Ecuaciones Lineales (Primer Grado)...........................

Ecuaciones Lineales

1. ECUACIONES LINEALES ECUACIONES LINEALES
O DE PRIMER GRADOO DE PRIMER GRADO

2. Una ecuaciónecuación es una igualdad entre dos
expresiones algebraicas que sólo se
cumple para el valor de la incógnita. Si el Si el
exponente de la variable es 1exponente de la variable es 1, se llama , se llama
ecuación linealecuación lineal o de o de primer grado con primer grado con
una incógnitauna incógnita..

3. En una ecuación, la expresión En una ecuación, la expresión
algebraica del lado izquierdo del signo algebraica del lado izquierdo del signo
igual se llama igual se llama primer miembroprimer miembro y la y la
del lado derecho se llamadel lado derecho se llama segundo segundo
miembromiembro..
3
4 6 3
2
x
x  
PRIMER MIEMBROPRIMER MIEMBRO SEGUNDO MIEMBROSEGUNDO MIEMBRO

4. La resolución de una ecuación lineal La resolución de una ecuación lineal
con una incógnita es un procedimiento con una incógnita es un procedimiento
que se basa, fundamentalmente, en la que se basa, fundamentalmente, en la
propiedad de la igualdadpropiedad de la igualdad que que
establece que:establece que:
Si a los miembros de una igualdad se Si a los miembros de una igualdad se
realizan las mismas operaciones, se realizan las mismas operaciones, se
obtiene una nueva igualdad.obtiene una nueva igualdad.

5. Esta propiedad permite dar un enunciado Esta propiedad permite dar un enunciado
que simplifica su aplicación:que simplifica su aplicación:
Cualquier término o factor de un Cualquier término o factor de un
miembro en una igualdad puede pasar miembro en una igualdad puede pasar
al otro miembro si se cambia en la al otro miembro si se cambia en la
operación contraria a la que realizaba.operación contraria a la que realizaba.
Ejemplo:Ejemplo:
4 8
3
2
x
x

  4 8 2( 3)x x  
4 8 2( 3)x x   4 2( 3) 8x x  
Lo que divide pasa
a multiplicar
Lo que suma pasa
a restar

6. 4 2 6 8x x  
4 2 14x x 
Se multiplica lo
que está en el
paréntesis
4 2 14x x 
4 2 14x x 
2x pasa al otro
miembro a restar
2 14x
14
7
2
x

 2 pasa a dividir
4 2( 3) 8x x  
4 2 6 8x x  
Se suman los
números
negativos

7. PROBLEMASPROBLEMAS

8. Para resolver un problema seguimos el Para resolver un problema seguimos el
procedimiento:procedimiento:
a)a)Comprender el problemaComprender el problema
b)b)Identificar la incógnitaIdentificar la incógnita
c)c)Plantear las estrategias de soluciónPlantear las estrategias de solución
d)d)Obtener los datosObtener los datos
e)e)Plantear la ecuaciónPlantear la ecuación
f)f)Obtener el valor de la incógnitaObtener el valor de la incógnita
g)g)Comprobar el valor de la incógnitaComprobar el valor de la incógnita

9. Ejemplo:Ejemplo:
Juan nació cuando su mamá tenía 28 años. Juan nació cuando su mamá tenía 28 años.
Actualmente, la edad de la mamá de Juan es el Actualmente, la edad de la mamá de Juan es el
triple que la de éste. ¿Cuántos años tiene Juan?triple que la de éste. ¿Cuántos años tiene Juan?
DATOS
PLANTEAMIENTO
Juan
Mamá de
Juan
Edad de la mamá
cuando nació Juan
28
Edad actual x 28 + x
Relación actual entre
las edades
28 + x = 3x

10. Algunos problemas que dan lugar a
ecuaciones con paréntesis; las traducimos
y luego, resolvemos las ecuaciones.
Ejemplo:Ejemplo: Encuentra tres números
enteros consecutivos que sumen 108.
ECUACIONES CON PARÉNTEISECUACIONES CON PARÉNTEIS
( 1) ( 2) 108x x x    
: Primer númerox

11. Las ecuaciones con paréntesis; lo
resolvemos aplicando la propiedad
distributiva:
Ejemplo:
ECUACIONES CON PARÉNTEISECUACIONES CON PARÉNTEIS
3 4( 2) 7 5( 5)x x x    
3 4 8 7 5 25)x x x    
3 4 5 7 25 8x x x    
6 24x  4x

12. Para resolver un problema, a veces es necesario
usar como apoyo los gráficos:
Ejemplo:Ejemplo: Un tren salió de una ciudad a una
velocidad de 50 km por hora. Tres horas más
tarde salió otro del mismo punto y en la misma
dirección. Si el segundo tren iba a 75 km por
hora, ¿Cuánto tiempo tardó en alcanzar al
primero?
USO DE GRÁFICOS PARA
RESOLVER PROBLEMAS

13. 50 km/h
75 km/h
Encuentro
x + 3 : Tiempo utilizado
x : Tiempo utilizado
1er Tren
2do Tren
Sea “x horas” el tiempo que utiliza el segundo
tren para alcanzar al primer tren
El primer tren habrá utilizado “x + 3” horas
hasta ser alcanzado por el segundo tren

14. La distancia recorrida será el mismo para
ambos trenes
D
1 =
50km . (x + 3) horas
D
2 =
75km . x horas
50( 3) 75x x 

15. A veces, las ecuaciones son fórmulas con
diferentes variables. Generalmente se les
llama ecuaciones literales. Estas se resuelven
para una de esas variables, despejándola.
Todo el procedimiento que se sigue es el
mismo.
Ejemplo: Resuelve para F la siguiente
ecuación.
9 (C + 40) = 5 (F + 40)

16. Encuentra la solución de las siguientes
ecuaciones.
1.- (5x - 6) + x = 2x + 10
2.- 9m – (m – 4) = 3 + (m – 6)
3.- -10x = -6(4 + 3x)
4.- 2x + 3(x – 2) = 18
5.- -(4x – 17) = 6(x – 3)
6.- 4(x -2) = -5(x +12)

17. Una ecuación con coeficientes
fraccionarios se resuelve
multiplicando ambos miembros de
ésta por el mínimo común múltiplo de
los denominadores. Quitamos los
denominadores. Luego, procedemos
como ecuaciones enteras
ECUACIONES CON COEFICIENTES ECUACIONES CON COEFICIENTES
FRACCIONARIOSFRACCIONARIOS

18. Ejemplo:Ejemplo: Un problema del papiro Un problema del papiro
matemático Rhind (1800 A.C.) dice: matemático Rhind (1800 A.C.) dice:
“Una cantidad más su sétima parte “Una cantidad más su sétima parte
es 19”. El enunciado lleva la es 19”. El enunciado lleva la
intención de preguntar por la intención de preguntar por la
cantidad. Es un enunciado simple cantidad. Es un enunciado simple
cuya expresión simbólica es:cuya expresión simbólica es:
19=
7
x
+x

19. Ejemplo: La tercera parte de un ángulo
sumada con 9° es igual a la quinta parte
del mismo ángulo sumado en 11°. ¿Cuál
es el valor del ángulo?
El proceso de resolución de una ecuación
de primer grado se basa en aplicar
procedimientos algebraicos que van
transformando la ecuación original en
otras más simples.
9 11
3 5
x x
  

20. Ejercicio: Resuelve las siguientes
ecuaciones con fracciones.
1.- 2.-1.- 2.-
3.- 4.-3.- 4.-
4
3
x=
4
7+x2
6=
5
x2
12=1
3
7
+
2
x
52=
6
x
7
x3

21. En ocasiones se nos presentan ecuaciones
que pueden ser expresadas como otras
ecuaciones lineales, después de varias
transformaciones algebraicas. Algunas
son las llamadas ecuaciones literales que
se resuelven para una u otras variables.
ECUACIONES LINEALES POR ECUACIONES LINEALES POR
TRANSFORMACIÓN TRANSFORMACIÓN
ALGEBRAICAALGEBRAICA

22. Ejemplo:Ejemplo: Resolver para y la ecuación
3x – 6y = 8
Ejemplo:Ejemplo: Resolver para C la fórmula
F = 9/5 C + 32
Algunas ecuaciones aparentemente no son
lineales porque la incógnita se encuentra
elevada a un exponente mayor que 1 o
aparece en el denominador de una fracción.

23. Para resolverlas, es necesario
realizar operaciones que no
alteren la igualdad.
Ejemplo:Ejemplo: Resolver la ecuación
2x (x + 5) = -x (10 – 2x) + 100

24. Ejercicio:Ejercicio: Resuelve las siguientes
ecuaciones.
1.- x
2
– 2x + 15 = x + x
2
– 3
2.- -2m
2
– 3m = m (-2x – 6) – 930
3.- 5c + 8d = 13 despeja “d”
4.- 5 (x + a) = 10 (x – 2a) despeja “x”
5.- (w – 1) (w + 1) = w
2
– 2w + 3
6.- (a + 8)
2
+ 12 = (-a – 2)
2
– 5