El estudio detallado de los polinomios II

Polinomios parte 2

1. 5th of Secondary CHAPTER 1 ÁLGEBRA         G.R   G.A     P             Polinomios

2. MOTIVATING STRATEGY

3. Federico Villareal fue ingeniero, matemático, físico y astrónomo; fue tan extraordinario en su época, que llego a ser comparado con el mismísimo Isaac Newton. Pero ¿por qué? E n 1873, el joven Villareal de 23 años, que para entonces era profesor de secundaria en un colegio de su natal Lambayeque, descubre un método para elevar un polinomio a una potencia cualquiera. El método no tuvo ninguna popularidad hasta que llego a los oídos de otro matemático peruano Cristóbal de Losada, dándose cuenta que era un gran descubrimiento lo bautizo como el “Polinomio de Villarreal”. El método de Villareal no volvió a ser escuchado hasta el 21 de octubre de 1879, año en que Villareal lo inserta en su tesis para obtener el grado de bachiller en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos, la cual tituló: “Fórmulas y métodos que deben completarse en matemáticas puras”. Según Basadre: “Es tan perfecto, que aun para el caso de un binomio resulta más fácil, seguro y rápido que el método del binomio de Newton” . El mismo Villarreal consideró este método como su obra maestra .El método no ha obtenido fama hasta el día de hoy y probablemente nunca la obtenga, pero lo mejor de esto es que tuvimos un matemático como Villarreal que pese a no ser tan famoso como Newton descubrió un método mejor que el suyo. POLINOMIO DE VILLARREAL MOTIVATING| STRATEGY FUENTES: HTTP://WWW.UNFV.EDU.PE/SITE/BIOGRAFIA-FEDERICO-VILLARREAL HTTPS://APRENDIENDOMATE.WORDPRESS.COM/2009/04/05/EL-POLINOMIO-VILLARREAL/ BASADRE GROHMANN, JORGE:  HISTORIA DE LA REPÚBLICA DEL PERÚ (1822 – 1933)

4. HELICO THEORY

5. CHAPTER 1 | HELICOTHEORY POLINOMIOS I. DEFINICIÓN Es aquella expresión algebraica racional entera (donde los exponentes de las variables son enteros positivos) . Ejemplo:   Variables:   Coeficientes:   Término independiente:     EXPONENTES PARTE VARIABLE COEFICIENTE

6. CHAPTER 1 | HELICOTHEORY   II . POLINOMIO EN UNA VARIABLE DEFINIDA EN ℝ Es aquella expresión algebraica que se reduce a la forma general típica Donde:           Coeficientes reales Variable Grado del polinomio Coeficientes principal Término independiente Polinomio Mónico Si el coeficiente principal de , es decir   Ejemplo: Sea     El polinomio T es mónico , ya que su coeficiente principal es 1

7. III. VALOR NUMÉRICO Es el valor que se obtiene al reemplazar la variable de un polinomio por un número determinado. Ejemplo: Sea . Calcule .     Resolución:     Ejemplo: Sea . Halle .     Resolución:             CHAPTER 1 | HELICOTHEORY PROPIEDADES SUMA DE COEFICIENTES: =   TÉRMINO INDEPENDIENTE :  

8. IV. GRADO DE UN POLINOMIO GRADO Grado Relativo (G.R) Grado Absoluto (G.A) PARA MONOMIOS PARA POLINOMIOS         +   Con respecto a una variable específica Con respecto a todas sus variables                       Es una característica de los polinomios relacionada a los exponentes de su variables . GRADO CHAPTER 1 | HELICOTHEORY

9. CHAPTER 2 | HELICOTHEORY V.POLINOMIOS ESPECIALES 1. Polinomio Ordenado Es aquel polinomio cuyos exponentes de la variable que se toma como referencia, guardan un cierto orden, ya sea ascendente(creciente) o descendente(decreciente) .     EJEMPLO: ORDENADO ASCENDENTEMENTE ORDENADO ASCENDENTEMENTE CON RESPECTO A ORDENADO DESCENDENTEMENTE CON RESPECTO A   2. Polinomio Completo Es aquel polinomio que contiene todos los exponentes de la variable que se toma como referencia ( con coeficientes no nulos ), desde el mayor exponente hasta el exponente cero, sin interesar el orden. EJEMPLO:   POLINOMIO COMPLETO OBSERVACIÓN:   POLINOMIO COMPLETO y ORDENADO ASCENDENTEMENTE

10. CHAPTER 2 | HELICOTHEORY 3. Polinomio Homogéneo Es aquel polinomio cuyos términos están constituido por más de una variable que presentan el mismo grado.   EJEMPLO: POLINOMIO HOMOGÉNEO GRADO           4. Polinomios Idénticos Son aquellos polinomios cuyos términos semejantes presentan el mismo coeficiente. EJEMPLO: Si y son idénticos entonces se cumple que:     b     OBSERVACIÓN: También se dice que son idénticos si sus valores numéricos resultan iguales, para cualquier valor asignado a sus variables, se denota por:  

11. CHAPTER 2 | HELICOTHEORY 5. Polinomio Idénticamente Nulo Un polinomio es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son iguales a cero . Si es idénticamente nulo (se denota : ) entonces se cumple que:   EJEMPLO:          

12. HELICO PRACTICE

13. 1. RESOLUCIÓN : Sea el polinomio: además: y . Calcule:                     POR DATO:         REEMPLAZANDO EN :       PIDEN CALCULAR EL :       GRADO CHAPTER 1 | HELICO PRACTICE

14. CHAPTER 2 | HELICO PRACTICE 2. Si el polinomio es homogéneo Halle el valor de   RESOLUCIÓN :     GRADO     COMO ES UN POLINOMIO HOMOGÉNEO              

15. CHAPTER 2 | HELICO PRACTICE 3. RESOLUCIÓN :   Dado el polinomio es completo y ordenado. Calcule la suma de coeficientes de     COMO ES UN POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO GRADO 0                   ASCENDENTE     NOS PIDEN:        

16. CHAPTER 2 | HELICO PRACTICE 4. RESOLUCIÓN :   Si se cumple que ) calcule         +                                        

17. CHAPTER 2 | HELICO PRACTICE 5. RESOLUCIÓN :   Si Es idénticamente nulo, calcule     COMO ES UN POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO                     Luego           También               Reemplazando    

18. 6. RESOLUCIÓN : Si se cumple: Además es la edad de Jorge. ¿Qué edad tendrá Jorge dentro de 5 años?     Cambiando por y reemplazando en la ecuación :       Reemplazando la ecuación         Edad actual de Jorge :         CHAPTER 1 | HELICO PRACTICE

19. CHAPTER 1 | HELICO PRACTICE 7. RESOLUCIÓN :   En la siguiente tabla se muestran las ventas que realizó Paco en el día “n” del mes “m” del año2020       Precio Unitario (S/) Cantidad Cuaderno Regla Lapicero Precio Unitario (S/) Cantidad Cuaderno Regla Lapicero Si P( x;y ) representó el ingreso total en soles y GR(x)-GR(y)=6; GA(P) =38.¿en qué fecha se realizó dichas ventas? P(x;y)       .   .   .   POR DATO:         También:   GRADO