Ejemplos de cadenas de Markov - Ejercicios

Ejemplos de Cadenas de Markov con matrices

1. Ejemplos cadenas de
Markov
MODELACIÓN

2. Ejemplo 1:
Unamaquinacuentacontresmotores(1,2y3).Lamáquinafunciona
correctamentesiemprequealmenosdosdelosmotoresesténfuncionando.La
máquinaestádiseñadadetalmaneraquenopuedefallarmásdeunmotorenel
mismodía.Cuandodosdelosmotoresestánestropeados,sonreemplazados
porotrosdosnuevos(cadaunodesutipo)ylamaquinavuelveafuncionarcon
todossusmotoresenbuenascondiciones.Tomemoscomoespaciodeestados
losmotoresqueestánestropeados,E={0,1,2,3,12,13,23}.Supongamosque
cadadíafallaunodelosmotoresquefuncionayquelaeleccióndelmotorque
fallaesaleatoria

4. Ejemplo 2:

5. E={0,1,2,3,4} mensajes en el buffer

6. Ejemplo 3:

8. Ejemplo 4:

9. Ejemplo 5:
Unaagenciadearriendodevehículoshadefinidolavariable
aleatoriaXtcomoelnúmerodeautomóvilesdisponiblesenlaagencia
alfinalizarlasemanat.SeaDtunavariablealeatoriaquerepresentala
demandaporautomóvileslasemanat.Laagenciautilizaunapolítica
dere-ordentalque,sitiene0o1alfinaldelasemana,pidedosmás
quelostendráaliniciodelasemanat+1.Enotroscasos,nopide
automóvilesylacapacidades4.Noseaceptademandapendiente.
SeaXo=4ysupongaquelavariablealeatoriaDttienedistribuciónde
Poissonconλ=2porsemana.Encuentrelamatrizdetransición.
Identifiquelasclasesyclasifiquesusestados.

10. Ejemplo 6:
Suponga que cada mañana (7:00 a.m) se revisan los pacientes en un
centro médico y si están sanos, son dados de alta inmediatamente. La
probabilidad de estar sano es p. Llegan pacientes a tasa ??????�????????????????????????��??????�/
ℎ��??????y en caso de tener espacio (camas disponibles), estos se
hospitalizarán. Estos pacientes también tendrán su revisión a las 7:00
a.m. Se tienen en total 4 camas.
Modele el sistema como una cadena de Markoven tiempo discreto.
Número de pacientes después del proceso de revisión.

11. Ejemplo 7:

13. Ejemplo 8:
Untallertienetresmáquinas,cadamáquinatieneunaprobabilidaddepdefallar
duranteundía.
Lareparacióndura2díascompletos.Porejemplo,siunamáquinafalladuranteeldía
lunes,elmartesymiércolessereparayestaráfuncionandoeldíajuevesaprimera
hora.SeaXtelnúmerodemáquinasfuncionandoaliniciodeldíat,asícomoel
númerodemáquinasenprimerdíaenreparaciónynúmerodemáquinasensegundo
díareparación.
ModeleelprocesocomounacadenadeMarkovdondeelconjuntodeestadosestá
dadorporunvector(a,b,c)dondeaeselnúmerodemáquinasfuncionandoundíat,b
eselnúmerodemáquinasenprimerdíadereparaciónyceselnúmerodemáquinas
ensegundodíareparación.Encuentrelasprobabilidadesdeestadoestableyobtenga
loscostosesperados.

14. Ejemplo 9:
Unhombretiene7sombrillasdistribuidasensucasayel
trabajo.Enlamañanasinoestálloviendo,nollevasombrillay
siestálloviendollevaráencasodequetengadisponible
alguna.Enlatardeladinámicaesigual.Laprobabilidadde
queestélloviendoesp=0.1.Modeleelnúmerodesombrillas
enellugardondeseencuentracomounacadenadeMarkov.

15. Ejemplo 10:
Setienendosurnas.Enlaprimeraurnasetienen4bolasrojasydos
azules.Enlasegundaurnasetienen3bolasrojasy1blanca.Sehace
unprocesodeintercambiodebolasentreurnasdeformasimultánea.
Modeleelnúmerodebolasrojasenlaurna1comounacadenade
Markoventiempodiscreto.

16. Ejemplo 11:
Una agencia de arriendo de vehículos ha definido la variable aleatoria (Xt,Yt)
como el número de automóviles tipo 1 y tipo 2 disponibles en la agencia al
finalizar la semana t (domingo en la noche).
Sea Dtuna variable aleatoria que representa la demanda por automóviles la
semana t.
La agencia utiliza una política de re-ordental que, si tiene 0 o 1 en inventario de
cada tipo de auto, al final del domingo, pide dos más que estarán disponibles el
lunes antes de abrir al público. Los clientes prefieren los automóviles tipo 1 sobre
los tipo 2. Es decir, solamente demandarán el tipo 2 cuando no se tengan
unidades del tipo 1. Máximo se pueden tener 3 autos de cada tipo al inicio del
lunes. No se acepta demanda pendiente. Suponga que la variable aleatoria Dt
tiene distribución de Poisson con λ =3 por semana. Encuentre la matriz de
transición. Identifique las clases y clasifique sus estados.

17. Ejemplo 12:
Un padre sigue el siguiente proceso de asignación de dinero diario a cada uno de sus hijos. Si al
iniciar el día, un hijo no tiene dinero le entrega $i*1000 (i=1,2,3) con probabilidad �
??????. Si al iniciar
el día, el hijo tiene dinero, entonces el padre se lo quita todo con probabilidad w; le quita $1000
con probabilidad m o le da $ 1000 adicionales con probabilidad t.Además, el hijo decide gastar
todo el dinero disponible durante el día con probabilidad q o no gastarlo con probabilidad (1-q).
Máximo el padre le dará $3000.
Modele la cantidad de dinero que tiene el hijo antes de encontrarse con su padre en las
mañanas como una cadena de Markoven tiempo discreto.