Ecuaciones simultaneas 2x2 Regla de Cramer

Ejemplo de Solución de Ecuaciones Simultáneas por la Regla de Cramer

1. S olución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas aplicando la Regla De Cramer Autores: Rosy Marcela Palomino Martínez Iván de Jesús Sánchez Piedrahíta

2. - Resolver por determinantes el siguiente sistema: 9x + 11y = -14 6x – 5y = -34 La Regla de Cramer es un método utilizado para resolver sistemas de ecuaciones por determinantes. Ejemplo:

3. Para resolver un sistema utilizando la Regla de Cramer: Paso 1: Hallar la determinante del sistema la cual denominaremos Una determinante es una expresión numérica en la que se toman los coeficientes de x y de y, las cuales se escriben dentro de dos barras de la siguiente manera:

4. De esta manera la determinante del sistema nos quedaría así: 9x + 11y = -14 6x – 5y = -34 9 11 = 6 -5 Vemos que los números dentro de las barras son los coeficientes correspondientes a x y a y . Esta expresión es una determinante de segundo orden porque tiene dos filas y dos columnas.

5. Paso 2: Resolver la determinante del sistema ( ). Una determinante de segundo orden es igual al producto de los términos de la diagonal principal por el producto de los términos de la diagonal secundaria. 9 11 = 6 -5 9 11 = 6 -5 Diagonal Principal Diagonal Secundaria

6. 9 11 = = -45 6 -5 Se multiplican los términos de la diagonal principal. 9 11 = = -45 – 66 6 -5 Luego se multiplican los términos de la diagonal secundaria y el resultado se coloca con el signo cambiado.

7. 9 11 = = -45 – 66 = -111 6 -5 Finalmente se realiza la operación correspondiente dándonos como resultado -111 siendo este el valor de la determinante de todo el sistema.

8. Paso 3: Hallar la determinante de x la cual denominaremos La determinante de x equivale a colocar en la columna de los coeficientes de x los términos independientes de las ecuaciones.

9. De esta manera nos quedaría así: 9x + 11y = -14 6x – 5y = -34 -14 11 = -34 -5 En este caso los coeficientes de x fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

10. Paso 4: Resolver -14 11 = = 70 -34 -5 Se multiplican los términos de la diagonal principal . -14 11 = = 70+374 -34 -5 Se multiplican los términos de la diagonal secundaria y al resultado se le cambia el signo.

11. -14 11 = = 70 + 374 = 444 -34 -5 Se realiza la operación la cual dio como resultado 444 que será el valor de la determinante de x .

12. Paso 5: Hallar la determinante de y la cual denominaremos La determinante de y equivale a colocar en la columna de los coeficientes de y los términos independientes de las ecuaciones.

13. De esta manera nos quedaría así: 9x + 11y = -14 6x – 5y = -34 9 -14 = 6 -34 Aquí los coeficientes de y fueron sustituidos por los términos independientes de las ecuaciones.

14. Paso 6: Resolver 9 -14 = =- 306 6 -34 Se multiplican los términos de la diagonal principal . 9 -14 = =- 306 + 84 6 -34 Después se multiplican los términos de la diagonal secundaria y al resultado se le cambia el signo.

15. 9 -14 = =- 306 + 84 = - 222 6 -34 Por ultimo se realiza la operación dando como resultado -222 el cual será el valor de la determinante de y .

16. Paso 7: Hallar el valor de x . El valor de x se obtiene dividendo el valor de la determinante de x ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ). Es decir

17. = =-4 De esta manera Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se efectúa la división. Siendo éste el valor de x.

18. Paso 8: Hallar el valor de y . El valor de y se obtiene dividendo el valor de la determinante de y ( ) entre el valor de la determinante del sistema ( ). Es decir

19. De esta manera = = 2 Se reemplazan y por sus valores correspondientes y se efectúa la división. Siendo éste el valor de y.

20. Paso 9: Reemplazar los valores de x y de y en la primera ecuación del sistema. 9x + 11y = -14 6x – 5y = -34 9(-4) + 11(2) -36 + 22 = -14 Luego de reemplazar los valores de x y de y, y resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

21. Paso 10: Reemplazar el valor de x y de y en la segunda ecuación. 9x + 11y = -14 6x – 5y = -34 6(-4) - 5(2) -24 - 10 = -34 Luego de haber reemplazado los valores de x y de y, y resolver la ecuación, vemos que el resultado es el mismo.

22. Por lo tanto para el sistema 9x + 11y = -14 6x – 5y = -34 La solución es: x =-4 y = 2 Luego de comprobar vemos que los valores hallados para x y para y satisfacen ambas ecuaciones