Ejercicio resuelto del Equilibrio de Nash

Ejercicio resuelto del cálculo del Equilibrio de Nash en un juego. Identificamos también qué combinaciones de estrategias representan óptimos de Pareto y cuáles no lo son.

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[email protected] @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es



























SOLUCIÓN
(a)
Representamos la matriz de pagos indicando para ambos jugadores cuántos vales darán
al profesor (0, 1, ó 2) cada uno de ellos.


Jugador nº 2
Jugador nº 1

0 1 2
0 1, 1 2, 0’5 3, 0
1 0’5, 2 1’5, 1’5 2’5, 1
2 0, 3 1, 2’5 2, 2

EJERCICIO DE CÁLCULO DEL EQUILIBRIO DE NASH
Un profesor de Teoría Juegos decide jugar con sus alumnos, y ofrece a dos de ellos que han
asistido siempre a clase y que han entregado puntualmente todos los ejercicios que les han
sido encomendados para resolver en su casa, el siguiente juego:
“Os doy ahora mismo, a cada uno de vosotros, dos vales de medio punto. Podéis
quedároslos, y con ello incrementar vuestra nota, o dármelos a mí. Por cada vale de medio
punto que me dé uno de vosotros, le subo al otro la nota un punto, incremento que hay que
sumar a los vales que se haya quedado”.
(a) Represente esta situación como un juego en forma normal y calcule los Equilibrios
de Nash en estrategias puras del juego.
(b) Indique si alguno de ellos tiene una estrategia dominante.
(c) ¿Es el resultado un óptimo paretiano? Indique, si las hay, qué combinaciones de
estrategias supondrían una mejora paretiana respecto al Equilibrio de Nash encontrado.
(d) Indique qué combinaciones de pagos del juego representan óptimos en el sentido de
Pareto.

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Calculamos a continuación cuál sería el resultado que cada uno de los dos
jugadores obtendría en cada una de las celdas, es decir, en función tanto de los
vales que él dé al profesor (y por tanto también de los que se quede), como de los
vales que dé el otro jugador.
Subrayamos para cada posible estrategia de cada jugador, el mayor pago que podría
obtener en función de la estrategia seguida por el otro.
El único Equilibrio de Nash de este juego es (0,0), es decir, que ninguno dará
ningún vale de medio punto al profesor, obteniendo unos pagos respectivamente
ambos jugadores de uno y uno.
(b) Ambos jugadores tienen una estrategia dominante: no dar ningún punto. Con ella
obtienen siempre mejor pago que con las demás estrategias, para cada posible
estrategia del otro.
(c) El resultado no es un óptimo paretiano; es ineficiente en el sentido de Pareto pues
existen otras combinaciones en las que alguno de los jugadores mejora sin que el
otro empeore. Incluso hay una combinación en las que ambos podrían mejorar
frente a la situación inicial. Representarían mejoras paretianas respecto al equilibrio
encontrado, las siguientes combinaciones de estrategias: (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2).
(d) Son óptimos de Pareto esas situaciones en las que para que uno mejore el otro habrá
de empeorar. En este ejercicio serían los pagos correspondientes a las siguientes
combinaciones de estrategias: (2, 0), (0, 2), (2, 1), (1, 2) y (2, 2), es decir: (0, 3), (3,
0), (1, 2’5), (2’5, 1) y (2, 2).


Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los vídeos
correspondientes donde se explica la teoría de juegos en mi página:
http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/juegos.html