Ejemplos resueltos de funciones especiales

funciones especiales. Soluciones de ejercicios

1. DISTRIBUCIÓN CHI
2
CUADRADO DE PEARSON
Ejemplo, El espesor de un semiconductor se controla mediante la variación estándar no mayor a
=0.60 mm. Para mantener controlado el proceso se toman muestras aleatoriamente de tamaño de
20 unidades, y se considera que el sistema está fuera de control cuando la probabilidad de que 2
tome valor mayor o igual al valor de la muestra observado es que es 0.01. Que se puede concluir si
s=0.84mm?

Solución. Existe fuera de control si 22
/s)1n(  con n=20 y =0.60, excede 191.36
2
19,01.0
Entonces, 24.37
60.0
84.0*19s)1n(
2
2
2
2



Por tanto, el sistema está fuera de control

Ejemplo. Un bioquímico sospecha que su micro-centrífuga no mantiene constante su velocidad
mientras trabaja, lo cual le da una variabilidad indeseada en sus determinaciones. Para controlarla,
consigue un tacómetro regulado y mide cada minuto la velocidad durante 10 minutos. Los
resultados fueron: una velocidad promedio en las 10 mediciones de 3098 rpm con una desviación
de 100,4 rpm. Testear para un error relativo máximo del 2% o menos, si la centrífuga es estable.



La desviación estándar es max=2%*3098=62 rpm, luego,
H0: max≤62 rpm
H1: max≥62 rpm
6.23
62
4.100*)110(s)1n(
2
2
2
2
2








De la Tabla de valores críticos surge: χ
2
0,99;9=21,666 y χ
2
0,991;9=27,877. Por lo tanto, el bioquímico
ha encontrado una muy fuerte evidencia que la velocidad del equipo oscila en forma indeseada, tal
como sospechaba. Y deberá ajustarlo si desea disminuir la variabilidad de sus mediciones. Los
resultados fueron muy significativos χ
2
= 23,6

Ejemplo. Un farmacéutico Jefe del Dpto. Control de Calidad en una industria alimenticia, descubre
que en su proceso de producción el contenido de ciclamato en su línea de mermeladas dietéticas
varía en forma indeseada. Sospechando que se trata de una falla en el dosificador, decide tomar
10 muestras seguidas del mismo. Encuentra un promedio de 20 gramos con una desviación de 8
gramos. Si en su protocolo de fabricación la variación máxima permitida es del 3%, determinar si el
dosificador debe ser corregido.
El desviación estándar aceptable es: máx = 3% de 20 g = 6 g. Luego:
H0:máx ≤
H1:máx > 6 g.: el dosificador debe ser cambiado

2. 16
6
8*)110(s)1n(
2
2
2
2
2







De la Tabla de valores críticos surge: 
2
0,95;9=16,9. Por lo tanto, el farmacéutico no ha encontrado
evidencia que respalde sus sospechas. Sin embargo, el valor hallado es muy cercano al crítico,
por lo que le convendría hacer más pruebas.

DISTRIBUCIÓN F SNEDECOR O F-FISHER
Ejemplo, Un valor de f con 6 y 10 grados de libertad para un área de 0.95 a la derecha es,
f0.95,6,10=1/(f0.05,10,6)=1/4.06=0.246

Si de dos poblaciones normales, o aproximadamente normales, se extraen dos muestras aleatorias
e independientes, y a cada una se le calcula su respectiva varianza, el cociente de ambos valores 2
2
2
1
ssF
(con F>1, esto es, siempre se coloca el más grande como numerador) tendrá una
distribución de Fisher, cuyos valores críticos fueron obtenidos por W. Snedecor en una tabla que se
caracteriza por tener dos grados de libertad: el correspondiente al numerador υ1=n1-1 y el del
denominador υ2=n2-1. Programas de computación permiten calcular los valores críticos respectivos



En las Tablas se presenta una hoja para cada nivel de confianza, se eligen los más apropiados
como: 95% ; 97,5% ; 99% ; 99,5% y 99,9%. Como siempre, el área total bajo la curva es la unidad
y se extiende desde 0 a + ∞. La forma es muy parecida a la Chi-cuadrado. se muestran tres casos,
con diferentes grados de libertad, y se marca el valor de F=2,5 con una ,línea punteada vertical.

Ejemplo, El jefe de un laboratorio se encuentra con una técnica de medición fuera del control
estadístico. Para investigar las causas decide investigar si el factor humano tiene incidencia, y
toma una muestra de suero cualquiera la divide en 20 alícuotas. Luego elige 10 de ellas al azar y
se las entrega al laboratorista 1 para que haga las determinaciones; las restantes las encomienda
al laboratorista 2 para que las mida. Los resultados obtenidos son: s1
2
=2,4 es la varianza obtenida
por el laborista, 1 y s2
2
=0,8 para el otro. Decidir si hay diferencia en dispersión entre ambos.

3. H0: 2
2
2
1
H1: 2
2
2
1
El estadígrafo es 0.3
8.0
4.2
F
2
2
2
1






Como se trata de un ensayo de dos colas, para un nivel del 95% de confianza, se busca en las
tablas para: υ1=υ2=n1-1=9 grados de libertad, mientras que α = 0,025 para el límite inferior y α =
0,975 para el superior. Estos valores son F0,975;(9,9) = 4,03.

Luego, para calcular el valor no tabulado α = 0,025 se aprovecha una propiedad que tiene la
función F usando la inversa: F0,025;(9,9) =1/F0,975; (9,9) =1/4,03 = 0,248 Como el valor hallado F=3
cae dentro de la zona de aceptación, no hay evidencia significativa como para decir que el factor
humano tiene incidencia en la dispersión de las mediciones.

DISTRIBUCIÓN t-STUDENT
Ejemplo, En 16 recorridos de prueba de una hora cada uno, el consumo de gasolina de un motor
es de 16.4 gal, con una desviación estándar de 2.1 gal. Demuestre que la afirmación que el
consumo promedio de gasolina de este motor es 12.0 gal/hora

Solución, Sustituyendo n=16, =12.0, x =16.4 y s=2.1 en la formula de t-Student, se tiene 38.8
161.2
0.124.16
ns
x
t 





Para el cual en las tablas, para =5% y 15 gl es insignificante, y por tanto se puede concluir que el
consumo de 12 gal/h es real

Ejemplo, Encuentre los valores de la función para:
a. 14 gl, =97.5%→t0.975=-t2.5%=-2.145
b. P(-t0.025<T<t0.05)=0.925


Ejemplo. Se desea saber si un instrumento de medición cualquiera está calibrado, desde el punto
de vista de la exactitud. Para ello se consigue un valor patrón y se lo mide 10 veces (por ejemplo:
una pesa patrón para una balanza, un suero control para un método clínico, etc.). Suponiendo que
el resultado de estas mediciones arroja una media de 52,9 y una desviación de 3, usando un
patrón de valor 50, se debe determinar si el instrumento está calibrado y la estimación de su error
sistemático, si es que se prueba su existencia (no se usan unidades para generalizar este
ejemplo).

Ho : 

4. H1 :  ibrado. Hay un error sistemático



Se trata de un ensayo de dos colas donde hay  –1=9 grados de libertad. De la Tabla t-
Student se obtienen los valores críticos para el 95% de t0,05 0,01
 es t0,001 
aceptación y rechazo:  
3
103
0.509.52
t 




Dibujando las zonas con los valores críticos, el valor de t cae en la de rechazo para el 95% y no
alcanza para las otras. La conclusión es que se ha probado la existencia de un error sistemático
con una confianza del 95%.

Ejemplo. Se midió colesterol total a 11 pacientes varones adultos escogidos al azar los resultados
obtenidos arrojan una media de 235 mg/dl y un desviación estándar de 35 mg/dl. Ensayar la
hipótesis de que se mantienen por debajo del valor límite de referencia de 220 mg/dl
.
Ho: ≤220 mg/dl
H1: ≥220 ,g/dl

El valor t-Student para una sola cola es,  
42.1
1135
220235
t 




Valor no significativo pues t0.05,10=1.81, entonces  cae dentro del intervalo del 95%

5. Para el caso de una cola, el valor de tablas para el 95% debe ser el que está en la Tabla t-Student
para el 90% en dos colas. La idea es que el 10% en dos colas significa el 5% en cada una, por la
simetría de la curva de t-Student. Luego, para 
cola y t = 2,228 para dos colas. La conclusión es que no puede rechazar la hipótesis nula, por lo
que debe considerarse un colesterol total admisible desde el punto de vista clínico, por estar por
debajo del límite de referencia.

Ejemplo. Un analgésico de plaza, afirma en su propaganda que alivia el dolor en el 90% de los
casos antes de la primera hora luego de su ingesta. Para validar esa información, se hace un
experimento en 20 individuos con cefalea. Se observa que fue efectivo en 15 de ellos.

Ho: ≥0.9
H1: ≤0.9

El valor t-Student para una sola cola es, siendo P el porcentaje de éxitos P=15/20=0.75 y la media
de =0.90 con desviación 067.020/1.0*9.0   
24.2
067.0
90.075.0
t 




Valor es significativo pues t0.999,19=-3.579 o t0.99,19=-2.539 o t0.95,19=-1.729, entonces  cae fuera del
intervalo del 95%. De todas formas la evidencia no alcanza para rechazar la hipótesis a los niveles
del 99% y 99,9%. Se la rechaza al nivel de 95% únicamente. Si bien no es tan terminante, se
puede afirmar que la aseveración es falsa con un 95% de confianza.

Ejemplo. Se aplica un medicamento a 15 pacientes que padecen cierta enfermedad, escogidos al
azar, y un placebo a 20 pacientes. En el primer grupo, la desaparición del estado febril se observa
a las 19 horas de tratamiento en promedio (con una desviación de 2 h.). En el grupo control, la
mejoría se observa en promedio las 25 horas con un desviación de 3 horas. Decidir si el
medicamento modifica el tiempo de curación.

6. Ho: 1=2
H1: 1≠2

El valor t-Student para dos colas para 33 gl, siendo  
06.7
15
4
20
9
01925
t 





Valor cae fuera del intervalo, como el valor hallado de t es mucho más grande que el valor crítico
de tablas para 33 grados de libertad: tα;υ=t0,999;33=3,44 (ensayo de dos colas y un 99,9% de
confianza), por tanto se obtuvieron resultados altamente significativos como para rechazar la
hipótesis nula. Se tiene una prueba científica del efecto del medicamento.

Ejemplo. Se desea verificar si hay diferencia en las mediciones a través de dos métodos clínicos
diferentes. Se toma una muestra de suero lo suficientemente grande como para obtener 10
alícuotas. Se distribuyen al azar 5 alícuotas para cada método. Efectuadas las mediciones, con el
primero se tuvo una media de 85 mg/dl con un desviación de 8 mg/dl. Mientras que con el segundo
se tuvo una media de 83 mg/dl con un desviación de 6 mg/dl.



Ho: 1=2
H1: 1≠2

El valor t-Student para dos colas para 33 gl, siendo  
44.0
5
36
5
64
08385
t 





Por tanto, no se puede rechazar H0, pues hay diferencia entre ambos métodos

Ejemplo. Se escogen al azar dos grupos formados por 20 individuos cada uno, entre los que
padecen cierta alergia. Se administra una droga curativa al primer grupo y se observa una mejoría
en 15 de los casos. Al segundo grupo se le administra un placebo y mejoran 13 de ellos. Ensayar
la hipótesis que la droga sirve para curar ese tipo de alergia. Se emplean las hipótesis siguientes:

H0 : μ1-2 = 0 las diferencias observadas se deben al azar
H1: μ1-2 ≠ 0 la droga produce efecto.

Si se supone que ambas muestras fueron extraídas de la misma población, y por lo tanto no hay
diferencias entre las muestras observadas (H0) μ1-2 = 0, eso significa que el porcentaje de curados

7. en dicha población será π=π1=π2 y habrá que estimarlo con los datos muéstrales, calculando la
proporción ponderada con:
p=( total de curados en las muestras / total muestral ) = (15+13) / 40 = 0,7

Entonces, sacando factor común en la fórmula de la varianza, esta resulta: 
2
(π) = π (1.π) [2 / n]
=(0,7 . 0,3) (2/20) = 0,021
Y es (π) = 0,145; de los datos del problema surgen P1 =15/20 = 0,75 y P2 = 13/20 = 0, 65
t = ( 0,75 – 0,65 ) / (0,021)1/2= 0,69 < t0,95 ; 38=2,02. μ1-2 = 0 cae dentro de 95%.

Un resultado no significativo. Las diferencias observadas no se deben a la droga sino al azar.

Ejemplo. Sea el índice cardíaco CI (respuesta cardiaca normalizada para la superficie del cuerpo)
el cual se mide con un procedimiento invasivo como es el colocar un catéter en el corazón del
paciente llamado Termo-dilución (el método viejo) y la unidad de medición son litros por minuto
tomado por m2 de superficie del cuerpo humano. Se ha propuesto una nueva manera de medir esa
magnitud con una técnica no invasiva, llamada el método de la Bioimpedancia, en la cual se le
adosa un instrumento al cuerpo de paciente en forma externa, y mide en forma eléctrica el valor del
CI usando una escala adecuada (el método nuevo). El criterio clínico de aceptación es: el nuevo
método se considerará equivalente al viejo cuando, en promedio, el valor obtenido difiera en un
20% respecto al promedio aceptado de 2,75 l / min. / m2 para el método del catéter. Esto significa
que el 20% de tal valor es δ = 0,55. Luego el planteo se hace así:

Ho : .μV – μN . = ... > δ = 0,55 o lo que es lo mismo (μV – μN ) = δ = 0,55
H1 : .μV – μN . = ... < δ = 0,55 cuyo equivalente es (μV – μN ) = δ ≠ 0,55


Se toma una muestra de N=96 individuos a los cuales se le aplica el método nuevo, los valores
encontrados fueron un promedio de 2,68 l / min. / m2, y un desviación estándar de 0,26 l / min. / m2
luego será, 
642.2
96
26.0
75.268.2
n
x
t 







Como se observa t=-2.642 es mayor que t0.99,95=-2.62, lo que indica que hay evidencia significativa
como para rechazar a H0

Ejemplo. Se escogen 5 pacientes al azar, del grupo que concurre diariamente al Laboratorio de
Análisis Clínicos a efectuarse una determinación de Uremia. Las muestras extraídas se miden con
el procedimiento habitual y además con una nueva técnica clínica que se desea probar. Ver si hay
diferencia entre ambas técnicas. Los resultados expresados en g/l fueron:

8. Paciente 1 2 3 4 5
Vieja 0.38 0.54 0.22 0.11 0.23
Nueva 0.33 0.45 0.15 0.09 0.22
Diferencia 0.05 0.09 0.07 0.02 0.01

Promedio y desviación estándar, respectivamente: 0.048 y 0.033

Con los valores de las diferencias se calculan 033.0y048.0d  , luego 25.3
5033.0
048.0
t 


Que obviamente es mayor que t0.95,4=2.776, entonces O cae por fuera del intervalo, y entonces se
tienen evidencia significativa de que hay diferencia entre ambas técnicas