Euclides e seus Elementos - IFMA

Um breve resumo sobre os elementos de Euclides.

1. EUCLIDES E SEUS ELEMENTOS Lemilson Marques da Silva; Leandro Marques da Silva; Gleiciane Sousa Acadêmicos: - IFMA – CAMPUS BURITICUPU Licenciatura em Matemática Curso: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

2. Quem foi Euclides? Pouco se sabe sobre a vida e a personalidade de Euclides, salvo que foi ele, segundo parece, o criador da famosa e duradoura escola de matemática de Alexandria da qual, sem duvida, foi professor. Desconhecem-se também a data e o local de seu nascimento, mas é provável que sua formação matemática tenha se dado na escola platônica de Atenas.

3. Os “Elementos” de Euclides Embora Euclides fosse autor de vários trabalhos, ficou famoso principalmente pelos seus Elementos . Parece que esse trabalho notável imediata e completamente superou todos os Elementos precedentes. Tão logo o trabalho apareceu, ganhou o mais alto respeito e, dos sucessores de Euclides ate os tempos modernos, a mera citação do numero de um livro e o de uma proposição de sua obra-prima e suficiente para identificar um teorema ou construção particular .

4. Algumas observações sobre os elementos: N enhuma cópia dos Elementos de Euclides data verdadeiramente da época de seu autor ; A primeira tradução latina completa dos Elementos não foi feita do grego mas sim do árabe; A primeira edição impressa dos Elementos foi feita no ano de 1482 em Veneza, sendo a primeira obra de matemática importante a ser impressa após o surgimento da imprensa. Com exceção da Bíblia, os elementos de Euclides foi o livro texto mais bem sucedido e mais largamente usado e estudado e que mais influenciou o pensamento já escrito. Foi usado como texto básico de geometria no mundo ocidental por cerca de 2000 anos. Houve outros Elementos anteriores ao de Euclides.

5. O conteúdo dos “Elementos” Os Elementos de Euclides não tratam apenas de geometria, mas também de teoria dos números e álgebra elementar (geométrica ). O livro se compõe de 465 proposições distribuídas em 13 livros . O Livro I começa com definições, postulados e axiomas preliminares necessários ; As 48 proposições do Livro I se distribuem em três grupos e tratam das propriedades do triângulo, teoria das paralelas e as que lidam com paralelogramos, triângulos e quadrados, com atenção especial a relações entre áreas. A proposição I 47 é o teorema de Pitágoras com uma demonstração atribuída universalmente ao próprio Euclides e a proposição final, I 48, é o recíproco do teorema de Pitágoras .

6. O Livro II , relativamente pequeno com suas 14 proposições, lida com transformações de áreas e com a álgebra geométrica da escola pitagórica. O Livro III , possui 39 proposições e contem muitos dos teoremas familiares sobre círculos, cordas, secantes, tangentes e medidas de ângulos associados que hoje fazem parte dos textos de geometria elementar. No Livro IV , que tem apenas 16 proposições, discute-se a construção, com régua e compasso, de polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 e 15 lados bem como a inscrição e a circunscrição desses polígonos num circulo dado .

7. O Livro V e uma exposição magistral da teoria das proporções de Eudoxo . Foi por meio dessa teoria, aplicável tanto a grandezas comensuráveis como a grandezas incomensuráveis, que se resolveu o “escândalo logico” decorrente da descoberta dos números irracionais pelos pitagóricos. O Livro VI aplica a teoria das proporções eudoxiana à geometria plana . Os Livros VII, VIII e IX, que no total tem 102 proposições, tratam da teoria elementar dos números. O livro VII começa com o processo, hoje conhecido como algoritmo euclidiano , para achar o máximo divisor comum de dois ou mais números inteiros e o usa para verificar se dois inteiros são primos entre si.

8. O Livro VIII ocupa-se largamente das proporções continuas e progressões geométricas relacionadas . Se temos uma proporção continua a : b = b : c = c : d , então a , b , c , d formam uma progressão geométrica. No Livro IX encontram-se muitos teoremas significativos. A Proposição IX 14 é equivalente ao importante teorema fundamental da aritmética — a saber, que todo inteiro maior que 1 pode se expressar como produto de primos de uma e, salvo quanto à ordem dos fatores, uma só maneira . O Livro X focaliza os irracionais — isto é, segmentos de reta incomensuráveis com um segmento de reta dado. Para muitos especialistas, esse livro é, talvez, o mais notável dos Elementos.

9. Os três livros restantes, XI, XII e XIII tratam de geometria sólida e cobrem grande parte do material, com exceção do que diz respeito a esfera, comumente encontrado nos textos para a escola secundaria . As definições, os teoremas sobre retas e planos no espaço e os teoremas sobre paralelepípedos se encontram no Livro XI . O método de exaustão desempenha um papel importante na abordagem de volumes do Livro XII. No Livro XIII se desenvolvem construções visando a inscrição dos cinco poliedros regulares numa esfera.

10. Aspectos formais dos “Elementos” Apesar da grande importância do conteúdo dos Elementos , talvez mais importante ainda seja a maneira formal como se apresenta esse conteúdo. Tão grande foi a impressão causada pelo aspecto formal dos Elementos de Euclides nas gerações seguintes que a obra se tornou um paradigma de demonstração matemática rigorosa.