Ecuación de bessel

1. ECUACIÓN DE
BESSEL
Juan Camilo Sacanamboy

2. APLICACIONES
•Propagación de ondas.

•Potenciales estáticos.

•Conducción del calor en objetos cilíndricos.

•Difusión de una red.

•Procesamiento de señales.

3. INTRODUCCIÓN
•Ecuación de Bessel de orden v

•Cuando se resuelve la ecuación se supone
que ?????? ≥0

4. SOLUCIÓN
x=0 es un punto no singular regular de la ecuación de Bessel, se sabe que
existe al menos una solución de la forma y= ??????
��
�+�∞
�=0 (T. Frobenius)







•Ecuación indicial: �
2
− ??????
2
=0
oRaíces indiciales: �
1=?????? y �
2=−??????

5. SOLUCIÓN
•�
1=v








Entonces,

6. SOLUCIÓN
•La elección c1 = 0 implica que c3=c5=c7=...=0, por lo que para k=0,2,4,...
se encuentra, después de establecer k+2=2n, n=1,2,3,..., que



•Con esto se tiene que,

7. SOLUCIÓN
En la práctica se acostumbra a elegir a ??????
0 como




Reescribiendo,

8. FUNCIONES DE BESSEL DE
PRIMERA CLASE
•Si se usan los coeficientes ??????
2� apenas obtenidos y r = v, una solución de
la ecuación es y= ??????
2� �
2�+??????∞
�=0


Funciones de
Bessel de primera clase
de orden v

9. SOLUCIÓN GENERAL
•v = 0 : ambas soluciones son la misma (Problema!)
•v > 0 y �
1−�
2=??????−−??????=2?????? no es un entero positivo
oCaso I-Sección 6.2: �
??????� y �
−??????� son li
�=??????
1�
??????�+??????
2�
−??????�. (Bien!)
•v > 0 y �
1−�
2=??????−−??????=2?????? es un entero positivo
oDos posibilidades
v=m=entero positivo: �
−�(�)y �
�(�) no son li (Propiedad (i) )
(Problema!)
v es la mitad de un entero positivo impar: �
−??????(�)y �
??????(�) son li (Bien!)
•La solución general en (0,∞) es
�=�
�??????
??????�+�
�??????
−??????(�), ??????≠??????�??????????????????�.

10. ECUACIÓN DE BESSEL DE
SEGUNDA CLASE
•Para cualquier valor de v la solución general
en 0,∞ se puede escribir como:

•�=�
�??????
??????�+�
�??????
??????(�), donde

??????
??????�=
??????��???????????? ??????????????????−??????−??????(??????)
�??????�????????????


Función de Bessel de segunda clase de orden v

11. ED RESOLUBLES EN TÉRMINOS
DE BESSEL
•Algunas veces es posible convertir a una ED
de Bessel con un cambio de variable

o�
�
�
′′
+��
′
+∝
�
�
�
−??????
�
�=� : Ecuación
paramétrica de Bessel de orden v

o�
�
�
′′
+��
′
+�
�
+??????
�
�=� : Ecuación modificada
de Bessel de orden v
o�
′′
+
�−��
�
�
′
+�
�
�
�
�
��−�
+
�
�
−�
�
�
�
�
�
�=�,�≥�:
Ecuación especial

12. ECUACIÓN PARAMÉTRICA DE
BESSEL DE ORDEN V
•Problemas con valores en la frontera relacionados con ED parciales
(coordenadas cilíndricas)

�
�
�
′′
+��
′
+∝
�
�
�
−??????
�
�=�
�=∝�, ∝>0





Forma Bessel
Solución:

13. ECUACIÓN MODIFICADA DE
BESSEL DE ORDEN V
•�
�
�
′′
+��
′
+�
�
+??????
�
�=�
�=??????� , ??????
2
=−1

Reemplazando,

Forma de Bessel

Solución para todo v


Donde, �
??????� � �
??????� ��� ????????????

14. ECUACIÓN ESPECIAL
•�
′′
+
�−��
�
�
′
+�
�
�
�
�
��−�
+
�
�
−�
�
�
�
�
�
�=�,
�≥�:

Muchas ED se ajustan a su forma mediante
elecciones apropiadas de los parámetros

Solución: �=�
�
[�
�??????
���
�
+�
�??????
�(��
�
)

15. TABLA
•Bessel General:



•Bessel Paramétrica

 , �=∝� ∝≥0

•Bessel modificada: