Ecuacion de bernoulli

ECUACION DE BERNOULLI

1. BIENVENIDOS
SEMANA 11

2. ECUACION DE
BERNOULLI

3. LogrodeUnidad:Alfinalizarla
unidad,elestudianteelaboraun
modelohidráulico,aplicandolas
ecuacionesfundamentalesdela
dinámicadelosfluidos,concriterios
teóricosytécnicosdeingeniería.

4. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA –ECUACIÓN DE
BERNOULLI
Figura 1. Elemento de fluido en
una tubería

5. Considereunelementodefluidocomoelqueilustramosen
lafigura1,dentrodeunatuberíaenunsistemadeflujo.Se
localizaaciertaelevaciónz,tienevelocidadvypresiónp.
1. Energía potencial
Donde w es el peso del elemento
2. Energía cinética
3. Energía de flujoWzEP gWvEC 2/
2
 /WpEF

6. Figura 2. Energía de flujo

7. Figura 3. Elementos de fluido
utilizados en la ecuación de Bernoulli

8. Lacantidadtotaldeenergíadeestastresformasque
poseeelelementodefluidoeslasumaE,
E = EF + EP + EC
E = w p/+ wz + wv
2
/2g
Cadaunodeestostérminosseexpresaenunidadesde
energíacomoelNewton-metro(N-m)enelSI,yellibra-
pie(lb-pie)enelSistemaTradicionaldeEstadosUnidos.

9. La ecuación de Bernoulli
CadatérminodelaecuacióndeBernoulliesunaforma
delaenergíaqueposeeelfluidoporunidaddepeso
delfluidoquesemueveenelsistema.

10. p/eslacargadepresión
zeslacargadeelevación
v²/2geslacargadevelocidad
Alasumadeestostrestérminossele
denominacargatotal.

11. Figura 4. Carga de
presión, carga de
elevación, carga de
velocidad y carga
total

12. LaecuacióndeBernoullitomaencuentalos
cambiosenlacargadeelevación,cargade
presiónycargadevelocidadentredos
puntosenunsistemadeflujodefluido.Se
suponequenohaypérdidasoadicionesde
energíaentrelosdospuntos,porloquela
cargatotalpermanececonstante.

13. RESTRICCIONES DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI
1.Esválidasóloparafluidosincomprensibles,porquesesuponequeel
presoespecíficodelfluidoeselmismoenlasdosseccionesdeinterés.
2.Nopuedehaberdispositivosmecánicosqueagreguenoretiren
energíadelsistemaentrelasdosseccionesdeinterés,debidoaquela
ecuaciónestablecequelaenergíaenelfluidoesconstante.
3.Nopuedehabertransferenciadecalorhaciaelfluidoofuerade
éste.
4. No puede haber pérdida de energía debido a la fricción.

14. Procedimiento para aplicar la ecuación de Bernoulli
1.Decidircuálessonlostérminosconocidosycuálesdeben
calcularse.
2.Determinarcuálessonlasdosseccionesdelsistemaquese
usaránparaescribirlaecuacióndeBernoulli.Unadeellasseelige
porqueseconcentranvariosdatosconocidos.Enlaotra,porlo
general,algohabráquecalcularse.
3.EscribirlaecuacióndeBernoulliparalasdosseccioneselegidas
enelsistema.Esimportantequelaecuaciónseescribaenla
direccióndelflujo.Esdecir,elflujodebeprocederdelasecciónque
esteenelladoizquierdodelaecuaciónydirigirsehacialasección
derecha.

15. 4.Esnecesarioserexplícitoenladenominacióndelossubíndices
delostérminosdelacargadepresión,cargadeelevaciónyvarga
develocidadenlaecuacióndeBernoulli.Enundibujodelsistema
hayqueseñalarlaposicióndelospuntosdereferencia.
5.Simplificarlaecuación,siesposible,conlacancelacióndelos
términosquevalganceroodelosqueaparezcancomoigualesen
ambosladosdelaecuación.
6.Despejardelaecuación,enformaalgebraica,eltérminoquese
busca.
7.Sustituircantidadesconocidasycalcularelresultado,con
unidadesconsistentesentodosloscálculos.

16. MAGNITUD SISTEMA
INTERNACIONAL
SISTEMA
INGLES
Presión kPa lb/pie
2
Elevación m pie
Velocidad de
flujo
m/s pie/s
Peso específico kN/m
3
lb/pie
3
Aceleración
gravedad
9,8 m/s
2
32,2 pie/s
2
UNIDADES DE LAS VARIABLES

17. ProblemaModelo9.Enlafigura5ilustramosunflujo
deaguaa10ºCquevadelasección1ala2.Enla
sección1,quetiene25mmdediámetro,lapresión
manométricaesde345kPa,ylavelocidaddelflujoes
de3m/s.lasección2,mide50mmdediámetro,yse
encuentraa2mporarribadelasección1.Si
suponemosquenohaypérdidadeenergíaenel
sistema,calculelapresiónp
2.

18. Figura 5. Carga de
presión, carga de
elevación, carga de
velocidad y carga
total

19. Antesdemirarelpanelsiguiente,listelos
conceptosconocidosapartirdelenunciado
delproblema.
D1=25mm;v1=3m/s;
z2–z1=2m
D2=50mm;p1=345kPa
(manométrica)

20. Tanques, depósitos y toberas
expuestos a la atmósfera
Lafigura6muestraunsistemadefluidodondeunsifón
sacalíquidodesdeuntanqueodepósitoyloexpulsaa
travésdeunatoberaalfinaldelatubería.
Cuandoelfluidoenunpuntodereferenciaestáexpuesto
alaatmósfera,lapresiónesigualaceroyeltérminode
lacargadepresiónsecancelaenlaecuaciónde
Bernoulli.

21. Figura 6. Sifón del problema modelo 10

22. Alacargadevelocidadenlasuperficiedeuntanqueo
depósitoseleconsideraigualacero,ysecancelaenla
ecuacióndeBernoulli.
Cuandolosdospuntosdereferenciaparalaecuaciónde
Bernoulliestándentrodeunatuberíadelmismotamaño,
lostérminosdecargadevelocidadenambosladosdela
ecuaciónsonigualesysecancelan.
Cuandolosdospuntosdereferenciaparalaecuaciónde
Bernoulliestánalamismaelevación,lostérminosde
cargadeelevaciónz
1yz
2sonigualesysecancelan.

23. ProblemaModelo10.Enlafigura6mostramosun
sifónutilizadoparaconduciraguadesdeuna
alberca.Latuberíaqueconformaalsifóntieneun
diámetrointeriorde40mmyterminaenunatobera
de25mmdediámetro.Sisuponemosqueenel
sistemanohaypérdidadeenergía,calculeelflujo
volumétricoatravésdelsifón,ylapresiónenlos
puntosB-E.

24. Elprimerpasopararesolveresteproblemaes
calcularelflujovolumétricoQ,pormediodela
ecuacióndeBernoulli.AyFsonlospuntosmás
convenientesenlarealizacióndeestecálculo.
¿QuéesloqueseconoceenelpuntoA?
ElpuntoAeslasuperficielibredelaguaenla
alberca.Portanto,pA=0Pa.Asimismo,debidoa
quelasuperficiedeláreadelaalbercaesmuy
grande,lavelocidaddelaguaenlasuperficiees
casiigualacero.Porello,supondremosquevA=
0.

25. ¿Qué se conoce en el punto F?
ElpuntoFeslacorrientelibredelaguaquesale
delatobera.Comolacorrienteestáexpuestaa
lapresiónatmosférica,lapresiónpF=0Pa.
TambiénsabemosqueelpuntoFestá3mpor
abajodelpuntoA.

26. Ahora,escribalaecuacióndeBernoulliparalospuntosAy
F.
Dehaberobtenido
Sisetomaencuentalainformacióndelosdospaneles
anteriores¿cómosesimplificaestaecuación???????
�
??????
+??????
�+
??????
�
2
2??????
=
??????
�
??????
+??????
�+
??????
�
2
2??????

27. Comop
A=0,p
F=0Payv
Aesaproximadamente
igualacero,puedencancelarseenlaecuación.
Estohacequequedeasí:

28. ??????
�=??????
�+
??????
�
2
2??????
El objetivo es calcular el flujo volumétrico, que depende
de la velocidad. Ahora, despeje para v
F.
Debe quedar??????
�= ??????
�−??????
� 2??????

29. ¿Qué representa z
A–z
F?
Enlafigura7observamosquez
A–z
F=3.0m.,notequeladiferencia
espositivaporquez
Aesmayorquez
F.Ahoracalculamoselvalorde
v
F.
El resultado es??????
�= (3.0 ??????)(2)(9.81 ??????/??????
2
)
= 58.9
??????
??????
=7.67 ??????/??????
Ahora ¿cómo se calcula Q?
PormediodelaecuacióndecontinuidadA
1v
1=A
2v
2obtenemosel
flujovolumétrico.

30. El resultado es Q = A
F v
F
V = 7,67 m/s A = (25 mm)
2
/ 4 = 491 mm
2
Hemosterminadolaprimerapartedelproblema.Ahora,emplee
laecuacióndeBernoulliparadeterminarp
B.¿Cuálessonlos
dospuntosquedebemosutilizar?�=491 ????????????
2

7.67 ??????
??????

1 ??????
2
10
6
????????????
2

=3.77×10
−3
??????
3
/??????

31. LospuntosAyBsonlosmejores.Comovimosenlospaneles
anteriores,elusodelpuntoApermitequelaecuaciónsesimplifique
mucho,ydebemoselegirelpuntoBporquesebuscap
B
EscribalaecuacióndeBernoulliparalospuntosAyB,simplifique
comoantesyresuelvaparap
B.
Aquípresentamosunprocedimientodesoluciónposible:??????
�
??????
+??????
�+
??????
�
2
2??????
=
??????
�
??????
+??????
�+
??????
�
2
2??????

32. Como p
A= 0 Pa y v
A= 0, tenemos
¿Qué valor tiene z
A–z
B?
Representacero.Debidoaquelosdospuntosestánenelmismo
nivel,susevaluacionessonlasmismas.¿Puedeencontrarv
B???????
�=
??????
�
??????
+??????
�+
??????
�
2
2??????

33. Secalculav
Bpormediodelaecuacióndecontinuidad:
Q = A
B v
B v
B= Q/A
B
Secalculaeláreadeunatuberíade40mmdediámetro.
Termineelcálculodev
B.
El resultado es el siguiente:
v
B= Q/A
B
Q= 3.77 x 10 m/s
A
B= 1.257 x 10
–3
m
2??????
�=
3.77×10
−3
??????
3
??????
×
1
1.257×10
−3
??????
2
=3.00 ??????/??????

34. Ahoratenemostodoslosdatosnecesariosparacalcularp
Bconla
ecuación
La presión en el punto B es:??????
�=??????[ ??????
�−??????
� −??????
�
2
/2??????] ??????
�
2
2??????
=
(3.00)
2
??????
2
×10
−3
??????
3
??????
2
×
??????
2
2 9.81 ??????
=0.459 ??????

35. ??????
�=(9.81 ????????????/??????
3
)(0
−0.459 ??????) ??????
�=−4.50 ????????????/??????
2
??????
�=−4.50 ??????�??????

36. Enlostrespanelessiguientespresentamoslassolucionesparalas
presionesp
C,p
Dyp
E.Sonprocedimientosmuyparecidosalque
manejamosparap
B.Antesdeverelpanelsiguiente,concluyala
soluciónparap
C.
Larespuestaesp
C=16.27kPa.UtilizamoslaecuacióndeBernoulli.
Debidoaquep
A=0yv
A=0,lapresiónenelpuntoCes??????
�
??????
+??????
�+
??????
�
2
2??????
=
??????
�
??????
+??????
�+
??????
�
2
2??????
??????
�=??????[ ??????
�−??????
� −??????
�
2
/2??????]

38. ??????
�=−16.27 ????????????/??????
2
??????
�=−16.27 ??????�?????? Antesdepasaralpanelsiguiente,termineelcálculoparap
D.
Larespuestaesp
D=34.50kPa.Lamismaquep
B,porquela
elevaciónylavelocidadenlospuntosByDsoniguales.La
soluciónconlaayudadelaecuacióndeBernoulliloprobará.
Ahora,calculep
E.

39. LapresiónenelpuntoEesde24.93kPa.Manejamosla
ecuacióndeBernoulli:??????
�
??????
+??????
�+
??????
�
2
2??????
=
??????
�
??????
+??????
�+
??????
�
2
2??????
Comop
A=0yv
A,tenemos:g
v
z
p
z
E
E
A
A
.2
2



41. ??????
�=(9.81 ????????????/??????
3
)(3.0 ??????
−0.459 ??????) ??????
�=24.93 ????????????/??????
2
??????
�=24.93 ??????�??????

42. Medidor Venturi

43. UntubodeVenturiesundispositivoinicialmente
diseñadoparamedirlavelocidaddeunfluido
aprovechandoelefectoVenturi.Sinembargo,algunosse
utilizanparaacelerarlavelocidaddeunfluidoobligándole
aatravesaruntuboestrechoenformadecono.La
aplicaciónclásicademedidadevelocidaddeunfluido
consisteenuntuboformadopordosseccionescónicas
unidasporuntuboestrechoenelqueelfluidose
desplazaconsecuentementeamayorvelocidad.La
presióneneltuboVenturipuedemedirseporuntubo
verticalenformadeUconectandolaregiónanchayla
canalizaciónestrecha.Ladiferenciadealturasdellíquido
eneltuboenUpermitemedirlapresiónenambospuntos
yconsecuentementelavelocidad.

44. Figura 8.Sistema de medidor
Venturi.

45. Figura 9.Ejemplo
de medidor Venturi.

46. ¡MUCHAS GRACIAS POR
SU ATENCION!