Esplorazione del primo teorema di euclide con il

1. Esplorazione del primo teorema di Euclide con il software Cabri Dato un triangolo rettangolo, determinare la relazione esistente tra ipotenusa, cateto e proiezione del cateto sull’ipotenusa. Per costruire un triangolo rettangolo utilizziamo la proprietà che ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo. Costruzione: Su una semiretta di origine A fissare un punto B Determinato M, punto medio di AB, costruire la circonferenza di centro M passante per A Costruire la semicirconferenza ( comando Arco di circonferenza) per A, B e un punto della circonferenza Fissato C sulla semicirconferenza costruire il triangolo ABC

2. Il triangolo ABC è un triangolo rettangolo perché l'angolo che insiste sulla semicirconferenza ACB e' la metà dell'angolo piatto al centro AOB. Costruire la perpendicolare per C ad AB e l’intersezione H tra tale perpendicolare ed AB Costruire l’altezza relativa all’ipotenusa CH e la proiezione AH Nascondere gli oggetti del disegno lasciando solo il triangolo, la sua altezza e la semicirconferenza

3. Si vuole ora studiare la relazione tra il cateto AC, la proiezione AH e l’ipotenusa AB Disegnare un piano cartesiano di centro O con il comando Mostra gli assi Costruire con il comando Compasso la circonferenza di centro O e raggio AC e chiamare X la sua intersezione con l’asse delle ascisse Costruire con Compasso la circonferenza di centro O e raggio AH e chiamare Y la sua intersezione con l’asse delle ordinate Tracciare le perpendicolari per X e Y ai rispettivi assi e costruire il punto P individuato dalla loro intersezione Costruire il luogo geometrico descritto da P al variare di C sulla semicirconferenza prima con il comando Traccia successivamente con Luogo

4. Si tratta di una parabola, infatti avvicinando il puntatore alla conica compare la scritta “ Questa parabola”. Individuare cinque punti di tale luogo e con il comando Conica disegnare la conica passante per i 5 punti Si tratta di una parabola passante per l’origine la cui equazione è del tipo che nel caso in questione si può scrivere . Con il comando Coordinate ed equazioni si determina l’equazione della conica Con il comando Puntatore cliccare sul punto C spostandolo lungo la semicirconferenza Muovendo il punto C sulla semicirconferenza l’equazione della parabola risulta invariata. Questo significa che il rapporto tra e rimane costante, cioè non dipende dal variare della lunghezza dei due lati. Notiamo infatti che variano i raggi delle due circonferenze, ma non varia l’apertura della concavità della parabola.

5. Esploriamo ora se vi è qualche relazione tra l’equazione della parabola e il diametro della semicirconferenza. Per facilitare l’esplorazione facciamo variare il diametro AB in base a numeri stabiliti dall’utente. L’equazione della parabola cambia e l’apertura della concavità aumenta o diminuisce trascinando il punto B lungo la semiretta. Osserviamo che il valore della lunghezza di AB non è altro che il coefficiente della y. Dunque il parametro k della parabola assume il significato geometrico della lunghezza del segmento AB, cioè k = AB. Poiché X = AC e Y = AH si ha che X 2 = kY si trasforma in AC 2 = AB · AH Si può dunque affermare: Primo teorema di Euclide In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa. Lunghezza di AB Equazione della parabola 1 cm X 2 – Y = 0 2 cm X 2 – 2Y = 0 3 cm X 2 – 3Y = 0 4 cm X 2 – 4Y = 0 5 cm X 2 – 5Y = 0

6. Questo è il grafico che si costruisce u tilizzando il software Cabri.

7. Per poter visualizzare il grafico esegui il Download della presentazione e del software Cabri Géomètre II Plus. Successivamente c licca su questa icona per aprire il collegamento. S posta il punto “C” sulla semicirconferenza e osserva come varia il grafico. Questo lavoro è stato realizzato da Surdi Paolo, a lunno della classe 3 ’ sez. “ C” del Liceo Scientifico “V. Fardella ”