del rectángulo?
a) 25√2 b) 25√3 c) 48 d) 50
3. Si el perímetro del rectángulo ABCD es 34, ¿Cuál
es el perímetro del triángulo ABD?
a) 17 b) 21 c) 24 d) 30
4. El pentágono ABCDE de la ﬁ gura está dividido en
un cuadrado de área 81 cm² y en un triángulo BCD
de área 36 cm². Entonces CR, que es perpendicular
a BD, mide:
a) 3 cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm
5. La ﬁ gura representa la vista frontal y superior de
la tapa de un recipiente, cuya base es circular.
Si se sabe que el radio de la circunferencia de
la tapa mide el triple de la altura de la misma, y
el perímetro del rectángulo de la vista frontal de
la tapa mide 42 cm, ¿cuál es el perímetro de la
circunferencia de la tapa?
Ejercicio 37, forma 2/ 2017 Sierra. Recuperado el 6
de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.
ec/evaluaciones/pruebas-liberadas/
a) 9π b) c) 18π d)

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1.8 Trigonometría
1.8.1 Relaciones trigonométricas (Seno, Coseno y Tangente).
1. Teoría
Las relaciones trigonométricas son aquellas relaciones por cociente entre los lados de un triángulo
rectángulo. Hay tres relaciones trigonométricas básicas que se pueden encontrar a partir de operaciones
entre los ángulos diferentes al de 90° en el triángulo rectángulo:
1.8.2 Valores de funciones trigonométricas para ángulos notables: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°,
180°, 270°, 360°.
1.8.3 Resolución de triángulos rectángulos.
Para resolver un triángulo rectángulo se puede utilizar tanto el teorema de Pitágoras y las funciones
trigonométricas, para que el triángulo se pueda calcular se necesita dos datos; el valor de un lado y un
ángulo o el valor de los lados.

DOMINIO MATEMÁTICO TRIGONOMETRÍA
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55
BLOQUE I
2. Ejercicios Resueltos.
1. El valor del seno, coseno y tangente del ángulo
θ es.
Paso 1. Para calcular el seno, coseno, tangente del
ángulo θ utilizamos la deﬁ nición de cada una de
las relaciones trigonométricas.
2. El valor del lado a y el ángulo θ es.
Paso 1. calcular el ángulo θ sabiendo que
θ +α = 90°.
θ +30 = 90°
θ = 90°-30°
θ = 60°
Paso 2. Calcular el valor del lado “a” utilizando
relaciones trigonométricas.
Paso 3. Para calcular el valor del ángulo, se utiliza
los valores, las funciones trigonométricas para
ángulos notables se despejar el lado “a” para
calcular el resultado.
a
√3 4
2 a
8√3
3
3. El valor del lado c y el ángulo θ es.
Paso 1. Calcular el valor del lado “c” utilizando
teorema de Pitágoras.
Paso 2. Calcular el valor del ángulo θ utilizando
relaciones trigonométricas.
Paso 3. Para calcular el valor del ángulo, se utiliza
los valores, las funciones trigonométricas para
ángulos notables.

DOMINIO MATEMÁTICO TRIGONOMETRÍA
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3. Un avión despega de un aeropuerto A con
un ángulo de elevación 30° hacia un punto B
encontrándose a una altura de 2500 m, además
el avión pasa por una ciudad que se encuentra
ubicada en la mitad del segmento AC, como se
muestra en la ﬁ gura. La distancia de la ciudad
hasta el aeropuerto es.
a) 2500√3 b) 2000√3 c) 5000 d) 1250√3
4. En un experimento, se utiliza un dron el cual sube
verticalmente hasta alcanzar una altura 25 metros,
si una persona observa subir el dron con un ángulo
de elevación de 20°. ¿Cuál es la distancia entre el
dron y la persona?.
5. Un cuerpo que pesa 15 kg se encuentra situado
en un plano inclinado como se muestra en la
ﬁ gura, la componente del peso en y es.
a) 150 cos (38°) b) 150 sen (38°)
c) 150 tan (38°) d)
150
(sen (38°)
3. Ejercicios en clase. PARTE I
1. El valor del seno, coseno y tangente del ángulo es.
2. El valor de los ángulos y el lado es.

DOMINIO MATEMÁTICO TRIGONOMETRÍA
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BLOQUE I
4. Tarea
1. El valor de seno, coseno y tangente del ángulo es.
2. El valor de los ángulos y el lado es.
3. Una persona asciende en un globo en forma vertical hacia una altura de 1500 m, y puede observar
una ciudad con un ángulo de depresión de 35 grados. La distancia a la que se encuentra la ciudad
desde el globo es.
a)1500/(cos(35°) b) 1500 / tan(35°) c) 1500/cos(55°) d) 1500 sen (35°)
4. Una lampara proyecta una sombra hasta el
punto A como se muestra en la ﬁ gura, si la distancia
que alcanza la sombra es de 20 cm. La altura de
la lampara es.

tan (20°)
a) 25 b) 0.2 tan (40°) (cm)

c) 0.2 tan (40°) (cm) d) 20 tan (40°) (cm)
(cm)
5. A un cuerpo se le aplica una fuerza de 20 N
como se muestra en la ﬁ gura. La componente en
y de la fuerza es.
sen (50°)
a) 20 cos (50°) b) 20 sen (50°)
c) 20 tan (50°) d) 20

DOMINIO MATEMÁTICO BLOQUE II
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CONTENIDO:
Progresión aritmética y geométrica
Probabilidad y estadística
Matrices
Factoreo y productos notables
Ecuaciones y sistema de ecuaciones
Inecuaciones
Programación lineal
Función lineal
Función cuadrática
Función exponencial y logarítmicas
Funciónes trigonométricas
Cónicas
BLOQUE 2
Matemático
Dominio

DOMINIO MATEMÁTICO PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
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59
BLOQUE II
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. Calcule el número de bloques necesarios para
construir una torre como la de la ﬁ gura, pero que
tenga 50 pisos.
a) 197 b) 4950 c) 200 d) 4590
2. ¿Cuántos términos debe tener una progresión
aritmética cuya diferencia es 2? Sabiendo que el
primer término es -39 y que el último término es 21?.
a) 31 b) 30 c) 21 d) 41
3. El guardián de un pozo de una hacienda, ha
plantado a una distancia a partir de 8 m del pozo,
un total de 27 árboles, todos colocados cada 5
metros y en la dirección norte. El guardián puede
sacar agua del pozo cada vez, para el riego de un
solo árbol. ¿Cuántos metros tiene que andar para
regar el último árbol y regresar al pozo?
a) 170 m b) 276 m c) 380 m d) 172 m
2.1.1 Progresión aritmética
1. Teoría
Es una serie de números que tiene una secuencia constante, dicha secuencia puede ser la suma o la
resta.
1.u= a +( n - 1 ) d 2. S = (a + u )
Donde:
u : Último término.
a : Primer término.
n : Número de términos.
d : Diferencia.
S : Suma de todos los términos.
2. Ejercicios resueltos
Dada la siguiente progresión, calcular al 100
vo
término y la suma de los 100 primeros términos.

a = 2
d = 2
n = 100
u = ?
S= ?

En este caso el término 100 es el ultimo término y
para calcularlo aplicamos la fórmula 1
u= a+(n-1) d
u= 2+(100-1) (2)
u= 2+ 99 (2)
u= 200
Para calcular la suma de los términos reemplazamos
en la fórmula 2.
S=
S=
S= 50 (202)
S= 10100
2.1 Progresión aritmética y geométrica

DOMINIO MATEMÁTICO PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
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4. Tarea
1. Un estudiante trabaja de cartero para ayudarse
con sus estudios. Cada día es capaz de repartir
30 cartas más que el día anterior. En el vigésimo
primer día repartió 2.285 cartas: ¿Cuántas cartas
repartió el primer día?
a) 1600 b) 1785 c) 1685 d) 1885
2. He decidido ahorrar dinero durante el mes de
Diciembre, y tome $2 para empezar, y 20 ctvs
cada día. Y me pregunto cuánto dinero tendré al
ﬁ nalizar el año.
a) $5 b) $6 c) $8 d) $10
3. La dosis de un medicamento es 100mg el primer
día y 5mg menos cada uno de los días siguientes.
El tratamiento dura 12 días. ¿Cuántos miligramos
tiene que tomar el enfermo durante todo el
tratamiento?
a) 870 b) 435 c) 1740 d) 580
4. Cristina debe pagar su préstamo en 8 cuotas
que aumentan USD 6 cada mes. Si la cuota inicial
es de USD 5, ¿cuánto pagará en total?
Ejercicio 36, forma 2/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
a) 156 b) 184 c) 208 d) 416
2.1.2 Progresiones geométricas
1. Teoría
Es una serie de números que tiene una secuencia constante, donde dicha secuencia es la multiplicación
1. u = ar
n-1
2. S =
Donde:
u: Último término.
a: Primer término.
r: Razón.
n : Número de términos.
s: Suma de todos los términos.
2. Ejercicios Resueltos.

a = 2
d = 2
n = 10
u = ?
S= ?
4. En la progresión aritmética 100, 96, 92,…. Calcule
el término que ocupe el lugar 18.
a) 30 b) 31 c) 32 d) 33
5. Tatiana debe pagar su préstamo en 11 cuotas
que aumentan USD 4 cada mes. Si la cuota inicial
es de USD 5, ¿cuánto pagará en total?
Ejercicio 36, forma 5/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
a) 189 b) 253 c) 275 d) 324

DOMINIO MATEMÁTICO PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
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61
BLOQUE II
En este caso el término 100 es el ultimo término y para calcularlo aplicamos la fórmula 1
u = ar
n-1
u = 2 (2)
10-1
u = 2 (2)
9
u = 2
10
u = 1024
Para calcular la suma de los términos reemplazamos en la fórmula 2
S = S =
S = 2046
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. En una progresión geométrica,a1=3 y a4=24.
¿Cuál es la razón?
a) 4 b) 6 c) 3 d) 2
2. Una pelota cae desde cierta altura y rebota
ascendiendo los ¾ de la altura anterior. Después
de dar en el suelo por tercera vez, alcanza 54cm.
¿Desde qué altura se dejó caer?
a) 96m b) 128m c) 56m d) 106m
3. El tercer término de una progresión geométrica
vale 80, y la razón es 4. Cuál es el quinto término.
a) 1300 b) 1200 c) 1380 d) 1280
4. Una bacteria se reproduce por bipartición (se
divide en dos) cada cuarto de hora. ¿Cuántas
bacterias habrá luego de una hora y media?
a) 12 b) 24 c) 32 d) 64
4. Tarea
1. Una máquina costó inicialmente $ 10 480. Al
cabo de unos años se vendió a la mitad de su
precio. Pasados unos años, volvió a venderse por
la mitad, y así sucesivamente. ¿Cuánto le costó la
máquina al quinto propietario?
a) $ 600 b) $ 655 c) $ 700 d) $ 755
2. En una progresión geométrica el primer término
es 10 y el último término es 2160, si la razón es 6,
calcular el número de términos.
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6
3. Mi prima Ángela ha vuelto encantada de sus
vacaciones, y ha compartido con sus 3 mejores
amigos las fotos en una red social. Cada uno de
ellos, a su vez, las ha compartido con otros 3, y así
sucesivamente. ¿Cuántas personas pueden
a) 230 b) 98 c) 100 d) 120
4. Una empresa “A” ofrece a un empleado ofrece
a un empleado un sueldo de $1000 y una subida de
$100 al año. Otra empresa “B” le ofrece el mismo
sueldo con una subida del 10% anual. Razona
cuál de las dos empresas es mejor comparando el
sueldo de aquí a 10 años.
a) A ofrece lo mismo que B
b) A es mejor que B
c) B es mejor que A
d) No se puede determinar

DOMINIO MATEMÁTICO PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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2.2 Probabilidad y estadística
2.2.1 Probabilidad
1. Teoría
1.1. Deﬁ nición de probabilidad
La probabilidad mide la mayor o menor posibilidad de que se dé un determinado resultado( Suceso o
Evento) cuando se realiza un experimento probabilístico.
Para poder entender de mejor manera deﬁ niremos los siguientes términos.
Azar: Es una combinación de circunstancias o de causas imprevisibles, complejas, no lineales, sin plan,
previo y sin propósito, en otras palabras el azar es un caso fortuito, no programado.
Experimento probabilístico : Es una acción que se realiza para obtener un resultado por ejemplo lanzar
un dado, lanzar una moneda etc.
Evento: El evento es el resultado de el experimento probabilístico.
Espacio muestral: Es el conjunto de todos los posibles eventos, por ejemplo en un dado, El espacio
muestral seria 6 ya que existen 6 posibles resultados. Al lanzar un dado, el espacio muestral se conoce
también como los casos totales.
La probabilidad de un evento “A” se calcula con la siguiente formula:
Ejemplos:
Se lanza una moneda ¿ Cuál es la probabilidad de que el resultado sea cara?
Casos favorables: 1
Casos totales: 2
Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado el número obtenido sea:
a) El número 1
b) Número par
a) Casos favorables:
Casos totales: 6
b) Casos favorables: 3
Casos totales: 6
1.2. Eventos mutuamente excluyentes:
Son dos eventos cuya ocurrencia de uno excluye la ocurrencia del otro. Para calcular la probabilidad de
los eventos mutuamente excluyentes se utiliza la siguiente formula:

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63
BLOQUE II
Ejemplo:
1. Calcular la probabilidad de que los números del
1 al 10 sean múltiplos de 3 ó 5
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

2. Calcular la probabilidad de que los números de
1 al 15 sean múltiplos de 3 ó 5
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15
En este caso podemos observar que existe un
número que es el múltiplo de 3 y 5 cuando esto
suceda utilizaremos la siguiente ecuación

1.3 Eventos independientes:
Son grupos de eventos cuya ocurrencia, no depende de la ocurrencia de los demás, es decir la
probabilidad de ocurrencia simultánea de los eventos será igual al producto de las probabilidades
individualidades.
Ejemplo:
María tiene una caja que contiene 10 bolas: 4 de ellas son rojas y el resto moradas. Determine la
probabilidad de sacar una bola roja y una morada, de manera consecutiva y sin devolución.
Como no se devuelve la bola quedaran en total solo 9
2. Ejercicios Resueltos:
1. En una sala de clase hay 20 mujeres y 12 hombres. Si se escoge uno de ellos al azar. ¿ Cual es la
posibilidad de que la persona escogida sea hombre?
a) b) c) d)

DOMINIO MATEMÁTICO PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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2. En un viaje organizado por Europa para 120
personas, 48 de los que van a saber hablar ingles,
36 saben hablar Francés y 12 hablan portugueses, Si
elegimos al azar un viajero ¿ Cual es la probabilidad
de que hable ingles o francés?
a) b) c) d)
Como podemos observar son eventos mutuamente
excluyentes por lo tanto utilizaremos la siguiente
fórmula para resolver el problema
.
Respuesta correcta: D
3. Una caja contiene 4 canicas rojas, 3 canicas
verdes y 2 canicas azules. Una canica es eliminada
de la caja y no es reemplazada. Otra canica se
saca de la caja.¿ Cual es la probabilidad de que
la primera canica sea azul y la segunda canica
sea verde? Es una probabilidad simultanea por lo
tanto se aplica la siguiente ecuación.
a) b) c) d)
Respuesta correcta: B
3. Ejercicios en clase. PARTE I
1. En una clase hay 16 niños y 24 niñas. La mitad
de los niños y la mitad de las niñas tienen pelo
negro. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno
seleccionado al azar sea niño y tenga el pelo
negro?
a) 1/5 b) 2/3 c)2/5 d) 3/5
2. Un paquete de barajas tiene 52 cartas, dividido
igualmente en: corazones rojos y negros, rombos
rojos y negros. Si un rombo rojo es seleccionado
aleatoriamente del paquete sin ser reemplazado.
¿Cuál es la probabilidad de que la segunda carta
del mismo paquete no sea corazón negro?
a) 13/51 b) 38/51 c) 38/52 d) 13/52
3. En cierto parqueadero hay 2 autos de color negro,
4 de color rojo, 3 de color azul y 3 de color blanco.
No hay otros autos en el parqueadero. ¿Cuál es
la probabilidad de que un auto aleatoriamente
seleccionado no sea de color azul?
a) 3/5 b) 1/4 c) 1/6 d) 3/4
4. Se hace un sorteo entre 100 personas; eliminando
a los 4 primeros boletos elegidos y premiando al
quinto. ¿Cuál es la probabilidad de ganar bajo
esas condiciones?
a) 1/100 b) 4/100 c) 1/96 d) 5/96
Aplicar la fórmula de probabilidad
Casos favorables: 12
Casos Totales = hombres + mujeres = 12 + 20 = 32

Respuesta correcta: C

DOMINIO MATEMÁTICO PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
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65
BLOQUE II
5. La tabla muestra las caliﬁ caciones obtenidas
en una prueba, y el coeﬁ ciente intelectual de los
postulantes para ocupar el cargo de gerente en
una institución bancaria. Si únicamente aquellas
personas con una caliﬁ cación superior a 42 y un
coeﬁ ciente intelectual mayor a 95 pasarán a la
etapa de entrevistas, ¿cuál es la probabilidad de
que este hecho suceda?. Considere que los valores
internos de la tabla corresponden al número de
postulantes.
Ejercicio 23, forma 2 / 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
CALIFICACIÓN
COEFICIENTE INTELECTUAL
76 a 8081 a 8586 a 9091 a 9596 a 100100 a 105
51 a 58 2 5 1 1
43 a 50 3 2 2
35 a 42 1 3 4 1 1
27 a 34 2 3 3 1
19 a 26 3 4 2
11 a 18 3 3
a)
b) c) d)
6. Con base en los datos de la tabla, calcule
la probabilidad de que una persona con la
hidratación adecuada pueda completar una
carrera de 15 km.
Ejercicio 38, forma 2 / 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en htt p://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas
Número de personas que completan la carrera.
Situación Hidratación
adecuada
Hidratación
inadecuada
Total
Practica
Deportes
50 10 60
No
Practica
Deportes
20 90 110
Total 70 100 170
a)
b) c) d)
7. Todos los estudiantes en un curso de computación
son jóvenes o adultos. Hay el doble de hombres
que mujeres y hay el triple de mujeres adultas que
mujeres jóvenes. Si un estudiante es seleccionado
aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que
sea una mujer joven?
a) 1/6 b) 1/3 c) 2/3 d) 1/12
8. Una bolsa contiene 25 trocitos de papel, en cada
trocito está escrito un diferente entero del 1 al 25.
Luis vendado los ojos saca un trocito de papel. El
gana si el número en el trocito de papel que sacó
es un múltiplo de 3 o 5. ¿Cuál es la probabilidad de
que Luis gane?
a) 1/25 b) 12/25 c) 11/25 d) 13/25
9. En la tabla se observan las prendas que tiene
Nancy en su clóset.
Ejercicio 6, forma 2 / 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
Cantidad Prenda Color
3 Blusas Rojo
5 Blusas Azul
2 Pantalones Negro
4 Pantalones Plomo
1 Falda Rosado
6 Chaquetas Negro
Si se escoge una prenda al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que Nancy elija la falda de color
rosado?
a)
b) c) d)

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4. Tarea
1. Las caras de un dado están numeradas con
enteros del 1 al 6 tal que las caras opuestas suman
7, así el 1 es opuesto al 6, el 2 es opuesto al 5 y
el 3 es opuesto al 4. Si el dado es lanzado sobre
una superﬁ cie plana tal que el 4 se muestra sobre
la cara superior, ¿Cuál es la probabilidad de que el
6 esté en la parte inferior del dado?
a) 1 b) 2 c) 0 d) 4
2. Dos autos se encuentran en una intersección en
la que pueden avanzar, girar a la derecha o girar
a la izquierda. ¿Cuál es !a probabilidad de que por
lo menos uno gire a la derecha?
a) 1/3 b) 2/3 c) l/6 d) 5/6
3. Una jarra contiene varios tipos de galletas. Cuando
una galleta es seleccionada aleatoriamente de la
jarra, la probabilidad de que sea una galleta de
chocolate es 1/5. Si la jarra contiene 4 galletas de
chocolate, ¿Cuál es el número total de galletas en
la jarra?
a) 20 b) 18 c) 14 d) 9
4. En un círculo de 20 cm de radio se encuentra
un círculo menor de 20 cm de diámetro. Si se
marca un punto al azar sobre el círculo mayor, la
probabilidad de que dicho punto caiga también
sobre el círculo menor es:
a) 1/4 b) 1/5 c) 2 /7 d) 2 π/3
5. La tabla muestra las caliﬁ caciones obtenidas
en una prueba, y el coeﬁ ciente intelectual de los
postulantes para ocupar el cargo de gerente en
una institución bancaria. Si únicamente aquellas
personas con una caliﬁ cación superior a 50 y un
coeﬁ ciente intelectual mayor a 100 pasarán a la
etapa de entrevistas, ¿cuál es la probabilidad de
que este hecho suceda?. Considere que los valores
internos de la tabla corresponden al número de
postulantes.
Ejercicio 23, forma 5 / 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas
CALIFICACIÓN
COEFICIENTE INTELECTUAL
76 a 8081 a 8586 a 9091 a 9596 a 100100 a 105
51 a 58 2 5 1 1
43 a 50 3 2 2
35 a 42 1 3 4 1 1
27 a 34 2 3 3 1
19 a 26 3 4 2
11 a 18 3 3
a)
b) c) d)
6. Se envían tres oﬁ cios a tres personas diferentes.
Sin embargo, una secretaria distraída revuelve los
oﬁ cios y los envía, considerándose así que fueron
remitidos al azar. La probabilidad de que ninguna
persona reciba el sobre correcto es:
a) 1/2 b) 1/3 c) 1 d) 0
2.2.2 Desviación estándar y varianza (Medidas de dispersión)
1. Teoría
1.1 Introducción:
La Estadística es una disciplina que proporciona principios y herramientas para emitir juicios sobre
colectivos basados en datos obtenidos para propósitos especíﬁ cos. Es decir, brinda el soporte para
saber qué datos obtener, cuándo y cómo obtenerlos. Una vez obtenidos proporciona métodos y
procedimientos para organizarlos con diferentes propósitos.
La correspondencia entre los análisis aplicados y datos recabados permite construir juicios concluyentes
sobre el colectivo en estudio.
Los datos que precisamos deben ser generados, de alguna forma, la cual siempre está asociada a la
deﬁ nición de variables, que constituyen los conceptos de referencia más importante en los inicios de
una investigación.

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67
BLOQUE II
1.2 Deﬁ nición:
"Las medidas de dispersión son expresiones
matemáticas que nos permiten medir cuán
alejado está un grupo de datos con respecto a
la media aritmética (promedio)".
1.3. Clasiﬁ cación:
Las medidas de dispersión más importantes son: la varianza y la desviación estándar.
1.3.1. Varianza ( ²)
La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una
distribución estadística. Cuando los datos son únicos se lo conoce como un ejercicio de datos no
agrupados, por otro lado, si los datos se repiten se lo conoce como un ejercicio de datos agrupados.
A) Fórmula para Datos NO Agrupados ( ²)
Dónde:
x
i: Cada uno de los datos del ejercicio x1,x2,x3,etc…: Media aritmética o promedio de todos los datos.
N: Número total de datos del ejercicio.
B) Fórmula para Datos Agrupados ( ²)
Dónde:
x
i: Cada uno de los datos del ejercicio x1,x2,x3,etc…: Media aritmética o promedio de todos los datos.
f
i: Frecuencia (# de veces que se repite cada
dato).
N: Número total de datos del ejercicio.
1.3.2. Desviación Estándar
Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de ﬂ uctuación de los datos respecto a su
punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa
el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Cuando los datos son únicos se lo conoce
como un ejercicio de datos no agrupados, por otro lado, si los datos se repiten se lo conoce como un
ejercicio de datos agrupados.
Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su
ecuación sería:
A) Fórmula para Datos NO Agrupados ( )
Dónde:
x
i: Cada uno de los datos del ejercicio. x1,x2,x3,etc…
x: Media aritmética o promedio de todos los datos.
N: Número total de datos del ejercicio.
B) Fórmula para Datos Agrupados ( )
Dónde:
x
i: Cada uno de los datos del ejercicio x1,x2,x3,etc…: Media aritmética o promedio de todos los datos.
f
i: Frecuencia (# de veces que se repite cada
dato).
N: Número total de datos del ejercicio.

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1.4 ¿Qué representa la varianza y desviación estándar?
El gráﬁ co anterior representa visualmente cómo afecta el cambio de varianza. A medida que la varianza
o desviación estándar incrementa la dispersión entre los datos también lo hará.
De la misma manera estas medidas nos permiten comparar mediciones entre dos grupos diferentes de
datos. En el gráﬁ co anterior podemos notar como la curva B tiene sus datos más dispersos por lo cual su
varianza será mayor. Por otro lado la curva A tiene sus datos conglomerados en un mismo sector por lo
cual su dispersión es menor al igual que su varianza y desviación estándar.
2 Ejercicios resueltos
1. Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento
de andar por primera vez:
Calcular la varianza.
a) b)6,3 c)2,04 d)

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Paso 1: Identiﬁ car la
variable a calcular y su
fórmula de resolución.
Debido a que se debe
calcular la varianza,
sabemos que la
fórmula es:
Paso 2: Identiﬁ car la
sumatoria de:
f
i
(x
i
- x )
2
.
En la última ﬁ la del
ejercicio tenemos el
valor de la sumatoria
de
f
i
(x
i
- x)
2
=102.
Paso 3: Identiﬁ car el
número de elementos
N.
Tenemos que el
número de elementos
N = 50, que equivale
a la sumatoria de las
frecuencias.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
Por lo cual la varianza
será igual a
lo
cual equivale a 2.04,
es decir la
Respuesta C.
2. Se han tabulado las notas de 4 grupos de un colegio en 5 materias distintas. Con base en la tabla,
¿cuál de los grupos tiene menos dispersas sus caliﬁ caciones?
Ejercicio 32, forma F001/ 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
Grupo 1Grupo 2Grupo 3Grupo 4
Materia 1 5,00 10,00 10,00 8,00
Materia 2 6,00 8,00 9,00 9,00
Materia 3 5,00 10,00 10,00 9,00
Materia 4 6,00 4,00 8,00 9,00
Materia 5 5,00 5,00 9,00 8,00
Promedio 5,40 7,40 9,20 8,80
Desviación estándar0,49 2,50 0,75 0,40
a) Grupo 1 b) Grupo 2 c) Grupo 3 d) Grupo 4
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de dispersión a buscar
(sea mayor o menor).
En este ejemplo se intenta encontrar la MENOR
dispersión.
Paso 2: Identiﬁ car el valor que corresponda a la
magnitud que deseamos buscar.
Debido a que deseamos encontrar la MENOR
dispersión, debemos encontrar la MENOR
desviación estándar de entre los datos. Ya que:
2,50 > 0,75 > 0,49 > 0,40 notamos que el Grupo
4 tiene la menor desviación estándar, por lo
tanto, será quien tiene menos dispersas sus
caliﬁ caciones.
3. Ejercicios para resolver en clase.
1. El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:
Calcular la desviación estándar.
a) √7 b) 6 c) 7 d) √6

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Paso 1: Identiﬁ car la
variable a calcular y su
fórmula de resolución.
Paso 2: Identiﬁ car la
sumatoria de f
i
(x
i
- x )
2
.
Paso 3: Identiﬁ car el
número de elementos N.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
2. En la siguiente tabla se indica las caliﬁ caciones obtenidas por un estudiante universitario obtenidas en
diferentes materias.
Indicar qué tan disperso están las caliﬁ caciones del estudiante (Hallar desviación estándar).
a) 6 b) 4 c) √6 d) 2
Paso 1: Identiﬁ car la
variable a calcular y su
fórmula de resolución.
Paso 2: Identiﬁ car la
sumatoria de f
i
(x
i
- x )
2
.
Paso 3: Identiﬁ car el
número de elementos
N.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
3. Los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades:
Hallar la desviación estándar de las edades de los miembros de la cooperativa.
a) 157,5 b) 12,6 c) 32,5 d) 43,4

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BLOQUE II
4. En la tabla se observa las medidas de temperatura en grados centígrados registradas en la ciudad de
Quito durante 5 días.
¿Cuál es el día con mayor dispersión de medidas?
a)Lunes b)Martes c)Miércoles d)Jueves
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de dispersión a buscar
(sea mayor o menor).
Paso 2: Identiﬁ car el valor que corresponda a la
magnitud que deseamos buscar.
5. Se han tabulado las notas de 4 grupos de un colegio en 5 materias distintas. Con base en la tabla, ¿qué
grupo tiene menos dispersas sus caliﬁ caciones?
Ejercicio 25, forma 2/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
Grupo 1Grupo 2Grupo 3Grupo 4
Materia 1 8,20 10,00 6,50 9,00
Materia 2 8,00 8,00 6,20 10,00
Materia 3 7,80 10,00 6,50 9,00
Materia 4 8,00 6,00 5,40 10,00
Materia 5 8,10 4,00 6,00 10,00
Promedio 8,02 7,60 6,12 9,60
Desviación Estándar0,13 2,33 0,41 0,49
a) Grupo 1 b) Grupo 2 c) Grupo 3 d) Grupo 4
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de dispersión a buscar
(sea mayor o menor).
Paso 2: Identiﬁ car el valor que corresponda a
la magnitud que deseamos buscar.
4. Tarea
1. En la siguiente tabla se tiene los valores de las estaturas de los jugadores de baloncesto. ¿Cuál sería su
desviación estándar para las estaturas de la media del grupo?

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a)5√6 b)√6 c)5 d)√5
Paso 1: Identiﬁ car la
variable a calcular y su
fórmula de resolución.
Paso 2: Identiﬁ car la
sumatoria de f
i
(x
i
- x )
2
.
Paso 3: Identiﬁ car el
número de elementos N.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
2. Los precios de una computadora del mismo pueden variar en diferentes locales comerciales, a
continuación se indica los precios de una computadora.
Hallar la desviación estándar
a)200 b)20√2 c)10 d) 10√2
Paso 1: Identiﬁ car la
variable a calcular y su
fórmula de resolución.
Paso 2: Identiﬁ car la
sumatoria de f
i
(x
i
- x )
2
.
Paso 3: Identiﬁ car el
número de elementos N.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
3. Determinar la desviación estándar de las estaturas de los 100 estudiantes hombres de una universidad
(véase la tabla)

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Paso 1: Identiﬁ car la
variable a calcular y su
fórmula de resolución.
Paso 2: Identiﬁ car la
sumatoria de f
i
(x
i
- x )
2
.
Paso 3: Identiﬁ car el
número de elementos N.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
a)8,93pulg b) 4,45pulg c) 6,75pulg d)2,92pulg
4. En la siguiente tabla se muestran el número de horas extras por semana de una persona en cierta
empresa.
Indicar la semana menos irregular que tuvo que trabajar el empleado.
a) Semana 4 b) Semana 1 c) Semana 3 d) Semana 2
Paso 1: Identiﬁ car la
variable a calcular y su
fórmula de resolución.
Paso 2: Identiﬁ car la
sumatoria de f
i
(x
i
- x )
2
.
Paso 3: Identiﬁ car el
número de elementos N.
Paso 4: Reemplazar
los elementos en la
fórmula.
5. Se han tabulado las notas de 4 grupos de un colegio en 5 materias distintas. Con base en la tabla, ¿qué
grupo tiene menos dispersas sus caliﬁ caciones?
Ejercicio 25, forma 4/ 2017 Sierra. Recuperado el 20 de agosto del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
Grupo 1Grupo 2Grupo 3Grupo 4
Materia 1 7,00 10,00 4,00 9,00
Materia 2 8,00 8,00 6,00 10,00
Materia 3 8,00 10,00 6,50 9,80
Materia 4 8,50 6,00 5,80 10,00
Materia 5 7,00 4,00 6,00 10,00
Promedio 7,70 7,60 5,66 9,76
Desviación Estándar0,60 2,33 0,86 0,39
a) Grupo 1 b) Grupo 2 c) Grupo 3 d) Grupo 4
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de dispersión a buscar
(sea mayor o menor).
Paso 2: Identiﬁ car el valor que corresponda a la
magnitud que deseamos buscar.

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2.2.3 Media, mediana y moda
1. Teoría
1.1 Media (Media aritmética)
La media o también conocida como promedio, es el valor que se obtiene al sumar todos los datos y
dividir el resultado entre la cantidad de datos.
Ejemplo:
La media de los siguientes datos es: 22, 12, 14, 14, 8, 8.
1.2 Mediana
La mediana es el valor que ocupa la posición central cuando todos los datos están ordenados en forma
creciente o decreciente, si el número de los elementos que conforma el conjunto es impar.
Ejemplo:
La mediana de los siguientes datos es: 7, 7, 8, 9, 10, 10, 11.
La mediana es el promedio de los valores que ocupa la posición central cuando todos los datos están
ordenados en forma creciente o decreciente, Si el número de elementos que conforma el conjunto es
par.
Ejemplo:
La mediana de los siguientes datos es: 11, 6, 7, 7, 4, 4.
1.3 Moda
La moda es el valor con mayor frecuencia absoluta o el valor que más se repite en el conjunto de datos.
Ejemplo:
La moda de los siguientes datos es: 7, 6, 8, 9, 10, 10, 11.
La moda es: 10

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2. Ejercicios Resueltos.
1. En un campeonato de futbol femenino organizado en una escuela, se obtuvo una tabla de goleadores:
La media, mediana y moda es:
Paso 1. Multiplicar la columna de número de goles por la columna de número de estudiantes. sumar el
resultado y dividir para el número total de alumnos y obtener el resultado.
Paso 2. Veriﬁ car si el número de elementos que conforma el conjunto es par o impar.
El número de estudiantes es 100, por tanto, el número de elementos es par, La mediana será el promedio
de los elementos que se encuentran en la mitad del conjunto.
Paso 3. Para sacar la moda ver el número que más se repite en este caso es 21.
La moda es: 21
3. Ejercicios PARTE I
1. La moda y media aritmética del siguiente conjunto de datos: 11, 6, 8, 9, 7, 5, 4, 9, 10, 12, que se
obtuvieron de un estudio de mercado, son.
a) 9, 8.1 b) 9, 10 c) 9, 8.5 d) 8.1, 9
2. En el zoológico de Guayllabamba se realizó el registro de los visitantes del mes pasado y se obtuvo la
siguiente gráﬁ ca:
La moda de los datos presentados en la gráﬁ ca es.
a) 4 b) 5 c) 3 d)6

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3. Durante una prueba militar se realizaron pruebas
de disparo a 7 oﬁ ciales y se obtuvo la siguiente
tabla:
Si los oﬁ ciales acertaron al blanco 81 veces en
total. La mediana es.
a) 16 b) 5 c) 10 d)4
4. En base a la tabla del ejercicio 2. la media de
los aciertos que tuvieron los oﬁ ciales al objetivo es.
a) 16/7 b) 81/7 c) 1 d) 15/7
5. En un estudio de mercado se evaluaron 15
productos de uso cosmético para mujeres dando
como resultado la siguiente tabla.
La moda de los datos presentados en la tabla es.
a) 6 b) 11 c) 10 d) 7
4. Tarea
1. La mediana y media aritmética del siguiente
conjunto de datos: 13, 19, 26, 14, 10, 14, 13, 9, 10,
12, que se obtuvieron de una prueba militar, son.
a) 5, 8 b) 13, 14 c) 8, 13 d) 8, 14
2. En base al gráﬁ co anterior del ejercicio 2. la
media del estudio es.
a) 14 b) 18 c) 17 d) 21
4. En una clínica veterinaria se atendieron perros
de diferentes razas como se detalla en la tabla. La
media de los animales atendidos en la clínica es.

a)3 b) 4 c) 5 d) 6
3. En el museo de la ciudad de Quito se realizó la
tabulación del número de veces que ingresaron
10 personas en el mes de marzo y se obtuvo la
siguiente tabla.
La media aritmética del numero de visitas al museo
es.
a) 3 b) 5 c) 4 d) 4.6

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2.3 Matrices
1. Teoría
Una matriz es una colección de elementos ordenados en ﬁ las y columnas, donde una ﬁ la es cada una de
las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con
m ﬁ las y n columnas se le denomina matriz de orden (m x n) donde m y n son números naturales mayores
que cero.
Debemos saber que los coeﬁ cientes que componen una matriz se denominan elementos. Estos se suelen
representar por la expresión “a_ij” donde “i” representa la posición del elemento en la ﬁ la y “j” la posición
del elemento en la columna que se encuentra.
Ejemplo:
2.3.1 Clasiﬁ cación de matrices.
Matriz ﬁ la.
Una matriz ﬁ la está constituida por una sola ﬁ la.
A= (1 8 -4)
Matriz columna.
Una matriz columna está constituida por una sola
columna.
A=
Matriz cuadrada.

Una matriz cuadrada es aquella matriz que tiene el
mismo número de ﬁ las y columnas, en donde A
m x
n
=(a
ij
),tal que m=n.
Matriz nula.
Una matriz nula es aquella matriz en la cual todos
sus elementos son cero. En donde A
m x n
=(a
ij
); a
ij
=0
para todo i,j.
Matriz triangular superior.
Una matriz triangular superior es aquella matriz
donde los elementos situados por debajo de la
diagonal principal son ceros. En donde A
m x n
=(a
ij
);
a
ij
=0 para todo i> j.
Matriz triangular inferior.
Una matriz triangular inferior es aquella matriz
donde los elementos situados por encima de la
diagonal principal son ceros. En donde A
m x n
=(a
ij
);
a
ij
=0 para todo i< j.

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78
Matriz diagonal.
Una matriz diagonal es aquella matriz en donde
todos los elementos situados por encima y por
debajo de la diagonal principal son nulos. En
donde A
m x n
=(a
ij
); a
ij
=0 para todo i≠ j
Matriz escalar.
Una matriz escalar es aquella matriz diagonal en
la que los elementos de la diagonal principal son
iguales. En donde A
m x n
=(a
ij
); a
ij
=0 para todo i≠ j y
a
ij
=k para todo i= j.
Matriz identidad o unidad.
Una matriz identidad es aquella matriz diagonal en
la que los elementos de la diagonal principal son
iguales a 1. En donde A
m x n
=(a
ij
); a
ij
=0 para todo i≠ j
y a
ij
=1 para todo i= j.
Matriz traspuesta.
Una matriz transpuesta es aquella matriz que se
obtiene cambiando ordenadamente las ﬁ las por
las columnas. Sea A_(m x n)=(a
ij
) Entonces A
t
n x
m
=(a
ji
) para todo 1≤ i ≤ m y 1≤ j ≤n.
2.3.2 Operaciones con matrices.
Suma de matrices
Para la suma y resta de matrices es necesario
tener dos o más matrices con el mismo orden,
cuyo resultado es una matriz del mismo orden.
Colocando los resultados en el mismo lugar de
las matrices sumadas. Sea A
m x n
=(a
ij
) y B
m x n
=(b
ij
)
entonces C= A+B,C=(c
ij
); c
ij
=(a
ij
+b
ij
).
Ejemplo:
Suma
Multiplicación de un escalar por una matriz
Para multiplicar una matriz cualquiera por un
número real, se multiplican todos los elementos
de la matriz por dicho número. Sea A
m x n
=(a
ij
),
entonces α.A=(α.a
ij
).
Ejemplo: Producto de matrices
Para el producto de matrices se debe tener 2
matrices, las cuales deben cumplir, que el número
de columnas “n” de la primera, debe coincidir con
el número de ﬁ las “m” de la segunda matriz. Tal
que la matriz A
m x n
por la matriz B
n x p
el resultado es
otra matriz C
m x p
, en donde el elemento que ocupa
el lugar c
ij
se obtiene sumando los productos
parciales que se obtienen al multiplicar todos los
elementos de la ﬁ la “i” de la primera matriz por los
elementos de la columna “j” de la segunda matriz.
entonces C= A.B,C=(c
ij
); c
ij
=∑
n
k=1
a
ik
x b
ik
.
Ejemplo:
La matriz resultante de A.B y B.A es.
A.B = ?
B.A = ?
Nota: no se puede resolver B.A, porque el número
de columnas de la matriz B no tienen el mismo
número de ﬁ las que la matriz A.

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2. Ejercicios Resueltos.
1. La matriz resultante de C =A+B es.
Paso 1: Sumar los elementos ubicados en la misma
ﬁ la y columna de cada matriz, es decir a
11
de la
primera matriz más b
11
de la segunda matriz.
Paso 2: Sumar y obtener el resultado.
2. . La matriz resultante de 2A es.
Paso 1: Multiplicar cada término de la matriz por
el número entero.
Paso 2: Multiplicar y obtener el resultado.
3. . La matriz resultante de C =A.B es.
Paso 1: Sumar los elementos ubicados en la misma
ﬁ la y columna de cada matriz, es decir a
11
de la
primera matriz más b
11
de la segunda matriz.
Paso 2: Sumar y obtener el resultado.
4. Un guardia de seguridad de una compañía, tiene que conﬁ gurar una alarma después de que el último
empleado deja el ediﬁ cio, por lo que debe utilizar la siguiente expresión.

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80
1 -1 2
-2 5 3
( )
1 -1 2
-2 5 3
( )
-1 1 -2
2 -5 3
( )a) b) c)
Paso 1: Multiplicar el número entero por la matriz.
Paso 2: Restar las matrices y obtener el resultado.
3. Ejercicios en clase. PARTE I
1.

8 -2 -1
-4 11 6
-1 4 -2
3 1 3
Si A = y B =. La matriz resultante de C =A+B es.
7 -2 -3
-4 0 -2 7 2 -3
-1 12 9
5 2 -1
4 1 6
8 2 8
-4 1 12
a) b) c) d)
2.
1 2
0 -3
-1 0
3 3
Si A = y B =. La matriz resultante de C =A.B es.
3.
1 4 1
3 0 -2
0 6 0
1 0
3 -1
1 2
Si A = y B =. La matriz resultante de C =A.B es.
4. En una fábrica textil, para encender dos máquinas de cortar tela se necesita conocer la matiz resultante
de la siguiente expresión 2*A + 4*(A-B), sabiendo que:
0 2
4 -1
3 1
-2 -1
A = y B =
.
-12 8
32 -2
1 8
32 3
12 -8
-32 2
-12 2
5 1
a) b) c) d)

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81
BLOQUE II
5. La matriz resultante de la siguiente expresión 3*(A+B) – (C*B), sabiendo que:
0 2
1 -1
3 0
1 -1
6 2
0 3
1 -1 2
5 0 1
1 3 0
A = ,B = y Ces.
8 0
3 1
12 5
2 1
5 -2
-3 -9
8 0
16 5
-10 4
2 1
3 8
1 -2
a) b) c) d)
4. Tarea
1.

2 1
2 -6
-2 5
-1 3
Si A = y B =. La matriz resultante de C =A+B es.
0 6
-1 -3 2 -2
0 3
0 6
1 -3
5 -3
9 1
a) b) c) d)
2.
1 -1
-3 4
3 -3
6 2
Si A = y B =. La matriz resultante de C =A.B es.
3.
1 2
3 -1
1 1 2
3 0 -2
Si A = y B =. La matriz resultante de C =A.B es.
4. Una máquina de helados tiene que ser reiniciada, por lo que el encargado observa en la etiqueta de
la maquina la siguiente expresión 2*(A+B)-3(B) sabiendo que:
2 -3
1 0
-1 0
-3 2
A = y B =, La matriz resultante para reiniciar la máquina es.
8 3
-7 0 5 -6
5 -2
5 -6
1 -1
8 3
-7 -4
a) b) c) d)
5. Para que un motor de un nuevo vehículo pueda ser instalado debe considerarse diferentes parámetros
para que pueda funcionar de manera correcta, los parámetros de funcionamiento están dados por la
expresión:
[ ]
1 2 1
-2 0 -4
2 1 3
2 1
1 3
3 4
1 5
-3 1
1 2
-*
6 -6
-13 19
13 15
6 6
3 4
-13 2
6 -9
3 2
5 2
6 6
-13 -19
13 12
a) b) c) d)

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82
2.4 Factoreo y productos notables
2.4.1 Factoreo
1. Teoría
Factorizar un Monomio: Los factores de un monomio se pueden hallar por simple inspección.
Así, los factores de 15ab son 3, 5, a y b. Por tanto: 15ab = (3).(5).(a).(b)
Factorizar un Polinomio: No todo polinomio se puede descomponer en dos o más factores distintos de 1,
pues del mismo modo que, en Aritmética, hay números primos que solo son divisibles por ellos mismos y
por 1, hay expresiones algebraicas que solo son divisibles por ellos mismos y por 1, y que por tanto, no son
el producto de otras expresiones algebraicas.
Así “a + b” no puede descomponerse en dos factores distintos de “1” porque solo es divisible por
“a + b” y por “1”.
Algunos casos de factoreo son:
1. Factor Común (F.C). Para sacar el factor común consiste en encontrar el elemento común a un
conjunto de términos, una operación numérica a veces se simpliﬁ ca sacando factor común para realizar
la operación. Para poder sacar factor común hay que tener presente la propiedad distributiva del
producto respecto de la suma que dice.
2. Trinomio Cuadrado Perfecto (T.C.P). Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres
términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto
de las bases de esos cuadrados. Para la un solución de T.C.P se debe sacar la raíz cuadrada de los del
primer y tercer término, después se introduce en un paréntesis con el signo del segundo término elevado
al cuadrado.
3. Trinomio de la forma x
2
+bx+c :
• El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer
término del trinomio, o sea “x”.
• En el primer factor después de X, se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor,
después de X se escribe el signo que resulta de multiplicar los signos del segundo y tercer términos del trinomio.
• Luego se buscan dos números cuya suma sea el coeﬁ ciente del segundo término y cuyo producto sea
el tercer término del trinomio, estos son los términos independientes de los binomios.
4. Diferencia de Cuadrados: La diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.
Pasos:
• Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
• Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo término del binomio negativo es la
raíz del término del binomio que es negativo).

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83
BLOQUE II
2.4.2 Productos notables
1. Teoría
Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre 2 o más polinomios que poseen características
especiales o expresiones particulares, y cumplen ciertas reglas ﬁ jas. Su resultado puede ser escrito por
simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación o no veriﬁ car con la multiplicación.
Términos:
•Monomio: 1 término; ej: 2x , 4xyw
•Binomio: 2 términos; ej: x+y , 7xy-1
•Trinomio: 3 términos; ej: x+y+z , 2x+5y+3z
•Polinomio: 4 términos o más; ej: 3+y+z+w,xy+xz+xw-9y
Algunas expresiones de productos notables son:
• Cuadrado del binomio: El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
cantidad más el doble de la primera cantidad por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
También el cuadrado del binomio se presenta en cuadrado de su diferencia lo que cambiara
será solo el signo de suma por el de resta.
• Cubo del binomio: El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple
del producto del cuadrado del primer número por el cuadrado del segundo, más el triple del producto
del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
También el cubo del binomio se presenta en cubo de su diferencia lo que cambiara será solo el
signo de suma por resta.
• Suma de cubos: En una suma de cubos perfectos donde primero se extrae la raíz cúbica de cada
término del binomio, Se forma un producto de dos factores donde los factores binomios son la suma de
las raíces cúbicas de los términos del binomio y luego se resuelve el cuadrado de la primera raíz menos
el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
• Resta de cubos: En una diferencia de cubos perfectos donde primero se extrae la raíz cúbica de cada
término del binomio, Se forma un producto de dos factores donde los factores binomios son la diferencia
de las raíces cúbicas de los términos del binomio y luego se resuelve el cuadrado de la primera raíz más
el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.
2.4.3 Factor común
1. Extraer el factor común de las siguientes expresiones:
1) a² + ab 2) 3a³ + a² 3) x² + x 4) 5m² + 15m³
5) x²y + x²z 6) 8m²-12mn 7) 2a² + 6ax² 8) 4x² - 8x²y
9) a³ + a² + 2a 10) 3ax2 + 9a²y - 18ay² 11) 9a³x² - 18ax³ 12) 18a²xy² - 36x²y
4

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2.4.4 Diferencia de cuadrados
1. Factorar los siguientes binomios:
1) x² - y² 2) a² - 1 3) a² - 4 4) 9 - d²
5) 1 - 4m² 6) 4a² - 9 7) 25 - 36x² 8) a²b
8
-c²
9) 100 - x²y
6
10) a²m
4
n
6
- 144
11)
12) 361x¹
4
- 1
2.4.5 Trinomio cuadrado perfecto
1. Efectuar la descomposición factorial de los siguientes trinomios cuadrados perfectos:
1)a² - 2ab + b² 2) x² - 2x + 1 3) a
5
- 10ab + 25 4) y
4
+ 2y² + 1
5) 9 - 6x + x² 6) 36 + 12m²+m
4
7) 1 - 2a³ + a
6
8) 1 - 2a
5
+ a
10
9) 49a² + 14a + 1 10) 49m
6
-10am³n² +25a²n
4
11)16m
8
– 64m
5
n + 64m
2
n
2
12) 9x
4
– 30x
2
y + 25y
2
13) x
2
y
2
+ 8xy +16 14) x
4
y
4
+ 10x
2
y
2
+25 15) m
2
+ 4mn + 4n
2
16) 36x
2
– 108x + 81
2.4.6 Trinomio de la forma (caso: x²+bx+c ; caso: ax²+bx+c)
1. Descomponer en factores los siguientes trinomios:
1) x² + 7x + 10 2) x² - 5x + 6 3) x² + 3x -10 4) m² + 5m - 14
5) y² - 9y + 20 6) c² + 5c -24 7) x² - 9x + 8 8) a² + 7a + 6
9) y² - 4y + 3 10) n² - 8n + 12 11) 15x² - 29x - 14 12) 2x² +11x + 9
13) 25x² + 30x + 9 14) 4x² - 4x + 1 15) 2x² + 12 x + 18 16) 15x² - 29x - 14
17) 10x² - 13x – 3 18) 10x² + 16x - 8 19) 16x² + 8x + 1 20) 5x² - 10x - 15
21) 6x² - x - 2 22) 9a² + 9ab - 18b² 23) 4x² +17x -15 24) 7x² + 13x – 2
25) 6x² + 17x + 10 26) 2x² - x - 1 27) 4x² + 7x + 3 28) 10n² - n – 2
29) 6a² + 5am - 4m² 30) 6x² - x – 2 31) 2x² + 4x - 48 32) 3x² + 21x - 24
33) 9x² - 81x + 50 34) 15x
4
- 23x
2
+ 4 35) 6x
2
- 7x - 3 36) x
2
+ 7x + 10

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BLOQUE II
2.5 Ecuaciones y sistema de ecuaciones
1. Teoría
2.5.1 Ecuaciones de primer grado
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una ecuación que aparece con exponente 1. Una
ecuación de primer grado tiene, en general, una única solución que es un número real.
Ejemplo:
12x +12=18+10x
Las ecuaciones de primer grado se las puede resolver, pasando al lado izquierdo los términos con la
incógnita y al lado derecho los que no la tienen, luego realizar las operaciones entre términos semejantes
y despejar la incógnita.
2.5.2 Ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado es la que tiene la forma ax² + bx + c=0, donde a,b,y c son números
reales y a es diferente a cero.
Ejemplo:
2x
2
+ 12x +18=0 → a = 2
b = 12
c = 18
Las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver por medio de Factorización o utilizando la formula
general.
x =
-b±√b
2
- 4ac
2a
2.5.3 Sistema de ecuaciones
Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparecen
una o varias incógnitas elevadas a la potencia uno. Cada una de estas ecuaciones lineales, o de primer
grado, tiene la forma ax + by + cz +......= k, donde a,b,c,..., son los coeﬁ cientes de la ecuación; x,y,z,..., las
incógnitas o variables, y k el término independiente (también un valor constante).
Los sistemas en los que el número de ecuaciones coincide con el de las incógnitas se denominan
cuadrados. Un caso particularmente interesante de sistemas cuadrados es el de dos ecuaciones con
dos incógnitas, que adopta la forma general siguiente:
a
1
x+b
1
y = k
1
a
2
x+b
2
y = k
2
Ejemplo:
2x - 5y =15
6x + 4y = -20
Para resolver un sistema de ecuaciones existen diferentes métodos.
Método de igualación
El método igualación consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las
expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye
este valor en las ecuaciones iniciales.

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Método de sustitución
El método de sustitución, para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consiste en
despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación
con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las
ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita.
Método de reducción
El método de reducción consiste en multiplicar o dividir los miembros de las ecuaciones por los números
que convengan para que una de las incógnitas tenga el mismo coeﬁ ciente en ambas y restar las dos
ecuaciones resultantes, con la que se elimina una incógnita para poder para poder obtener el resultado
de la incógnita y sustituimos ese valor en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la segunda
incógnita.
2. Ejercicios Resueltos.
1. Ecuación de primer grado.
20x +12 = 32+10x
Paso 1. Pasar al lado izquierdo los términos con la
incógnita y al lado derecho los que no la tienen
la incógnita.
20x-10x = 32-12
Paso 2. Simpliﬁ car y obtener el resultado.
10x = 20
x = 2

2. Ecuación de segundo grado
Caso a.
x
2
- x = 6
Por Factorización.
Paso 1. Ordenar la ecuación e
igualar a cero.
x
2
-x-6 = 0
Paso 2. Factorizar el trinomio del
primer miembro de la ecuación,
para obtener el producto de
binomios.
(x-3)(x+2) = 0
Paso 3. Igualar a cero cada
paréntesis y obtener el resultado.
(x-3)=0 ^ (x+2)=0
x
1
=3 ^ x
2
=-2
Caso b.
2x
2
- 5x =12
Por Factorización.
Paso1. Ordenar la
ecuación e igualar a
cero.
2x
2
-5x-12 = 0
Paso 2. Multiplicar y
dividir para 2 toda la
ecuación.
2(2x
2
-2x-12)
= 0
2
Paso 3. Multiplicar el
entero por el paréntesis
y factorizar.

(2x)
2
-5(2x)-24)
= 0
2
(2x-8)(2x+3)
= 0
2
2(x-4)(2x+3) = 0
2
Paso 4. Igualar a cero
cada paréntesis y ob-
tener el resultado.
(x-4)=0 ^ (2x+3)=0
x
1
=4 ^ x
2
=
A-3
2

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87
BLOQUE II
Caso c.
3x
2
-x =10
Por la Formula general.
Paso 1. Ordenar la
ecuación e igualar a
cero.
3x
2
-x-10 = 0
Paso 2. Identiﬁ car las
variables a, b y c.
3x
2
- x-10=0 → a=3
b=-1
c=-10
Paso 3. Aplicar la
formula general y
simpliﬁ car.
-(-1)±
√(-1)
2
-4(3)(-10)
2(3)
x=1±√121
6
Paso 4. resolver por un
lado el signo “+” y por
el otro el signo “–” y
obtener el resultado.

x
1
= ^ x
2
=

x
1
= = 2 ^
x
2
= = -

12
6
(1-11)
6
5
3
(1+11)
6
(1-11)
6
x=
x=
3. En un estudio de mercado se comprobó que la eﬁ cacia de una publicidad viene dada por el siguiente
sistema de ecuaciones:
1) 2x-6y=16
2) 4x+4y=-32
El valor de las variables es:
Método de igualación.
Paso 1. Despejar la
misma incógnita en las
dos ecuaciones.
1) 2x-6y=16 → y=
2) 4x+4y=-32→y=(-8-x)

Paso 2. Igualar las
expresiones resultantes.

= (-8-x)
Paso 3. Simpliﬁ car y
resolver la ecuación.
(x-8)=3(-8-x)
4x=-16
x= = -4

Paso 4. Sustituir el
valor de la incógnita
x en cualquiera de las
ecuaciones iniciales y
obtener el resultado.
2(-4)-6y=16
y=-4
(x-8)
3
(-16 )
4
Método de sustitución.
Paso 1. Despejar
cualquier incógnita de
cualquier ecuación
inicial.
4x+4y=-32 → x=(-8-y)
Paso 2. Remplazar la
incógnita “x” en la
ecuación que queda.
2(-8-y)-6y =16
Paso 3. Despejar la
incógnita “y” y obtener
el resultado.
y =-4
Paso 4. Sustituir el
valor de la incógnita
x en cualquiera de las
ecuaciones iniciales y
obtener el resultado.
2(-4)-6y=16
y=-4
Método de reducción.
Paso 1. Multiplicar o
dividir las ecuaciones
iniciales por un numero
para que una de las
incógnitas tenga el
mismo coeﬁ ciente y
signo contrario.
1) 2x-6y=16 x(2) →
4x-12y=32
2 ) 4 x + 4 y = - 3 2 x ( - 1 ) →
-4x-4y=32
Paso 2. Sumar la
ecuación 1 y la
ecuación 2.
1) 4x-12y=32
2) -4x-4y=32
-16y=64
Paso 3. Despejo la
incógnita y obtengo el
resultado.
y=-4

Paso 4. Sustituir el
valor de la incógnita
x en cualquiera de las
ecuaciones iniciales y
obtener el resultado.
2(-4)-6y=16
y=-4
(x-8)
3

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3. Ejercicios en clase. PARTE I
1. Para que un motor de un vehículo de carreras pueda ser instalado se debe conocer los parámetros de
instalación que vienen dados por el siguiente sistema de ecuaciones.
1) 8x + 4y = 26
2) 3x + 9y = 21
El valor de los parámetros de instalación es.
a) b) c) d)
1
3
45
9
- ,
1
2
45
18
- ,
1
3
45
9
,
1
2
45
9
,-

2. Las corrientes frías del océano están cambiando de dirección y hacen variar las temperaturas en
diferentes puntos del planeta en base al siguiente sistema de ecuaciones.
1) 5t
1
+ t
2
= 28
2) 2t
1
+ 2t
2
= 8
Las temperaturas son.
a) 2, 6 b) -6,2 c) 6,-2 d) -6,-2

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89
BLOQUE II
4. Tarea

1. En una prueba realizada a una moto de carreras, se obtuvo el siguiente sistema de ecuaciones que
indica las velocidades alcanzadas por la motocicleta.
1) 8v
1
+8v
2
= 144
2) 23v
1
-v
2
= 102
El valor de las velocidades es.
a) 5, 13 b) -13,5 c) 5,-13 d) -13,-5

2. Un campista desea saber la posición de un campamento en el Everest, pero en el mapa se puede ver
el siguiente sistema de ecuaciones:
1) 12x+3y=27
2) 14x+2y=28
Para que el escalador pueda llegar al campamento, los valores de las variables son.
a) b) c) d)
23
5
21
9
- ,
23
11
21
33
, -
23
5
21
9
,
23
11
21
33
,-

DOMINIO MATEMÁTICO INECUACIONES
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2.6 Inecuaciones
2.6.1 Intervalos operaciones
1. Teoría
Se llaman intervalos al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados, a y b se llaman
extremos de intervalo.
Intervalos ﬁ nitos
1. Abierto
]a,b[={x:a<x<b} x ∈ ]-3,6[→-3<x<6

2. Cerrado
[a,b]={x:a≤x≤b} x ∈[-1,9]→-1≤x≤9

3. Semiabierto a la izquierda
]a,b]={x:a<x≤b} x∈ ]-5,2]→-5<x≤2
4. Semiabierto a la derecha
[a,b[ ={x:a≤x<b} x∈ [-4,6[ →-4≤x<6
Intervalos inﬁ nitos
1. Cerrado a la izquierda

[a,+∞[={x:x≥a} x ∈ [-2,+∞[ → x≥-2

2. Abierto a la izquierda
]a,+∞[={x:x>b} x ∈ ]-8,∞,[→ x>-8

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91
BLOQUE II
3. Cerrado a la derecha
]-∞,b]={x:x≤b} x∈ ]-∞,6]→ x≤6
4. Abierto a la derecha
]-∞,b[={x:x<b} x∈ ]-∞,4[ →x<4
Conjunto de los números reales
]-∞ ; +∞[ → R
2. Ejercicios en clase. PARTE I
1. x≥-3
2. x≥-3
3. 1< x<5
4. -6≤x≤-2
5. ]-∞,9]∩ ]0,+∞]
6. ]1,5[∪ [-1,4]
7. ]2,5[∪ [1,4]
8. ]-∞,6]∩ ]-5,+∞]
2.6.2 Inecuación lineal con una incógnita
1. Teoría
Es una expresión matemática que utiliza los signos <, > o , y además unicamente interviene una
incógnita de grado 1, por ejemplo:
Para resolver una inecuación lineal de una incógnita se debe despejar la variable, como si se tratase
de una ecuación lineal pero tomando en cuenta las siguiente consideraciones. Si luego de despejar la
variable esta precedida de un número negativo, se multiplica toda la expresión por (-1), como resultado
de esto el signo de la desigualdad cambiará, si es mayor cambiará a menor y viceversa.

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2. Ejercicios Resueltos
1. x - 4 2x + 1
Paso 1. Despejar x
x - 2x 1 + 4
-x 5
Paso 2. En este caso como
la x está precedida del signo
menos es necesario cambiar
de signo.
x -5
Paso 3.Graﬁ car la respuesta
2.
Paso 1. Despejar x
3x - x 6 + 2
2x 8
x 4
Paso 2. En este caso no es
necesario multiplicar por (-1)
se mantiene la desigualdad
como está.
x 4
Paso 3.Graﬁ car la respuesta
3.
Paso 1. Despejar x.
Multiplico por 2 toda la
expresión:
4(2) -x + 3 < 40(2)
8 -x + 3 < 20
Resto 3 a cada lado:
8 - 3 -x - 3 < 20 - 3
5 -x < 17
Paso 2.Como la x está
precedida por el signo (-) se
multiplica toda la expresión por
(-1).
La desigualdad cambia de
sentido.
-5 x > -17
Ordenar
-17 < x -5
Paso 3.Graﬁ car la respuesta
4. María es 23 años menor que Antonio y si se suman las dos edades el resultado es menor que 97. ¿Cuál
es la edad que puede tener Antonio?
Paso 1. Plantear la ecuación
M = A - 23
Paso 2. Plantear la inecuación
M + A < 97
Paso 3. Reemplazar la ecuación
en la inecuación.
A - 23 + A < 97
2A < 97 + 23
A <
A < 60

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93
BLOQUE II
3. Ejercicios en clase. PARTE I
1. Resolver la inecuación: 8 - x 12 + x
2. Resolver la inecuación: 5 < - 9 - x
3.Resolver la inecuación: -10 20
4.Resolver la inecuación: -2 3x -1 8
5. Resolver la inecuación: 4 6
6. Esteban es 18 años menor que Martha y si se
suman las dos edades el resultado es menor que
82, ¿cuál es la edad que puede tener Martha?
a) < 32 b) > 32 c) < 50 d) > 50
7. Un celular de marca A es $44 más barato que
un celular de marca B y si se suman los dos precios
el resultado es menor que $132. ¿Cuál es el precio
que puede tener el celular de B?
a) < 44 b) > 44 c) < 88 d) > 88
8. Un pantalón de marca M cuesta $24 más que un
pantalón de marca N y si se suman los dos precios
el resultado es menor que $82, ¿cuál es el precio
que puede tener el pantalón de marca N?
a) < 29 b) > 29 c) < 53 d) > 53
4. Tarea
1. 3x + 1 < 20
2. x 6 - x
3. -3 -1 3
4. -5 4x + 7 17
5. - 4 + 4 11
6. María es 23 años menor que Antonio y si se
suman las 2 edades el resultado es menor que 97.
¿Cuál es la edad que puede tener María?
a) < 37 b) > 37 c) < 60 d) > 60
7. Micaela es 18 años menor que Víctor Hugo y
si se suman las dos edades el resultado es menor
que 74. ¿Cuál es la edad que puede tener Víctor
Hugo?
a) < 28 b) > 28 c) < 46 d)> 46
8. Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre
el peso de la furgoneta vacía y el peso de la
carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si
hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto
puede pesar, como máximo, cada uno de ellos
para poder llevarlos en esa furgoneta?
a) ≤ 120 b) ≥ 120 c) ≤ 115 d) ≥115

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2.6.3 Inecuación lineal con dos incógnitas
1. Teoría
Es una expresión matemática que utilizan los signos <, > o , y además, cuenta con dos incógnitas de
primer grado. Ejemplo:
Este tipo de inecuación se resuelve gráﬁ camente mediante la gráﬁ ca de la función lineal ( y = mx + b)
La solución de la inecuación será el área o la región que cumpla con las condiciones de la inecuación.
Caso a: y mx + b
Caso b: y mx + b
2. Ejercicios Resueltos
Encontrar la región solución para las siguientes inecuaciones.
1. y 2x + 4
El signo indica que la solución está sobre la recta.Solución.

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2. y x + 8
El signo indica que la solución está bajo la
recta.
Solución.
3. Ejercicios en clase. PARTE I
Encontrar la solución de las siguientes inecuaciones con dos incógnitas.
1. y
3x +6
2. y -x + 5
3. y x
4. y
5. y 8
6. y -3
7. y -x + 5
8. y -2x - 2
9. y 5

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4. Tarea
Encontrar la solución de las siguientes inecuaciones con dos incógnitas.
1.y 16 - x
2.y 4 + x
3.y 2x + 1
4.y -x - 3
5.y 6
6.y -2
2.6.4 Sistema de inecuaciones lineales
1. Teoría
Se tiene un sistema de ecuaciones lineales cuando hay dos inecuaciones con 2 incógnitas de primer
grado.
Para resolver este sistema de inecuaciones lineales de nuevo se lo hará gráﬁ camente mediante la gráﬁ ca
de la función lineal.
Nota: Solo una región es la solución
del sistema de inecuaciones.

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BLOQUE II
2. Ejercicios Resueltos
Resolver el sistema de inecuaciones.
y 2x + 4
y -2x - 2
Solución
y
1
2x + 4
y
2
-2x - 2
La región solución de este
sistema de inecuaciones es
la región 3.
3. Ejercicios en clase. PARTE I
Encontrar la solución de los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.
1. y x + 1
y -x + 2
2. y -x - 1
y x - 1

3. y 2x + 4
y -x + 3
4. y 2x - 4
y -x + 2

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5. y x
y 3x + 2
6. y 2
y 3x + 6
7. Paúl tiene USD 25 para comprar comida para una reunión con sus amigos, así que desea comprar
gaseosas (USD 2 cada una) y chocolates (USD 3 cada uno). Si Paúl decide comprar más gaseosas que
chocolates, determine el gráﬁ co que representa el conjunto de opciones que tiene Paúl para efectuar
su compra.
Ejercicio 25, forma F001 / 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
1)
2) 3) 4)
4. Tarea
Encontrar la solución de los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.
1. y 4x - x
y x + 2
2. y -2x - 4
y 2 - 2x

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BLOQUE II
3. y -4 - x
y x
4. y x
y -x
5. y
y 3x + 3
6. y -2x + 2
y -x + 1
2.6.5 Inecuación cuadrática
1. Teoría
Es una expresión matemática que utiliza los signos <, >, < o > donde el grado de la incógnita es igual a 2.
Ejemplo:
ax
2
+ bx + c
0
x
2
-2x + 5
0
3x
2
+ 4x - 6
0
Para resolver este tipo de inecuaciones se deben seguir los siguientes pasos:
• Factorar.
• Calcular las raíces.
• Graﬁ car las raíces.
• Utilizar 1 método gráﬁ co de solución de inecuaciones cuadráticas, si ax
2
+ bx +c
0. Sean X
1
y X
2
las
raíces del polinomio y x
1
< x
2

si ax
2
+ bx +c
0 solución positiva.
si ax
2
+ bx +c
0 solución negativa.

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En el caso de que tengamos un polinomio con el término cuadrático negativo multiplicamos toda la
expresión por (-1) y luego realizamos los pasos descritos anteriormente.
2. Ejercicios Resueltos
Resolver la siguiente inecuación cuadrática.
1. x
2
- 3x + 10
0
Paso 1: Factorar.
(x - 5) (x - 2) 0
Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
x - 5 = 0 x = 5
x - 2 = 0 x = 2
Paso 3: Aplicar el método
gráﬁ co para solucionar la
inecuación.
Como la inecuación dice
cogemos el intervalo en el
cuál la solución es positiva.
x 2 v x 5
] - ∞ , 2 ] u [5 , + ∞[
2. -x
2
- 3x - 2 0
Como podemos observar el término cuadrático es negativo, entonces multiplicamos toda la expresión
por (-1).
x
2
+ 3x + 2
0
Paso 1: Factorar.
(x + 2 ) ( x + 1) 0
Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
x + 2 = 0 x = -2
x + 1 = 0 x = -1
Paso 3: Aplicar el método
gráﬁ co para solucionar la
inecuación.
Como la inecuación tiene el
signo cogemos el intervalo
en el cuál la solución es
negativa.
-2 x -1
[ -2 , -1]
3. Ejercicios en clase. PARTE I
Resolver las siguientes inecuaciones cuadráticas.
1. x
2
-3x - 10
0
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.

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2. x
2
- 3x -4 0
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.
3. -x
2
+ x + 6 0
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.
4. x
2
- x - 2 < 0
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.
5. x
2
- 5x + 4 0
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.
6. x
2
- 2x - 3 > 0
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.
7. Los altos decibeles del sonido pueden afectar irreversiblemente el oído de los humanos y animales, estos
pueden afectar al oído si los decibeles superan cierto rango de emergencia deﬁ nido por la expresión:
2x²-11x+15≥(x-3)², donde x representa el nivel de decibeles. Determine los rangos de emergencia que no
deben ser superados para que el oído no sea afectado.
a) x ≤ 2 b) x ≥ 3 c) x ≤ 2; x ≥ 3 d) x ≤ 4 ; x ≥ 2
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.

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8. La consistencia de un helado cambia cuando su temperatura sale de un cierto rango deﬁ nido por la
expresión: 2x
2
+ x + 8 ≥ ( x - 2 )
2
, donde x representa la temperatura en grados centígrados. Determine los
rangos en los cuales la consistencia del helado cambia.
Ejercicio 28, forma F001 / 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) x ≤ -4 b) x ≥ -1 c) x ≤ -1 d) x ≤ -4
x ≥ 4 x ≥ -1
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.
4. Tarea
1. -x
2
- 6x - 8 0
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.
2. 6 + x - x
2
0
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.
3. 0 3 - 2x - x
2
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.
4. x
2
- 6x + 9 0
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.
5. La textura de una torta cambia cuando su temperatura de cocción sale de cierto rango deﬁ nido por
la expresión: 2x² -10x+9≥(x-2)² , donde x representa la temperatura en grados centígrados. Determine los
rangos en los cuales la textura de la torta cambia.
a) x ≤ 1 b) x ≤ 1 ; x ≥ 5 c) x ≥ 5 d) x ≥ 2 ; x ≤ 4
Paso 1: Factorar. Paso 2: Calcular las raíces y
graﬁ car.
Paso 3: Aplicar el método gráﬁ co
para solucionar la inecuación.

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103
BLOQUE II
2.7 Programación lineal
Deﬁ nición: ¿Qué es la Programación Lineal?
Es el campo de la OPTIMIZACIÓN matemática dedicado a maximizar o minimizar una función lineal,
denominada función objetivo (F.O.), de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una
serie de restricciones expresadas mediante un sistema de ecuaciones o inecuaciones también lineales.
2.7.1 Función objetivo y variables de decisión.
1. Teoría.
La función objetivo corresponde a la ecuación que será optimizada. Ya sea maximizar (UTILIDAD O
GANANCIA) o minimizar (COSTO). Las variable de decisión son aquellos parámetros que variarán, y según
el valor que tomen, la función objetivo incrementará o disminuirá.
2. Ejercicios Resueltos.
1. Una empresa fabrica mesas y sillas. El costo de producción de cada mesa es de $40 y el de cada silla
es de $15. Escriba la ecuación que representa el costo total de fabricar mesas y sillas.
Paso 1: Identiﬁ car el tipo
de Función Objetivo.
La función objetivo
representa
el COSTO. La
cual representaremos
con
la expresión C (x, y).
Paso 2: Identiﬁ car las
Variable de Decisión.
Las magnitudes que
irán cambiando son el
NÚMERO de mesas y
sillas, por lo cual serán
las variables de decisión
X e Y.
Paso 3: Identiﬁ car la relación entre la Función
Objetivo y Variables de Decisión para obtener la
ecuación.
La relación entre el número de sillas y mesas y el
costo total será a través del costo individual de
cada mesa y silla, por lo cual la función objetivo
será:
3. Ejercicios para resolver en clase.
1. En una fábrica de Televisores, el costo de cada uno es $800, escriba la ecuación del costo de x
televisores.
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
Función Objetivo.
Paso 2: Identiﬁ car las Variable de
Decisión.
Paso 3: Identiﬁ car la relación
entre la Función Objetivo y
Variables de Decisión para
obtener la ecuación.

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2. Una empresa vende 2 productos lavadoras (x) y secadoras (y) si la utilidad de cada lavadora y cada
secadora es 400 y 450 respectivamente. Escriba la función que describa la utilidad total por la venta de
X lavadoras y Y secadoras.
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
Función Objetivo.
Paso 2: Identiﬁ car las Variable de
Decisión.
Paso 3: Identiﬁ car la relación
entre la Función Objetivo y
Variables de Decisión para
obtener la ecuación.
3. En la elaboración de un producto A se necesita una sustancia B. La cantidad de A obtenida es menor
o igual que el doble de B utilizada, y la diferencia entre las cantidades del producto B y A no supera los 2
g mientras que la suma no debe sobrepasar los 5 g. Además se utiliza por lo menos 1 g de B y se requiere
1g de A. La sustancia A se vende a 5 millones de u.m. Y la B cuesta 4 millones de u.m. el gramo. Si se desea
saber el beneﬁ cio máximo, plantee la función objetivo correspondiente.
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
Función Objetivo.
Paso 2: Identiﬁ car las Variable de
Decisión.
Paso 3: Identiﬁ car la relación
entre la Función Objetivo y
Variables de Decisión para
obtener la ecuación.
4. Tarea.
1. En una fábrica de microondas, el costo de cada uno es $250. ¿Escriba la ecuación del costo de x
microondas?
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
Función Objetivo.
Paso 2: Identiﬁ car las Variable de
Decisión.
Paso 3: Identiﬁ car la relación
entre la Función Objetivo y
Variables de Decisión para
obtener la ecuación.
2. Una empresa vende 2 productos mesas y sillas, si la utilidad de cada mesa y cada silla es 100 y 500
respectivamente. Escriba la función que describa la utilidad total por la venta de X sillas e Y mesas.
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
Función Objetivo.
Paso 2: Identiﬁ car las Variable de
Decisión.
Paso 3: Identiﬁ car la relación
entre la Función Objetivo y
Variables de Decisión para
obtener la ecuación.

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BLOQUE II
3. Una empresa, especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto
tipo de minimesas y minisillas que vende a 2000 unidades monetarias (u. m.) y 3000 u. m. por cada
artículo, respectivamente. Desea saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente
un operario para maximizar los ingresos, plantear la función objetivo.
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
Función Objetivo.
Paso 2: Identiﬁ car las Variable de
Decisión.
Paso 3: Identiﬁ car la relación
entre la Función Objetivo y
Variables de Decisión para
obtener la ecuación.
2.7.2 Restricciones y región factible.
1. Teoría.
Son desigualdades o condiciones del ejercicio que limitan los posibles valores de las variables de decisión.
También suele haber restricciones de signo o no negatividad:
Ejemplo:
2 x + y ≤ 100 (restricción 1)
x + y ≤ 80 (restricción 2)
x ≤ 40 (restricción 3)
x ≥ 0 y ≥ 0

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Región factible
Es el conjunto de todos los puntos que cumplen con todas las restricciones o condiciones del ejercicio. Es
la región del plano delimitada por el sistema de desigualdades que forman las restricciones.
Región
Factible
Restricciones
1. Teoría
Las restricciones son las limitaciones en un problema. El planteamiento de las restricciones es crítico en
la resolución de ejercicios. Descifrar el maquillaje que llevan los ejercicios y transformar los datos en las
inecuaciones correctas es la clave.
2. Ejercicios Resueltos
1. En un almacén de frutas hay 800 kg de naranjas, 800 kg de manzanas y 500 kg de plátanos. Para su
venta se hacen dos lotes (A y B). El lote de A contiene 1 kg de naranjas, 2 kg de manzanas y 1 kg de
plátanos; el lote B contiene 2 kg de naranjas, 1 kg de manzanas y 1 kg de plátanos. El beneﬁ cio por kg que
se obtiene por el lote A es de 1200 dólares y con el lote B es de 1400 dólares. Determine las restricciones
que representan el problema antes planteado.
a) X+2Y≤1200; 2X+Y≤800; X+Y≤1400; X≥0; Y≥0 b) X+2Y≤1400; 2X+Y≤500; X+Y≤1200; X≥0; Y≤0
c) X+2Y≤800; 2X+Y≤800; X+Y≤500; X≥0; Y≤0 d) X+2Y≤800; 2X+Y≤800; X+Y≤500; X≥0; Y≥0
Paso 1: Identiﬁ car qué
datos tienen restriccio-
nes.
En este ejercicio tene-
mos dos tipos de datos:
Cantidad de frutas y
ganancia de los lotes.
La restricción está en la
cantidad de frutas que
se tiene, mientras que
en las ganancias no se
tiene ningún tipo de res-
tricción.
Paso 2: Identiﬁ car las
restricciones.
1. El número total de kg
de naranja totales no
puede exceder 800kg.
2. El número total de kg
de manzanas totales no
puede exceder
800 kg.
3. El número total de kg
de plátanos totales no
puede exceder
500 kg.
Paso 3: Identiﬁ car las
variables y plantear las
inecuaciones corres-
pondientes.
• Sea X el número de
lotes A
• Sea Y el número de
lotes B
1) X + 2Y ≤ 800
2) 2X + Y ≤ 800
3) X + Y ≤ 500
Paso 4: Añadir restric-
ciones de
no-negatividad.
X ≥ 0
Y ≥ 0
Por lo cual la respuesta
que contiene todas las
inecuaciones es D.

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107
BLOQUE II
3. Ejercicios para resolver en clase
1. Un proyecto de asfaltado puede llevarse a cabo por dos grupos diferentes de una misma empresa: G1
y G2. Se trata de asfaltar 3 zonas: A, B y C. En una semana, el grupo G1 es capaz de asfaltar 3 unidades
en la zona A, 2 unidades en la zona B y 2 en la zona C. El grupo G2 es capaz de asfaltar semanalmente 2
unidades en la zona A, 3 unidades en la zona B y 2 en la zona C. El coste semanal se estima en USD 3300
para G1 y USD 3500 para el G2. Se necesita asfaltar un mínimo de 6 unidades en la zona A, 12 en la zona
B y 10 en la zona C. Determine las restricciones que representan el proceso de asfaltado para los grupos
G1 y G2.
a)3X+2Y≥10; 2X+3Y≥12; 2X+2Y≥6; X≥0; Y≥0 b)3X+2Y≥6; 2X+3Y≥10; 2X+2Y≥12; X≥0; Y≥0
c)3X+2Y≥6; 2X+3Y≥12; 2X+2Y≥10; X≥0; Y≥0 d)3X+2Y≤6; 2X+3Y≤12; 2X+2Y≤10; X≥0; Y≥0
Paso 1: Identiﬁ car
qué datos tienen
restricciones.
Paso 2: Identiﬁ car las
restricciones.
Paso 3: Identiﬁ car las
variables y plantear las
inecuaciones
correspondientes.
Paso 4: Añadir
restricciones de
no-negatividad.
2. Una empresa de fertilizantes implementó una nueva fórmula para sus fertilizantes. Su fórmula contiene
un mínimo de 21 unidades de nitrato y 15 de fosfato, ambos obtenibles de las sustancias X y Y. Las
características y costos de dicha fórmula son los siguientes:
Sustancia Nitrato Fosfato Costo/Kg
x 5 3 $10
y 4 6 $7
Determine las restricciones del modelo.
a) 5X+4Y≤21; 2X+6Y≤15; X≥0; Y≥0 b) 5X+4Y≥21; 2X+6Y≥15; X≥0; Y≥0
c) 5X+4Y=21; 2X+6Y=15; X≥0; Y≥0 d) 5X+4Y≥10; 2X+6Y≥7; X≥0; Y≥0
Paso 1: Identiﬁ car qué
datos tienen restriccio-
nes.
Paso 2: Identiﬁ car las
restricciones.
Paso 3: Identiﬁ car las
variables y plantear las
inecuaciones
correspondientes.
Paso 4: Añadir restric-
ciones de
no-negatividad.

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4. Tarea
1. Se desea fabricar y vender sillas y mesas en USD 40 y USD 100 respectivamente, considerando estas
cantidades.
• Se compraron 1000Kg de cedro y 3000Kg de laurel
• Para fabricar una silla se utiliza 1 Kg de cedro y 3 Kg de laurel
• Para fabricar una mesa se utiliza 5 Kg de cedro y 5 Kg de laurel
Determina las restricciones del modelo.
a) X+5Y≤1000; 3X+5Y≤3000; X≥0; Y≥0 b) X+5Y=1000; 3X+5Y=3000; X≥0; Y≥0
c) X+5Y≥1000; 3X+5Y≥3000; X≥0; Y≥0 d) X+5Y≤40; 5X+5Y≤100; X≥0; Y≥0
Paso 1: Identiﬁ car qué
datos tienen restriccio-
nes.
Paso 2: Identiﬁ car las
restricciones.
Paso 3: Identiﬁ car las
variables y plantear las
inecuaciones
correspondientes.
Paso 4: Añadir restric-
ciones de
no-negatividad.
2. CHOCO-SWEET fabrica y vende pastelitos de chocolate y galletas de chocolate en USD 110 y USD 80
cada caja respectivamente, considerando estas cantidades:
• Se compraron 2400 Kg de cacao y 4000 Kg de harina.
• Para fabricar una caja de pastelitos de chocolate se utiliza 3 Kg de cacao y 5 Kg de harina.
• Para fabricar una caja de galletas de chocolate se utiliza 2 Kg de cacao y 3 Kg de harina.
Determine las restricciones del modelo.
a) 3X+2Y =2400; 5X+3Y=4000; X≥0; Y≥0 b) 3X+2Y ≥2400; 5X+3Y≥4000; X≥0; Y≥0
c) 3X+2Y ≤110; 5X+3Y≤80; X≥0; Y≥0 d) 3X+2Y≤2400; 5X+3Y≤4000; X≥0; Y≥0
Paso 1: Identiﬁ car qué
datos tienen restriccio-
nes.
Paso 2: Identiﬁ car las
restricciones.
Paso 3: Identiﬁ car las
variables y plantear las
inecuaciones
correspondientes.
Paso 4: Añadir restric-
ciones de
no-negatividad.

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109
BLOQUE II
Regiones Factibles.
1. Teoría
Al ser las regiones factibles un conjunto de restricciones, para poder determinarlas, se debe determinar las
restricciones existentes. El manejo y gráﬁ co de inecuaciones es primordial para la correcta determinación
de los mismo.
2. Ejercicios Resueltos
1. Paúl tiene USD 25 para comprar comida para una reunión con sus amigos, así que desea comprar
gaseosas (USD 2 cada una) y chocolates (USD 3 cada uno). Si Paúl decide comprar más gaseosas que
chocolates, determine el gráﬁ co que representa el conjunto de opciones que tiene Paúl para efectuar
su compra.
Ejercicio 25, forma F001 / 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) b) c) d)
Paso 1: Identiﬁ car las
restricciones.
1. El dinero gastado no
puede ser mayor que
25$.
2. Paúl decide comprar
más gaseosas que
chocolates.
Paso 2: Plantear las
inecuaciones de las
restricciones
1. 25 ≥ 2X + 3Y
2. X > Y
Paso 3: Identiﬁ car la
pendiente y sentido de
las inecuaciones.
1. 25 ≥ 2X + 3Y
Despejando:
3Y ≤ -2X + 25
-Pendiente negativa
-Sentido “≤”
2. X > Y
Despejando: Y < X
-Pendiente positiva
-Sentido “<”
Paso 4: Identiﬁ car la
intersección de las dos
zonas.
La zona de intersección
será la que se encuentra
en la parte inferior por
lo cual es la respuesta D.

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3. Ejercicios para resolver en clase.
1. Amanda debe estudiar para un examen de idiomas. Ella dispone de cuatro horas para practicar
algunos exámenes de lectura y escritura; cada examen de lectura le toma 20 minutos y cada examen
de escritura le toma 35 minutos. Si Amanda desea practicar más del doble de exámenes de escritura
que de lectura, determine la gráﬁ ca que representa a las combinaciones de estudio que ella puede
considerar.
a) b) c) d)
Paso 1: Identiﬁ car las
restricciones.
Paso 2: Plantear las
inecuaciones de las
restricciones.
Paso 3: Identiﬁ car la
pendiente y sentido de
las inecuaciones.
Paso 4: Identiﬁ car la
intersección de las dos
zonas.
2. Una empresa que fabrica alimentos para el consumo masivo, produce dos tipos de alimentos; alimento
tipo A y alimento tipo B en base a las siguientes restricciones (2X+2Y≥16), (4X+Y≥20) identiﬁ que la gráﬁ ca
que le representa la ZONA FACTIBLE:
a) b) c) d)
Paso 1: Identiﬁ car las
restricciones.
Paso 2: Plantear las
inecuaciones de las
restricciones.
Paso 3: Identiﬁ car la
pendiente y sentido de
las inecuaciones.
Paso 4: Identiﬁ car la
intersección de las dos
zonas.

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111
BLOQUE II
4. Tarea.
1. Identiﬁ car la gráﬁ ca que representa la zona factible de las siguientes restricciones:
X ≥ 2, 12X + 8Y ≤ 96, 6X+ 12Y ≤ 72
a) b) c) d)
Paso 1: Identiﬁ car las
restricciones.
Paso 2: Plantear las
inecuaciones de las
restricciones.
Paso 3: Identiﬁ car la
pendiente y sentido de
las inecuaciones.
Paso 4: Identiﬁ car la
intersección de las dos
zonas.
2. Una empresa que se dedica a fabricar parrilleras de campo la Old Smokey y la Blaze Away encuentra
que sus restricciones de fabricación son las siguientes (2X+4Y≤24), (4X+2Y≤24) en base a ellas identiﬁ que
la gráﬁ ca que representa el proceso de fabricación (REGIÓN FACTIBLE):
-16
-14
a) b) c) d)
2
2
4
4
6
6
8
8
10
10
12
12
14
18
16
2
4
6
8
10
12
14
18
16
141618 2468 1012141618
-11
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
2468-8-6-4-2
-16
-14
-11
-10
-8
-6
-4
-2
4
2
2-2-4 46 810121416
Paso 1: Identiﬁ car las
restricciones.
Paso 2: Plantear las
inecuaciones de las
restricciones.
Paso 3: Identiﬁ car la
pendiente y sentido de
las inecuaciones.
Paso 4: Identiﬁ car la
intersección de las dos
zonas.
2.7.3 Optimización
1. Teoría.
La optimización reﬁ ere a obtener el valor máximo o mínimo de la función objetivo, según vayan variando
las variables de decisión. Cualquiera de los puntos dentro de la región factible puede ser reemplazado
en la función objetivo, por lo cual existe una gran cantidad de posibilidades.
Para acotar las opciones trabajaremos con los vértices de las regiones factibles pues en estos siempre se
encuentran los puntos óptimos.
a) La solución es uno de los vértices
b) Para calcular el valor máximo o mínimo de la F.O. se reemplaza las coordenadas del punto en la F.O.
F (2 , 3) = A (2) + B(3)

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2. Ejercicios Resueltos.
1. Una empresa fabrica dos productos similares
x y ya partir de una misma materia prima, cuya
región de posibles combinaciones de producción
se muestra en el gráﬁ co.
Determine la utilidad máxima que podría obtener
la empresa, si se conoce que la misma está
representada en miles de dólares por U(x, y) = 3x
- 3y + 7.
Ejercicio 11, forma F001 / 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
a) 1 b) 4 c) 14 d) 28
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
optimización (maximizar o
minimizar).
Se busca MAXIMIZAR la utilidad.
Paso 2: Encontrar la pendiente
de la F.O.
Tenemos que,
U(x, y) = 3x − 3y + 7
3y = 3x + 7 − U(x, y)
Pendiente: Positiva.
Paso 3: Identiﬁ car la relación entre
las variables y la F.O.
Debido que queremos maximizar
U(x,y) tomaremos en cuenta que
debe pasar con las variables de
decisión para que U(x,y) crezca.
U(x,y) crece si X crece.
U(x,y) crece si Y decrece.
Paso 4: Graﬁ car la pendiente y desplazar la F.O.
hacia los vértices para hallar el punto óptimo.
Paso 5: Reemplazar los posibles puntos óptimos en
la F.O. para obtener el valor óptimo.
U(x, y) = 3x - 3y + 7
U(8, 1) = 3(8) - 3(1) + 7
U(8, 1) = 24 - 3 + 7
U(8, 1) = 28
Por lo cual, el punto que maximiza la función
objetivo es U(8, 1) = 28.

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113
BLOQUE II
¿Qué pasa si queremos MINIMIZAR la función objetivo?
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
optimización (maximizar o
minimizar).
Se busca MINIMIZAR.
Paso 2: Encontrar la pendiente
de la F.O.
Tenemos que,
U(x, y) = 3x − 3y + 7
3y = 3x + 7 − U(x, y)
Pendiente: Positiva.
Paso 3: Identiﬁ car la relación
entre las variables y la F.O.
Debido que queremos minimizar
U(x,y) tomaremos en cuenta que
debe pasar con las variables
de decisión para que U(x,y)
disminuya.
U(x,y) disminuye si x decrece.
U(x,y) disminuye si y crece.
Paso 4: Graﬁ car la pendiente y desplazar la F.O.
hacia los vértices para hallar el punto óptimo.
Paso 5: Reemplazar los posibles puntos óptimos en
la F.O. para obtener el valor óptimo.
U(x, y) = 3x − 3y + 7
U(3, 5) = 3(3) − 3(5) + 7
U(3, 5) = 9 − 15 + 7
U(3, 5) = 1
U(x, y) = 3x − 3y + 7
U(1, 2) = 3(1) − 3(2) + 7
U(1, 2) = 3 − 6 + 7
U(1, 2) = 4
Por lo cual, el punto que minimiza la función
objetivo es U(3, 5) = 1.
¿Qué pasa si no nos dan la ecuación de la función objetivo?
Existen casos en los cuales no se cuenta con la ecuación de la función objetiva, en cambio se tiene la
F.O. gráﬁ camente, en estos casos el método de resolución es más fácil.

1. Una empresa que fabrica instrumentos musicales tales como; bajos y guitarras ha estimado los costos
de producción en función del número de elementos producidos de estos dos productos, sus restricciones
en los productos utilizados para la producción han generado la región factible (región sombreada) que
se muestra en la ﬁ gura, donde la recta Z representa la función de costos que se debe minimizar y esta
crece cuando crece el número de elementos producidos.
¿Cuántos bajos y guitarras se debe fabricar para minimizar los costos?
a) 80,40 b) 40,80 c) 240,200 d) 160,40

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Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
optimización (maximizar o
minimizar).
Se busca MINIMIZAR.
Paso 2: Desplazar la función
objetivo a los vértices para hallar
el punto óptimo.
Debido a que queremos minimizar
la función objetivo desplazaremos
la recta hacia abajo.
Paso 3: Reemplazar los posibles
puntos óptimos en la función F.O.
para obtener el valor óptimo.
En este caso el valor óptimo es
único, el punto G (80,40).
3. Ejercicios para resolver en clase.
1. Una empresa que se dedica a la elaboración de alimentos para gatos y perros ha estimado las
utilidades en función del número de elementos vendidos de estos dos productos, sus restricciones en
los productos utilizados para la producción han generado la región factible (región sombreada) que se
muestra en la ﬁ gura, donde la recta P representa la función de utilidad que se debe maximizar y esta
crece cuando crece el número de elementos vendidos.
¿Cuántos kilogramos de alimento para gatos y perros se debe fabricar para maximizar la utilidad?
a) 14, 7 b) 10, 14 c) 12, 14 d) 14, 12
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
optimización (maximizar o
minimizar).

Paso 2: Desplazar la función
objetivo a los vértices para hallar
el punto óptimo.
Paso 3: Reemplazar los posibles
puntos óptimos en la F.O. para
obtener el valor óptimo.

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115
BLOQUE II
2. El gráﬁ co representa las posibles combinaciones de productos en relación con los costos de producción
de X gafas de baño y Y gorros de baño. La función de costo esta expresada por C=6X+9Y. Determine la
cantidad de gafas de baño y gorros de baño que reducen el costo de producción.
a) 4 Gafas y 1 Gorro b) 1 Gafa y 2 Gorros c) 2 Gafas y 1 Gorro d) 2 Gafas y 6 Gorros
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
optimización (maximizar o
minimizar).
Paso 2: Encontrar la pendiente
de la F.O.
Paso 3: Identiﬁ car la relación entre
las variables y la F.O.
Paso 4: Graﬁ car la pendiente y desplazar la F.O.
hacia los vértices para hallar el punto óptimo.
Paso 5:Reemplazar los posibles puntos óptimos en
la F.O. para obtener el valor óptimo.
3. El gráﬁ co representa las posibles combinaciones de productos en relación con los costos de producción
de x pantalones y y camisas. La función de costo está expresada por C = 12x + 6y. Determine la cantidad
de pantalones y camisas que reducen el costo de producción.
Ejercicio 31, forma F001 / 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.
ec/evaluaciones/pruebas-liberadas/
a) 4 Gafas y 1 Gorro b) 1 Gafa y 2 Gorros c) 2 Gafas y 1 Gorro d) 2 Gafas y 6 Gorros

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Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
optimización (maximizar o
minimizar).
Paso 2: Encontrar la pendiente
de la F.O.
Paso 3: -Identiﬁ car la relación entre
las variables y la F.O.
Paso 4: Graﬁ car la pendiente y desplazar la F.O.
hacia los vértices para hallar el punto óptimo.
Paso 5: Reemplazar los posibles puntos óptimos en
la F.O. para obtener el valor óptimo.
4. Una empresa fabrica zapatos y sandalias, cuya región de posibles combinaciones de producción
se muestran en el gráﬁ co.
Determine la utilidad máxima que podría obtener la empresa, si se conoce que la misma está
representada en miles de dólares por M (X,Y) = 6X+5Y-3
a) 90 b) 81 c) 84 d) 87
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de optimi-
zación (maximizar o minimizar).
Paso 2: Encontrar la pendiente
de la función objetivo
Paso 3:Identiﬁ car la relación entre
las variables y la F.O..

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BLOQUE II
Paso 4: Graﬁ car la pendiente y desplazar la F.O.
hacia los vértices para hallar el punto óptimo.
Paso 5: Reemplazar los posibles puntos óptimos en
la F.O. para obtener el valor óptimo.
5. Una compañía realiza dos productos (X y Y) usando dos máquinas (A y B), cada producto de X requiere
utilizar n minutos de la maquina A y m minutos de la maquina B. En cambio, cada elemento del Y usa k
minutos de A y L minutos de B. En qué punto se maximiza el número de unidades de X y Y en stock al ﬁ nal
de la semana, si la región factible está dada por la siguiente gráﬁ ca y la función objetivo es: U=x+y-50.
a) x=450, y=625 b) x=450, y=600 c) x=443, y=725 d) x=350, y=60
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
optimización (maximizar o
minimizar).
Paso 2: Encontrar la pendiente
de la función objetivo
Paso 3: Identiﬁ car la relación
entre las variables y la función
objetivo.
Paso 4: Graﬁ car la pendiente y desplazar la F.O.
hacia los vértices para hallar el punto óptimo.
Paso 5: Reemplazar los posibles puntos óptimos en
la F.O. para obtener el valor óptimo.

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4. Tarea
1. Un empresa que fabrica mesas y sillas ha estimado los costos de producción en función del número
de elementos producidos de estos dos productos, sus restricciones en los recursos utilizados para la
producción han generado la región factible (región sombreada) que se muestra en la ﬁ gura, donde la
recta m representa la función de costos que se debe minimizar y esta crece cuando crece el número de
elementos producidos.
¿Cuántas mesas y sillas se deben fabricar para minimizar los costos?
a) 90 b) 66 c) 50 d)76
Paso 2: Graﬁ car la pendiente y desplazar la
función objetivo a los vértices para hallar el punto
óptimo.
Paso 1: Identiﬁ car el
tipo de optimización
(maximizar o minimizar).
Paso 3: Reemplazar los
posibles puntos óptimos
en la F.O. para obtener el
valor óptimo.
2. Una empresa fabrica dos productos similares x y y a partir de una misma materia prima, cuya región de
posibles combinaciones de producción se muestra en el gráﬁ co.
Determine la utilidad máxima que podría obtener la empresa, si se conoce que la misma está representada
en miles de dólares por U(x, y) = 10x - 5y + 10.
Ejercicio 21, forma f001 / 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) 10 b) 15 c) 85 d) 95

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BLOQUE II
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
optimización (maximizar o
minimizar).
Paso 2: Encontrar la pendiente
de la función objetivo
Paso 3: Identiﬁ car la relación
entre las variables y la función
objetivo.
Paso 4: Graﬁ car la pendiente y desplazar la F.O.
hacia los vértices para hallar el punto óptimo.
Paso 5: Reemplazar los posibles puntos óptimos en
la F.O. para obtener el valor óptimo.
3. Dada la siguiente región de factibilidad determine el valor máximo que puede obtener la siguiente
función objetivo: Z = 13x1 + 5x2 -125.
a) 634 b) 443 c) 334 d) 343
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
optimización (maximizar o
minimizar).
Paso 2: Encontrar la pendiente
de la función objetivo
Paso 3: Identiﬁ car la relación
entre las variables y la función
objetivo.
Paso 4: Graﬁ car la pendiente y desplazar la F.O.
hacia los vértices para hallar el punto óptimo.
Paso 5: Reemplazar los posibles puntos óptimos en
la F.O. para obtener el valor óptimo.

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120
4. Una industria de ampliﬁ cadores tiene dos tipos de ampliﬁ cadores representativos el AA y el NN cuyos
precios de venta es de USD 60 y USD 40 respectivamente.
La graﬁ ca representa las restricciones del proceso de producción y comercialización: (X+Y≤6) y volumen
de producción (2X+4Y≥12). Determine la cantidad de ampliﬁ cadores AA y NN que maximiza la utilidad.
a) (0,3) b) (0,6) c) (6,0) d) (3,0)
Paso 1: Identiﬁ car el tipo de
optimización (maximizar o
minimizar).
Paso 2: Encontrar la pendiente
de la función objetivo
Paso 3: Identiﬁ car la relación
entre las variables y la función
objetivo.
Paso 4: Graﬁ car la pendiente y desplazar la F.O.
hacia los vértices para hallar el punto óptimo.
Paso 5: Reemplazar los posibles puntos óptimos en
la F.O. para obtener el valor óptimo.

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121
BLOQUE II
2.8 Función lineal
Gráﬁ ca
1. Teoría

La función lineal es una función de primer grado cuya representación gráﬁ ca en el plano cartesiano es
una recta.
1.2 Fórmula:
1.3 Gráﬁ ca:
La función lineal se graﬁ ca en base al signo de la pendiente (m) y al valor del punto de corte con el eje
y (b).
1.4 Determinación de los puntos de corte o de intersección con cada eje.
a) Punto de corte con el eje x = RAÍZ (cuando y=0)
b) Punto de corte con el eje y = b (cuando x=0)

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2. Ejercicios Resueltos
Gráﬁ ca de Funciones Cuadráticas
Hallar los puntos de corte de cada eje y realizar la gráﬁ ca de las siguientes funciones:
1. f (x) = 2 x -8
y = m x +b
Paso 2: Determinar los puntos de corte
Punto de corte en x (RAÍZ) Punto de corte en y
y = 0 X = 0
0 = 2x - 8 y = -8 = b
8 = 2x
= x
x = 4
Paso 1: Determinar la forma de la recta solo con el signo de la
pendiente (m), en este caso m > 0 (positivo)
Paso 3: Marcar los puntos de corte y trazar la gráﬁ ca.
2. f (x) = -3 x + 6
y = m x + b
Paso 2: Determinar los puntos de corte
Punto de corte en x (RAÍZ) Punto de corte en y
y = 0 x = 0
0 = -3x + 6 y = 6 = b
3x = 6
x =
x = 2

Paso 1: Determinar la forma de la recta solo con el signo de la
pendiente (m), en este caso m < 0 (negativo)
Paso 3: Marcar los puntos de corte y trazar la gráﬁ ca.
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
Gráﬁ ca de la función lineal
En los siguientes ejercicios realice la gráﬁ ca de la función dada. Además calcule los puntos de corte, la
raíz de la ecuación y ubíquelos en la gráﬁ ca.

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123
BLOQUE II
1. f(x) = 3x+6
2. f(x) = -2x+4
3. f(x) = 5x-15

4. f(x) = -8-2x
4. Tarea
1. f(x) = 6-3x
2. f(x) = 4x-3
3.

4. f(x) = 5x-2

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2.8.1 Ecuación de recta
1. Teoría
Para determinar la ecuación de la una recta se necesitan dos datos; las coordenadas de dos puntos o
las coordenadas de un punto y la pendiente.
Ecuación ordinaria
y-y
1
= m(x-x
1
)

(y
2
-y
1
)
(x
2
-x
1
)
= (x-x
1
)
y-y
1
Ecuación paramétrica
(x,y)=(x
1
,y
1
)+t(x
2
-x
1
,y
2
-y
1
)
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos se calcula con el teorema de Pitágoras.
d=√(∆x)
2
+ (∆y)
2
d=√(x
2
- x
1
)
2
+ (y
2
- y
1
)
2
Rectas paralelas y rectas perpendiculares
Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.
m
1
= m
2
Rectas perpendiculares
Dos rectas son perpendiculares si cumplen la siguiente relación:
m
1
.m
2
= -1
2. Ejercicios Resueltos
1. Un fabricante de juguetes tiene costos ﬁ jos mensuales de USD 1 500 y el costo de producción de
cada unidad es de USD 10. Si una gran cadena de juguetes solicita 500 juguetes, determine el costo de
producción, en dólares.
Ejercicio 18, forma F001/ 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) 3 500 b) 5 000 c) 6 500 d) 7 500

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125
BLOQUE II
Paso 1: Fórmula de función lineal

C = 10x + 1500
Paso 2: Reemplazar x o y según los datos del ejer-
cicio y calcular.
x = 500 juguetes
C = 10(500) + 1500
C = 5000 + 1500
C = 6500
Respuesta: c) 6500
2. En un programa de televisión se indica que la temperatura en Miami es de 86 °F o su equivalente 30
°C, mientras que en Nueva York la temperatura es de 41 °F o su equivalente 5 °C. Si se representan estos
valores en un plano cartesiano, donde las ordenadas corresponden a las temperaturas en °F, determine
la relación entre °F y °C.
Ejercicio 18, forma 2 / 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a)
b) c) d)
Paso 1: Fórmula de la pendiente

Paso 2:
Reemplazar datos y calcular

Respuesta: d)
3. Determinar la ecuación ordinaria y paramétrica una recta que pasa por los puntos A (2,3) y B (5,9).
Ordinaria
Paso 1: Identiﬁ car los datos y reemplazar en la
formula.
x
1
= 2,y
1
= 3 ; x
2
= 5,y
2
= 9
y
2
- y
1
x
2
- x
1

9 - 3
5 - 2
(x-x
1
)y-y
1
=
(x-2)y-3 =
Paso 2: Simpliﬁ car y obtener el resultado.
y-3 = 2(x-2)
y = 2x-1
Paramétrica
Paso 1: Identiﬁ car los datos y reemplazar en la
formula.
x
1
= 2,y
1
= 3 ; x
2
= 5,y
2
= 9
(x,y) = (x
1
,y
1
) + t(x
2
-x
1
, y
2
- y
1
)
(x,y) = (2,3) + t(5 - 2,9 - 3)
Paso 2: Simpliﬁ car y obtener el resultado
.
(x,y) = (2,3) + t(3,6)
x = 2 + 3t ; y = 3 + 6t

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4. Determinar distancia entre los puntos A (3,4) y B (6,8).
Paso 1: Identiﬁ car los datos y reemplazar en la
formula.
x
1
= 3,y
1
= 4 ; x
2
= 6,y
2
= 8
d = √(x
2
- x
1
)
2
+ (y
2
- y
1
)
2
Paso 2: Obtener el resultado.
d=√(6 - 3)
2
+ (8 - 4)
2
d=√(3)
2
+ (4)
2
d=5
5. Los nodos de una estructura metálica están sujetados por dos cables perpendiculares entre sí, si la
ecuación de uno de los cables es -2x+y-8=0. ¿Cuál es la ecuación del otro cable si se conoce que pasa
por el punto (1, 1)? Los nodos de una estructura metálica están sujetados por dos cables perpendiculares
entre sí, si la ecuación de uno de los cables es -2x+y-8=0. ¿Cuál es la ecuación del otro cable si se conoce
que pasa por el punto (1, 1)?
Paso 1. Despejar la variable “y”
y sacar la pendiente del cable.
-2x+y-8=0
y=2x+8
m
1
=2
Paso 2. Sacar de la segunda
pendiente de la recta.
m
1
.m
2
= -1
2.m
2
= -1
m
2
=
Paso 3. Reemplazar los datos
en la ecuación y obtener el
resultado.
y-y
1
= m(x - x
1
)
y-1 = (x - 1)
y =
1
2
-x +
3
2
1
2
-
-1
2
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. Una empresa fabrica un artículo que tiene un
costo variable de USD 3 por unidad. Si los costos
ﬁ jos son de USD 6000. ¿Cuántas unidades se deben
producir para que el costo de producción sea de
USD 21000?
a) 7000 b) 6000 c) 5500 d) 5000
Paso 1: Fórmula de la
función lineal o de la
pendiente.
Paso 2: Reemplazar da-
tos y calcular
2. Una persona compra un auto en el año 2006 por
un valor de USD 15 400, y lo vende en el año 2016,
por USD 7 000. Luego hace la representación sobre
un plano cartesiano, suponiendo una tendencia
continua donde las abscisas indican los años.
Determine la pendiente de la recta para conocer la
variación del precio en el intervalo de tiempo dado.
Ejercicio 18, forma 2 / 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.
evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-liberadas/
a) -840 b)
c) d) 840
Paso 1: Fórmula de la
función lineal o de la
pendiente.
Paso 2: Reemplazar da-
tos y calcular
3. En el diseño del puente del rio chiche el ingeniero
de obra le pide a su ayudante veriﬁ car la relación
posicional entre dos vigas, la primera viga tiene
sus coordenadas en los puntos (2, 4) y (-4,6) y la
segunda viga se encuentra en los puntos (1,3) y
(3,9). Luego del análisis el ayudante determinó que
las vigas son_______.
a) Perpendiculares
b) Paralelas
4. Para diseñar una carrocería de autobús sus
soportes deben ser perfectamente paralelos para
evitar un volcamiento, por tal razón se determinó
las ecuaciones 2y-3x+8=0 para la primera viga
y px+y-16=0 para la segunda. ¿Cuál debe ser el
valor de p con el ﬁ n de evitar un volcamiento?
a) -3 b) 2/3
c) -3/2 d) 3/2

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN LINEAL
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127
BLOQUE II
4. Tarea
1. La paga que le dan a Raquel sus padres es de
$5 al mes más $0,50 cada día que haga la cama.
¿Cuánto dinero recibe Raquel al ﬁ nal del mes si
hizo la cama 14 días?
a) 15 b) 13 c) 12 d) 17
Paso 1: Fórmula de la
función lineal o de la
pendiente.
Paso 2: Reemplazar da-
tos y calcular
2. En un programa de televisión se indica que la
temperatura en Miami es de 68 °F, lo que equivale
a 20 °C, mientras que en Nueva Y temperatura es
de 41 °F, es decir 5 °C. Si se representan estos valores
en un plano cartesiano donde las coordenadas
corresponden a las temperaturas en °F, determine
la relación entre °F y °C.
Ejercicio 18, forma 2 / 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
a)
b) c) d)
Paso 1: Fórmula de la
función lineal o de la
pendiente.
Paso 2: Reemplazar da-
tos y calcular
3. En una competencia de velocidad por relevo
que consta de tres secciones, el primer competidor
del equipo salió desde la posición (2,3) y llego
hasta la posición (5, 7), desde este punto parte
el segundo competidor, el cual llega hasta la
posición (11, 15), ﬁ nalmente el tercero sale de este
punto y llega a la meta que está localizada en
el punto (16, 27). ¿Cuál de los tres competidores
recorrió una mayor distancia?
a) El tercero
b) El segundo
c) El primero
4. Un elemento mecánico de seguridad que se
coloca en una rueda moscovita para garantizar
que la fuerza de giro no supere la fuerza de
soporte que la mantiene ﬁ ja en la base debe
ser perpendicular al bastidor, el cual tiene una
ecuación dada por 3y+4x-12=0, si se conoce que
el elemento de seguridad pasa por el punto (1,2).
¿Cuál es la ecuación de la recta que lo representa?
3 5
4 4
4 5
3 4
a) y = 3x-5
b) y = -4x+3
c) y = x+
d) y = - x+

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN CUADRÁTICA
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128
2.9 Función cuadrática
2.9.1 Problemas y gráﬁ ca función cuadrática
1. Teoría
La función cuadrática es una función de segundo grado (x² ) representado en el plano cartesiano como
una curva abierta y simétrica.
1.1 Fórmula:

1.2 Gráﬁ ca:
Básicamente la forma de la gráﬁ ca de la parábola depende sólo del signo de a

Donde: X M es el Xmínimo o Xmáximo
+∞-∞
creciete decreciete
+∞-∞
crecietedecreciete
Dominio donde la función decrece:

(-∞,X
M
]
Dominio donde la función crece:
[X
M
, ∞ )
Dominio donde la función decrece:
[X
M
,∞)
Dominio donde la función crece:
(-∞,X
M
]

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN CUADRÁTICA
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129
BLOQUE II
A continuación se muestran dos ejemplos en los cuáles se realiza un esbozo de la gráﬁ ca (es decir sin
calcular nada) sólo considerando el signo de a y señalando el valor de c en la gráﬁ ca.

Ejemplo:
Determine el dominio donde la función y = -x
2
+ 6x + 5 es creciente:
Forma de la función
+∞-∞
creciete decreciete
= 3
X
M
=
X
M
=
X
M
=
-
-
b

2a
6

2(-
1)
3
La función crece de (-∞,3]
1.3 Puntos de Corte
a) Punto de corte con el eje x (RAÍZ) Se calculan cuando y = 0
y = x
2
+ 8x + 15

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN CUADRÁTICA
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130
b) Punto de corte con el eje y Se cálcula cuando x = 0
y = c

Ejemplo:
Calcular los puntos de corte (con el eje x e y ) de la función y= x
2
– 2x-3
Raíces

Punto de corte con eje y (x = 0)Punto de corte con eje x (Raíces)
1.4 Cálculo del punto mínimo o máximo (vértice)
Se reemplaza X
M
en la función origi-
nal.
V(X
M
; Y
M
)
Ejemplo:

Calcular el punto mínimo de y = 3x
2
– 18x + 4
Para el Y mínimose reemplaza X
M
= 3 en la función:
y = 3x
2
– 18x + 4
y
M
= 3(3)
2
– 18(3) + 4
y
M
= 27– 54 + 4
y
M
= -23

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN CUADRÁTICA
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131
BLOQUE II
2. Ejercicios Resueltos
Gráﬁ ca de Funciones Cuadráticas
Calcular los puntos de corte, las raíces y las coordenadas del vértice (máximo o mínimo) de las siguientes
funciones cuadráticas y trazar su gráﬁ ca en las cuadrículas dadas.
1. f (x) = x
2
- 6x + 8

Paso 1: Determinar la forma de la curva
sólo con el signo de a, en este caso
a > 0 (positivo).
Paso 2: Determinar los puntos de corte
Punto de corte en x
(RAÍZ)
y = 0
0 = x
2
- 6x + 8
0 = ( x - 4 ) ( x - 2 )
x = 4 v x = 2
Punto de corte en y
X = 0
y = c
y = 8
Paso 3: Determinar el punto mínimo (X
M ;
Y
M
)
X
M
X
M
= 3
y
M
= (3)
2
- 6(3) + 8
y
M
= 9 - 18 + 8
y
M
= -1
Paso 4: Marcar los puntos de corte, el X
M
yY
M
en el
plano cartesiano y trazar la gráﬁ ca.
V (Punto mínimo)
2. f (x) = -x
2
- 6x + 7
Paso 1: Determinar la forma de la curva
sólo con el signo de a, en este caso
a < 0 (negativo).
Paso 2: Determinar los puntos de corte
Punto de corte en x
(RAÍZ)
y = 0
0 = -x
2
- 6 x + 7
0 = x
2
+ 6 x - 7
0 = ( x + 7 ) ( x - 1 )
x = -7 v x = 1
Punto de corte en y
X = 0
y = c
y = 7
Paso 3: Determinar el punto máximo (X
M ;
y
M
)
X
M
X
M
= -3
y
M
= -(-3)
2
- 6(-3) + 7
y
M
= -9 + 18 + 7
y
M
= 16
Paso 4: Marcar los puntos de corte, el X
M
yY
M
en el
plano cartesiano y trazar la gráﬁ ca

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN CUADRÁTICA
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132
3. Ejercicios en clase. PARTE I
Gráﬁ ca de Funciones Cuadráticas
* Calcular los puntos de corte, las raíces y las coordenadas del vértice (máximo o mínimo) de las
siguientes funciones cuadráticas y trazar su gráﬁ ca en las cuadrículas dadas.
1. f(x) = x²-6x+5
2. f(x) = -x²-4x+5
3. f(x) = x²-3x-4
4. f(x) = -x²+x+6
4. Tarea.
1. f(x) = x²+7x+12 2. f(x) = x²-2x-3

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN CUADRÁTICA
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133
BLOQUE II
2.9.2 Problemas de aplicación de máximos y mínimos de una función cuadrática
2. Ejercicios Resueltos
1. Un par de zapatos tiene un costo promedio por unidad de C(x) = x2- 4x + 5. Si x es la cantidad de
calzado producido, determine el número de pares de zapatos que deben fabricarse para reducir el
costo al mínimo.
Ejercicio 29, forma 001/ 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) 1 b) 2 c) 4 d) 5
Paso 1: Fórmula

a = 1 > 0

Existe un punto mínimo.
Paso 2: Reemplazar b,a y calcular X
M
C(x)
X
M =
X
M = 2
Respuesta: 2) 2
3. f(x) = x²-x-2
4. f(x) = -x²-6x-8
5. f(x) = 6+x-x²
6. f(x) = x²-9

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN CUADRÁTICA
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134
3. Ejercicios en clase. PARTE I
1. Una cocina solar de forma parabólica se fabrica
siguiendo la ecuación: y = x
2
- 10x + 24 y está
montada sobre un mesón cuyo borde coincide
con el eje de las abscisas. Si todas las medidas
están dadas en metros, determine la profundidad
que deberá tener el mesón para que la cocina
quepa perfectamente.
Ejercicio 20, forma 001/ 2018 Costa. Recuperado el 6 de julio
del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/
pruebas-liberadas/
a) 1 b) 5 c) 6 d) 10
2. La efectividad de un comercial de televisión
depende de cuántas veces lo vea un televidente.
Después de algunos experimentos una agencia
de publicidad encuentra que si la efectividad E se
mide en una escala de 0 a 10, entonces:
E
(n)=nn
2
-
2
3
1
90
Donde n es el número de veces que un televidente
ve un determinado comercial. Para que un
comercial tenga efectividad máxima ,¿Cuántas
veces lo debe ver un televidente?
a) 15 b) 20 c) 25 d)30
3. La entrada a un túnel tiene forma parabólica
que responde a la ecuación .
¿Cuál es la altura máxima del túnel?
a) 5/2 m b) 7/2 m c) 9/2 m d) 5 m
2) La altura que alcanza un volador en función del tiempo está representada por la expresión:
h = -5t 2 + 40t
Si la altura se mide en metros, el tiempo en segundos, no se considera la resistencia del aire y se toma el
eje de las abscisas como referencia del suelo, la altura máxima alcanzada es ___ metros y el tiempo que
se demora en alcanzar la misma es ___ segundos.
Ejercicio 30, forma 001/ 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/

a) 4, 80 b) 4, 140 c) 80, 4 d) 140, 4
Paso 1: Fórmula

a = -5 < 0

Existe un punto máximo.
Paso 2: Reemplazar b,a y
calcular. X
M , y
M

X
M =
X
M = 4
Para calcular y
M se reemplaza
X
M = 4 en la función:
h
M = -5(4)
2 + 40 (4)
h
M = -80 + 160
h
M = 80
h
M ; t
(80 , 4)
Respuesta: c) 80,4

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN CUADRÁTICA
PREUNIVERSITARIO CRECER preuniversitariocrecer
135
BLOQUE II
4. En la segunda guerra mundial se estudiaba el
movimiento de las balas de cañón para determinar
su trayectoria, la cual es y=-x^2-5x+14, el dominio
que sigue la bala de cañón está determinado
cuando la bala parte del suelo y llega al suelo, es
decir cuando su componente en y es cero. ¿Cuál
es el intervalo del dominio seguido por la bala de
cañón?
a) (0, 4] b) [-7,2] c) [-2,7]
5. La altura que alcanza una pelota es descrita en
función del tiempo mediante H(t)=6t-t²-4, donde H
es la altura en metros y t es el tiempo en segundos.
¿A qué tiempo alcanzará su altura máxima?
a) 5 s b) 11 s c) 22 s d) 3 s
4. Tarea
1. En una isla se introdujeron 112 iguanas. Al principio
se reprodujeron rápidamente, pero los recursos
de la isla comenzaron a escasear y la población
decreció. El número de iguanas en función del
tiempo es: I(t)=-t²+22t+112, donde t es el tiempo en
años. ¿Cuántos años transcurren hasta alcanzar la
población máxima de iguanas?

a) 5 b) 11 c) 22 d) 30
2. Con base al ejercicio anterior, ¿Cuál fue la
población máxima de iguanas?
a) 100 b) 112 c) 233 d) 300
3. Los ingresos mensuales de un fabricante de
zapatos están dados por la función f(z)=1000z-2z²
donde z es el número de pares de zapatos que
se fabrican. ¿Qué cantidad de zapatos deben
fabricarse para maximizar el ingreso?
a) 250 pares b) 300 pares
c) 500 pares d) 1000 pares
4. Si se considera la función de ingresos mensuales
por la venta de zapatos del ejercicio anterior,
¿Cuál será el ingreso máximo a percibir?

a) 100000 b) 125000 c) 250000 d) 300000

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN CUADRÁTICA
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136
5. Al interior de una olla de presión la temperatura
y la presión del vapor se relacionan mediante la
expresión P(T)=400T-T²-39990, donde P es la presión
en atm y T es la temperatura en °C. ¿Cuál es la
máxima temperatura del vapor dentro de la olla?
a) 150 °C b) 180 °C c) 200 °C d) 210 °C
8. Un estudiante de física está realizando una
investigación sobre montañas rusas, la investigación
consiste en determinar el dominio en el cual
los vagones de la montaña rusa se encuentran
subiendo, es decir los valores donde la función es
creciente, la forma de la montaña está deﬁ nida
por y=-x^2-6x+16. Si el piso donde se hacienda la
montaña rusa coincide con el eje de abscisas.
¿Cuál será el domio resultado del estudio?
a) [-8, 2] b) [-8, -3] c) [-3, 2]
7. Considerando el planteamiento y conociendo
que el suelo coincide con el eje de las abscisas.
Determinar el rango que deﬁ ne el movimiento
vertical de la bala de cañón.
a) [0, 5/2] b) [-5/2, 0]
c) [0, 41/4] d) [0, 7/8]
6. La viscosidad de un jugo varía con la función
f(T)=200-20T-T², donde T es la temperatura en °C y
f es la viscosidad en cp. ¿A qué temperatura se
alcanza la viscosidad máxima del jugo?
a) 10 °C b) -10 °C c) -15 °C d) 20 °C

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS
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137
BLOQUE II
2.10 Función exponencial y logarítmicas
2.10.1 Función exponencial
1. Teoría
Una función exponencial es aquella que la variable independiente x aparece en el exponente y tiene de
base una constante a, su expresión es:
f(x)=a
x
Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1. Cuando 0 < a < 1, entonces la función exponencial
es una función decreciente y cuando a > 1, es una función creciente.
Sea la f(x)=a
x
, entonces,
Si a>1 Si 0<a<1
a) La función es creciente
b) Dominio: (-∞,∞)
c) Rango de la función: (0,∞)

a) Rango de la función: (0,∞)
b) Dominio: (-∞,∞)
c) Rango de la función: (0,∞)
Ejemplos:
f(x)=3
x
f(x)= ( )
1
3
x

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS
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138
Propiedaes de exponentes
Para esto se debe utilizar las propiedades de potenciación:
Propiedad Ejemplo
1. a
x
a
m
= a
x+m
5
2
.5
5
= 5
2+5
= 5
7
2. =a
x-m
= 6
5-2
= 6
3
3.
Propiedad Ejemplo
4. (a
x
)
n
= a
x.n
(6
2
)
3
= 6
6
5. a
o
= 1 5
o
= 1
6.
En preguntas de opción múltiple también es
recomendable UTILIZAR RESPUESTAS para hallar la solución.
Ecuaciones exponenciales
1. Teoría
Son aquellos en las cuales la incógnita (x) se encuentra en el exponente.
Ejemplo:

3 = 27
x + 1x

¿Cómo resolverlas?
Para resolver este tipo de ecuaciones se debe lograr que las bases a ambos lados de la ecuación sean
iguales para así poder igualar los exponentes y despejar el valor de x.
a
x
= a
y

x = y
2. Ejercicios Resueltos
1. Resolver la siguiente ecuación exponencial.
5
3x
= 25
x
(5
4 - x
)
Paso 1: Expresar todos los núme-
ros en la misma base.
5
3x
= (5
2
)
x
(5
4 - x
)
Paso 2: Aplicar las propiedades
de los exponentes
5
3x
= 5
2x
. 5
4-x
5
3x
= 5
2x+4-x
Propiedad utilizada
(a
x
)
n
= a
x.n
a
x
. a
n
= a
x+n
Paso 3: Igualar los exponentes.
3x = 2x + 4 - x
3x - 2x + x = 4
2x = 4
x=
x = 2
2. Resolver la siguiente ecuación exponencial.
2
3x+1
+2
x-1

= 17
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

Se resuelve rápidamente
UTILIZANDO RESPUESTAS.
Reemplazando x = 0
Reemplazando x = 1
Solución x = 1
2
1
+2
-1

17

2
4
+2
0
= 16 + 1 = 17

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS
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139
BLOQUE II
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. Resolver la siguiente ecuación exponencial:(2
X+1
)
2
= 64
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6
2. Resolver la siguiente ecuación exponencial:3 = 3
2X+4
. 9
a) 0 b) -4 c) 4 d) -2
3. Resolver la siguiente ecuación exponencial: (3
X
)(3
X+1
)=
1
3
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1
4. Resolver la siguiente ecuación exponencial: 3
2X-2
+ 3
X-1
= 12
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
Se resuelve rápidamente
UTILIZANDO RESPUESTAS.
5. El aumento en el número de artículos que se venden en una tienda en los primeros días del mes de
diciembre se representa mediante la expresión: 2
x
= 32
Si x representa los días, determine el día en el que el incremento en ventas es igual a 32 artículos.
Ejercicio 32, forma 2/ 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7
Paso 1: Expresar todos los núme-
ros en la misma base.
Paso 2: Aplicar las propiedades
de los exponentes
Propiedad utilizada
Paso 3: Igualar los exponentes.

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS
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140
4. Tarea
1. Resolver la siguiente ecuación exponencial:√7
X
=
1
49
a) -4 b) -3 c) 0 d) 3
Paso 1: Expresar todos los núme-
ros en la misma base.
Paso 2: Aplicar las propiedades
de los exponentes
Propiedad utilizada
Paso 3: Igualar los exponentes.
2. Resolver la siguiente ecuación exponencial: 2
X+1
+ 2
X-1
=20
a) -1 b) 1 c) 2 d) 3
Se resuelve rápidamente
UTILIZANDO RESPUESTAS.
3. Resolver la siguiente ecuación exponencial:3
4X-2
= 9
-(X+1)
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1
Paso 1: Expresar todos los núme-
ros en la misma base.
Paso 2: Aplicar las propiedades
de los exponentes
Propiedad utilizada
Paso 3: Igualar los exponentes.
4. El aumento en el número de artículos que se venden en una tienda en los primeros días del mes de
diciembre se representa mediante la expresión:
3
x
= 243
Si x representa los días, determine el día en el que el incremento en ventas es igual a 243 artículos.
Ejercicio 9, forma F001/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
Paso 1: Expresar todos los núme-
ros en la misma base.
Paso 2: Aplicar las propiedades
de los exponentes
Propiedad utilizada
Paso 3: Igualar los exponentes.
Se resuelve rápidamente UTILIZANDO RESPUESTAS.

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS
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141
BLOQUE II
Problemas de Aplicación ecuación exponencial
1. Teoría
Son problemas de la vida real expresados mediante un modelo matemático de ecuación exponencial.
2. Ejercicios Resueltos
1) Una población de bacteria se reproduce siguiendo la ley exponencial
N = N0
.
2

Donde N es la población al tiempo + (en horas)y No es la población inicial. ¿Cuánto tiempo debe
transcurrir para que en una población inicial de 100 bacterias se transforme en 3200?
Paso 1: Reemplazar los datos de
la ecuación.
N
0
= 100
N= 3200
3200 = 100.2
32 = 2
Paso 2: Expresar los números
en función de la misma base
y aplicar propiedades de
exponentes.
2
5
= 2

Paso 3: Igualar los exponentes.
5 =
60 = 4t - 3
4t - 3 = 60
t =
2) Una especie de virus africano se reproduce en las células hospedadoras de acuerdo al siguiente
patrón de crecimiento.
N = 2000 . 5
2t-5
Donde t se encuentra en meses. Si la población encontrada en una muestra es de 250000 copias de virus,
¿Qué tiempo tuvo el virus para infectar esa muestra?
Paso 1: Reemplazar los datos de
la ecuación.
N
0
=250000
250000 = 2000.5
2t-5
125 = 5
2t-5
Paso 2: Expresar los números
en función de la misma base
y aplicar propiedades de
exponentes.
5
3
= 5
2t-5

Paso 3: Igualar los exponentes.
3= 2t-5
2t -5 = 3
2t = 8
t =
t = 4
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. La desintegración radiactiva de una muestra de estroncio sigue la ley exponencial:
C
= C
0.
4
Donde C y C0son, respectivamente, las masas ﬁ nal e inicial de este metal y t es el tiempo transcurrido en años.
Si una muestra de este metal tiene 64 gramos, ¿Cuánto le tomará a dicha muestra reducirse en a la mitad?
a) 25/2 años b) 13/2 años c) 15 años d) 20 años
Paso 1: Reemplazar los datos de
la ecuación.
Paso 2: Expresar los números en
función de la misma base y apli-
car propiedades de exponentes.
Paso 3: Igualar los exponentes.

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS
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142
2. En un laboratorio se lleva un registro del número de bacterias, en millones, que crecen en función del
tiempo para dos muestras diferentes. Si la primera muestra se encuentra expresada por 25
3t
y la segunda
mediante 5
5t
(125
2 - 4t
), donde t representa el tiempo en minutos, determine el tiempo en el que las
muestras son iguales.
Ejercicio 33, forma 5/ 2017 Sierra. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a)
b) c) d)
3. El contenido en gramos de un medicamento en el organismo humano, después de t horas de ingerido,
se modela de acuerdo a la ecuación:
¿Después de cuantas horas de ingerido el medicamento quedan 20 gramos en el organismo?
a) 3/4 hora b) 4/3 hora c) 5/4 hora d) 3/2 hora
4. Los cientíﬁ cos utilizan el carbono 14 para calcular la edad de los fósiles y cualquier objeto de origen
orgánico. Este isótopo se desintegra con el tiempo siguiendo la ley exponencial:
A = A
0
. 2
Donde A es el remanente de C
14
, A
0 es la cantidad de C
14
cuando se formó el fósil y t el tiempo transcurrido
entre estos dos períodos, medido en años. Si la cantidad de isótopo decae a la octava parte en un fósil
cualquiera, ¿Cuál es el tiempo en años que ha de transcurrir?
a) 11200 b) 16800 c) 22400 d) 230000
4. Tarea
1. Un joven muy valiente arriesga su vida por salvar a un niño. La radio informa sobre el hecho, de tal forma
que el porcentaje de la población que conoce del hecho se ajusta a la siguiente ecuación exponencial

Donde t se mide en horas. ¿Qué tiempo debe transcurrir para que el 90% de la población sepa la noticia?
a) 2 horas b) 4 horas c) 6 horas d) 8 horas
2. La viscosidad de un aceite varía en función de la temperatura siguiendo la ley exponencial:
μ = 5
3-T
Donde es la viscosidad en [U] y T es la temperatura en °C. Si se desea que la viscosidad de este aceite
sea de 0,008 U, la temperatura debería ser:
a) 3 °C b) 6 °C c) 10 °C d) 12 °C

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS
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143
BLOQUE II
3. La temperatura de calentamiento de un material viene dada por la ecuación siguiente:
T(t) = 3 + 2
0,4t
Para la cual T es la temperatura en °C y t es el tiempo en minutos. ¿Cuánto tiempo le tomará al material
calentarse hasta los 35°C?
a) 25/4 min b) 25/2 min c) 25/3 min d) 20 min
4. En un laboratorio se lleva un registro del número de bacterias, en millones, que crecen en función del
tiempo para dos muestras diferentes. Si la primera muestra se encuentra expresada por
2
4t
y la segunda
mediante 4
t
(16
1-3t
), donde t representa el tiempo en minutos. Determine el tiempo en el que las muestras
son iguales.
Ejercicio 8, forma 001/ 2017 Costa. Recuperado el 6 de julio del 2018 en http://www.evaluacion.gob.ec/evaluaciones/pruebas-
liberadas/
a) 1/6 b) 2/9 c) 2/7 d) 5/2
2.10.2 Función logarítmica
1. Teoría
Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:
f(x)=log
a
(x)
Expresión general de una función logarítmica. Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.
Cuando 0 < a < 1, entonces la función logarítmica es una función decreciente y cuando a > 1, entonces
es una función creciente.
Sea la f(x)= log
a
x, entonces,

Si a>1 Si 0<a<1
a) La función es creciente
b) Dominio: (0,∞)
c) Rango de la función: (-∞,∞)

a) La función es decreciente
b) Dominio: (0,∞)
c) Rango de la función: (-∞,∞)

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144
Logaritmos
Deﬁ nición de Logaritmos
1. Teoría
El logaritmo de un número es el exponente al cual es necesario elevar una cantidad positiva llamada
base (a), para que resulte un número determinado (b).

a : Base
b : número
c : exponente
log
a
b = c
Se lee:
Logaritmo en base “a” de “b” es igual a “c”.
Ejemplos:
lo
g
2 8 = 3 Logaritmo en base 2 de 8 es igual a 3.
lo
g
5 x = -1 Logaritmo en base 5 de x es igual a -1.
La base elevada al exponente es igual al
número.
Ejemplos:
lo
g
3 x = 2 3
2
= x
lo
g
5 25 = x 5
x
= 25
2. Ejercicios Resueltos
Pasos:
1. Identiﬁ car la base, el exponente y el número.
2. Aplicar la deﬁ nición “ la base elevada al exponente es igual al número”.
1. Determinar el valor de x, si lo
g
5 x = 2
Paso 1: Identiﬁ car
Paso 2: Aplicamos la deﬁ nición.
La base elevada al exponente es igual al número.
5
2
= x
x = 25
2. Determinar el valor de x, si log
2 x = -3
Paso 1: Identiﬁ car
Paso 2: Aplicamos la deﬁ nición.
La base elevada al exponente es igual al número.
2
-3
= x
x =

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS
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145
BLOQUE II
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. Completar el cuadro
Expresión Se lee
log
5
25 = 2
lo
g
8
x = 3
lo
g
2
5 = x
lo
g
a
8 = -3
Logaritmo en base _____ de _____es igual a _____
Logaritmo en base _____ de _____es igual a _____
Logaritmo en base _____ de _____es igual a _____
Logaritmo en base _____ de _____es igual a _____
2. Determinar el valor de x, si lo
g
2 x = 6
a) 32 b) 12 c) 16 d) 64
Paso 1: Identiﬁ car. Paso 2: Aplicar
deﬁ nición.
3. Determinar el valor de x, si lo
g
x 36 = 2

a) 7 b) 18 c) 6 d) 9
Paso 1: Identiﬁ car. Paso 2: Aplicar
deﬁ nición.
4. Determinar el valor de x, si lo
g
9 81 = x

a) 2 b) 80 c) 3 d) 4
Paso 1: Identiﬁ car. Paso 2: Aplicar
deﬁ nición.
5. Determinar el valor de x, si lo
g
3 27 = x
a) 4 b) 3 c) 5 d) 6
Paso 1: Identiﬁ car. Paso 2: Aplicar
deﬁ nición.
4. Tarea
1. Determinar el valor de x, si log
2 x = 8
a) 128 b) 256 c) 32 d) 512
Paso 1: Identiﬁ car. Paso 2: Aplicar
deﬁ nición.
2. Determinar el valor de x, si lo
g
x 216 = 3
a) 8 b) 6 c) 7 d) 9
Paso 1: Identiﬁ car. Paso 2: Aplicar
deﬁ nición.
3. Determinar el valor de x, si lo
g
9 729 = x
a) 8 b) 4 c) 3 d) 6
Paso 1: Identiﬁ car. Paso 2: Aplicar
deﬁ nición.
4. Determinar el valor de x, si
lo
g
(x2
+2x+1)
(x
2
+4x+2) = 1
a)
b) c) 2 d) 4
Paso 1: Identiﬁ car. Paso 2: Aplicar
deﬁ nición.

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS
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146
Problemas de logaritmos
1. Teoría:
Propiedades Ejemplo I Ejemplo II
1) lo
g
a a = 1 lo g
2 2 = 1
2) lo
g
a (a
x
) = x lo g
3 (3
-5
) = -5
3) lo
g
a 1 = 0 lo g
25 1 = 0
4) lo
g
a(b
x
) = x log
a b lo g
3(5
x
) = x log
3 5
5) lo
g
a(x.y) = log
a x + log
a y lo g
5(3x) = log
5 3 + log
5 x
6) lo
g
a
= log
a x - log
a y lo g
6
= log
6 7 - log
6 x
Cambio de base
7) lo
g
a x =
El logaritmo se cambia de base "a "
a base "b ".
lo
g
5 7 =
El logaritmo se cambia de
base "5 " a base "2 ".
Para la resolución de ejercicios se recomienda repasar y memorizar la siguiente tabla de potencias.
Tabla de Potencias
Base 2 Base 3 Base 4 Base 5 Base 6 Base 7 Base 9
2
0
= 1 2
7
= 128 3
0
= 1 4
0
= 1 5
0
= 1 6
0
= 1 7
0
= 1 9
0
= 1
2
1
= 2 2
8
= 256 3
1
= 3 4
1
= 4 5
1
= 5 6
1
= 6 7
1
= 7 9
1
= 9
2
2
= 4 2
9
= 512 3
2
= 9 4
2
= 16 5
2
= 25 6
2
= 367
2
= 49 9
2
= 81
2
3
= 8 2
10
= 10243
3
= 27 4
3
= 64 5
3
= 1256
3
= 2167
3
= 3439
3
= 729
2
4
= 162
11
= 20483
4
= 81 4
4
= 256 5
4
= 625
2
5
= 322
12
= 40963
5
= 243
2
6
= 642
13
= 81923
6
= 729
2. Ejercicios Resueltos
1. Aplicar las propiedades del logaritmo.
Ejercicio Propiedad Solución
a) lo
g
3 9 lo g
a (a
x
) = x lo g
3 9 = log
3 3
2
= 2
b) lo
g
2 (125) lo g
a(b
x
) = x log
a b lo g
2125 = log
2 5
3
= 3log
2
5
Cambiar a base 2
c) lo
g
3 5
lo
g
a x =
log
3 5 =

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS
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147
BLOQUE II
2. Calcular log
27 81
Paso 1: Identiﬁ car la base involucrada.
Hay que asociar los números con una base (revisar
tabla de potencias), en este caso el 27 y el 81.
La Base involucrada es 3
Base = 3
27 = 3
3
81 = 3
4
Paso 2: Aplicar propiedades.
Aplicamos la propiedad de cambio de base. De
base 27 cambiar a base 3.
lo
g
27 81 =
=
log
2781 =
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. Calcular: log
8
128
a) 8/3 b) 7/3 c) 3 d)4/3
Paso 1:
8 =
2
128 = 2
Base =
Paso 2: Cambia a base
log
8
128 =
2. Calcular: log
512
2
a) b) c) 1 d) 9

Paso 1:
Base =
Paso 2: Cambia a base
log
512
2 =
3. Calcular: log
8
1024
a) b) 3 c) d)10
Paso 1:
Base =
Paso 2: Cambia a base
log
8
1024 =
4. Calcular: log
343
49
a) b) c) 3 d)
Paso 1:
343 = 7
49 = 7
Base =
Paso 2: Cambia a base
log
343
49 =
5. Calcular: log
729
81
a) b) c) 4 d)
Paso 1:
Base =
Paso 2: Cambia a base
log
729
81=
6.Calcular: log
100
1000
a) 2/3 b) 3/2 c) 4/3 d) 5/2
Paso 1:
Base =
Paso 2: Cambia a base
log
100
1000 =

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICAS
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148
4. Tarea
1. Calcular: log16
a) 8 b) -8 c) d)
Paso 1:
Base =
Paso 2: Cambia a base
log16 =
2. Calcular: log
16
256
a) 2 b) 8 c) -8 d)

Paso 1:
Base =
Paso 2: Cambia a base
log
16
256 =
3. Calcular: log
81
a) b) c) 4 d)3
Paso 1:
Base =
Paso 2: Cambia a base
log
81
=
4. Calcular: log
a) b) c) d)
Paso 1:
Base =
Paso 2: Cambia a base
log =

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓNES TRIGONOMÉTRICAS
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149
BLOQUE II
2.11 Funciónes trigonométricas
Sea la f(x)=sen(x) , entonces,
Dominio: (-∞, ∞)
Recorrido: [-1,1]
Periodo: 2π
Monotonía:
π
2[
[
0, U
3π
2
[
[
,2π Creciente

π
2
[
[
,π
U
3π
2
[
[
π,
Decreciente
Ejemplo:
Una armadura está formada en su mayoría por triángulos que le ofrecen un mayor soporte, se ha
colocado una carpeta asfáltica sobre la armadura cuya altura está deﬁ nida por la función f(x)=5.
sen(x)+18, determine la altura máxima a la cual se puede ubicar la carpeta asfáltica.
Recorrido del seno
-1 ≤ senx ≤ 1
Para calcular la altura tomamos la parte positiva y construimos la función
0 ≤ senx ≤ 1
0 ≤ 5.senx ≤ 5
18 ≤ 5.senx +18 ≤ 23
La altura máxima a la cual se puede ubicar la carpeta asfáltica es de 23
Sea la f(x)=cos(x) , entonces,

Dominio: (-∞, ∞)
Recorrido: [-1,1]
Periodo: 2π
Monotonía:
3π
2
[
[
π, U
3π
2
[
[
,2π Creciente

π
2
[
[
π, U
π
2
[
[
,π
Decreciente

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓNES TRIGONOMÉTRICAS
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150
Ejemplo:
En el análisis de las vibraciones generadas cuando los vehículos pasan sobre un puente, se obtuvieron
miles de datos los cuales al ingresar al software informático, mostraron la siguiente tendencia.
El ingeniero encargado de interpretar el gráﬁ co llega a la siguiente conclusión; que solamente se debe
realizar un estudio en el domio en el cual los valores de la amplitud sean diferentes. ¿Cuál es ese dominio?
El dominio donde la amplitud es diferente es en el intervalo de [0,π]
1. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. La altura de una planta endémica de la ama-
zonia en condiciones normales está dada por
h(t)= cos(t)+
5
2
5
2
, con base a la función. Determine
la altura máxima que una planta endémica pue-
de alcanzar, considerando que la base de la plan-
ta coincide con el eje de las abscisas.
a) 5
b) 10
c) 5/2
2. La utilidad de una empresa de metalurgia
se la puede estimar mediante la función
U(p) =
sen
2
(p)+3sen(p)-10
sen(p)-2
, donde U es la utilidad y
p el número de elementos mecánicos producidos.
¿Cuál es la utilidad máxima obtenida por la
empresa de metalurgia?
a) 6
b) 12
c) 7
d) -2
3. El controlador de la presión de una caldera tiene
un sensor, el cual se activa con el valor más alto
de presión admisible para evitar una explosión.
Considerando que sensor sigue la función
P(T)=(sen(T)-4)
2
+3, determine el valor máximo de
presión con la cual el sensor enviará una señal de
aviso de peligro de explosión.
a) 6
b) 12
c) 10
4. Se conoce que el recorrido de la función
f(x)=sen(x) se encuentra entre los valores [-1, 1].
¿Cuál será el intervalo del recorrido de la función
f(x)=sen(3x)?
a) [-3, 3]
b) [0, 3]
c) [-1, 1]
5. Se conoce que el recorrido de la función
f(x)=sen(x) se encuentra entre los valores [-1, 1].
¿Cuál será el intervalo del recorrido de la función
f(x)=4sen(x)?
a) [-1, 1]
b) [0, 4]
c) [-4, 4]

DOMINIO MATEMÁTICO FUNCIÓNES TRIGONOMÉTRICAS
PREUNIVERSITARIO CRECER preuniversitariocrecer
151
BLOQUE II
6. El ganador de un concurso de ingenio tiene que diseñar un juego mecánico novedoso para el parque
de diversiones, el juego está conformado por un cable y por un motor el cual se enciende cuando el
cesto asciende y se apaga cuando desciende, la trayectoria del cesto es como se indica en la siguiente
ﬁ gura.
Para el intervalo de [0, 3π], determinar el dominio en el cual el motor deberá encenderse.
a)
π
2
[
[
,πU
3π
2[
[
π, U
5π
2
[
[
,3π b)
π
2[
[
0, U
3π
2
[
[
,2πU
5π
2[
[
2π, c)
π
2[
[
0,U
3π
2[
[
π, U
5π
2[
[
2π,
6. El delfín en su ritual de apareamiento realiza una danza la cual consiste en dar saltos en el aire y luego
sumergirse en el agua, la trayectoria de la danza es la que muestra en la siguiente ﬁ gura.
2. Tarea
1. La inteligencia artiﬁ cial predice que la temperatura
del planeta para el año 2030 incrementara de
acuerdo a la función T(x)=28sen(x)+3, de acuerdo
a la función. ¿Cuál será la máxima temperatura
estimada para el año 2030?
a) 31
b) 28
c) 27
d) 26
2. Se conoce que el recorrido de la función
f(x)=cos(x) se encuentra entre los valores [-1, 1].
¿Cuál será el intervalo del recorrido de la función
f(x)=2cos(x)?
a) [-1, 1]
b) [0, 2]
c) [-2, 2]
3. Se conoce que el recorrido de la función
f(x)=cos(x) se encuentra entre los valores [-1, 1].
¿Cuál será el intervalo del recorrido de la función
f(x)=2cos(x)+4?
a) [-1, 1]
b) [2, 6]
c) [-2, 2]
4. Para el intervalo de [0, 3π], determinar el recorrido
vertical en el cual el delfín permanece sumergido.
a) [0,π]U[2π,3π]
b) [π,2π]
c) [0,1]
d) [-1,0]
5. Para el planteamiento anterior, determinar el
dominio en el cual el delfín permanece sumergido.
a) [0,π]U[2π,3π]
b) [π,2π]
c) [0,1]
c) [-1,0]

DOMINIO MATEMÁTICO CÓNICAS
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152
2.12 Cónicas
2.12.1 Circunferencia
1. Teoría
Deﬁ nición
Una circunferencia es el lugar geométrico que representa una línea curva cerrada, cuyos puntos
equidistan de un punto ﬁ jo llamado centro.
Elementos de la Circunferencia
Centro (C): Punto ﬁ jo donde equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio ( r ) : Es un segmento que une al centro con algún punto de la circunferencia.
Diámetro (d): Es un segmento que une dos puntos extremos y pasa por el centro de la circunferencia, es
d=2r.
Ecuación de la Circunferencia.
.Forma canónica
La ecuación de la circunferencia con centro en el
origen C(0,0) y radio r está dada por:
x
2
+y
2
=r
2
Ejemplo: x
2
+y
2
=4
.Forma ordinaria
Dado el centro C(h,k) y el radio r, la fórmula es:
(x-h)
2
+(y-k)
2
=r
2
Ejemplo: (x-1)
2
+(y-1)
2
=1

DOMINIO MATEMÁTICO CÓNICAS
PREUNIVERSITARIO CRECER preuniversitariocrecer
153
BLOQUE II
.Forma general
Ax
2
+Cy
2
+Dx+Ey+F=0 donde A=C
Para encontrar el centro:
C(h,k)=
coeﬁ ciente de x
2
coeﬁ ciente de
2
(- ), -
Y el radio es:
r = √(h
2
+k
2
-F)
Otra forma de encontrar el radio es completando el trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo: Encontrar el centro y el radio de la siguiente circunferencia:
x
2
+ y
2
- 4x + 2y - 1 = 0
. Aplicando fórmulas:
c(h,k)=c
(-4)
2
2
2
( ) , --
= c(2, -1)
r=√2
2
+(-1)
2
-(-1)
r=√6
.Completando el trinomio cuadrado perfecto es:
x
2
+y
2
-4x+2y-1=0
Asociar todas las x y todas las y:
(x
2
-4x+__) + (y
2
+2y+__) = 1
El término del medio se divide para dos y elevado al cuadrado:
( () )
x
2
-4x + + y
2
+ 2y + = 1()
2
4
2
()
2
2
2
Entonces:
(x
2
- 4x + 2
2
)+(y
2
+ 2y + 1
2
) =1 + 2 + 1
(x
2
- 4x + 2
2
) + (y
2
+ 2y + 1
2
) = 6
Al factorizar:
(x-2)
2
+(y+1)
2
=(√6)
2
De aquí se identiﬁ ca:
C=(2,-1) y r=√6

DOMINIO MATEMÁTICO CÓNICAS
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154
Punto dentro o fuera de una circunferencia
Forma canónica: las coordenadas de un punto P(x_p,y_p ), es reemplazado como se muestra a
continuación.
x
P
2
+ y
P
2
= r
2
Se debe tener en cuenta las siguientes condiciones
x
P
2
+ y
P
2
< r
2
“dentro”
x
P
2
+ y
P
2
= r
2
“sobre”
x
P
2
+ y
P
2
> r
2
“fuera”
Forma general: las coordenadas de un punto P(x
p
,y
p
), es reemplazado como se muestra a continuación.
Ax
p
2
+ Cy
p
2
+ Dx
p
+ Ey
p
+ F = 0
Se debe tener en cuenta las siguientes condiciones:
Ax
p
2
+ Cy
p
2
+ Dx
p
+ Ey
p
+ F < 0 “dentro”
Ax
p
2
+ Cy
p
2
+ Dx
p
+ Ey
p
+ F = 0 “sobre”
Ax
p
2
+ Cy
p
2
+ Dx
p
+ Ey
p
+ F > 0 “fuera”
2. Ejercicios resueltos
1. La ecuación que representa una circunferencia es:
a) y
2
=3x b)9x+2y-1=0 c) x
2
+y
2
=7 d) 5x
2
+y
2
=4
Solución:
Para determinar cual representa la ecuación de la circunferencia, se veriﬁ ca los coeﬁ cientes de los
términos cuadráticos que sean iguales, en número como en signo, por lo cual, la respuesta correcta es
c (x
2
+ y
2
=7).
2. La ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio igual a 2 es:
Paso 1: La ecuación de la circunferencia en el
origen se representa mediante la forma canónica
x
2
+ y
2
= r
2
Paso 2: Sustituir r=2
x
2
+ y
2
= 2
2
x
2
+ y
2
= 4
3. Se tiene la ecuación de la circunferencia: x
2
+ y
2
+ 8x - 10y + 34=0, su centro es:
Paso 1: De la ecuación se identiﬁ ca los coeﬁ cientes
de x y y.
x
2
+ y
2
+ 8x - 10y + 34 = 0
Paso 2: El centro se obtiene:
C(h,k)
C � C(-4,5)
8
2
-10
2
( ), --
1. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. Se tiene la ecuación x^2+y^2=81, representa:
a) Una circunferencia de centro en el origen y ra-
dio 81
b) Una circunferencia de centro en el origen y ra-
dio 9
c) El punto (1,81)
d) El vértice (1,9)
2. Una circunferencia con centro en (2,-6) y el radio
igual a 8, determine cual ecuación lo representa.
a) x
2
+y
2
-4x+12y-24 = 0 b) x
2
+y
2
-2x+6y-54 = 0
c) x
2
+y
2
+4x-12y+24 = 0 d)x
2
+y
2
+2x-6y+54 = 0

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155
BLOQUE II
4. Tarea
1. Encontrar la ecuación de la circunferencia que
tiene centro en C(0,0) y con radio √13.
a) x
2
+y
2
=13 b) x
2
+y
2
=√13
c) x
2
+y
2
=-√13 d) x
2
+y
2
=13
2
2. La ecuación que representa a una circunferencia
es: (x-16)^2+(y-6)^2=1, su centro está _____________
______________________.
a) Trasladado 4 a la izquierda y 3 arriba
b) Trasladado 4 a la derecha y 3 abajo
c) Trasladado 16 a la derecha y 6 arriba
d) Trasladado 16 a la izquierda y 6 arriba
3. La ecuación que representa a una circunferen-
cia en el origen y de radio 12 es:
a) x
2
+y
2
= 12 b) x
2
+y
2
= √12

c) x
2
+y
2
= 144 d) x
2
+y
2
= 24
4. Dado los datos: C(-2,3); r=3 identiﬁ que la ecua-
ción correspondiente.
a) x
2
+y
2
+4x-6y+4 = 0 b) x
2
+y
2
-4x-6y+4 = 0
c) x
2
+y
2
+2x-3y+2 = 0 d) x
2
+y
2
+2x+3y+2 = 0
5. Las coordenadas del centro de la circunferen-
cia (x-3)
2
+(y-4)
2
=81 son:
a) (3,-4) b) (-3,-4) c) (3,4) d) (-3,4)
6. La ecuación de una circunferencia es
x
2
+y
2
-10x-2y+22=0. Las coordenadas de su centro
son:
a)C(-5,-1),r = 4 b) C(5,1),r = 2
c) C(5,1),r = 4 d) C(-5,-1),r = 2
7. De la ﬁ gura que está a continuación, determinar
la ecuación correspondiente.
a) x
2
+y
2
-2x+6y-6 = 0 b) x
2
+y
2
-2x-6y+6 = 0
c) x
2
+y
2
-x-3y+6=0 d) x
2
+y
2
+x+3y+6 = 0
8. En la ﬁ gura se muestra las coordenadas del
centro de una circunferencia y se desea conocer
su ecuación.
a) x
2
+y
2
-6x-8y+25 = 0 b) x
2
+y
2
-6x+8y+25 = 0
c) x
2
+y
2
+6x-8y+25 = 0 d) x
2
+y
2
+6x+8y+25 = 0
9. El ejército ecuatoriano hace pruebas de un nuevo
misil, en la cual la zona de afectación cumple con
la ecuación: 2x
2
+2y
2
-2x-2y-4=0 encontrar el centro
y el radio.
a)
C , r =
1
2
1
2
(), --
5
2
-
√
b)C , r =
1
2
1
2
()
,
5
2√
c)C , r =
1
4
1
4
(),
5
2√
d)C , r =
1
4
1
4
(),-
5
2√
10. La rueda de un camión presenta la ecuación:
-3x
2
-3y
2
+3x+6=0 encontrar el centro y radio.
a) C0, , r =
()
1
2
3
2
b) C ,0 , r = ()
1
2
3
2
c) C0, , r =()
1
3
3
2
d) C0,- , r = ()
1
3
3
2

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8. Se tiene la ecuación: x
2
+y
2
+6x-7=0. Identiﬁ car cuál ﬁ gura es la correcta.

a)
c)
b)
d)

3. La ecuación de la circunferencia es: 8x+x
2
-
2y=64-y
2
encontrar su centro.
a)C(4,1) b) C(-4,1)
c) C(-1,4) d) C(4,-1)
4. La ecuación que describe una circunferencia
es: 137+6y=-y^2-x^2-24x. Encontrar su centro.
a)C(-3,12) b) C(12,-3)
c) C(12,3) d) C(-12,-3)
5. En el parque de diversiones existe un carrusel
que cumple con la ecuación:
9x
2
+9y
2
-6x+54y+46=0
El señor de mantenimiento desea conocer cuál es
el centro para instalar un nuevo engranaje.
a) C(-0.
3 ,-3) b) C(0.3,-3)
c) C(0.3,3) d) C(-0.3 ,3)
6. La luz de un faro gira describiendo una
circunferencia: x
2
+y
2
-8y+3=0. Un marinero desea
saber cuál es el valor del radio y el centro de dicho
reﬂ ector.
a) C(0,4),r=√13 b) C(0,-4),r=√3
c) C(-4,0),r=3 d) C(4,0),r=13
7. Encontrar la ecuación que describe la siguiente
ﬁ gura.

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BLOQUE II
9. Encontrar la ecuación de la circunferencia que
tiene un segmento que une (3,-4) a (-3,4) como
diámetro.
a) x
2
+y
2
=√5
b) x
2
+y
2
=5
c) x
2
+y
2
=25 d) x
2
+y
2
=10
10. El punto (3,-2) está ___________ de la
circunferencia: x
2
+y
2
=13
a) Dentro b) Sobre c) Fuera
2.12.2 Parábola
1. Teoría
Deﬁ nición
Se denomina parábola al lugar geométrico donde los puntos se mueven en un plano de tal manera que
equidistan de una recta ﬁ ja llamada directriz y de un punto ﬁ jo en el plano llamado foco.
Elementos de la Parábola
Foco (F): Es un punto ﬁ jo y cualquier punto de la parábola está a la misma distancia del foco y de la
directriz.
Directriz (D): Es la recta ﬁ ja perpendicular al eje que se opone a la parábola.
Parámetro (p): Distancia del vértice al foco o a la directriz.
Vértice (V): Es el punto medio entre el foco y la directriz.
Ecuación de la parábola
.Vértice en (0,0)
y
2
= 4px
y
2
= -4px

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x
2
= 4py x
2
= -4py
. Vértice en (h,k)
(y-k)
2
=4p(x-h)
(x-h)
2
=4p(y-k)
De acuerdo con el signo del parámetro p se determina la concavidad de la parábola.

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BLOQUE II
Ecuación general de la parábola
Horizontal: Cy
2
+Dx+Ey+F=0
Ejemplo: y
2
-12x-6y+21=0
Vertical: Ax
2
+Dx+Ey+F=0
Ejemplo: x
2
-12y-6x+21=0
3. Ejercicios resueltos
1. La ecuación que representa una parábola es:
a) 3x
2
+4y
2
-36 = 0 b) x
2
-y
2
= 9
c) 3y
2
-x-6y-1 = 0 d) 5x
2
+5y
2
-10x-20y+21 = 0
Solución:
La ecuación solo debe tener un término cuadrático ya sea en x o y, para que represente a una parábola.
Es decir que la respuesta correcta es c.
2. La ecuación de la parábola es y
2
=-4x. Las coordenadas del foco son:
Paso 1: la ecuación esta expre-
sada de la forma: y
2
=-4px
Paso 2: representa a una pará-
bola horizontal, donde:
-4p =-4 ⟹ p= = 1
4
4
Paso 3: El foco para este tipo de
parábola es F(-p,0)
F(-1,0)F(-1,0)

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3. La ecuación de la parábola es: (x-1)
2
=8(y-1), encontrar las coordenadas del vértice.
Paso 1: la ecuación tiene la forma:
(x-h)
2
= 8 (y-k)
Paso 2: el vértice tiene coordenadas V(h,k), donde
h = 1 y k = 1
V (1,1)
4. Las coordenadas del foco de una parábola: y
2
-12x-6y+21=0 son:
Paso 1: se agrupan los
términos.
y
2
-6y=12x-21
Paso 2: se completa
el trinomio cuadrado
perfecto.
y
2
-6y+ =
12x-21+
6
2
()
2
6
2
()
2
Paso 3: se resuelve y
factoriza
y
2
-6y+9 = 12x-21+9
(y-3)
2
= 12x-12
(y-3)
2
= 12(x-1)
Paso 4: Si la ecuación
tiene la forma
(y-k)
2
=4p(x-h), entonces
las coordenadas de su
foco son:
k=3 h=1 p=3
F(h+p,k) ⟹F(1+3 ,3) ⟹ F(4,3)3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. La ecuación que describe la parábola donde
su vértice se encuentra en el origen y tiene su foco
F(0,-1) es:
a) y
2
=-4x b) y
2
=4x

c) x
2
=4y d) x
2
=-4y
2. La ecuación de una parábola cumple con
la ecuación: (y-3)
2
=-20(x+2). Determinar a qué
dirección se abre la parábola.
a) Izquierda b) Derecha
c) Arriba d) Abajo
3. La ecuación de una parábola es: y^2=8x.
Determinar su foco.
a) F(0,2) b) F(2,0)
c) F(-2,0) d) F(0,-2)
4. Una parábola tiene su vértice en el origen y la
ecuación de la directriz es y+4=0. La ecuación de
la parábola es:
a) y
2
+16=0 b) x
2
+16y=0
c) x
2
=16y d) y
2
=16x
5.Dada la ecuación de una parábola:
(x+2)
2
=-6(y-1), determine el vértice.
a) V(2,1) b) V(1,-2)
c) V(-2,1) d) V(-2,-1)
6. El tiro de jabalina sigue una trayectoria
parabólica, se quiere encontrar las coordenadas
de la altura máxima que alcanzó antes de
descender. La ecuación que describe este
movimiento es: (x-7)^2=-18(y-3)
a) 3 m b)4 m c)6 m d)7 m

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161
BLOQUE II
a) a) a)

c)
b)b)
d)

9. Una parábola cumple con la siguiente ecuación: x
2
=-20y. Identiﬁ car la gráﬁ ca correcta.
7. La ecuación que describe a la parábola de la
siguiente ﬁ gura es:
a) y
2
=-8x b)y
2
=16x
c) x
2
=8y d) x
2
=-8y
8. Un túnel en forma de parábola vertical tiene
una altura máxima de 10 m. Determinar a qué
ecuación corresponde dicho túnel.
a) x
2
=4(y-10) b) x
2
=-4(y-10)
c) y
2
=4(x-10) d) y
2
=-4(x-10)

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8. Un puente colgante tiene los cables como se muestra en la ﬁ gura. Las torres que soportan los cables
están separadas 160 m y tienen 20 m de altura. La altura del cable que está situado a 20m es:
4. Tarea
1. La ecuación de una parábola es: y= 2x
2
. Se abre
para __________________
a) Arriba b) Abajo
c) Derecha d) Izquierda
2. La ecuación que representa una parábola es:
a) y-x
2
+2x-1=0 b) y
2
+3x
3
+4=0
c) x
2
+y
2
+2=0 d) y
2
-x
2
+2y=0

3. A continuación, se tiene la gráﬁ ca de una
parábola, identiﬁ que la ecuación correspondiente.
a) y
2
=2x b) y
2
=-2x
c) x
2
=2y b) x
2
=-2y
4. Calcular las coordenadas del vértice de la
ecuación: y^2-6y-8x+17=0
a) V(1,3) b) V(-1,-3)
c) V(1,-3) d) V(-1,3)
5. La gráﬁ ca presenta una parábola con su directriz:
x=-3, determinar la ubicación de su foco.
a) F(0,3) b) F(3,0) c) F(-3,0) d) F(0,-3)
6. De una parábola se conoce su foco F(-2,5) y su
vértice V(-2,2). La ecuación que lo representa es:
a) (x-2)
2
=12(y-2) b) (x+2)
2
=12(y+2)
c) (x+2)
2
=12(y-2) d) (x+2)
2
=12(y-2)
7. Un chorro de agua que sale por una manguera
describe una forma de parábola (x-3)^2=-(y-2),
por lo que se desea saber la altura máxima que
llega.
a) V(3,2) b) V(-3,2)
c) V(3,-2) d) V(-3,-2)

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163
BLOQUE II
9. La ecuación que describe una parábola es: (y-2)
2
= -8(x-5). Seleccionar cuál gráﬁ ca corresponde.
a) a)

c)
b)b)
d)

10. Una antena parabólica es usada para transmitir señal de televisión, por lo tanto, el reﬂ ector debe ser
instalado en el foco de la misma. La ecuación de la antena está descrita por: (y-3)
2
=8(x-1)

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2.12.3 Elipse
1. Teoría
La elipse es el conjunto de puntos planos que se mueven de tal manera que la suma de sus distancias a
ambos focos es constante.
Elementos de la elipse.
Centro(C): Punto de intersección de los ejes focal y secundario.
Vértices (V
1
y V
2
): Puntos de la elipse que cortan al eje focal.
Extremos (B
1
y B
2
): son los extremos del eje menor.
Distancia del Eje mayor (V
1
V
2
=2a)
: Es el segmento de longitud 2a, que pasas por los vértices.
Distancia focal (F
1
F
2
=2c)
: Es el segmento de longitud 2c, que pasa por los focos.
Distancia del eje menor (B
1
B
2
=2b)
: Recta que pasa los extremos.
Condición: a
2
= b
2
+ c
2
;a>b,a>c
Excentricidad: e=
c
a
(e<1)
LR=
2b
2
a
(lado recto)
Ecuación de la elipse.
Elipse horizontal con centro en el origen.
+ =1
x
2
a
2
y
2
b
2
. Su eje focal coincide con el eje de las X
. Sus vértices V
1
(a,0),V
2
(-a,0)
. Sus focos F
1
(c,0) y F
2
(-c,0)
. Extremos del eje menor B
1
(0,b) y B
2
(0,-b)
Elipse vertical con centro en el origen.
+ =1
x
2
b
2
y
2
a
2
. Su eje focal coincide con el eje de las Y
. Sus vértices V
1
(0,a),V
2
(0,-a)
. Sus focos F
1
(0,c) y F
2
(0,-c)
. Extremos del eje menor B
1
(b,0) y B
2
(-b,0)

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BLOQUE II
Elipse vertical con centro en el punto (h, k).
+ =1
(x-h)
2
b
2
(y-k)
2
a
2
. Su eje focal coincide con el eje de las Y
. Sus vértices V
1
(h,k+a),V
2
(h,k-a)
. Sus focos F
1
(h,k+c) y F
2
(h,k-c)
. Extremos del eje menor B
1
(h+b,k) y B
2
(h-b,k)
Elipse horizontal con centro en el punto (h, k).
+ =1
(x-h)
2
a
2
(y-k)
2
b
2
. Su eje focal coincide con el eje de las X
. Sus vértices V
1
(h+a,k),V
2
(h-a,k)
. Sus focos F
1
(h+c,k) y F
2
(h-c,k)
. Extremos del eje menor B
1
(h,k+b) y B
2
(h,k-b)
Ecuación general.
Ax
2
+Cy
2
+Dx+Ey+F=0
Con A≠C y de igual signo
2. Ejercicios Resueltos.
1. Dada la siguiente ecuación x
2
+4y
2
=64 que representa a una elipse. las coordenadas de sus vértices
son.
Paso 1. Expresar la ecuación en
su forma canónica, dividiendo la
ecuación para 64.
=
x
2
+ 4y
2
64
64
64
Paso 2. Simpliﬁ car el numerador y
el denominador.
+ =
4y
2
64
64
64
+ =
y
2
16
1
x
2
64
x
2
64
Paso 3. Comparar la ecuación
resultante con la ecuación
Elipse horizontal con centro en el
origen e identiﬁ co las variables.
+ =
y
2
b
2
+ =
y
2
16
1
x
2
a
2
x
2
64
1
Paso 4. Identiﬁ car las variables y utilizo la deﬁ nición
V
1
=(a,0),V
2
=(-a,0). Sabiendo que es una elipse
horizontal con centro en el origen.
a
2
= 64
a = 8
V
1
= (a,0),V
2
= (-a,0)
Paso 5. Obtener el resultado.
V
1
= (8, 0)
V
2
= (-8, 0)
2. Dada la siguiente ecuación 9x
2
+y
2
+54x -2y=143. Su centro es.
Paso 1. Agrupar los términos de
la misma variable.
9x
2
+ y
2
+ 54x - 2y =143
(9x
2
+ 54x) + (y
2
- 2y) =143
Paso 2. Sacar factor común en
el paréntesis que contiene la
variable “x”
9(x
2
+ 6x) + (y
2
-2 y) =143
Paso 3. Completar el cuadrado.
9(x
2
+ 6x+9)+(y
2
- 2y+1) =143+81+1
9(x + 3)
2
+(y-1)
2
= 225

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Paso 4. Dividir para 225 toda la ecuación.
=
9(x+3)
2
+(y-1)
2
225
+ =
(y-1)
2
225
1
(x+3)
2
25
225
225
Paso 5. Comparar la ecuación resultante con la
ecuación canónica y obtener el centro.
+ =
(y-k)
2
a
2
1
+ =
(y-1)
2
225
1
(x-h)
2
b
2
(x+3)
2
25
-h = 3 ; -k=-1
c = (h,k)
c = (-3,1)
3. La distancia del eje mayor de una elipse: + =
(y+1)
2
25
1
(x-4)
2
36 , es.
Paso 1. Comparar la ecuación con la ecuación
canónica e identiﬁ co las variables.
+ =
(y-k)
2
b
2
1
(x-h)
2
a
2
+ =
(y+1)
2
25
1
(x-4)
2
36
Paso 2. Utilizar la deﬁ nición de distancia del Eje ma-
yor (V
1
V
2
=2a)
.
V
1
V
2
= 2a (eje mayor)
V
1
V
2
=2a
V
1
V
2
=2(6)
V
1
V
2
=12
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. La ecuación que representa una elipse es.
a) y
2
= 16x
b) x
2
+ y
2
= 7
c) 5x
2
+ 9y
2
+ 54x - 20y + 56 = 0
d) x
2
+ y
2
+ 54x - 20y + 56 = 0
2. La ecuación que representa la gráﬁ ca de la
elipse es:
a) x
2
+ 4y
2
= 36
b) x
2
+ y
2
= 36
c) 4x
2
+ y
2
= 36
d)
+ =
(y+3)
2
12
1
(x-10)
2
6
3. La ecuación que representa la gráﬁ ca de la
elipse es:
a) x
2
+ y
2
= 144
b)
+ =
(y-9)
2
4
1
(x-6)
2
25
c)
+ =
(y-9)
2
25
1
(x-6)
2
4
d) x
2
+ 9y
2
+ 54x - 20y + 56 = 0

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167
BLOQUE II
a)
b)
c)
d)
4. La gráﬁ ca que representa una elipse: x
2
+4y
2
+8x-40y+52=0 es:
a)
b)
c)
d)
5. La gráﬁ ca que representa una elipse: 25x
2
+ 4y
2
=100, es:

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168
6. La ecuación de una elipse vertical, cuya longitud
del eje mayor es 20, su centro encuentra ubicado
en el origen y tiene una excentricidad de 2/5, es:
a) 3x
2
- 5y
2
= 30 b) 3y
2
+ 5x
2
= 30
c) 3x
2
+ 5y
2
= 30 d) 6y
2
+ 10x
2
= 30
7. Un satélite de telecomunicaciones describe una
trayectoria elíptica alrededor de la tierra, como se
muestra en la ﬁ gura, si la ecuación de la trayectoria
es x
2
+ 4y
2
-2x - 48y + 109 = 0. Las coordenadas de
los puntos donde el satélite está más alejado de la
tierra son.
a) (7, 6); (5, 6) b) (7, 6); (-5, 6)
c) (13, 6); (-5, 6) d) (5, 6); (8, 6)
8. Un diseñador gráﬁ co realiza un logo para una
empresa, que tiene una forma elíptica, donde se
puede leer “Fassgräser” como se muestra en la
ﬁ gura, si el diseñador utiliza la ecuación 3x
2
+ 7y
2
=21
para describir la forma del logo y las letras F y R se
encuentran ubicadas en los focos de la elipse, la
longitud de la palabra “Fassgräser”, es.
a) 7 b) 2 c) 4 d) 3
4. Tarea
1. La ecuación que representa una elipse es.
a) y
2
=-8x b) 5x
2
- 25y
2
= 7
c) 5x
2
+ 25y
2
= 125 d) 25x
2
- 5y
2
+ 54x-20y+56 = 0
2. La expresión correcta para la gráﬁ ca de una
elipse que se muestra en la ﬁ gura es:
a) Elipse horizontal con centro en el origen.
b) Elipse horizontal con centro en el punto (h, k).
c) Elipse vertical con centro en el punto (h, k).
d) Elipse vertical con centro en el origen.
3. La ecuación que representa la gráﬁ ca de una
elipse sabiendo que a=5 y b=2 es:
a) 25x
2
+4y
2
-32x-100y+64=0
b)
+ =
(y-2)
2
2
1
(x-4)
2
5
c) 4x
2
+25y
2
-32x-100y+64=0
d)
+ =
(y-8)
2
4
1
(x-4)
2
25

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169
BLOQUE II
4. La gráﬁ ca que representa una elipse: + =
(y-8)
2
49
1
(x-3)
2
144 , es:
a)
b)
c)
d)
5. La gráﬁ ca que representa una elipse: x
2
+ 16y
2
+ 2x + 160y + 337 = 0, es:
a)
b)
c)
d)

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6. El lado recto de una elipse 4x
2
+y
2
-16x+6y+9=0, es.
a) 16 b) 2 c) 4 d) 64
7. En un parque se realizó una obra de rehabilitación de espacios públicos, por lo que en un área del
parque que tiene una forma elíptica se colocó una pileta, cuyo centro se encuentra ubicado en el
centro de la elipse como se muestra en la ﬁ gura. Si la ecuación que describe la forma del área es
25x
2
+ 9y
2
= 225. La distancia del segmento AB, desde el centro de la pileta hasta el vértice de la elipse es.
a) 5 b) 10 c) 9 d) 25
8. Los diseñadores de una compañía de vehículos crearon unos farros que tienen una forma elíptica, para
instalar en su nuevo vehículo, la forma del faro está en función de la siguiente ecuación 4x^2+9y^2=144.
La Gráﬁ ca que representa el faro es:
a)
b)
c)
d)

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BLOQUE II
2.12.4 Hipérbola
1. Teoría
Se denomina hipérbola al conjunto de puntos del
plano tales que el valor absoluto de la diferencia
de sus distancias a los focos es constante.
Elementos de la hipérbola.
.Centro(C): Punto de intersección de los ejes focal
y secundario.
.Vértices (V
1
y V
2
)
: Puntos de la hipérbola que
cortan al eje focal.
.Focos (F
1
y F
2
)
: Puntos ﬁ jos en los que la diferencia
de distancia entre ellos y cualquier punto de la
hipérbola es siempre la misma.
.Extremos del eje conjugado (B
1
y B
2
)
: son los
extremos del eje conjugado.
.Eje transverso o real (V
1
V
2
=2a)
: Se le denomina
al segmento rectilíneo donde se encuentran los
focos y los vértices de la hipérbola.
.Eje focal (F
1
F
2
=2c)
: Es el eje de simetría que une
a los dos focos.
.Eje conjugado o imaginario (B
1
B
2
=2b)
: Recta
que pasa por los extremos del eje conjugado.
.Lado recto (LR = )
2b
2
a: es la cuerda perpendicular
al eje que une los focos de una curva cónica y que
pasa por un foco.
.Asíntotas (I
1
y I
2
): Son las rectas que se intersecan
en el centro de la hipérbola y se acercan a las
ramas al alejarse estas del centro de la hipérbola.
Las ecuaciones de las asíntotas aplicables a las
ecuaciones son: y=-
b
a
x,y =
b
a
x
.Condición: c
2
= a
2
+ b
2
; c>b,c>a
.Excentricidad: e =
c
a
(e>1)
Ecuación de la hipérbola.
Hipérbola horizontal con centro en el origen.
- =
y
2
b
2
1
x
2
a
2
.Su eje focal coincide con el eje de las X
.Sus vértices V
1
(a,0),V
2
(-a,0)
.Sus focos F
1
(c,0) y F
2
(-c,0)
.Extremos del eje menor B
1
(0,b) y B
2
(0,-b)
.Asíntota: y = ±
b
a
x
Hipérbola vertical con centro en el origen.
- =
x
2
b
2
1
y
2
a
2
.Su eje focal coincide con el eje de las Y
.Sus vértices V
1
(0,a),V
2
(0,-a)
.Sus focos F
1
(0,c) y F
2
(0,-c)
.Extremos del eje menor B
1
(b,0) y B
2
(-b,0)
.Asíntota: y=±
b
a
x

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2. Ejercicios Resueltos.
1. Dada la siguiente ecuación 4x
2
+25y
2
=100 que representa a una hipérbola las coordenadas de los
focos son.
Paso 1. Expresar la ecuación en
su forma canónica, dividiendo la
ecuación para 100.
=
4x
2
- 25y
2
100
100
100
Paso 2. Simpliﬁ car el numerador,
el denominador.
- =
25y
2
100
- =
y
2
4
100
100
1
4x
2
100
x
2
25
Paso 3. Comparar la ecuación
resultante con la ecuación hipér-
bola horizontal con centro en el
origen e identiﬁ car las variables
- =
- =
y
2
b
2
y
2
4
1
1
x
2
a
2
x
2
25
Paso 4. Identiﬁ car las variables y utilizar la condición
c
2
=a
2
+b
2
.
a
2
=25 y b
2
=4
c
2
=a
2
+b
2
c
2
=25+4
c
2
=29→ c=√29
Paso 5. Identiﬁ car las variables y utilizar la deﬁ nición.
F
1
=(c,0); F
2
=(-c,0 )
F
1
=(√29,0); F
2
=(-√29,0 )
Hipérbola vertical con centro en el punto (h, k).
- =
(x-h)
2
b
21
(x-k)
2
a
2
. Su eje focal coincide con el eje de las Y
. Sus vértices V
1
(h,k+a),V
2
(h,k-a)
. Sus focos F
1
(h,k+c) y F
2
(h,k-c)
. Extremos del eje menor B
1
(h+b,k) y B
2
(h-b,k)
. y-k=±
b
a
(x-h)
Hipérbola horizontal con centro en el punto (h, k).
- =
(y-k)
2
b
2
1
(x-h)
2
a
2
. Su eje focal coincide con el eje de las X
. Sus vértices V
1
(h+a,k),V
2
(h-a,k)
. Sus focos F
1
(h+c,k) y F
2
(h-c,k)
. Extremos del eje menor B
1
(h,k+b) y B
2
(h,k-b)
. Asíntota: y-k=±
b
a
(x-h)
Ecuación general.
Ax
2
+Cy
2
+Dx+Ey+F=0
Con A y C de signos diferentes.

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173
BLOQUE II
2. Dada la siguiente ecuación x
2
- 4y
2
- 6x + 32y - 71 = 0. Las coordenadas de los vértices de la hipérbola
son.
Paso 1. Agrupar los términos de
la misma variable.
x
2
-4y
2
- 6x + 32y - 71 = 0
(x
2
-6x) - (4y
2
- 32y) = 71
Paso 2. Sacar factor común
al paréntesis que contiene la
variable “y”
(x
2
-6x) - 4(y
2
-8y) = 71
Paso 3. Completar el cuadrado.
(x
2
-6x+9) -4 (y
2
-8y+16) = 71 - 64+9
(x-3)
2
- 4(y-4)
2
= 16
Paso 4. Divido para 16 toda la
ecuación.
=
- =
(y-4)
2
4
16
16
1
(x-3)
2
-4(y-4)
2
16
(x-3)
2
16
Paso 5. Comparar la ecuación
resultante con la ecuación
canónica y obtener el centro.
- =
(y-k)
2
b
2- =
(y-4)
2
4
1
1
(x-h)
2
a
2
(x-3)
2
16
-h=-3 ;-k=-4
c=(h,k)
c=(3,4)
Paso 6. Identiﬁ car las variables
y utilizar la deﬁ nición de los
vértices.
a
2
=16 → a = 4
c = (3,4)
V
1
(h+a,k),V
2
(h-a,k)
V
1
=(7,4),V
2
= (-1,4)
3. La distancia del eje focal de la hipérbola: x
2
-4y
2
=16 es.
Paso 1. Expresar la ecuación en
su forma canónica, dividiendo la
ecuación para 16.
=
x
2
- 4y
2
16
16
16
Paso 2. Simpliﬁ car el numerador,
el denominador.
- =
4y
2
16
- =
y
2
4
16
16
1
x
2
16
x
2
16
Paso 3. Comparar la ecuación
resultante con la ecuación hi-
pérbola horizontal con centro en
el origen e identiﬁ co las variables
- =
- =
y
2
b
2
y
2
4
1
1
x
2
a
2
x
2
16
Paso 4. Identiﬁ car las variables y utilizar lasdeﬁ nición.
a
2
=16 y b
2
= 4
c
2
= a
2
+ b
2
c
2
= 16 + 4
c
2
= 20→ c =√20 → c=2√5
Paso 5. utilizar la deﬁ nición.
F
1
F
2
= 2c (eje mayor)
F
1
FV
2
= 2(2√5)
F
1
F
2
= 4√5
3. Ejercicios para resolver en clase. PARTE I
1. La ecuación que representa una hipérbola es.
a) 16x
2
- 49y
2
+ 64x + 98y - 769 = 0
b) 5x
2
+ 9y
2
+ 54x - 20y + 56 = 0
c) x
2
+ y
2
=16
d) y
2
= -4x
2. La ecuación que representa la gráﬁ ca de una hipérbola es:

a) 9x
2
+ 16y
2
=576
b) x
2
+ y
2
=25
c) 9x
2
- 16y
2
=576
d) 9x
2
- 12y
2
=576

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3. La ecuación que representa la gráﬁ ca de una hipérbola, si a=6 y b=3 es:
a) x
2
+ 4y
2
- 8x + 64y - 276=0 b) 4x
2
- y
2
- 8x + 64y - 276=0
c) x
2
- 4y
2
-12x + 74y - 276=0 d) x
2
- 4y
2
- 8x + 64y - 276=0
4. La gráﬁ ca que representa una hipérbola: 8x
2
-12y
2
=24, es:
a)
b)
c)
c)
5. La ecuación de una hipérbola vertical, cuya longitud del eje focal es 2√34, su centro encuentra
ubicado en (2,6) y a=3, es:
a) 25x
2
+ 9y
2
-100x -108y -1= 0 b) 25x
2
- 9y
2
-50x-54y -1= 0
c) 25x
2
-9y
2
-100x+108y +1= 0 d) x
2
+y
2
-100x-108y-1= 0

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175
BLOQUE II
4. Tarea
1. La ecuación que representa una elipse es.
a) y
2
= -25x b) 3x
2
- 6y
2
+18x + 24y - 100 = 0
c) x
2
+ y
2
=16 d) 3x
2
+ 6y
2
+18x + 24y -100 = 0
2. La expresión correcta para la gráﬁ ca de la hipérbola que se muestra en la ﬁ gura es:
a) Hipérbola Elipse horizontal con centro en el origen.
b) Hipérbola horizontal con centro en el punto (h, k).
c) Hipérbola vertical con centro en el punto (h, k).
d) Hipérbola horizontal con centro en el origen.
3. Las coordenadas de los extremos del eje conjugado de una hipérbola cuya ecuación es 16x^2-25y^2-
64x-150y-561=0, son:
a) (2,1); (-2,-7) b) (-2,1); (2,7) c) (2,1); (2,- 7) d) (2,2); (2,-7)
5. En una planta nuclear se construyó una torre con una forma hiperbólica como se muestra en la ﬁ gura,
si tiene una excentricidad e=
√53
7
, con centro en el origen y uno de sus vértices se encuentra ubicado en
(7,0). La ecuación que utilizaron los ingenieros para describir la forma de la torre es.
a) 9x
2
- 16y
2
= 76 b) 4x
2
- 49y
2
=196 c) 4x
2
- 16y
2
= 96 d) 4x
2
+ 49y
2
=196

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3. La gráﬁ ca que representa la hipérbola es: 9x
2
- 4y
2
+54x + 40y+8 = 0, es:
a)
b)
c)
c)
5. En una carretera se colocó un puente con una forma hiperbólica, que reduce la calzada como se
muestra en la ﬁ gura, si se sabe que la ecuación que describe la forma del puente es:
4x
2
- 2y
2
+32x - 4y + 98 = 0
El ancho AB del puente en los vértices de la hipérbola será.
a)3 b) 6√2 c) 3√2 d) 6

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