Ecuaciones Empíricas

Physic for students

1. Ecuaciones Empíricas
Objetivos:
1.Determinar la ecuación empírica del periodo
del péndulo simple
2.Desarrollar métodos gráficos y analíticos
para obtener información del fenómeno en
estudio

2. Problema científico
Solución hipotética
Datos experimentales
Análisis gráfico o estadístico
Ecuación Empírica
?
y ~ x
y = kx
n
y = 0,51x
0.63
nn
yy
xx

3. En todo experimento de laboratorio, se
obtiene un conjunto de valores
correspondientes a dos variables, una
dependiente de la otra. Esta dependencia
entre variables se puede expresar
matemáticamente mediante una función que
toma el nombre de ecuación empírica.
Fundamento teórico

4. En el estudio de un fenómeno se toman
datos experimentales de magnitudes físicas
interrelacionadas.
La relación que existe entre dos
magnitudes puede ser determinada:
A)En forma gráfica (utilizando una
gráfica) y
B)En forma analítica (método
estadístico).

5. ECUACIÓN EMPÍRICA
Es una ecuación obtenida a partir de un
conjunto de valores experimentales de dos
variables. La relación entre las dos variables
se expresa mediante la función matemática:
y = f (x)
donde y es la variable dependiente
x es la variable independiente.

6. Variable independiente(variable x)
Causa del fenómeno en estudio
Presenta menos error
Variable dependiente(variable y)
Se relaciona con el efecto
Presenta mayor error

7. MÉTODO GRÁFICO
¿Cómo hacer una representación gráfica?
Se representa en papel milimetrado una variable frente a la otra.
Eje y
E
j
e

d
e

o
r
d
e
n
a
d
a
s
Variable dependiente
Eje x
Eje de abscisa
Variable independiente

8. Ejemplo
Supongamos que queremos determinar la velocidad de un móvil:
Para ello medimos el espacio recorrido en diferente intervalos de
tiempo
t(s) d(cm)
0 0
5 20
7 28
12 48
18 72
24 96
30 144
(v. indepen) (v. depen)

9. Hacemos un representación gráfica de las variables
t(s) d(cm)
0 0
5 20
7 28
12 48
18 72
24 96
30 144
0 5 10 15 20 25 30
0
20
40
60
80
100
120
140
d

(
c
m
)
t(s)

10. 0 5 10 15 20 25 30
0
20
40
60
80
100
120
140
d
(
c
m
)
t(s)
¿Qué aspecto tiene esta gráfica?
ABXY +=

11. Método Gráfico
0 5 10 15 20 25 30
0
20
40
60
80
100
120
140
d

(
c
m
)
t(s)
q
qtagB=
DY
DX
X
Y
tag
D
D
=q
80)40120(Y =-=D
18)1028(X =-=D X
Y
tag
D
D
=q s/cm4.4
18
80
==
scmv /4.4=

12. ¿Cómo proceder para
hacer un buen gráfico?
1.Uso de papel milimetrado
2.Buena elección de escalas
3.Buen aprovechamiento del espacio disponible
en el papel milimetrado
4.Trazar una línea continua que represente la
tendencia de los puntos experimentales
5.Comparar la curva obtenida con las curvas
tipo

13. Escalas útiles
1 cm
2 cm
5 cm
P
a
p
e
l

m
i
l
i
m
e
t
r
a
d
o
Unidad
física
×10
n
0 1 2 3 4
5
0 1 2
0
1

14. Escala 1cm = 1 N
- -
– – – – – – – –
0 1 2 3 4 5
F(N)
1 cm

15. 0 1 2 3 4
5 F(N)
–

–

– – –

–
0,6
Escala 1 : 1
Ejercicio de lectura de escala
3,95

16. Escala 1 : 5
cm Unidades de Magnitud Física
– – – – – – – –
0 10 20
F(N)
1×10
2 cm

17. Escala 1 : 2
cm Unidades de Magnitud Física
– – – – – – – –
0 10
F(N)
1×10
5 cm

18. 0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
40-
30-
20-
10-
Gráfica L vs F
L(m)×10
-2
Variable independiente
V
a
r
i
a
b
l
e
d
e
p
e
n
d
i
e
n
t
e

19. e
s
c
a
l
a
s
40-
30-
20-
10-
0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
Escala de
1 cm = 1 N

20. e
s
c
a
l
a
s
0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
Escala de
2 cm = 10 m
40-
30-
20-
10-
L
(m)

21. e
s
c
a
l
a
s
0 1 2 3 4 5 6 × 10
3
F(N)
Escala de
5 cm = 1 Kg
2.0-
1.0 –
0.0
m
(kg)

22. 7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Grafica T vs
L
P
e
r
i
o
d
o

T
(
s
e
g
u
n
d
o
s
)
0 0,10 0,20

longitud : L (metros)

23. 8 –
6 –
4 –
2 –
0 –
Grafica T vs
L
P
e
r
i
o
d
o

T
(
s
e
g
u
n
d
o
s
)
0 0,10 0,20 0,30
: L (metros)

24. Papel milimetrado horizontal
7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Gráfica T vs L
0 0,10 0,20

longitud : L (metros)
P
e
r
i
o
d
o

T
(
s
e
g
u
n
d
o
s
)
√

25. 7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Gráfica l vs f
0 0,10 0,20

frecuencia: f (Hertz)
L
o
n
g
i
t
u
d

d
e

o
n
d
a

(
m
e
t
r
o
s
)

26. 7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Gráfica l vs f
0 0,10 0,20

frecuencia: f (Hertz)
L
o
n
g
i
t
u
d

d
e

o
n
d
a

(
m
e
t
r
o
s
)

√

27. 1. Relación lineal y = A + Bx
y
x
y
x
Lineal general Lineal proporcional
y = A + Bx y = Bx
CURVAS TIPO

28. 2. Relación Potencial: y = k x
n
y
x
y
x
y
x
y = k x
n
0 < n < 1
y = k x
n
n < 0
y = k x
n
n > 1

29. Linealización de la curva
Relación Potencial: y = kx
n
Curva Ejem: Parábola
ln y = ln k + n ln x
Relación lineal: Y = A + B X
Cambio de
variables
¯ ¯ ¯ ¯
ln k = A ®

k = e
A
® n = B

30. Linealización de la curva
Relación Potencial: y = kx
n
Curva Ejem: Parábola
ln y = ln k + n ln x
Relación lineal: Y = A + B X
Cambio de
variables
¯ ¯ ¯ ¯
ln k = A ®

k = e
A
® n = B

31. NNF(N)F(N)L(m)L(m)FLFL FF
22
112.972.970.1250.1250.3710.3718.8218.821
223.783.780.1440.1440.5440.54414.28814.288
334.594.590.1520.1520.6980.69821.06821.068
445.405.400.1660.1660.8960.89629.16029.160
556.216.210.1780.1781.1051.10538.56438.564
667.037.030.1950.1951.3711.37149.42149.421
SS29.9829.980.9600.9604.9864.986161.322161.322
x y xy x
2
Metodo Estadistico
Sx Sy Sxy Sx
2
B =
NS(xy) – (Sx)
(Sy)
N(Sx
2
) – (Sx)
2
A =
(Sx
2
)(Sy) – (Sx)(Sxy)
N(Sx
2
) – (Sx)
2
A = 0.078 m
B = 0.0164 m / N

32. ¿Qué relación existe entre el periodo de
un pendulo y su longitud?
L

33. El pendulo simple
T = k L
n
ln T = ln k + n ln L
Y = A + B X
n = B
ln k = A ® k = e
A

34. Tabla 1: Periodo T vs longitud L
NL(cm)t
1
(s)t
2
(s)t
3
(s)t
4
(s)t
5
(s)T(s)
120
225
330
440
550
660
770
880
990
10100
S t
i
50
T =
t
i
: tiempo de 10 oscilaciones

35. Tabla 2: ln T vs ln L
N L(cm) T(s) Ln L Ln T
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

36. Tabla 3: Metodo estadistico
X Y XY X
2
Y
2
N L(cm) T(s) Ln L Ln T lnL.lnT(lnL)
2
(ln T)
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S

37. 0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
20-
15-
10-
5-
0-
F(N)F(N)L(m)L(m)
2.972.970.1250.125
3.783.780.1440.144
4.594.590.1520.152
5.405.400.1660.166
6.216.210.1780.178
7.037.030.1950.195
Gráfica L vs F
L(m)×10
-2
x y

38. 0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
20-
15-
10-
5-
0-
F(N)F(N)L(m)L(m)
2.972.970.1250.125
3.783.780.1440.144
4.594.590.1520.152
5.405.400.1660.166
6.216.210.1780.178
7.037.030.1950.195
Gráfica L vs F
L(m)×10
-2
A = intercepto = 0.08 m
DL = 17.5 – 9.5
DF = 6 –1 = 5 N
Pendiente B =
DL
DF
B = 0.016 m/N
DL = 0.08 m
L = 0.08 + 0.016F
x y

39. 0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
20-
15-
10-
5-
0-
F(N)F(N)L(m)L(m)
2.972.970.1250.125
3.783.780.1440.144
4.594.590.1520.152
5.405.400.1660.166
6.216.210.1780.178
7.037.030.1950.195
Gráfica L vs F
L(m)×10
-2
A = intercepto = 0.08 m
DL = 17.5 – 9.5
DF = 6 –1 = 5 N
Pendiente B =
DL
DF
B = 0.016 m/N
DL = 0.08 m
L = 0.08 + 0.016F
x y

40. 0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
20-
15-
10-
5-
0-
F(N)F(N)L(m)L(m)
2.972.970.1250.125
3.783.780.1440.144
4.594.590.1520.152
5.405.400.1660.166
6.216.210.1780.178
7.037.030.1950.195
Gráfica L vs F
L(m)×10
-2
A = intercepto = 0.08 m
DL = 17.5 – 9.5
DF = 6 –1 = 5 N
Pendiente B =
DL
DF
B = 0.016 m/N
DL = 0.08 m
L = 0.08 + 0.016F
x y

41. 0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
20-
15-
10-
5-
0-
F(N)F(N)L(m)L(m)
2.972.970.1250.125
3.783.780.1440.144
4.594.590.1520.152
5.405.400.1660.166
6.216.210.1780.178
7.037.030.1950.195
Gráfica L vs F
L(m)×10
-2
A = intercepto = 0.08 m
DL = 17.5 – 9.5
DF = 6 –1 = 5 N
Pendiente B =
DL
DF
B = 0.016 m/N
DL = 0.08 m
L = (0.08 + 0.016F)m
x y

42. Papel milimetrado horizontal
7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Grafica F vs DL
0 0,10 0,20

elongación: DL (metros)
f
u
e
r
z
a
:

F
(

N
e
w
t
o
n

)

43. Papel milimetrado horizontal
7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Grafica T vs L
0 0,10 0,20

longitud : L (metros)
P
e
r
i
o
d
o

T
(
s
e
g
u
n
d
o
s
)

44. MÉTODO ESTADÍSTICO
x
1
, y
1
x
2
, y
2
x
n
, y
n
. .
. .
Existe una relación lineal
La ecuación que mejor ajusta estos
puntos es:
ABXY +=
¿Cómo calculamos “B” y “A”?
)X(-XN
)Y(XX-)X)(Y(
=A
i
22
i
iii
2
ii
åå
åååå

)X(-XN
XY-)Y(XN
=B
i
22
i
iiii
åå
ååå
FÓRMULAS DEL INTERCEPTO Y LA PENDIENTE

45. σ =
Sy
2
– BSxy –
ASy
N - 2
D = NSx
2
– ( Sx)
2
DB = σ
N
D
DA = σ
Sx
2
D
Cálculo de los errores absolutos de A y B