Ejercicios resueltos de Electromagnetismo

Colección de ejercicios resueltos de electricidad y magnetismo.
Electrostática, Magnetismo, circuitos

1. MBS
PROBLEMAS RESUELTO DE
ELECTROMAGNETIMSO
Miguel Bustamante S.

2. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Indice de Problemas y Soluciones
Problemas de Fuerza Eléctrica..........................................................................................3
Respuesta ..................................................................................................................................3
Problemas de Campo Eléctrico.......................................................................................4
Problemas de Ley de Gauss..........................................................................................4
Problemas de potencial eléctrico....................................................................................5
Problemas de condensadores.........................................................................................6
Fuerza eléctrica_ Solución.................................................................................................7
Soluciones Campo Eléctrico..............................................................................................8
Soluciones de ejercicios de Gauss..................................................................................11
Soluciones de problemas de potencial............................................................................14
Soluciones a problema de condensadores......................................................................19
Campos Electromagnéticos estáticos.......................................................................................21
Problemas de Corriente eléctrica.........................................................................................21
Problemas de resistencia eléctrica: Ley de Ohm. ..............................................................21
Problemas de leyes de Kuirchoff..........................................................................................22
Problemas de Biot-Savat......................................................................................................23
Problemas de Fuerza magnéticas........................................................................................23
Problemas de ley de Ampere...............................................................................................24
Problemas de Ley de Faraday.............................................................................................26
Problemas de circuito RCL...................................................................................................26
Soluciones de problemas de Corrientes..........................................................................28
Soluciones de problemas de ley de ohm.........................................................................28
Soluciones de problemas de las Leyes de Kirchoff.........................................................29
Soluciones de problemas de Biot-Savat..........................................................................32
Soluciones de los problemas de Fuerza Magnética........................................................34
Soluciones de problemas Ley de Ampere.......................................................................37
Soluciones problemas de Faraday..................................................................................39
Solución de Circuitos RCL...............................................................................................40
Miguel Bustamante S. 1

3. MBS
A
A A
A D
4 C
-5 C
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Problemas de Fuerza Eléctrica
F1.-Se tiene cuatro cargas de valor q=4 C en las esquina de un cuadrado de la do A= 1
A. Calcule la Fuerza que actúa sobre una carga Q= -5 C situada en el eje que atraviesa el
centro y es perpendicular al plano del cuadrado y esta a una distancia d..
Respuesta
F2.-Se tiene una distribución de carga (r)=k
r
a
sobre un disco de radio a, de modo
que la carga total sobre el disco es de -5q. Calcule la Fuerza que actúa sobre una carga de
valor q que está a una distancia d. del centro del disco.
Respuesta
Miguel Bustamante S. 2
Carga q
Disco de radioa, con
densidad de carga 

4. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Problemas de Campo Eléctrico
E1.-Se tiene una distribución circular de radio a, que tiene una densidad de carga () que
depende del ángulo descrito por la siguiente expresión:
=
0
cos
Calcule una expresión para el campo eléctrico en el eje de simetría del anillo.
Respuesta
E2.-Se tiene dos cargas : +q y -q, separadas por una distancia 2d. Encuentre una
expresión para el campo eléctrico en un punto P, de modo que las distancia de P comparada
con la distancia entre las cargas es mucho mayor.
Respuesta.
E3.- Se tiene una disco de radio con la siguiente distribución de carga:
r,=
0
cos
r
Calcular el campo eléctrico en el eje de simetría.
Respuesta
Problemas de Ley de Gauss
G1.-Tenemos una distribución esférica de carga, con densidad volumétrica  de radio a.
Escriba una expresión del campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
Respuesta:
G2.-Se tiene un cilindro de largo infinito y de radio a, que tiene una distribución de carga
radial dado por la siguiente expresión:
r=
0
a
r
Calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
Respuesta
Miguel Bustamante S. 3

5. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Problemas de potencial eléctrico
P1.- Se tienen dos cargas eléctricas de magnitud igual, pero de signos opuestos
separados por una distancia de 2d. Encuentre una expresión para el campo eléctrico en un
punto muy alejado (P>>2d)
Respuesta
P2.-Se tiene un disco con una distribución de carga dada por la siguiente expresión:
r=q1−
r
a
Calcule el potencial y el campo eléctrico en el eje de simetría del disco.
Respuesta
P3.-Se tiene un casquete cilíndrico de material dialéctico de largo L=0.2 m y radio a=0.05
m. Este cuerpo esta cargado , con una carga total igual a 1000e (e, carga del electrón).
1.Calcule El campo eléctrico en el eje de simetría. Grafique la intensidad del campo.
2.Calcule el campo de potencial en el mismo eje y grafique el potencial en el eje.
3.Si se coloca un electrón en el interior, pero con la libertad de moverse en el eje de
simetría, encuentre la expresión de la fuerza que actúa sobre el electrón. Grafique
la magnitud de la fuerza en el eje de simetría
4.Si el electrón está en el punto medio y se perturba teniendo como libertad de
movimiento el eje de simetría, calcule la frecuencia de oscilación del electrón.
Respuesta
P4.-Se tiene un distribución de carga volumétrica esférica (r) que solo depende de la
distancia r, que es la distancia del origen a un punto P. Se sabe que el potencial está
descrito por la fórmula:
Vr=V
0
exp
−r
a
sinr/a
Sabiendo esto encuentre:
•La expresión vectorial del campo eléctrico.
•Grafique el potencial y el Campo E, en el plano X Y, con a=1, y V0=1
•Deduzca la densidad de carga (r).
•Grafique la densidad de carga en función de r., con a=1 y V0=1
Miguel Bustamante S. 4

6. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Respuesta
Problemas de condensadores
C1.-Se tienen dos condensadores de 100 microfarad y 25 microfarad respectivamente. El
primero se cargó a una diferencia de potencial de 100 Volt, mientras el segundo a una
diferencia de potencial de 75 Volt. Si se conectan de modo que las polaridad positivas
coincidan, ¿ Cuál es la diferencia de potencial final?
Respuesta.
C2.-Calcule la capacidad que tiene una esfera de metal, de radio a.
Respuesta.
C3.- Un condensador de placas paralelas, de ancho w, longitud L y separación d
tiene entre las placas una lámina de dieléctrico sólido de constante K. El condensador se
carga a un voltaje V0 usando una batería, como se observa en la figura. Suponiendo que se
retira el dieléctrico a la posición indicada en la figura, ¿cuánta carga hay en el
condensador? ¿La carga total en esta situación es la misma que la inicial, cuando el
dieléctrico ocupaba todo el volumen?
Si K=80, L=10 cm, w=10 cm y d=0.5cm realice un gráfico de la energía del condensador
en función de la distancia x.
Respuesta
Miguel Bustamante S. 5
Voltaje V
0
L
D K
X

7. MBS
A
A A
A D
Eje X
Eje Y
1
2
3
4
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Fuerza eléctrica_ Solución
Solución_1F.-La expresión de la fuerza eléctrica es conocida. En este caso, cada carga q
ejerce una fuerza sobre la carga Q en el eje de simetría. La fuerza neta sobre esta carga es
la suma de las fuerzas individuales de las otras cargas. La expresión matemática de lo
afirmado es:
Asociando un sistema de
referencia, podemos escribir los
ri, que son los vectores relativos
de cada carga q indicando la
posición de Q. El vector r1, que
es el vector diferencia entre la
posición de la carga 1 y la carga
Q. La posición de la carga 1
es :R=a/22i, y la posición de la
carga Q es Dk. Así, el vector r1
es r1=- a/22i+Dk.
En forma similar se procede con los otro vectores obteniéndose los siguientes vectores:
r2=-a/22j+Dk; r3=a/22i+Dk y r4= a/22i+Dk. Recordemos que el vector unitario es el
vector ri divido por el modulo de |ri|.
Aplicando la fórmula de la fuerza FQ se obtiene el siguiente resultado:
F
Q
=k
qQ4Dk
3


a2
2

2
D
2
Solución_2F.- Para resolver el problema debemos primero recordar la expresión de la
fuerza en una distribución continua de carga, actuando sobre una carga de prueba q.
F
q=∫K
qdq'
∣r−r'∣
3
r−r'
En este caso el dq= (r')r'
2
sin(')drd


Miguel Bustamante S. 6
F
Q=∑
i=0
4
k
q
i
Q
r
2
i
r
i

8. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Sobre la base de este sistema de referencia se tiene que r', es el vector que indica la
posición del elemento de carga dq'; r es el vector que indica la posición de la carga q.
Según esto, el vector r'=rcos()j+rsin()k y r=Di
La expresión de fuerza que se obtiene es:
F
Q
D=∫
0
a
dr'∫
0
2
d
r
2
Qr'
3
r'
2
D
2
Di−r'sink−r'cosj
Nótese que la expresión anterior es válida para cualquier función (r), en particular con
la función del problema el resultado que se obtiene es:
F
Q
D=
k
a
KQD∫
0
a
r
3
3
r'
2
D
2
=
k
a
KDa
2
D
2

a
3
a
2
D
2
i
Volver
Miguel Bustamante S. 7
Eje Z
Eje X
Eje Y
Carga q
Disco de radioa, con
densidad de carga 
dq

9. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Soluciones Campo Eléctrico
Solución_E1
Sabemos que la expresión general del campo eléctrico en un punto del espacio descrito
por el vector r, está dado por la siguiente expresión:
(E.1.1)
En este problema dq es igual a dq=()a d; r, es el vector posición del punto donde
queremos calcular el campo eléctrico. En un esquema del problema veremos este punto.
Según el esquema, r=xi , r'()=acos()j+asin()k. Al remplazar en la ecuación E.1.1, se
obtiene:
Ex=k∫
0
2
ad
a
2
x
2

3/2
xi−acosjasin

kE.1.2
Al evaluar la expresión E.1.2, se obtiene el siguiente resultado:
Ex=

0
a
x
2
a
2
3
j
Solución E2.
El campo eléctrico de una carga q es conocido. Cuando tenemos dos carga, el campo
Miguel Bustamante S. 8
Er=k∫
dq
∣r−r'∣
3/2
r−r´
Y
Z
X
dq
r
r'

10. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
eléctrico en el punto P es la suma vectorial de los dos campo eléctrico (principio de
superposición). En este caso tenemos dos cargas de distintos signos.
El campo eléctrico en el punto P es la suma de los campo eléctricos de ambas cargas.
E(R)=E1(R1)+E2(R2)
La expresión del campo eléctrico de la carga 1 (R1) es:
ER
1=k
q
∣R
1∣
3
R
1
En forma análoga se define para E2. Pero, ir, se puede escribir en función del vector R y el
ángulo de elevación  con respecto a la horizontal. El vector R1 que expresado como:
R
1
=RcosiRsinj−djy el vector R
2=RcosiRsinjdj
La expresión E.2.1, va a depender de R y el ángulo . Escribamos el módulo de R1, en
función de R y .
1
∣R
1∣
3
=
1
R
2
d
2
−2Rdcos
3
Como d<<R, podemos realizar una expansión de la raíz, obteniéndose la siguiente
expresión:
•El término (d/R)
2
, es despreciable con respecto a d/R. (Recordar ((d/R)<<1)
1
∣R
1∣
3
=1−
3d
R
cos
3
4
5
2

2d
R
cos
2
...
De igual forma se procede con R2. Remplazando las expansiones de R1 y R2, en E.2.2 y
esta en E.2.1, se obtiene la expresión del campo eléctrico siguiente en el punto P.
ER=kqR
−3d
R
cosdj2
15
4
2
d
4
cos
2

donde el vector R, es R=RcosiRsinj
Miguel Bustamante S. 9
2d
R1
R2
R
P=(x,y)
E.2.1
E.2.2

11. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
volver
Solución E_3
Primero debemos situarnos
en el problema:
La posición en donde
queremos calcular el campo
eléctrico esta dado por el vector r2=xi. La posición del dq está dado por r1=rcos()j+rsin()k.
El dq=(r,)rdrd.
Con los valores de r1,r2 y dq se obtiene la siguiente expresión:
Ex=k∫
0
a
∫
0
2
rdrdr,xi−rcosjrsin

k
r
2
x
2

3/2

Esta integral es iguial a:
Ex=k
0
1
x
2
a
2
−
1
∣x∣
j
Si dibujamos el valor absoluto de E(x), con tal que k es igual a 1, se tiene el siguiente
gráfico:
volver
Miguel Bustamante S. 10
X
Y
Z
dq
E.3.1

12. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Miguel Bustamante S. 11
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
-4 -2 0 2 4
x
Intensidad del campo eléctrico
E(x)

13. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Soluciones de ejercicios de Gauss.
Solución_G1
Para solucionar este problema debemos usar de la ley de Gauss. Este se puede
expresar en forma integral como:
∫
E⋅da=
Q

0
En una simetría esférica el campo está en la dirección del radio, ya que la distribución de
carga es radial.
Para resolver este problema, debemos reconocer dos sectores del espacio que son de
interés para la resolución del problema.
Región I: r<a.
La superficie está dentro de la esfera. El flujo del campo eléctrico por la superficie es
E4r
2
.
La cantidad de carga encerrada en la superficie de radio r (r<a), es Q(r)=4/3r
3
.
Igualando las expresiones, según la ley de Gauss se obtiene que el módulo del campo
eléctrico es:
E(r)=r/(30)
Región II: r>a
En este espacio, la superficie imaginaria esta fuera de la distribución de carga, por tanto la
carga encerrada es Q(r)=4/3a
3
. Y por tanto usando la ley de Gauss se obtiene que el
campo eléctrico es:
E(r)=a
3
/(0r
2
)
Miguel Bustamante S. 12
Superficie esférica S

14. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Solución_G2
Nuevamente en este problema tenemos que reconocer dos regiones de interés.
Región I r<a y región r>a
Región I r>a
Nuevamente aplicamos la ley de Gauss. Sin embargo la superficie va tener la simetría
cilíndrica
Así, se obtiene que: ∫
E⋅dr=E2rldonde r es el radio de la superficie externa y l es
su largo. La carga encerrada por la superficie es: ∫rdv=
0
a2L. De estos resultado
obtenemos que el campo eléctrico en el exterior del cilindro es:
∣E∣=
0a
l

0
r
Región II, r<a
El flujo del campo eléctrico tiene la misma expresión matemática, sin embargo la cantidad
de carga encerrada por la superficie cambia ya que la superficie
Miguel Bustamante S. 13
Cilindro de radio a.
Superficie
cilíndrica
Cilindro de radio a.
Superficie
cilíndrica

15. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
La carga encerrada es: ∫rdv=
0
r2LEl campo eléctrico tiene la forma analítica.
∣E∣=
0
l

0
Volver
Miguel Bustamante S. 14

16. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Soluciones de problemas de potencial
P1. Debemos tener presente que para solucionar este problema debemos recordar la
expresión de el potencial de una carga eléctrica.
Vr=k
q
r
donde r es la distancia de la carga al punto que se quiere estudiar, q la carga y k la
constante.
Vemos por el diagrama que eléctrica potencial en eléctrica punto P, es la suma de dos
potenciales. Así, la expresión del potencial eléctrico en el punto P es:
Vr=k
q
1
r
1
k
q
2
r
2
Como ya sabemos, r1 y r2 se pueden escribir en función del las coordenadas polares
R
1
=RcosiRsinj−dj y R
2=RcosiRsinjdj. Como suponemos que
la distancia de P a las cargas es muy grande podemos usar la misma expansión de r1 y r2
usado anteriormente y remplazarla en la expresión P1.1. Y obtener la expresión del potencial
a una distancia grande en comparación al tamaño de la distancia entre las cargas.
La expresión es:
VR=
2kqd
R
2
cos
Esta expresión es el campo de potencial a un punto alejado del dipolo. Al aplicar el
gradiente a esta expresión se obtiene el campo eléctrico en el punto. Es un ejercicio
recomendable de realizar.
Solución P.2
Debemos recordar que la definición del campo de potencial de un carga puntual está dada
por al expresión:
Miguel Bustamante S. 15
2d
R1
R2
R
P=(x,y)
P.1.1

17. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Vr=k
q
r
en el caso de una distribución continua el q pasa a ser dq, y el r es la distancia relativa
entre el punto donde se quiere calcular el campo y la posición del dq.
En este problema el dq es igual a dq=(r')r'dr'd

Veamos un esquema de problerma:
Así, la expresión del potencial en el eje de simetría r=xi, es:
Vr=k∫
dq
∣r−r'∣
=k∫
0
a
∫
0
2
rrdrd
r
2
r'
2
Remplazando la expresión de la densidad y calculando el potencial según la expresión
anterior obtenemos que el potencial en el eje de simetría es:
Vx=2qka
2
x
2
−∣x∣−
1
a

a
2
a
2
x
2
−
a
2
2
logaa
2
x
2

a
2
2
log∣x∣
Para obtener el campo eléctrico, se aplica el gradiente, es decir:
E=−gradVx(Ejercicio para el alumno inquieto)
volver
Solución_P3
Para resolver el ejercicio uno, debemos primero fijar el sistema de referencia, de modo
que eje de simetría coincida con el eje k.
Este problema debe separarse en dos problemas:
1.el potencial de un disco de densidad de carga ,
2.y el potencial de un cilindro de largo L y radio a, con carga superficial .
Miguel Bustamante S. 16
dq
R'
X
Y
Z

18. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
El potencial de un disco es conocido, y está dado por al expresión:
Ecu 1

En la ecuación Ecu I, es la expresión genérica para un disco en el origen del sistema.
Debemos desplazar en L/2, para obtener la configuración que deseamos, y sumar los
potenciales de los discos en L/2 y -L/2. El potencial de los discos es:
Este es el potencial de los discos situados em L/2 y -L/2.
En el caso del manto del cilindro, debemos resolver directamente la expresión de
potencial
Vz=k∫
dq
r
2−r
1
, donde dq=adz´d, r2=zk y r1=a cos()i+a sin()j+z´k. Los
limites en z´ van desde -L/2 +L/2 y el ángulo . Va de 0 a 2.
El potencial que se obtiene es:
V
cilz=k2aln
zL/2zL/2
2
a
2
z−L/2z−L/2
2
a
2

el potencial total es la suma de los dos potenciales.
V(z)=Vdisc(z)+Vcil(z).
El gráfico de potencial es:
Aplicando el gradiente al potencial obtenemos el campo eléctrico. Este es:
Miguel Bustamante S. 17
V
discz=k2[z−L/2
2
a
2
−∣z−L/2∣zL/2
2
a
2
−∣zL/2∣]
-3
-2.8
-2.6
-2.4
-2.2
-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.2-0.15-0.1-0.05 0 0.050.10.150.2
Potencial V(x)
-v(x)
Vz=k2z
2
a
2
−∣z∣

19. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Ez=k2
z−L/2
z−L/2
2
a
2
−singz−L/2
zL/2
zL/2
2
a
2
singzL/2
La fuerza que actúa sobre el electrón es eE(z). Por tanto, si queremos calcular la
frecuencia de oscilación del electrón debemos obtener una expresión de la fuerza cerca
del origen.
Para conocer la frecuencia de oscilación, debemos resolver la siguiente ecuación
diferencial
−eEz=m¨z
Al expandir en torno a cero la magnitud del campo, se tiene que:
Ez=E0
dE
dz
z=0
zLa frecuencia de oscilación es f=
1
2
1
m
dE
dz
z=0
. Usted debe
evaluar la derivada del campo en torno a cero y obtiene la frecuencia.
Solución_ P4
El potencial tiene la forma para z=0, como se observa en el gráfico.
Tenemos que el campo eléctrico es es el gradiente del potencial eléctrico.E=−

∇V.
En este caso, el campo eléctrico toma la forma :
Miguel Bustamante S. 18
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-0.2-0.15-0.1-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
Potencial V(x)
Campo Elèctrico
1
zL/2zL/2
2
a
2

zL/2
1zL/2
2
a
2
−
1
z−L/2z−L/2
2
a
2

z−L/2
1z−L/2
2
a
2
k

20. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
E=−V
0
e
−r/a
a
sinr/acosr/ar
Si aplicamos nuevamente el gradiente al campo, obtenemos la distribución de carga. Al
derivar nuevamente la distribución da:
r=V
0
e
−r/a
cosr/a
Soluciones a problema de condensadores.
Miguel Bustamante S. 19
Potencial
-4
-2
0
2
4 -4
-2
0
2
4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7

21. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
C1.-Sabemos cual es la diferencia de potencial que están cargados ambos
condensadores.
Calculemos la carga de cada condensador:
•100 microfarad tiene una carga de Q=CV=100 microfarad*100 Volt= 0.01 C
•25 microfarad tiene una carga de Q=CV=25 microfarad*75 Volt= 1875x10
-3
C.
Al conectarse las cargas se distribuyen de acuerdo al potencial final. Sin embargo la carga
total es la misma y se conserva; esta es: 0.011875 C. Cuando están conectados el
sistema se comporta como una conexión en paralelo. La capacidad de un sistema en
paralelo es igual a la suma de los condensadores; en este caso 125 microfarad.
Conocemos la carga, conocemos el condensador por tanto podemos calcular la diferencia
de potencial final V=Q/C=95 Volt.
Solución c2.-
La esfera metálica cargada tiene un campo radial. Desde el exterior, el campo de
potencial se comporta como una carga Q puntual en su centro. En el caso de una esfera
metálica, esta carga esta unifórmente distribuida en su superficie.
La capacidad se define como C=Q/V. V, en este caso es la diferencia de potencia entre
dos puntos; entre dos placas. Una placa es la superficie esférica y la otra está en infinito. Así
el potencial en la placa esférica de radio a es: Va=k
Q
a
Así la capacidad es:
C=a/k=40a
Solución _C3
Recordemos la capacidad de un condensador de placas paralelas
C=A/d. En el caso de la presencia de un dieléctrico que llena todo el espacio entre las
placas, la capacidad es Ck=kC, donde K es el cuociente dieléctrico. En el caso del
problema, podemos pensar que tenemos dos condensadores en paralelos.
La capacidad del condensador con dieléctrico es: Ck(x)= K 

xL/d, y la otra capacidad
es: C(x)= 

(x-L)L/d
La capacidad total es la suma de ambas capacidades, CT(x)=L0/d((1-K)x+L).
La Cantidad de carga sin dieléctrico es igual a VC. En presencia de dieléctrico es igual
Miguel Bustamante S. 20
++++++++++

22. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
a VkC=KVC; es decir la carga con dialéctico a un mismo voltaje es K veces mayor que sin
dieléctrico.
La energía de un condensador es igual a U=1/*2V
2
C. Como están a un mismo potencial
se remplaza C(x) en la ecuación y se obtiene una expresión de la energía en función de x.
Volver
Miguel Bustamante S. 21

23. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Campos Electromagnéticos estáticos
Problemas de Corriente eléctrica
CE1.-Se tienen 100 electrones que van en la dirección de i a una velocidad de C/2. Por
otro lado se tienen 50 iones de Li
+
en la dirección j positivo con una velocidad C/3. Calcule la
densidad de corriente.
Respuesta
CE2.-Se tiene un alambre de un radio a que transporta una corriente eléctrica cuya
distribución radial está dada por la siguiente expresión:
Ir=I
0
sin
r
a

Sobre la base de la expresión anterior, encuentre la densidad de corriente J(r).
Respuesta
Problemas de resistencia eléctrica: Ley de Ohm.
RE1.-Se tiene la siguiente configuración semi-infinita de resistencia de igual valor R.
Calcule la resistencia equivalente de este arreglo.
Respuesta
RE2.-Se tiene un cuerpo cilindrico de radio R y largo L. Este cuerpo està compuesto por
dos tipo de materiales que tienen resistividad distinta. Si el material interior es radio 3/4R y
el resto tiene otra resistividad. Calcule la resistencia equivalente de este circduito.
Respuesta
Problemas de leyes de Kuirchoff
Miguel Bustamante S. 22
Infinito

24. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
KE1 Determine la corriente en cada una de las rama de la figura
Solución_KE1
KE2 El circuito ha sido conectado como se muestra en la figura hace mucho tiempo.
a)¿Cuál es el volyaje a traves del condensador ?
b)Si la batería se desconecta, ¿cuánto tiempo le tomaría al capacitor descargarse
hasta 1/10 de su voltaje inicial?
Respuesta
KE-3 Una resistencia de 4 megaohm y un condensador de 3 F se conectan en serie
con una fuente de poder de 12 volt.
a)¿Cuál es la constante de tiempo del circuito?
b)Exprese la corriente y la carga en el condensador como función del tiempo.
Respuesta
Miguel Bustamante S. 23
4 Volt
12 Volt
1 ohm
3 ohm
5 ohm
1 ohm
8 ohm
8 ohm
2 ohm
4 ohm
1 ohm
1 F
10 volt

25. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Problemas de Biot-Savat
BE1 Se tienen dos anillos separados por una distancia D. Ambos anillos transportan una
corriente i y están contenidos en planos paralelos. Encuentre una expresión del campo
magnético en el eje de simetría y concéntrico de los anillos
Respuesta
BE2 Deduzaca la expresión del campo magnético de una bobina seminfinita de radio R y
una densidad de vueltas por largo de n. Cada linea transporta una corriente i.
Respuesta
BE-3 Se tiene alambre que transporta corriente y tiene forma de un arco de
semicircunferencia correspondiente a a y ub radio de R. Calcule la expresión del campo B en
el punto O, que corresponde al centro de la circunferencia que està contenido el arco.
Respuesta
Problemas de Fuerza magnéticas
FM-1 Se tiene un electro que tiene una velocidad de 0.8c (c, velocidad de la luz) y que
entra en zona donde existe un camo magnético. El campo es perpendicular a la trayectoria el
electrón y entra por la página, ¿que curva va a describir este electrón? Si el campo saliera
de la página¿Cambia la trayectoria?
Respuesta
Miguel Bustamante S. 24

26. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
FM-2 Se tiene un campo magnético cuya dirección es penpendicular a la página. Un
alambre de longitud L y masa M transporta una corriente i. ¿Qué valor y dirección de la
corriente debe tener i para mantener en equilibrio este alambre?
Respuesta
FM-3 Un alambre de longitud infinito estirado, transporta una corriente I. A una distancia
D del alambre hay una bobina cuadrada de ancho a y largo b, que tiene asociado una
corriente R y una bateria V. Calcule la fuerza neta actuando sobre esta espira.
Respuesta
Problemas de ley de Ampere
LA-1 Se tiene un cilindro de radio R, de longitud infinita que transporta una densidad de
corriente descrita por la fórmula J(r)=J0 R/r, para r<R. Encuentre una expresión del campo B
en todos los puntos del espacio.
Respuesta
LA-2 Se tiene que el campo magnético está descrito por la siguiente expresión:
Miguel Bustamante S. 25
Dirección del campo B,
entrando por la pàgina.
Almbre de masa M, y largo
L
Alambre, corriente I
R
Resistencia R
V, fuente de voltaje

27. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Br=B
0e
−r
a
Deduzca la expresión de la densidad corriente J y la corriente I.
Respuesta
LA-3 Se tiene un cilindro largo, de longitud L y radio R construido con un material de
modo que la resistividad de este depende de la distancia al centro de simetría del cilindro a
un punto al interior de este. Si se conecta a una batería de potencial V. Encuentre una
expresión del campo magnético B en todos los puntos del espacio.
Respuesta
Miguel Bustamante S. 26

28. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Problemas de Ley de Faraday
LF-1 Se tiene una bobina toroidal de alto h, radio interior a y exterior b. Calcule la
autoindcutancia L.
Respuesta (Ver apuntes)
LF-2 Se tiene dos rieles paralelos y una barra de masa M y largo L que desliza sobre los
rieles sin roce. Los rieles, en un extremos se cnectan por medio de una resistencia R. Un
campo magnètico entra en forma perpendicular al plano de los rieles. Si inicialmente se da
un impulso v, encuentre una expresión de la velocidad en función del tiempo. (No hay
presencia de gravedad).
Respuesta
Problemas de circuito RCL
RCL-1 -El siguiente circuito se diseño para medir la velocidad de una bala.
Respuesta
Miguel Bustamante S. 27
CE2.1
El condensadro del circuito está cargado por la fuente. La fuente de voltaje
tiene un valor de V. Las resistencia tienen un valor de R=10 ohm y el
condensador, una capacidad de C=40 f. Entre los puntos A y B existe una
distancia de 2 m. Se sabe que el condensador en el momento que corto el
cable en el punto B, con un voltaje de V/6. ¿A qué velocidad iva la bala?
(Calcule la expresión)
A B
R
R
C ,capacida
d
V

29. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
RCL-2 ¿ Es posible encontrar una frecuencia a la cual la impedancia en los terminales
del circuito sea real?
Respuesta
RCL-3 La combinación en serie de una resistencia R y una inductancia L se pone en
paralelo con la combinación en serie de una resistencia R y una capacidad C.
Demuestre que si R
2
=L/C, la impedancia es independiente de la frecuencia.
Respuesta
Miguel Bustamante S. 28
C
R
L
R
R
C
L

30. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Soluciones de problemas de Corrientes
solución_CE1.-Veamos la definición del vector J: J=∑n
iv
iq
idonde ni, es el número de
cargas qi que tienen una velocidad vi. Apliquemos la definición:
J=100c/2i−e50c/3je
Solución_CE2.-Por la definición de la intensidad de corriente, tenemos que:

Conocemos I(r), y la integral, es una integral doble, es decir:
Ir=I
0
sin
r
a
=∫
0
r
∫
0
2
Jrrdrd
Derivando la expresión con respecto a r, se obtiene que:
Jr=I
0
cos
r
a

1
2ar
volver.
Soluciones de problemas de ley de ohm
Solución_RE1.- Supongamos que el arreglo tiene una resistencia igual a r.
Nótese que la unidad que se repite en este arreglo es:
Lo interesante de esto, es que tenemos un arreglo semi infinito. Si restamos uno, o
agregamos una unidad tenemos el mismo arreglo con un valor de r.
Entonces podemos imaginar el siguiente arreglo

La resistencia r está en paralelo a R, y la combinación de ambas esta en serie con R.
Según lo escrito antes, r va a ser igual a la siguiente ecuación
Miguel Bustamante S. 29
Ir=∫
J⋅da
r
r=

31. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
r=R
Rr
Rr

despejando r, obtenemos una ecuación de segundo orden para r:
r
2
−Rr−R
2
=0
y las soluciones son r=
R±5R
2
2
=R1±5/2. La solución con significado físico es con
el signo positivo; no existe resistencias negativas.
Volver
Soluciones de problemas de las Leyes de Kirchoff
Solución_KE1
Primero, debemos identificar las mallas de interes
Si a cada malla asociamos una corriente, I1 e I2 respectivamente, podemos escribir la
ecuación de la caida de cada malla (ley de Kychoff). Nos da el siguiente sistema de
ecuaciones lineales (sentido positiva punteros del reloj):
Malla 1: -4 = 8I1+5(I1-I2)+1 (I1-I2)
Malla 2: 4-12=5(I2-I1)+1(I2-I1) + 3I2+1I2
Con este sistema de ecuaciones, resolvemos el sistema dando los valores de I1=-11/13 e
I2=-17/13
Volver
Miguel Bustamante S. 30
4 Volt
12 Volt
1 ohm
3 ohm
5 ohm
1 ohm
8 ohm
Malla 1
Malla 2

32. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Solución de KE2
Para simplificar, vamos a tomar 3 mallas, donde a cada una de ellas asocamos una
corriente. Además, la dirección positiva será en la dirección de los punteros del reloj.
Según estas mallas, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones.
Malla 1: 10=1(I1-I2)+4(I1-I3)
Malla 2: 0=1(I2-I1)+8I2+Vc.
Malla 3: 0=4(I3-I1)+2I3-Vc
Si se junta la malla 2 y malla 3 se obtiene la ecuación, de acuerdo al sentido elegido
Malla 2 + Malla 3: 0=8I2+2I3+4(I3-I1)+1(I2-I1)
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tienen los siguientes resultados:
I1=3/2, I2=3/2, I3=-1 y Vc=-12 (solución a)
Cuando se desconecta del circuito, el condensador está en paralelo con una resistencia
equivalente, por donde se descarga el condensador. El valor de la resistencia equivalente
es R=10/3 ohm. Luego la descarga del condensador viene dado por la expresión
El tiempo en llegar a un decimo del voltaje es
Volver
Miguel Bustamante S. 31
8 ohm
2 ohm
4 ohm
1 ohm
1 F
10 volt
Malla 1
Malla 2
Malla 3
Vt=12e
−t
10/3∗1F
t=RCln10=0,000007675s

33. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Solución de KE3
El circuito que se estudia es:
Suponiendo que inicialmente el
condensador estaba descargado, la
ecuación diferencuial que rige este circuito
está dado por :
, con . La solución de esta ecuación es
donde i0 = V/R, ya que inicialmente el condensador (t=0 s) se comporta cortocircuitado.
La constante de tiempo es RC=12 s.
Volver.
Soluciones de problemas de Biot-Savat
Miguel Bustamante S. 32
R
C
V=iR
Q
C
Q=∫idt
it=i
0
e
−t
RC

34. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Solución BE1
Primero debemos calcular el capo que produce un anillo, en un punto cualquiera del
eje de simetría
Aplicando la expresión de Biot-Savat, ; en este caso, el
vector y . Si x=Rcos() e y=Rsin(), con .

Recuerde
que .. Remplazando en la ecuación de Biot -Savat, se obtiene
que:
B=

0
4
2piIR
2
R
2
Z−Z'
2

3

k.
Si las corrientes están en la misma dirección, separados por una distancia D, los campos se
suman, con la primera espira en Z'=0 y Z'=D. La suma de los campos da
B=

0
4
2piIR
2
R
2
Z
2

3

k

0
4
2piIR
2
R
2
Z−D
2

3

k
Volver
Solución BE2
Veamos una esquema del problema
Miguel Bustamante S. 33
Figura 1: Esquema del anillo
Z
r'
I
r
Ecu 2: Biot-Savat
B=

4
∫Idlx
r−r'
∥r−r'∥
3
2
r=z

k r'=x'

iy'

jz'

k d

l=Rd


=−sinicosj

35. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
En este caso, el vector r=Z

k, y el vector r'=RcosiRsinjZ'

k.
e Idl=indz'Rd, donde 
=−sinicosj. Utilizando Biot- Savatt, nos da
B=

0
4
∫
0
2
∫
0
∞
indz'Rd
Z

k−Rcosi−Rsinj−z'

k
R
2
Z−Z'
2

3
=
in
0
2
1
z
R
2
Z
2

k
Un bosquejo de la intesnidad de campo se observa en el gráfico siguiente:
Volver
Miguel Bustamante S. 34
Infinito
x
y
Figura 3: Bosquejo del campo B
Figura 2: Forma del solenoide
O
r'
r
Radio del cilindro: R

36. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Solución BE-3
El bosquejo del problema es
En este caso r=0, r'=RcosiRsinjy Id

l=Rd−sinicos

j. en la
ecuación de Biot-Savat,
B=

0
4
∫
0

IRd
−sinicosjx−Rcosi−Rsinj
R
3
=
−
0
4R
Ik
Volver
Soluciones de los problemas de Fuerza Magnética
Solución FM-1
El electrón entre en una zona en donde el campo es vertical a la hoja.
La fuerza actuando sobre el electrón viene dado por la expresión
F=q
e
v×B=ma, que según la segunda ley es igual a la masa por la aceleración.
Miguel Bustamante S. 35
R
R
x
y
e
Campo B, entrando

37. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Desarrollemos la igualdad anterior,
Ecu 3: fuerza de lorentz
al desarrollar este ecuación nos da el siguiente sistema acoplado
m
dv
x
dt
=−q
eB
v
y
y m
dv
y
dt
=q
e
Bv
x
. Al resolver para vx(t) nos da
d
2
v
x
dt²

q
e
2
B
2
m
2
v
x
=0, y como resultado v
x
t=v
0
coswtya impuestas las condiciones
iniciales y w=
q
e
B
m
(*). De la solución, se tiene que v
y
t=
−m
q
e
B
v
0
wsinwt. La
integración de las velocidades nos da las posiciones:
xt=
v
0
w
sinwt,yt=
v
0
w
coswt−1
Esta relación corresponde a una circunferencia de radio R=
v
0
w
.
Una forma de verificar este resultado, es ver los módulos de las fuerzas
m∥a∥=mw
2
R=∣q
e
∣∣v
0
∣∣B∣, y de la relación de w (*), se obtiene que R=
v
0
w
Al cambiar la dirección el campo B, el electrón se deflecta en la dirección contraria.
Volver
Solución FM-2
La fuerza actuando sobre la barra que puede deslizar es F=∫
0
L
Idx

i×−B
0

k=IB
0
L

j.
Para el equilibrio, debe sumar con el peso de la barra cero, es decir
IB
0
L

j.mg

j=0I=
mg
B
0
L
Miguel Bustamante S. 36
ma=q
e∣
ijk
v
x
v
y
0
00−B∣

38. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Volver
Solución FM-3
La corriente en el circuito es Ic=V/R.
El alambre produce un campo B que está dado por la expresión B=

0
2
I
r

k.
La fuerza sobre el circuito viene dado por la expresión F=∮IcdlxB.
En todas las trayectorias del circuito, el elemento vectorial diferencial dl es perpendicular a B.
Calculemos la fuerza por tramos:
Tramos AB: ∫
0
a
Ic

0
I
2D
dxj=Ic

0
I
2D
aj
Tramo BC: ∫
D
Db
Ic

0
I
2y
dyi=Ic
0
I
2
ln
bD
b
i
Tramo CD: ∫
a
0
Ic

0
I
2Db
dx

j=−Ic

0
I
2Db
a

j
Tramo DA: ∫
Db
D
Ic

0
I
2y
dyi=−Ic
0
I
2
ln
bD
b
i
Sumando las fuerza en todo los tramos, no da que la fuerza neta es:
F=−Ic

0
I
2Db
aIc

0
I
2D
aj
Miguel Bustamante S. 37
R
Resistencia R
V, fuente de voltaje
A B
C
D

39. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Volver
Soluciones de problemas Ley de Ampere
SoluciónLA1
Aplicando la ley de Ampere ∮
B⋅dl=
0∫
Jr⋅da. Para r<R, se tiene la siguiente
igualdad por la ley de ampere ∮
B⋅dl=∣B∣2r=
0∫
Jr⋅da=
0
J
0
R2r, por tanto el
campo es ∣B∣=
0
J
0
R. Para r>R, ∮
B⋅dl=∣B∣2r=
0∫
Jr⋅da=
0J
0R
2
2, con el
campo B ∣Br∣=

0J
0R
2
r
Volver
Solución LA2
Popr la ley de Ampere ∮
B⋅dl=
0∫
Jr⋅da=
0
I
El campo es Br=B
0
e
−r
a
,tiene una simetría en torno el eje central (r=0), entonces la
integral del lado izquierdo da
B
0e
−r
a
2r=
0Ir
, de la cual podemos despejar la corriente
I(r): Ir=B
0e
−r
ar

0
.
Derivando la expresión de la corriente I(r) y por la simetría axial, se obtiene
dIr
dr
=−B
0
r−a
a
0
e
−r
a
=Jrr2por lo cual Jr=
−B
0
r−a
a
0
2r
e
−r
a
Volver
Solucion LA3
Se sabe que I=V/R. Si el objeto cilíndrico está conectado por las caras del cilíndrido,
cada sección longitudinal entre las caras está en paralelo.
Supongamos que tomamos una porción circular de radio r, de grosor dr.
Miguel Bustamante S. 38

40. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Esta porsión del material está en paralelo, con cualquier otra porsión del cilindrido. Con esta
consideración podemos escribir la siguiente ecuación:
Ecu 4:
, donde da es el elemento de area da=2rdr, L es el largo del clindro y
(r)=r, donde  es una constante de proporcionalidad. Como cda sección está en paralelo
el producto I(r)R(r)=V, constante. La expresión de R(r), se calcula por 4. Esto da
Rr=
L
r
. Luego, Ir=
Vr
L
.
Ahora, aplicando la ley de Ampere, se tiene que para r<R. 2r∣B∣=
0
Vr
L
, lo que
implica que ∣B∣=
0
V
2L
para r<R. Para r>R, ∣B∣=
0
VR
2Lr
Volver
Miguel Bustamante S. 39
r
Porción de radio r, y grosos dr
d
dr
1
R
=
1

da
L

41. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Soluciones problemas de Faraday
Solución LF-1
Ver solución en el apunte: Capítulo de Faraday.
Volver
Solución LF-2
Realicemos un esquema del montaje:
El flujo magnético en este problema, viene dado por al expresión =∣B∣xL. Al derivar el
flujo, obtenemos la diferencia de potencial
Ecu 5:
. Recordar que la derivada
de la posición es la velocidad. Este potencial inducido produce una corriente I (I=/R), que
depende del tiempo y que en presencia del campo aparece una fuerza actuando sobre el
riel. En este caso, por la ley de Lenz, la corriente va a favor de los punteros del reloj análogo
la fuerza apunta en la dirección -i. La fuerza magnética se puede escribir como
F=−ILBi. La ecuación dinámica de la masa M es: −ILB

i=m
d
2
x
dt
2
. Pero la corriente
depende la velocidad (5). La ecuación dinámica, en función de la velocidad se puede
reescribir como:
dv
dt

BL
2
RM
v=0
La solución de esta ecuación es
Miguel Bustamante S. 40
Figura 4: Esquema de los rieles
R
Masa M
L
Campo Magnético B,
entrandox
=∣B∣Lv

42. MBS

43. MBS
Electromagnetismo 16 de abr de 2022
Volver
Solución de Circuitos RCL
Solucion RCL-1
Como ha pasado mucho tiempo, el condensadoer ya está cargado. Como las
resistencia son iguales, el condensador está cargado aun potencial de V/2. Cuando la bala
corta el cable en el punto A, el condensador se descarga, y lo hace por la resistencia R,
inicialmente el paralelo al condensador. La ecuación de la descarga del condensador es
Vt=
V
2
e
−t
RC
. Cuando la bala corta B, el voltaje en el condensador es V/6. Igualando a la
ecuación de descarga y despejando el tiempo t se obtiene que t=RCln2. Luego la
velocidad es v=
D
RCln2
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Solucion RCL-2
Tenemos una resistencia R en serie con una bobina L, y estos dispositivos en paralelo con
un condensador C. La impedancia de R y L es Z1=R+wLi, y el condensador Z2=-i/(wC).
Como están en paralelo se cumple que 1/Z1+1/Z2=
1
RwLi
wCi. La impedancia
equivalenete es
−wCR
2
i−Rw
3
CL
2
i−wLi
wCR
2
−w
2
CL1
2

La parte imaginaria debe ser cero. Estom
implica que w
3
CL²−wLwCR
2
=0. La soluciones son: w=0 o w=

L−CR²
CL
.
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SoluciónRCL-3
La impedancia Z1=R+wLi, y Z2=R-i/(WC)
Reemplazando el valor de R=L/C, y calcaulando la impedancia equivalente del circuito
da Z=

C
L
real, independiente de w.
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Miguel Bustamante S. 42