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Ejercicios de asíntotas resueltos

1. ASÍNTOTAS

2. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 1 1) Estudia las asíntotas de la función

21
3
x
fx
x



.

Asíntotas horizontales

 
(por ambos lados)
21 2
lim lim lim lim 2 2
3
2 es una asíntota horizontal de
21 2
lim lim lim lim 2 2
3
xx xx
xx xx
xx
fx
xx
yf
xx
fx
xx
   
   




 
 



 

Posición de la curva re specto de la asíntota Le damos un valor lo suficientemente elevado


x
.

2 100 1 199
100 2.0515 2
100 3 97
f







Por lo tanto, por la derecha


x
, la curva está por encima de la
asíntota.
Le damos un valor lo suficientemente bajo


x
.


21001201 201
100 1,9515 2
100 3 103 103
f
 
   
 


Por lo tanto, por la izquierda


x
, la curva está po r debajo de la
asíntota.

3. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 2

Asíntotas verticales

Las funciones racionales pueden tener asíntotas vert icales en los valores qu e anulen a su denominador.
30 3 x
x



Estudiamos los límites laterales en
3x

.
 
33
(por ambos lados)
33
215
lim lim
30
3 es una asíntota vertical de
215
lim lim
30
xx
xx
x
fx
x
x
f
x
fx
x










 
 



 

Posición de la curva re specto de la asíntota Queda determinada por los límites laterales



Asíntotas oblicuas

No tiene por tener asíntotas ho rizontales por ambos lados.

4. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 3

5. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 4

6. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 5 2) Estudia las asíntotas de la función

2
2
4
x
fx
x


.

Asíntotas horizontales

 
22
22
22
(por ambos lados)
22
lim lim lim lim1 1
4
1 es una asíntota horizontal de
lim lim lim lim1 1
4xx xx
xx xx
xx
fx
xx
yf
xx
fx
xx
   
   



 
 


 

Posición de la curva re specto de la asíntota Le damos un valor lo suficientemente elevado


x
.

2
2
10 100 25
10 1,0417 1
10 4 96 24
f

 



Por lo tanto, por la derecha


x
, la curva está por encima de la
asíntota.
Le damos un valor lo suficientemente bajo


x
.




2
2
10100 25
10 1,0417 1
96 24 10 4
f


 



Por lo tanto, por la izquierda


x
, la curva está por encima de
la asíntota.

7. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 6

Asíntotas verticales

Posibles asíntotas verticales
2
40 2 xx



2
x


Estudiamos los límites laterales en 2
x

.
 
2
2
22
2
(por ambos lados)
2
22
4
lim lim
40
2 es una asíntota vertical de
4
lim lim
40
xx
xx
x
fx
x
x
f
x
fx
x









 
 


 

Posición de la curva re specto de la asíntota Queda determinada por los límites laterales
2
x


Estudiamos los límites laterales en
2
x

.
 
2
2
22
2
(por ambos lados)
2
22
4
lim lim
40
2 es una asíntota vertical de
4
lim lim
40
xx
xx
x
fx
x
x
f
x
fx
x



 

 



 
 


 

Posición de la curva re specto de la asíntota Queda determinada por los límites laterales

8. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 7






Asíntotas oblicuas

No tiene por tener asíntotas ho rizontales por ambos lados.

9. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 8

10. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 9

11. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 10 3) Estudia las asíntotas de la función

2
4
1
x
fx
x



.

Asíntotas horizontales

 
22
22
4
lim lim lim lim
1
no tiene asíntotas horizontales
4
lim lim lim lim
1
xx xx
xx xx
xx
fx x
xx
f
xx
fx x
xx
   
   
 


 




 

Como no tiene asíntotas horizontales, puede tene r asíntotas oblicuas.

Asíntotas verticales

Posible asíntota vertical
10 1x
x



Estudiamos los límites laterales en 3
x

.
 
2
11
2
(por ambos lados)
11
43
lim lim
10
1 es una asíntota vertical de
43
lim lim
10
xx
xx
x
fx
x
x
f
x
fx
x






 


 
 



 

Posición de la curva re specto de la asíntota
Queda determinada por los límites laterales

12. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 11


Asíntotas oblicuas

ymxn




2
22
22
4
4 1
lim lim lim lim lim1 1
xx x xx
x
fxxx x
m
x
xxxx
    

 
  



222
44 4
lim lim lim lim lim lim1 1
111
xxx xxx
xxxxxx
nfxmx x
xxxx
     

   
 
 

Por lo tanto,
1 yx

 es una asíntota oblicua de f por ambos lados
Posición de la curva re specto de la asíntota
Comparamos la función


f
x
con la asíntota


1
ax x



Le damos un valor lo suficientemente elevado


x
.
 
 
2
10 4 96 32
10 10,6667
10 10 10 1 9 3
10 10 1 11
f
fa
a
 

 
 



Por lo tanto, por la derecha


x
, la curva está por de bajo de la asíntota.
Le damos un valor lo suficientemente bajo


x
.




2
10 496
10 8,7273
10 10 10 1 11
10 10 1 9
f
fa
a
 
   
   

  



Por lo tanto, por la izquierda


x
, la curva está por en cima de la asíntota.

13. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 12

14. I.E.S. “Miguel de Cervantes” – Departamento de Matemáticas - GBG 13