Ecuacion Diferencial de Clairaut, Ejercicios Resueltos

Éste documento contribuye al estudio de las Ecuaciones Diferenciales no linelaes de primer orden, en específico las ecuaciones de Clairaut, mediante ejerccicios resueltos paso a paso y enlaces a los códigos que las resuelven y las grafican

1. EcuacionDiferencialdeClairaut,Ejercicios
Resueltos
BYMANUELALEJANDROVIVASRIVEROL
ecuacionesdiferencialesaplicaciones.com
ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com
1Motivaciónparaestudiar
Sileeshastaelfinaldelartículo,comprenderásypodrásresolverlaecuaciondifer-
encialedeClairaut,parapoderabordarconconfianzasusaplicacionesenelmundode
losfenómenosno-lineales.
Esteartículoteayudaráa:
→DesmitificarlasEcuacionesDiferencialesdeClairaut(EDC)ycomprendersufun-
cionamientodeformaintuitiva.
→Aplicarunametodologíaclarayefectivapararesolvercualquierecuacióndiferen-
cialdeClairaut.
→ConocerlasaplicacionesprácticasdelasEDCendiversasáreasdelconocimiento.
1

2. Figure1.Alexis-ClaudeClairaut
Paralosalumnos,esteartículoofreceunaoportunidadúnicaparasuperarlapercep-
cióndedificultadyencontrarlarelevanciaprácticadeestetemaatravésdeejemplos
concretosyunametodologíaclaraderesolución.
Asuvez,losdocentesencontraránenestaspáginasrecursosvaliososparaenseñar
estetemademaneramásefectiva,conejerciciosresueltospasoapasoyejemplosapli-
cadosquemejoraránlacomprensióndesusestudiantes.
Yparalosprofesionalesingenieros,esteartículoofreceunaperspectivarenovada
sobrelautilidadyaplicabilidaddelasecuacionesdeClairautensucampolaboral,
proporcionandoherramientasprácticasysolucionesefectivaspararesolverproblemas
realesdemaneraeficiente
¿Teapasionanlasmatemáticasyquieresconvertirteenunexpertoenecuaciones
diferenciales?Esteartículoestupuntodepartidaideal.
Consideromásvalientealqueconquistasusdeseos,quealqueconquista
susenemigos,yaquelavictoriamásduraeslavictoriasobreunomismo.
-Aristóteles
2 SECTION1

3. 2ElAlmaalDescubierto:LosSecretosdeCalirautReve-
lados
Figure2.Clairaut,defendiólaaplicabilidaddelasmatemáticasyrealizoaportesenvariasáreasde
lascienciasapesardelasdificultadesquetuvoquesortear.
Alexis-ClaudeClairautfueunmatemáticoyastrónomofrancésnacidoel13demayo
de1713enParísyfallecidoel17demayode1765enlamismaciudad.Desdeunaedad
temprana,Clairautmostróuntalentoexcepcionalparalasmatemáticas.
Fueconsideradounniñoprodigio.Alos12añosescribióundesarrollosobrecuatro
curvasgeométricas,yllegóaalcanzartalprogresoeneltema(bajolatuteladesupadre),
quealaedadde13añosleyóantelaAcademiafrancesaunresumendelaspropiedades
delascuatrocurvasquehabíadescubierto.Tresañosmástarde,completóuntratado
sobrecurvasdedoblecurvatura,Recherchessurlescourbesadoublecourbure,quela
valiósuadmisiónalaAcademiadeCienciasFrancesatrassupublicaciónen1731,a
pesardequeaúnnocontabaconlamínimaedadlegalde18añosparaseradmitido.
Aspectosdestacadosdesuvidaylogros:
−ExpediciónaLaponia:ParticipóenlaexpediciónaLaponiaen1736,dirigida
porPierreLouisMaupertuis,paradeterminarlosgradosdelmeridianoterrestre.
Estaexperienciamarcósucarreraylointrodujoenelmundodelageodesiay
lageografíamatemática.
ELALMAALDESCUBIERTO:LOSSECRETOSDECALIRAUTREVELADOS 3

4. −DebatesobrelaformadelaTierra:Clairautseconvirtióenunfervientedefensor
delachatamientodelgloboterráqueoporlospolosenlugardeporelecuador.Sus
investigacionessobrefluidoscontribuyeronaestapostura.Además,centrósus
estudiosenlaastronomíalunar.
−CálculodelregresodelcometaHalley:En1758,calculóelregresodelcometa
Halleyconunerrorinferioratreintadías.Estelogrodemostrósudestrezaen
lapredicciónastronómica.
−Contribucionesmatemáticas:Clairautrealizóinvestigacionessobrecurvasdedoble
curvatura,laperpendiculartrazadaporM.CassiniyelnuevométododeCassini
paraconocerlaformadelaTierra.TambiéndesarrollólateoríadelaLuna.
Clairauteraconocidoporsudedicaciónaltrabajoysuincansablebúsquedadel
conocimiento.Sumenteanalíticaysucapacidadpararesolverproblemasloconvirtieron
enunmodeloaseguirparamuchosmatemáticosdesuépocayposteriores.
1.Personalidad:
Alexis-ClaudeClairautfueunprodigioprecoz,dominandoelcálculoalos
10añosypresentandotrabajosantelaAcademiaFrancesaalos13años.Su
tenacidadinquebrantablelollevóasuperarunainfanciamarcadaporlaenfer-
medadylapobreza,demostrandounespírituindependientealdesafiarlasnormas
establecidasporlaAcademiaFrancesaconsusideasinnovadoras.Apasionadopor
lacienciadesdejoven,dedicósuvidaalestudiodelasmatemáticas,laastronomía
ylafísica.
2.Psicología:
Ambiciosoyautoexigente,Clairautbuscabaconstantementelaexcelenciaen
sutrabajoynoseconformabaconrespuestastradicionales,siemprebuscando
nuevassoluciones.Erahonestoydirecto,expresandosusopinionessinreservas,
inclusosiestasibanencontradelacorrientepredominante.
3.Dificultades:
Clairautenfrentódesafíosdebidoasusaludfrágil,luchandocontralatubercu-
losisdurantegranpartedesuvida.Sucarácterindependientelegenerótensiones
conalgunoscolegas,yapesardesusnumerososlogros,norecibióelmismo
reconocimientoqueotrosmatemáticosdesuépoca.
4.Curiosidades:
FueelmiembromásjovenenseradmitidoenlaAcademiaFrancesadeCiencias.
SeleatribuyelainvencióndelteoremadeClairaut,querelacionalasderivadaspar-
cialesdeunafunción.Clairautfueunfirmedefensordelusodelasmatemáticas
pararesolverproblemasdelmundoreal.
Clairauttambiénrealizóimportantesinvestigacionesenelcampodelasecuaciones
diferenciales,siendopioneroenelestudiodelasecuacionesdeClairaut,quellevansu
nombre.Sutrabajoenestecamposentólasbasesparaeldesarrolloposteriordela
teoríadeecuacionesdiferencialesytuvounimpactosignificativoenáreascomolafísica
teóricaylaingeniería.
3AplicacionesdelaEcuacionDiferencialdeClairaut
4 SECTION3

5. Algunasdelasáreasdondesepuedenaplicarlosconocimientossobreelmanejoy
solucióndelaecuacióndeClairautseenlistanacontinuación.
→Mecánica:
LaecuacióndiferencialdeClairautseutilizaenmecánicaparamodelarel
movimientodeloscuerposbajolainfluenciadefuerzascomolagravedadyla
friccióndelaire.Porejemplo,alresolverproblemasdelanzamientodeproyec-
tiles,podemosutilizarlaecuacióndeClairautparadeterminarlatrayectoriadel
objetoenfuncióndeltiempoysuposiciónenelespacio.Laformageneralde
laecuacióndemovimientoparabólicoes:
y=xtan(??????)−
gx
2
2v
0
2
cos(??????)
→Termodinámica:
Entermodinámica,lasecuacionesdiferencialesdeClairautseaplicanpara
estudiarprocesoscomolaexpansióndegasesenuncilindroconpistónmóvil.
Estaecuaciónnospermiterelacionarlasvariablestermodinámicascomolapre-
sión,elvolumenylatemperaturaduranteelproceso,loquefacilitaelanálisisy
laprediccióndelcomportamientodelsistema.Laecuacióndeestadodelosgases
idealesrelacionalapresión,elvolumenylatemperaturadeungas:
PV=nRT
→Electromagnetismo:
Figure3.LaecuacióndeClairautseutilizaparamodelarelcomportamientodeloscampos
eléctricosymagnéticos
Enelectromagnetismo,laecuacióndeClairautseutilizaparamodelarelcom-
portamientodeloscamposeléctricosymagnéticos,asícomolapropagaciónde
ondaselectromagnéticasendiferentesmedios.Porejemplo,alestudiarlapropa-
gacióndeunaondaderadio,podemosutilizarlaecuacióndeClairautpara
relacionarlaamplitudylafrecuenciadelaondaconsuvelocidaddepropagación
ydirección.Laecuacióndeondaelectromagnéticadescribelapropagaciónde
ondasdeluz:
∇
2
E−
1
c
2
??????
2
E
??????t
2
=0
APLICACIONESDELAECUACIONDIFERENCIALDECLAIRAUT 5

6. →Acústica:
Enacústica,laecuacióndiferencialdeClairautseempleaparaestudiarla
propagacióndelsonidoendiferentesmediosyanalizarfenómenoscomolareflexión
ylarefraccióndelsonido.Porejemplo,almodelarlapropagacióndelsonido
enunasaladeconciertos,podemosutilizarlaecuacióndeClairautparadeter-
minarladistribucióndelapresiónacústicaenfuncióndelaposiciónyeltiempo.
Estonospermiteoptimizarlaacústicadelasala,considerandoaspectoscomo
laubicacióndelosaltavoces,laformaymaterialesdelasparedes,asícomola
disposicióndelosasientosparagarantizarunaexperienciaauditivaóptimapara
elpúblico.Además,alestudiarlareflexiónylarefraccióndelsonidoendifer-
entessuperficies,podemospreverycorregirposiblesproblemasdeeco,distorsión
opérdidadecalidaddelsonidoenelentorno.LaecuacióndeClairautenacús-
ticaseexpresacomo:
??????
2
P
??????x
2
−
1
c
2
??????
2
P
??????t
2
=0
4Metodología
Paso1.-Formaestándar.CorroboramosquelaEDtengalaforma:
y=xy′+f(y′)
Paso2.Sustituimosy′=p,dondep=p(x),paraencontrarlasolucióngeneraldela
formaparamétricatransformandolaEDaunaEDdeterminosalgebraicosmásmane-
jables,esdecir:
y=xp+g(p) (1)
Paso3.Derivamosrespectodexydespejamos
dp
dx
:
dy
dx
=xp′+p+g′(p)p′
dy
dx
=(x+g′(p))p′+p
(x+g′(p))p′=
dy
dx
−p
Sustituimos:
dy
dx
=p:
(x+g′(p))p′=p−p
(x+g′(p))p′=0
Deéstemodotenemosdoscasos:
x+g′(p)=0 (2)
6 SECTION4

7. y
dp
dx
=0
Paso4.ResolvemoslasEDsParalosdoscasos:
---Caso1.Solucióngeneral:Si
dp
dx
=0,notequeesunaEDdirecta,porloquesu
integraciónes,p=c,dondec≔constante.
Reemplazandoelvalordepen(1)seobtiene:
y=cx+g(c)
queeslafamiladerectassolucióndelaEDdeClairaut.
---Caso2.Solucionesparamétricas.De(1)y(2),tenemos:
x=−g′(p)
y=−pg′(p)+g(p) (3)
quesonlasecuacionesparamétricassolucióndelaED.Éstassolucionesengeneral
representanlasoluciónsingulardelaEDdeClairaut,yaqueenlamayoríadelos
casoslassolucionesparamétricasdelaEDdeCaliraut,nocontienenlaconstantede
integración.
Paso5.Soluciónsingular(envolvente).
→Básicamentebuscamoseliminarelparámetropenlaecuación(1)yobteneruna
solucióndelaforma:F(x,y)=0.
→Éstosepuedeobtenersimplementedespejandoelvalordepen(2),dejandoloen
términosdexysustituyendoloen(1).
→Tambienpodemossustituireldespejeanteriroenlaecuacionparamétrica(3).
Siquieresautomatizartussolucionesconprogramación,utilizandounprograma
potenteyfácildeaprendercomosagemath,terecomendamosnuestroproducto:Clairaut
EcuacionesDiferenciales(códigos),quesoncódigosensagemathparaqueautomatices
tussolucions,estessegurodeéstassinperdertiempoypuedashacersimulación.
5EcuacionDiferencialdeClairaut,EjerciciosResueltos
Ejercicio1.Resolver
y=xy′+(y′)
3
Solución.
Paso1.Formaestándar.
Yatenemoslaformaestándar
Paso2.Sustituimosy′=p.
y=xp+p
3
(4)
ECUACIONDIFERENCIALDECLAIRAUT,EJERCICIOSRESUELTOS 7

8. Paso3.Derivamosrespectodexydespejamos
dp
dx
.
dy
dx
=xp′+p+3p
2
p′
dy
dx
=(x+3p
2
)p′+p
(x+3p
2
)p′=
dy
dx
−p
Sustituimos:
dy
dx
=p.
(x+3p
2
)p′=p−p
(x+3p
2
)p′=0
Deéstemodo,tenemosdoscasos:
x+3p
2
=0 (5)
dp
dx
=0 (6)
Paso4.ResolvemoslaED,paralosdoscasos.
—Caso1.Solucióngeneral.Si
dp
dx
=0,entonces:
p=c
Demodoquesustituyendoen(4),tenemos:
y=xp+p
3
y=cx+c
3
Esdecir,lasolucióngeneralyfamiliaderectassolucionesdelaED,es:
y=cx+c
3
—Caso2.Solucionesparamétricas.Siconsideramos(4)y(5),tenemos:
x=−3p
2
y=−3p
3
+p
3
y=−2p
3
Esdecir,lassolucionesparamétricasson:
x=−3p
2
(7)
y=−2p
3
(8)
ÉstassolucionesparamétricasrepresentanlasoluciónsingulardelaEDdeClairautestudiadapara
éstecaso.Laformadelasoluciónsingularenfuncióndex,y,sededuceacontinuación.
Paso5.Soluciónsingular.
Sidespejamospde(7),tenemos:
p
2
=−
x
3
L
Porloquesustituyendoen(8),tenemos:
y=−2p
3
y=−2
(((((((
−
x
3
L
)))))))
3
y=−2?−
x
3
?
3
2
y
2
=4?−
x
3
?
3
y
2
=−
4
27
x
3
8 SECTION5

9. Demodoquelaenvolventeysoluciónsingulares:
27y
2
=−4x
3
LagŕaficadelassolucionesylaenvolventedelaEDes:
Figure4.RectassolucióndelaEDdeClairauty=xy′−(y′)
3
.Lasoluciónsingularestáencolor
purpura.
Ejercicio2.Resolver
(x
2
−1)(y′)
2
−2xyy′+y
2
−1=0
Solución.
Paso1.Formaestándar.
PodemosnotarquelaEDesdelaforma:
(x
2
−1)(y′)
2
−2xyy′+y
2
−1=0
x
2
(y′)
2
−(y′)
2
−2xyy′+y
2
−1=0
(y−xy′)
2
−(y′)
2
−1=0
Lacualpuedeserdividdaendosecuaciones,comosigue:
(y−xy′)
2
=(y′)
2
+1
y−xy′=(y′)
2
+1fl
Demodoquetenemoslasecuaciones:
y=xy′+(y′)
2
+1fl (9)
y
y=xy′−(y′)
2
+1fl (10)
LascualestienenlaformaestándardelaEDdeClairaut.
Paso2.Sustituimosy′=p,enlaED(9).
y=xp+p
2
+1fl (11)
ECUACIONDIFERENCIALDECLAIRAUT,EJERCICIOSRESUELTOS 9

10. Paso3.Derivamosrespectodexydespejamos
dp
dx
.
dy
dx
=xp′+p+
1
2
(p
2
+1)
−
1
2
2pp′
dy
dx
=
((((((((((((((
(
(
x+
p
(p
2
+1)
1
2
))))))))))))))
)
)
p′+p
((((((((((((((
(
(
x+
p
(p
2
+1)
1
2
))))))))))))))
)
)
p′=
dy
dx
−p
Sustituimos
dy
dx
=p.
((((((((((((((
(
(
x+
p
(p
2
+1)
1
2
))))))))))))))
)
)
p′=
dy
dx
−p
((((((((((((((
(
(
x+
p
(p
2
+1)
1
2
))))))))))))))
)
)
p′=p−p
((((((((((((((
(
(
x+
p
(p
2
+1)
1
2
))))))))))))))
)
)
p′=0
Deéstemodotenemosdoscasos:
dp
dx
=0 (12)
x+
p
(p
2
+1)
1
2
=0 (13)
Paso4.ResolvemoslaED,paralosdoscasos.
—Caso1.Solucióngeneral.Si
dp
dx
=0,entonces:
p=c
Demodoquesustituyendoen(11),tenemos:
y=xp+p
2
+1fl
y=cx+c
2
+1fl
Esdecir,lasolucióngeneralyfamiliaderectassolucionesdelaED,es:
y=cx+c
2
+1fl
—Caso2.Solucionesparamétricas.Siconsideramos(11)y(13),tenemos:
x=
−p
(p
2
+1)
1
2
y=
((((((((((((((
(
(
−p
(p
2
+1)
1
2
))))))))))))))
)
)
p+p
2
+1fl
y=
(((((((((((((((((((
(
(
−p
2
(p
2
+1)
1
2
)))))))))))))))))))
)
)
+p
2
+1fl
y=
−p
2
+p
2
+1
(p
2
+1)
1
2
y=
1
(p
2
+1)
1
2
Esdecir,lassolucionesparamétricasson:
x=
−p
(p
2
+1)
1
2
(14)
y=
1
(p
2
+1)
1
2
(15)
ÉstassolucionesparamétricasrepresentanlasoluciónsingulardelaEDdeClairautestudiadapara
éstecaso.Laformadelasoluciónsingularenfuncióndex,y,sededuceacontinuación.
Paso5.Soluciónsingular.
10 SECTION5

11. Sidespejamospde(14),tenemos:
x=
−p
(p
2
+1)
1
2
x
2
=
p
2
(p
2
+1)
(p
2
+1)x
2
=p
2
p
2
x
2
+x
2
=p
2
x
2
=p
2
−x
2
p
2
x
2
=(1−x
2
)p
2
p
2
=
x
2
1−x
2
Porloquesustituyendoen(15),tenemos:
y=
1
(p
2
+1)
1
2
y=
1
?
x
2
1−x
2+1?
1
2
y
2
=
(((((((((((((((((((((
(
(
1
?
x
2
1−x
2+1?
1
2
)))))))))))))))))))))
)
)
2
y
2
=
1
x
2
1−x
2+1
y
2
=
1
x
2
+1−x
2
1−x
2
y
2
=
1−x
2
1
y
2
=−x
2
+1
Demodoquelaenvolventeysoluciónsingulares:
y
2
+x
2
=1
LagŕaficadelassolucionesylaenvolventedelaEDes:
Figure5.GráficaparalascurvassolucióndelaEDdeClairauty=xy′+(y′)+1fl .Enlagráfica
semuestrapartedelaenvolventeosoluciónsingulary
2
+x
2
=1.
ECUACIONDIFERENCIALDECLAIRAUT,EJERCICIOSRESUELTOS 11

12. Figure6.GráficaparalascurvassolucióndelaEDdeClairauty=xy′−(y′)+1fl .Enlagráfica
semuestrapartedelaenvolventeosoluciónsingulary
2
+x
2
=1.
Figure7.GráficasparalascurvasdelasolucióngeneraldelaEDdeClairauty=xy′+
(y′)+1fl yy=xy′−(y′)+1fl encoloresvarios.Enlagráficasemuestralaenvolventecom-
pletaosoluciónsingulary
2
+x
2
=1,encolorcyan.
Siquieresautomatizartussolucionesconprogramación,utilizandounprograma
potenteyfácildeaprendercomosagemath,terecomendamosnuestroproducto:Clairaut
EcuacionesDiferenciales(códigos),quesoncódigosensagemathparaqueautomatices
tussolucions,estessegurodeéstassinperdertiempoypuedashacersimulación.
Ejercicio3.Resolver
y=xy′−tan(y′) (16)
Solución.
Paso1.Formaestándar.
Yatenemoslaformaestándar.
12 SECTION5

13. Paso2.Sustituimosy′=p.
y=xy′−tan(y′)
y=xp−tan(p) (17)
Paso3.Derivamosrespectodexydespejamos
dp
dx
.
y=xp−tan(p)
dy
dx
=xp′+p−(tan(p)
2
+1)p′
dy
dx
=(x−(tan(p)
2
+1))p′+p
(x−(tan(p)
2
+1))p′=
dy
dx
−p
Sustituimos
dy
dx
=p.
(x−(tan(p)
2
+1))p′=p−p
(x−(tan(p)
2
+1))p′=0
Deéstemodotenemosdoscasos:
dp
dx
=0 (18)
x−(tan(p)
2
+1)=0 (19)
Paso4.ResolvemoslaED,paralosdoscasos.
—Caso1.Solucióngeneral.Si
dp
dx
=0,entonces:
p=c
Demodoquesustituyendoen(17),tenemos:
y=xp−tan(p)
y=cx−tan(c)
Esdecir,lasolucióngeneralyfamiliaderectassolucionesdelaED,es:
y=cx−tan(c)
—Caso2.Solucionesparamétricas.Siconsideramos(19),tenemos:
x=tan(p)
2
+1
x=sec(p)
2
Portantode(17):
y=psec(p)
2
−tan(p)
Esdecir,lassolucionesparamétricasson:
x=sec(p)
2
(20)
y=psec(p)
2
−tan(p) (21)
ÉstassolucionesparamétricasrepresentanlasolucióndelaEDdeClairautestudiada.Acontin-
uaciónlasoluciónsingular(envolvente)entérminosdex,y.
Paso5.Soluciónsingular.
Sidespejamospde(20),tenemos:
x=sec(p)
2
x√=sec(p)
p=sec(x√)
−1
ECUACIONDIFERENCIALDECLAIRAUT,EJERCICIOSRESUELTOS 13

14. Porloquesustituyendoen(21),tenemos:
y=sec(x√)
−1
sec(sec(x√)
−1
)
2
−tan(sec(x√)
−1
)
y=x√x√sec(x√)
−1
−x−1ff
y=xsec(x√)
−1
−x−1ff
Demodoquelaenvolventaosoluciónsingulares:
y=xsec(x√)
−1
−x−1ff
LagráficadelassolucionesylaenvolventedelaEDes:
Figure8.RectassolucióndelaEDdeClairauty=xy′−tan(y′).Lasoluciónsingular,obtenida
mediantelasecuaciones(20)y(21)estáencolormagenta.
Ejercicio4.Resolver
y=xy′+
y′
1+(y′)
2
fl
(22)
Solución.
Paso1.Formaestándar.
Yatienelaformaestándarlaecuación.
Paso2.Sustituimosy′=p.
y=xp+
p
1+p
2
fl
(23)
Paso3.Derivamosrespectodexydespejamos
dp
dx
.
dy
dx
=xp′+p+
(1+p
2
)
1
2
p′−p
1
2
(1+p
2
)
−
1
2
2pp′
1+p
2
dy
dx
=xp′+
?(1+p
2
)
1
2−p
2
(1+p
2
)
−
1
2?p′
1+p
2
+p
dy
dx
=
((((((((((((((((((((((((((((
(
(
x+
(1+p
2
)−p
2
(1+p
2
)
−
1
2
1+p
2
))))))))))))))))))))))))))))
)
)
p′+p
((((((((((((((((((((((((((
(
(
x+
1
(1+p
2
)
1
2
1+p
2
))))))))))))))))))))))))))
)
)
p′=
dy
dx
−p
(((((((((((((((((
(
(
x+
1
(1+p
2
)
3
2
)))))))))))))))))
)
)
p′=
dy
dx
−p
Sustituimos:
dy
dx
=p.
(((((((((((((((((
(
(
x+
1
(1+p
2
)
3
2
)))))))))))))))))
)
)
p′=p−p
(((((((((((((((((
(
(
x+
1
(1+p
2
)
3
2
)))))))))))))))))
)
)
p′=0
14 SECTION5

15. Deéstemodo,tenemosdoscasos:
dp
dx
=0 (24)
x+
1
(1+p
2
)
3
2
=0 (25)
Paso4.ResolvemoslaED,paralosdoscasos.
—Caso1.Solucióngeneral.Si
dp
dx
=0,entonces:
p=c
Demodoquesustituyendoen(23),tenemos:
y=xp+
p
1+p
2
fl
y=cx+
c
1+c
2ff
Esdecir,lasolucióngeneralyfamiliaderectassolucionesdelaED,es:
y=cx+
c
1+c
2ff
—Caso2.Solucionesparamétricas.Siconsideramos(23)y(25),tenemos:
x=−
1
(1+p
2
)
3
2
y=−
p
(1+p
2
)
3
2
+
p
(1+p
2
)
1
2
y=
p(1+p
2
)−p
(1+p
2
)
3
2
y=
p+p
3
−p
(1+p
2
)
3
2
y=
p
3
(1+p
2
)
3
2
Esdecir,lassolucionesparamétricasson:
x=
−1
(1+p
2
)
3
2
(26)
y=
p
3
(1+p
2
)
3
2
(27)
ÉstassolucionesparamétricasrepresentanlasoluciónsingulardelaEDdeClairautestudiadapara
éstecaso.Laformadelasoluciónsingular(envolvente)enfuncióndex,y,sededuceacontinuación.
Paso5.Soluciónsingular.
Sidespejamospde(26),tenemos:
x=
−1
(1+p
2
)
3
2
x
2
3=
1
1+p
2
1+p
2
=
1
x
2
3
p
2
=
1
x
2
3
−1
p
2
=
1−x
2
3
x
2
3
ECUACIONDIFERENCIALDECLAIRAUT,EJERCICIOSRESUELTOS 15

16. Porloquesustituyendoen(27),tenemos:
y=
p
3
(1+p
2
)
3
2
y=
(((((((((((((((((((
(
(
((((((((((((((
(
(
1−x
2
3
x
2
3
))))))))))))))
)
)
1−x
2
3
x
2
3
)))))))))))))))))))
)
)
((((((((((((((
(
(
1+
((((((((((((((
(
(
1−x
2
3
x
2
3
))))))))))))))
)
)
))))))))))))))
)
)
3
2
y=
((((((((((((((
(
(
1−x
2
3
x
2
3
))))))))))))))
)
)
3
2
((((((((((((((
(
(
1+
1−x
2
3
x
2
3
))))))))))))))
)
)
3
2
y
2
3=
1−x
2
3
x
2
3
1+
1−x
2
3
x
2
3
y
2
3=
1−x
2
3
x
2
3
x
2
3
+1−x
2
3
x
2
3
y
2
3=
1−x
2
3
1
Demodoquelaenvolventaosoluciónsingulares:
y
2
3+x
2
3=1
LagráficadelassolucionesylaenvolventedelaEDes:
Figure9.GráficasparalascurvasdelasolucióngeneraldelaEDdeClairauty=xy′+
y′
1+(y′)fl
en
colorverde.Enlagráficasemuestrapartedelaenvolventeosoluciónsingulary
2
+x
2
=1,encolor
magenta.
Paragraficarlaenvolventesepuedeutilizarlassolucionesparaméricasencontradas.
16 SECTION5

17. Figure10.GráficasparalascurvasdelasolucióngeneraldelaEDdeClairauty=xy′−
y′
1+(y′)fl
en
colorverde.Enlagráficasemuestrapartedelaenvolventeosoluciónsingulary
2
+x
2
=1,encolor
magenta.
Paragraficarlaenvolventesepuedeutilizarlasecuacionesparamétricasencontradasintercambian-
dololossignos.
Figure11.GráficasparalascurvasdelasolucióngeneraldelaEDdeClairauty=xy′+
y′
1+(y′)fl
y
y=xy′−
y′
1+(y′)fl
encolorverde.Enlagráficasemuestralaenvolventecompletaosoluciónsingular
y
2
3
+x
2
3
=b
3
2
,encolormagenta,dondebesunnúmerocomplejo.
Ejercicio5.Resolver
y−xy′=
a
2y′
ECUACIONDIFERENCIALDECLAIRAUT,EJERCICIOSRESUELTOS 17

18. Donde:aesconstante.
Solución.Ejercicio.
Paso1.Formaestándar.
Laformaestándarcasiestádada.
y=xy′+
a
2y′
Paso2.Sustituimosy′=p.
y=xp+
a
2p
(28)
Paso3.Derivamosrespectodexydespejamos
dp
dx
.
dy
dx
=xp′+p−
a
2
p
−2
p′
dy
dx
=xp′+p−
a
2p
2
p′
dy
dx
=
(((((((
(
(
x−
a
2p
2
)))))))
)
)
p′+p
(((((((
(
(
x−
a
2p
2
)))))))
)
)
p′=
dy
dx
−p
Sustutuimos:
dy
dx
=p.
(((((((
(
(
x−
a
2p
2
)))))))
)
)
p′=p−p
(((((((
(
(
x−
a
2p
2
)))))))
)
)
p′=0
Deéstemodotenemosdoscasos:
dp
dx
=0 (29)
x−
a
2p
2
=0 (30)
Paso4.ResolvemoslasED,paralosdoscasos.
—Caso1.Solucióngeneral.Si
dp
dx
=0,entonces:
p=c
Demodoquesustituyendoen(28),tenemos:
y=xp+
a
2p
y=cx+
a
2c
Esdecir,lasolucióngeneralyfamiliaderectassolucionesdelaED,es:
y=cx+
a
2c
—Caso2.Solucionesparamétricas.Siconsideramos(28)y(30),tenemos:
x=−
a
2p
2
y=−
ap
2p
2
+
a
2p
y=
a
2p
+
a
2p
y=
a
p
Esdecir,lassolucionesparamétricasson:
x=
a
2p
2
(31)
y=
a
p
(32)
18 SECTION5

19. ÉstassolucionesparamétricasrepresentanlasoluciónsingulardelaEDdeClairautestudiada
paraéstecaso.Laformadelasoluciónsingular(envolvente)enfuncióndex,y,sededuceacon-
tinuación.
Paso5.Soluciónsingular.
Sidespejamospde(31),tenemos:
x=
a
2p
2
p=
a
2x
L
Porloquesustituyendoen(32),tenemos:
y=
a
?
a
2x
?
1
2
y
2
=
a
2
a
2x
y
2
=
2a
2
x
a
y
2
=2ax
Demodoquelaenvolventaosoluciónsingulares:
y
2
=2ax
LagráficadelassolucionesylaenvolventedelaEDes:
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a
2y′
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2
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7Bibliografía
1.Rainville,EarlD.,Bedient,PhillipE.,yBedient,RichardE.(1981)."Elementary
DifferentialEquations".PrenticeHall.
2.Moya,LuisMaría.(2007)."EcuacionesDiferencialesOrdinarias".Editorial
Reverte.
3.VergelOrtega,M.,RincónLeal,O.L.,&IbargüenMondragón,E.(2022).Ecua-
cionesDiferencialesAplicaciones.EditorialUniversidaddeNariño.
4.Simmons,GeorgeF.(2007)."DifferentialEquationswithApplicationsandHistor-
icalNotes".McGraw-Hill.
5.Zill,DennisG.(2012)."AFirstCourseinDifferentialEquationswithModeling
Applications".CengageLearning.
6.Braun,Martin.(2005)."DifferentialEquationsandTheirApplications".Springer.
7.Polyanin,AndreiD.(2002)."HandbookofExactSolutionsofOrdinaryDifferential
Equations".CRCPress.
8.VaronaMalumbres,JoseLuis.(2004)."MétodosClásicosdeResolucióndeEcua-
cionesDiferencialesOrdinarias".Paraninfo.
9.CastroCepeda,Lidia.(2010)."EcuacionesDiferencialesOrdinarias".Pearson
Educación.
10.Herman,R.L.(2008)."AFirstCourseinDifferentialEquationsforScientistsand
Engineers".Brooks/Cole.
24 SECTION7