Estados de Tensión y Deformación: Tensor de Tensiones - Problema de Aplicación - Ejercicio N° 1 de la Guía de Problemas Propuestos

Definición de tensión y Tensor de Tensiones - Resolución del Ejercicio N° 1 de la Guía de Problemas Propuestos

1. Estados de Tensión y
Deformación
Tensor de Tensiones
Ejercicio N°1 de la Guía de Problemas
Propuestos
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Introducción
Veamos la definición
de Tensión:
Se denomina tensióna la magnitud física que representa la fuerza por unidad de área
en el entorno de un punto material sobre una superficie real o imaginaria de un medio
continuo.
Con el objeto de explicar cómo se transmiten a través de los sólidos las fuerzas externas
aplicadas, es necesario introducir el concepto de tensión, siendo este, el concepto físico
más relevante de la mecánica de los medios continuos, y de la teoría de la elasticidad.
Dependiendo de la orientación del plano en cuestión,
el vector tensión puede no ser perpendicular al
mismo, y puede descomponerse en dos vectores: una
componente normal al plano, llamadatensión
normal(), y otro componente contenida en el plano,
denominadatensión cortante().

3. Introducción


x

y

z

xy

xz

zx

yx

zy

yz
x
y
z
A
Consideremos el equilibriode un tetraedro
elemental ABCD:
Conociendo 
x, 
y, 
z,
xy, 
yz, 
xzla tensión 
que se ejerce sobre un plano que pasa por A,
cuya normal tiene por cosenos directores (l, m,
n) y considerando que…
…si dses el área de la cara BCD, las áreas de las
caras ACD, ABDy ABCserán respectivamente:
l.ds, m.ds, n.ds…
l.ds
m.ds
n.ds
B
C
D ds
…el equilibrio del tetraedro conduce a
las siguientes ecuaciones:







nml
nml
nml
zyzxzz
zyyxyy
zxyxxx




4. Introducción
z
y
x
A
Consideremos el equilibriode un tetraedro
elemental ABCD:
… siendo las componentes 
x, 
y, 
z…

x

y

z

… estas relaciones muestran que el conjunto de las
tensiones alrededor de un punto forman un tensor
simétrico:





















n
m
l








z
y
x
zyzxz
zyyxy
zxyxx
… siendo además:

222
22
222
1
sin
cos
nml
nml
zyx
zyx







n (normal al plano BCD)
C
D
B
… donde:



x

y

z

xy

xz

zx

yx

zy

yz
(proyección
de sobre la
normal n)
(proyección
de sobre el
plano BCD)

5. Introducción
z
y
x
A
…por lo tanto:
El vector tendrá las siguientes componentes:

x, 
y, 
zreferidas al la terna x,y,z …

x

y

z

n (normal al plano BCD)
C
D
B


… y las siguientes componentes: ,referidas
a la normal ny al plano BCD…
Las componentes 
x, 
y, 
zson invariantes para
un determinado estado tensional, pero las ,
dependerán del plano de referencia…
… por lo tanto habrá un plano para el cual, las
tensiones serán máximas y las tensiones
mínimas (
min= 0) …
… estas direcciones definen las direcciones
principalesy las tensiones correspondientes
serán las tensiones principales.

6. Enunciado
Veamos el siguiente
ejemplo:
Referido a una terna (x,y,z) se ha determinado para un plano cuya normal “n”exterior
tiene los cosenos directores (l,m,n) que las componentes del vector de tensiónson
(
x,
y,
z).Se pide:
Escribir las ecuaciones vectoriales de los vectores “n”y .
Determinar la componente normal y la tangencial .
Hacer la figura de análisis.
Datos: l = 0,4; m = 0,6; 
x= 20 MN/m
2
; 
y= 100 MN/m
2
; 
z= 30 MN/m
2

7. Resolución
Definiremos primero el valor del coseno
director “n”: 
22222
11 mlnnml 
Siendo: 6928,06,04,01
22
n
…por lo tanto, el vector “n”será:zyx
eeen  6928,06,04,0  kjin 6928,06,04,0
…y el vector resulta:k
m
MN
j
m
MN
i
m
MN

222
3010020

8. Resolución
Determinamos la componente
normal y la tangencial :
Las determinamos como sigue… 
2
222222
30,1063010020
m
MN
zyx      6928,0;600,0;400,030;100;20n 2
78,88
m
MN
 
22

…y siendo:
…calculamos el módulo del vector tensión :
…calculamos su proyección sobre la normal al plano “n”por medio de producto escalar :2
46,58
m
MN


9. Resolución
…y la figura de
análisis será:
z
y
x
A

x

y

z

n (normal al plano BCD)
C
D
B



10. Bibliografía
EstabilidadII-E.Fliess
Introducciónalaestáticayresistenciademateriales-C.Raffo
Mecánicademateriales-F.Beeryotros
Resistenciademateriales-R.Abril/C.Benítez
Resistenciademateriales-LuisDelgadoLallemad/JoséM.QuintanaSantana
Resistenciademateriales-V.Feodosiev
Resistenciademateriales-A.Pytel/F.Singer
Resistenciademateriales-S.Timoshenko

11. Muchas Gracias