Física 3 - Eletromagnetismo - UFRJ - Prof Elvis

FísicaIII:Eletromagnetismo
Elvis Soares
2014

2

Sumário
1 Carga Elétrica e Campo Elétrico 1
1.1 Propriedades da Carga Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizacão . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Eletrização por Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Eletrização por Contato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Eletrização por Indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Linhas de Campo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Movimento num Campo Elétrico Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Lei de Gauss 19
2.1 Fluxo Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Aplicações da Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Cargas em Condutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Potencial Eletrostático 37
3.1 Força Elétrica como Força Conservativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Diferença de Potencial e Potencial Eletrostático . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Potencial de Cargas Puntiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Gradiente do Potencial e Equipotenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Potencial Devido a Distribuições Contínuas de Carga . . . . . . . . . . .
3.6 Potencial Devido a um Condutor Carregado . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

4 SUMÁRIO
4 Capacitância e Dielétrico 51
4.1 Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Cálculo de Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Associação de Capacitores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Capacitores em Paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Capacitores em Série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Energia Armazenada num Capacitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Materiais Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Capacitores com Dielétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Corrente, Resistência e Força Eletromotriz 69
5.1 Corrente Elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Modelo Microscópico para Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Lei de Ohm e Condutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Modelo Microscópico para Condutividade . . . . . . . . . . . . .
5.3 Potência Elétrica e Efeito Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Campo Magnético 79
6.1 Fatos Experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Força e Campo Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Força Magnética numa Corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Movimento de Cargas num Campo Magnético Uniforme . . . . . . . . .
6.5 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Fontes de Campo Magnético 93
7.1 Lei de Gauss no Magnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Lei de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Corrente de Deslocamento e a Lei de Ampère-Maxwell . . . . . . . . . .
7.5 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 Indução Eletromagnética 109
8.1 Lei de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Indução de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Lei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Indutância Mútua e Auto-Indutância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 Energia Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SUMÁRIO 5
8.6 Equações de Maxwell e Além! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Lista de Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Referências Bibliográcas 124
A Gabaritos das Listas de Exercícios 127

6 SUMÁRIO

Capítulo1
CargaElétricaeCampoElétrico
A interação eletromagnética entre partículas carregadas eletricamente é uma das
interações fundamentais da natureza. Nesse capítulo iremos estudar algumas proprie-
dades básicas da força eletromagnética, discutiremos a Lei de Coulomb, o conceito de
campo elétrico, e nalizaremos com o estudo do movimento de partículas carregadas
num campo elétrico uniforme.
1.1 Propriedades da Carga Elétrica
Quando atritamos uma caneta contra o nosso cabelo num dia seco, vemos que a ca-
neta passa a atrair pequenos pedaços de papel sobre a mesa. O mesmo ocorre quando
certos materiais são atritados entre si, como um bastão de vidro contra um pano de
seda ou plástico contra pele.
Isto se deve ao fato de que toda a matéria que conhecemos é formada por átomos,
que são formados por um núcleo, onde cam os prótons e nêutrons e uma eletrosfera,
onde os elétrons permanecem, em órbita. Os prótons e nêutrons têm massa pratica-
mente igual, mas os elétrons têm massa cerca de 2 mil vezes menor.
Se pudéssemos separar os prótons, nêutrons e elétrons de um átomo, veríamos que
os prótons seriam atraídos pelos elétrons enquanto os nêutrons não seriam afetados.
1

2 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
Esta propriedade de cada uma das partículas é chamada carga elétrica. Os prótons são
partículas com cargapositiva, os elétrons tem carganegativae os nêutrons tem carga
neutra.
A unidade de medida adotada internacionalmente para a medida de cargas elétri-
cas é ocoulomb (C).
Um próton e um elétron têm valores absolutos de carga iguais embora tenham si-
nais opostos. O valor da carga de um próton ou um elétron é chamadocarga elétrica
elementare simbolizado pore, sendo a menor unidade de carga elétrica conhecida na
natureza, com valor igual a
e=1.602 1910
19
C (1.1)
Portanto, 1Cde carga é aproximadamente a carga de 6.2410
18
elétrons ou pró-
tons. Esse número é bem pequeno se comparado com número de elétrons livres em
1cm
3
de cobre, que tem da ordem de 10
23
.
1.2 Corpos Eletrizados e Processos de Eletrizacão
Dizemos que um corpo estáeletrizado negativamentequando tem maior número de
elétrons do que de prótons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja negativa;
E que um corpo estáeletrizado positivamentequando tem maior número de prótons
do que de elétrons, fazendo com que a carga elétrica desse corpo seja positiva. Por
isso, um corpo é chamadoeletricamente neutrose ele tiver número igual de prótons e de
elétrons, fazendo com que a carga elétrica sobre o corpo seja nula. A carga de um corpo
eletrizado deve então ser um múltiplo da carga elementar, de tal forma queQ=N.e,
sendoNum número inteiro qualquer.
O processo de retirar ou acrescentar elétrons a um corpo neutro para que este passe
a estar carregado eletricamente denomina-seeletrização. Alguns dos processos de ele-
trização mais comuns são:
1.2.1 Eletrização por Atrito
Este processo foi o primeiro de que se tem conhecimento. Foi descoberto por volta
do século VI a.C. pelo matemático grego Tales de Mileto, que concluiu que o atrito
entre certos materiais era capaz de atrair pequenos pedaços de palha e penas.
Posteriormente o estudo de Tales foi expandido, sendo possível comprovar que
dois corpos neutros feitos de materiais distintos, quando são atritados entre si, um

1.2. CORPOS ELETRIZADOS E PROCESSOS DE ELETRIZACÃO 3
deles ca eletrizado negativamente (ganha elétrons) e outro positivamente (perde elé-
trons). Quando há eletrização por atrito, os dois corpos cam com cargas de módulo
igual, porém com sinais opostos.
Por exemplo, ao se atritar uma barra de vidro num pano de lã, elétrons passam
do vidro para a lã. Em consequência, a barra de vidro adquire carga elétrica positiva
(perde elétrons) e o pano de lã adquire carga elétrica negativa (recebe elétrons). Se, em
vez da barra de vidro, atritarmos com a lã uma barra de resina, haverá a transferência
de elétrons da lã para a resina. Então, a barra de resina adquire carga elétrica negativa
(recebe elétrons) e o pano de lã adquire carga elétrica positiva (perde elétrons).
1.2.2 Eletrização por Contato
Se dois corpos condutores, sendo pelo menos um deles eletrizado, são postos em
contato, a carga elétrica tende a se estabilizar, sendo redistribuída entre os dois, fa-
zendo com que ambos tenham a carga com mesmo sinal.
1.2.3 Eletrização por Indução
Este processo de eletrização é totalmente baseado no princípio da atração e repul-
são, já que a eletrização ocorre apenas com a aproximação de um corpo eletrizado
(indutor) a um corpo neutro (induzido).
O processo é dividido em três etapas:
1.
neutro, pelo princípio de atração e repulsão, os elétrons livres do induzido são
atraídos/repelidos dependendo do sinal da carga do indutor.

4 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
2.
sença do indutor.
3.
àquela do indutor. Terra
Por m, retira-se o indutor das proximidades do induzido que ca eletrizado com
sinal oposto à carga do indutor, e com a carga distribuída por todo o corpo.

1.3. LEI DE COULOMB 5
1.3 Lei de Coulomb
A partir de alguns experimentos, Coulomb pode generalizar as seguintes proprie-
dades daforça elétricaentre duas cargas puntiformes em repouso. A força elétrica
é inversamente proporcional ao quadrado da distânciarentre as cargas e dirigida
ao longo da linha que liga uma a outra.
é proporcional ao produto das cargas das duas partículas;
é atrativa se as cargas são de sinais opostos e repulsiva se as cargas tem o mesmo
sinal.
A lei expressa na forma vetorial para a força elétrica exercida por uma cargaq1
numa outra cargaq2, dita~F
2(1), é
~F
2(1)=k
q1q2
r
2
r=~F
1(2) (1.2)
ondeké a constante chamadaconstante de Coulomberé o vetor unitário dirigido da
cargaq1para a cargaq2, conforme gura. –+
r
F
1(2)
F
2(1)
q
1
q
2
F
1(2)
F
2(1)
q
1
q
2
rˆ
++
A constante de Coulomb é também escrita comok=1/4pe0, e seu valor no SI é
k=8.987 510
9
N.m
2
/C
2
9.010
9
N.m
2
/C
2
(1.3)
Como a força elétrica obedece à Terceira Lei de Newton, a força elétrica exercida
pela cargaq2emq1é igual em intensidade a força exercida porq1emq2, na mesma
direção mas em sentido oposto, de modo que~F
1(2)=~F
2(1)
Quando mais que duas cargas estão presentes, a força entre qualquer par delas é
dada pela Lei de Coulomb. Portanto, a resultante das forças sobre qualquer uma delas
é igual a soma vetorial das forças exercidas pelas outras cargas.
~F
i=å
i6=j
~F
i(j)=å
i6=j
k
q
iq
j
r
2
j
rj (1.4)

6 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
Exemplo:
Um átomo de hidrogênio é composto por um elétron, de massame=9.1110
31
kg,
e um próton, de massamp=1.6710
27
kg, separados por uma distância de
aproximadamented=5.310
11
m.
A intensidade da força elétrica é dada pela Lei de Coulomb
Fe=k
e
2
d
2
= (9.010
9
)
(1.6010
19
)
2
(5.310
11
)
2
=8.210
8
N
Já a intensidade da força gravitacional é dada pela Lei da Gravitação Universal de
Newton
Fg=G
memp
d
2
= (6.6710
11
)
(9.1110
31
)(1.6710
27
)
(5.310
11
)
2
=3.610
47
N
A razãoFe/Fg210
39
. Então, a força gravitacional entre essas partículas subatômi-
cas é desprezível se comparada com a força elétrica.

1.3. LEI DE COULOMB 7
Exemplo:
Consideremos três cargasq,qe
p
2qdispostas nos vértices de um triângulo retân-
gulo, como mostra a gura. F
3(1)
q
q
-q
a
a
y
x
? + +
F
3(2)
2 a

2
A força~F
3(1)exercida pela carga
p
2qsobre a
cargaqé
~F
3(1)=k
p
2q
2
(
p
2a)
2
r1,
onder1é o vetor posição relativa que sai da
carga
p
2qe aponta na direção deq, sendo es-
crito facilmente comor1=cos 45
o
x+sen 45
o
y,
de modo que
~F
3(1)=
1
2
k
q
2
a
2
(x+y),
A força~F
3(2)exercida pela cargaqsobre a cargaqé
~F
3(2)=k
q
2
a
2
r2,
onder2é o vetor posição relativa que sai da cargaqe aponta na direção deq, sendo
escrito na formar2=x, de modo que
~F
3(2)=k
q
2
a
2
x
A força resultante~F3sobre a cargaqé então calculada como a soma das forças~F
3(1)e
~F
3(2)sendo
~F3=~F
3(1)+~F
3(2)=
1
2
k
q
2
a
2
(x+y)

8 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
1.4 Campo Elétrico
O conceito de campo foi desenvolvido por Michael Faraday no contexto de forças
elétricas. Nesse contexto, umcampo elétricoexiste na região do espaço ao redor de um
objeto carregado, acarga fonte. Quando outro objeto carregado, acarga teste, entra nesse
campo elétrico, uma força elétrica age sobre ele.
Sendo assim, o campo elétrico produzido pela carga fonte é denido como a força
elétrica por unidade de carga situado num dado ponto do espaço
~E=
~Fe
q2
=k
q1
r
2
r (1.5)
O vetor~Etem no SI unidade deN/C. A direção de~E, como mostra a gura, é a
direção da força que uma carga teste positiva sentiria quando colocada nesse campo.
Dizemos que um campo elétrico existe num ponto se uma carga teste nesse ponto ex-
perimenta uma força elétrica, dada por
~Fe=q~E (1.6)E
q
r
P
rˆ
+ ?
E
q
r?
r
P
O campo elétrico num pontoPdevido a um conjunto de cargas puntiformes pode
ser obtido, através doprincípio da superposição, como a soma vetorial dos campos elétri-
cos devido, individualmente, a cada carga do conjunto no mesmo pontoP.
~E=å
i
~E
i=å
i
k
q
i
r
2
i
r
i (1.7)

1.4. CAMPO ELÉTRICO 9
Exemplo:
Umdipolo elétricoé denido como uma carga positivaqe uma negativaqseparadas
por uma distância 2a. Vamos obter o campo elétrico~Edevido ao dipolo num pontoP
situado a uma distânciaydo centro do dipolo.P E

y
E
1
E
2
y
r

a
q

a
? q
? x +
No pontoP, os campos~E1e~E2devido às duas
cargas são iguais em intensidades, pois o ponto
Pé equidistante das cargas, sendo assim
E1=E2=k
q
(y
2
+a
2
)
.
As componentesyde~E1e~E2se cancelam, e as
componentesxsão ambas positivas e de mesma
intensidade, de modo que
E=2E1cosq=2k
q
(y
2
+a
2
)
a
(y
2
+a
2
)
1/2
Portanto,~Eé um vetor paralelo ao eixoxescrito
na forma
~E=k
2qa
(y
2
+a
2
)
3/2
x
No limite em que o pontoPestá muito distante do dipolo, ditoya, podemos
desprezara
2
comparado comy
2
no denominador e escrever
~Ek
2qa
y
3
x
Obs:Em alguns livros é comum aparecer ovetor momento de dipolo elétricodenido
como~
d=2qax, que é um vetor de intensidade igual a carga positivaqvezes a
distância entre as cargas 2ae aponta na direção da carga negativa para a positiva, de
modo que
~E k
~
d
y
3
Então, muito distante do dipolo elétrico, o campo elétrico varia com1/r
3
que cai
mais rapidamente que o campo de uma carga que varia com1/r
2
. Isso se deve
ao fato que os campos das cargas positiva e negativa vão se anulando ao longo da
distância, diminuindo a intensidade do campo elétrico total.

10 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
1.5 Campo Elétrico de uma Distribuição de Cargas
Todo corpo é composto de cargas elétricas (vindas da natureza atómica da matéria),
cujas distâncias relativas são muito curtas se comparadas com os tamanhos típicos dos
objetos.
Sendo assim, para calcular o campo elétrico criado por uma distribuição de cargas,
usaremos o seguinte procedimento: primeiro, dividimos a distribuição de cargas em
pequenos elementos de carga, cada um de carga innitesimaldq(innitesimal, porém
maior que a carga elementar). Depois, usamos o campo elétrico devido a uma carga
puntiforme para calcular o campo elétrico devido a esse elementodqno pontoP. E por
último, somamos as contribuições detodoselementos de cargas e obtemos o campo
elétrico total no pontoPdevido à distribuição de cargas (de acordo com o princípio de
superposição dos campos).
O campo elétrico no pontoPdevido a um elemento
de cargadqé
d~E=k
dq
r
2
r
onderé a distância do elemento de carga até o
pontoPero vetor unitário que sai da carga e aponta
na direção deP.
O campo elétrico total emPdevido a todos os elementos na distribuição de carga é
~E=
Z
V
d~E=
Z
V
k
dq
r
2
r (1.8)
e a integral aparece porque o corpo é modelado como uma distribuição contínua de
carga.
De fato, podemos associar sempre a uma distribuição de cargas o conceito de den-
sidade de carga.
No caso de uma carga distribuída ao longo de um volume tem-sedq=rdV, onde
ré adensidade volumétrica de cargas.
No caso de uma carga distribuída ao longo de uma área tem-sedq=sdA, onde
sé adensidade supercial de cargas.
No caso de uma carga distribuída ao longo de uma linha tem-sedq=ldl, onde
lé adensidade linear de cargas.

1.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 11
Exemplo:
Vamos estudar o caso de um o de comprimentoLe cargaQdistribuída uniforme-
mente ao longo dele, como mostra a gura.
O campo elétrico no pontoPdevido a um ele-
mento de cargadqdo o é dado por
d~E=k
dq
r
2
r,
onde~ré o vetor posição relativa que sai da
carga e aponta na direção dePdado por~r=
xx+ay, onde seu módulo e o correspondente
vetor unitário são
r=
p
x
2
+a
2
er=
~r
r
=
(xx+ay)
(x
2
+a
2
)
1/2
.
O campo elétrico total produzido pelo o no pontoPé então calculado como a soma
sobre todos os elementos de carga que compõem o o, indo dex=L/2 atéx=L/2,
e assim tem-se
~E(0,a, 0) =
Z
L/2
L/2
kldx
(x
2
+a
2
)
3/2
(xx+ay).
*Mostre que:As integrais necessárias resultam em
Z
L/2
L/2
xdx
(x
2
+a
2
)
3/2
=0,
Z
L/2
L/2
dx
(x
2
+a
2
)
3/2
=
L
[(L/2)
2
+a
2
]
1/2
,
e com esses resultados encontramos que
~E(0,a, 0) =
kQ
a[(L/2)
2
+a
2
]
1/2
y
usando que a densidade linear de carga do o él=Q/L.
Obs1:No caso em que o o é muito pequeno, ou o pontoPestá muito distante do o
tem-se
lim
aL
~E(0,a, 0) =
kQ
a
2
y
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distânciaado pontoP.
Obs2:No caso em que o o é muito grande, ou o pontoPestá muito próximo do o
tem-se
lim
La
~E(0,a, 0) =
2kl
a
y
que cai lentamente com a distânciaado pontoP.

12 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
Exemplo:
Consideremos um aro de raioRcarregado uniformemente com uma carga positivaQ.
Vamos determinar o campo elétrico num pontoPsituado a uma distânciaado centro
do aro e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo, conforme a gura. +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+

P
dE
x
dE
dE

a
r
dq
R
O campo elétrico no pontoPdevido a um ele-
mento de cargadqdo o é dado por
d~E=k
dq
r
2
r,
onde~ré o vetor posição relativa que sai da
carga e aponta na direção deP. Esse campo tem
uma componentedEx=dEcosqao longo do
eixoxe uma componentedE
?perpendicular ao
eixox.
Sabemos que o campo resultante no pontoPdeve estar ao longo do eixoxpois a
componente perpendicular de todos os elementos de carga somados é zero. Isto é,
a componente perpendicular do campo criado por qualquer elemento de carga é
cancelada pela componente perpendicular criada por um elemento de carga no lado
oposto do anel (diga-se diametralmente oposto).
Comor= (a
2
+R
2
)
1/2
e cosq=a/r, temos que
dEx=dEcosq=

k
dq
r
2

a
r
=k
a
(a
2
+R
2
)
3/2
dq
Todos os elementos do aro fazem a mesma contribuição para o campo elétrico no ponto
Pporque todos são equidistantes desse ponto. Então, integrando esse resultado obte-
mos
Ex=
Z
k
a
(a
2
+R
2
)
3/2
dq=k
a
(a
2
+R
2
)
3/2
Z
dq
SendoQa carga total do aro, o campo elétrico total produzido por este aro no pontoP
é então escrito na forma vetorial como
~E(P) =k
Qa
(a
2
+R
2
)
3/2
x
Obs1:No caso em que o aro é muito pequeno, ou o pontoPestá muito distante desse
aro tem-se
lim
aR
~E(P) =k
Q
a
2
x
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distânciaado pontoP.
Obs2:No caso em que o aro é muito grande, ou o pontoPestá muito próximo dele
tem-se
lim
Ra
~E(P) =k
Qa
R
3
x
que passa a ser um campo linear com a distânciaado pontoP.

1.5. CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE CARGAS 13
Exemplo:
Consideremos um disco de raioRcarregado uniformemente com uma densidade su-
percial de cargas. Vamos determinar o campo elétrico num pontoPsituado a uma
distânciaado centro desse disco e ao longo do eixo perpendicular ao plano do mesmo,
conforme a gura. P
a
r
R
dq
dr
Se considerarmos o disco como um conjunto
de aros concêntricos, podemos usar o resul-
tado do exemplo anterior (o campo de um
aro carregado uniformemente) e somamos as
contribuições de todos aros formando o disco.
O aro de raiore espessuradr, conforme a gura, tem área igual a 2pr dr. A cargadq
desse aro é igual adq=2psr dr. Usando o resultado do aro carregado, temos que o
campo elétrico no pontoPdevido a um elemento de cargadqdesse aro é dado por
dEx=k
a
(a
2
+r
2
)
3/2
(2psr dr).
Então, integrando esse resultado sobre os limitesr=0 atér=R, notando queaé
constante, obtemos
Ex=kaps
Z
R
0
2r dr
(a
2
+r
2
)
3/2
=kaps
Z
R
0
(a
2
+r
2
)
3/2
d(r
2
),
de modo que
Ex=kaps
"
(a
2
+r
2
)
1/2
1/2
#
R
0
=2pks

1
a
(a
2
+R
2
)
1/2

.
Sendo assim o campo elétrico total produzido por este disco no pontoPé então escrito
na forma vetorial como
~E(P) =2pks

1
a
(a
2
+R
2
)
1/2

x
Obs1:No caso em que o disco é muito pequeno, ou o pontoPestá muito distante
tem-se
lim
aR
~E(P) =k
Q
a
2
x,
que é o campo de uma carga puntiforme a uma distânciaado pontoP.

14 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
Obs2:No caso em que o disco é muito grande, ou o pontoPestá muito próximo dele
tem-se
lim
Ra
~E(P) =2pksx=
s
2e0
x,
que é umcampo constante nas proximidades do disco, sendoe0a permissividade elétrica
do vácuo.
Desta forma, um plano innito tem módulo do campo elétrico igual aE=s/2e0nas
suas proximidades.
1.6 Linhas de Campo Elétrico
Vamos agora explorar uma maneira de representar o campo elétrico pictoricamente.
Uma maneira conveniente de visualizar padrões de campo elétrico é desenhar linhas
curvas paralelas ao vetor campo elétrico em qualquer ponto do espaço.
O vetor campo elétrico~Eé tangente a linha de campo elétrico em cada ponto. A
linha tem uma direção, indicada por uma seta, que é a mesma do vetor campo elétrico.
O número de linhas por unidade de área que atravessa uma superfície perpendi-
cular as linhas é proporcional a intensidade do campo elétrico nesse região. Então, as
linhas de campo estão mais próximas onde o campo elétrico é forte e mais distantes
onde o campo é fraco.q ? q + ?
As regras para desenhar as linhas de campo elétrico são as seguintes:
As linhas de campo começam em cargas positivas e terminam em cargas negati-
vas.
O número de linhas desenhadas é proporcional a intensidade da carga.
Duas linhas de camponuncase cruzam.

1.7. MOVIMENTO NUM CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 15 + ? + +
1.7 Movimento num Campo Elétrico Uniforme
Quando uma cargaqe massamestá localizada num campo elétrico~E, a força elé-
trica exercida nessa carga é
~F=q~E=m~a (1.9)
Se o campo elétrico~Eéuniforme(isso é, constante na intensidade e direção), então
a aceleração também é constante.
Exemplo:
Consideremos duas placas metálicas carregadas de maneira oposta e um elétron de
cargaelançado horizontalmente dentro da região de campo elétrico uniforme, con-
forme a gura.( 0 , 0 )
E ?
(x,y) ?
v
x
y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
+ + + + + + + + + + + +
v
0
x?
Sabendo que a velocidade inicial do elétron era
v0xno instante de tempot=0, e que o campo
elétrico~E=Eyé uniforme, as aceleração, ve-
locidade e posição do elétron em função do
tempo são
~a=
eE
m
y
~v=v0x
eE
m
ty
~r=~r0+v0tx
1
2
eE
m
t
2
y

16 CAPÍTULO 1. CARGA ELÉTRICA E CAMPO ELÉTRICO
1.8 Lista de Exercícios
1.
dere um bloco de massam. Sendoma massa molecular do metal, qual seria a
cargaQdeste bloco se retirássemos todos os elétrons mecionados? Dê a resposta
em função do número de AvogadroNA.
2. Lexiste uma cargaq. Determine o
módulo da força elétrica sobre qualquer uma das quatro cargas.
3. q, 2q, e 3qsão colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de lado
a. Uma cargaQ, de mesmo sinal que as outras três, é colocada no centro do
triângulo. Obtenha a força resultante sobreQ(em módulo, direção e sentido).
4. Qentre dois corpos. Um dos corpos recebe uma
cargaq1e o outro recebe uma cargaq2. A repartição das cargas é feita de tal modo
que se tenha sempreq1+q2=Q. Determine os valores dessas cargas para que a
repulsão coulombiana entreq1eq2seja máxima para qualquer distância entre as
cargas.
5.
trico num pontodistante(xa) situado ao longo do eixoxéEx4kqa/x
3
, e
que o campo elétrico num outro pontodistante(ya) situado ao longo do eixo
yéEy2kqa/y
3x y
6. ncargas pontuais positivas iguais, de magnitudesQ/ncada, localiza-
das simetricamente ao longo de um círculo de raioR. Calcule a intensidade do
campo elétrico num ponto a uma distânciaxna linha passando através do centro
do círculo e perpendicular ao plano do círculo.
7. Rcarregado uniforme-
mente, de carga totalQ, nos pontos situados sobre o eixoxde simetria ortogonal
ao plano passando pelo centro do aro. Compare esse resultado com o do pro-
blema anterior.

1.8. LISTA DE EXERCÍCIOS 17
8. R, conforme
gura. A carga por unidade de comprimento ao longo do cabo é descrita pela
expressãol=l0cosq. A carga total no cabo éQ. Calcule o campo elétrico e a
força resultante sobre uma cargaqsituada no centro de curvatura.y
R
x

9.
de comprimentoL, cuja a carga total é igual aQ. Determine o módulo do campo
elétrico nos pontos situados sobre a reta perpendicular ao o e passando pelo
seu centro. E se o o fosse innito, qual seria o módulo desse campo elétrico?
(Sugestão:use o fato que a densidade linear do o é uniforme)
10. Lestá uniformemente carregado com densidade linear
de cargal. Calcule o campo elétrico num pontoPa uma alturaddo centro do
quadrado, conforme gura. (Sugestão:use componentes cartesianas e argumen-
tos de simetria)L
L
z
P
d
11. Rpossui densidade supercial de cargas cons-
tante, sendo sua carga total igual aQ. Determine o módulo do campo elétrico no
centro da esfera.
12.
puntiformes+2qeq, separadas por uma distânciad. Explique o traçado e
discuta qualitativamente o comportamento das linhas próximos e distantes das
cargas, em diferentes regiões.

18 CAP?TULO 1. CARGA EL?TRICA E CAMPO EL?TRICO
13. q e massa m entra numa regi?o
de campo el?trico uniforme E com uma velocidade v
0
formando um ?ngulo q
com o sentido do campo el?trico. Descreva o movimento da part?cula, e esboce
sua trajet?ria.
14.
posi??o de equil?brio, conforme gura, onde q ? pequeno. A separa??o entre as
cargas ? 2 a , e o momento de in?rcia do dipolo ? I . Assumindo que o dipolo ?
liberado dessa posi??o, mostre que sua orienta??o angular exibe um movimento
harm?nico simples com uma frequ?ncia
f =
1
2 p

2 q a E
I

1/ 2
Young & Freedman: 21.73, 21.79, 21.84, 21.89, 21.90, 21.97, 21.104, 21.107

22 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
Exemplo:
Consideremos uma carga puntiforme positivaqlocalizada no centro de uma esfera de
raioR, como mostra a gura. +
O uxo total através da superfície da esfera
deve ser calculado como
FE=
I
~Ed~A
onde o elemento de área da esfera éd~A=
rdA, de modo que o uxo através da esfera
é
FE=
I
k
q
R
2
r

(rdA) =k
q
R
2
(4pR
2
)
Lembrando quek=1/4pe0, podemos escrever o uxo através da esfera como
FE=
q
e0
Notamos que o uxo total através da superfície da esfera é proporcional a carga in-
terna. O uxo é independente do raioRporque a área da superfície da esfera é propor-
cional aR
2
e, o campo elétrico é proporcional a 1/R
2
. Então, o produto da área pelo
campo elétrico independe do raioR.

2.2. LEI DE GAUSS 23
2.2 Lei de Gauss
Vamos considerar algumas superfícies fechadas em volta de uma cargaq, conforme
a gura. A superfícieA1é esférica, mas as superfíciesA2eA3não são.
Pelo exemplo anterior, o uxo que passa através da superfícieA1éq/e0. Como
discutido anteriormente, o uxo é proporcional ao número de linhas de campo elétrico
que passam através da superfície. E da gura vemos que o número de linhas que
passam através deA1é igual ao número de linhas que passam pelas superfícies não-
esféricasA2eA3. Portanto, concluímos queo uxo total através de qualquer superfície
fechada envolta de uma carga q é dado por q/e0e é independente da forma dessa superfície.
Agora, vamos considerar uma carga localizada fora de uma superfície de forma
arbitrária, conforme a gura.
Como podemos ver, qualquer linha de campo que entra na superfície sai da mesma
por outro ponto. O número de linhas de campo entrando na superfície é igual ao

24 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
número deixando a superfície. Portanto, concluímos queo uxo total através de uma
superfície fechada que não engloba nenhuma carga é zero.
Consideremos agora o sistema de cargas e superfícies conforme a gura a seguir.
A superfícieSengloba somente uma carga,q1; assim, o uxo total através deSé
q1/e0. O uxo através deSdevido às cargasq2,q3, eq4fora dela é zero pois cadas linha
de campo que entra emSnum ponto sai da superfície por outro ponto. A superfícieS
0
engloba as cargasq2eq3; assim, o uxo total através dela é(q2+q3)/e0. E nalmente,
o uxo total através deS
00
é zero pois não há nenhuma carga no interior da superfície.
Isso é, todas as linhas de campo que entram emS
00
por um ponto saem dela em outros
pontos. Notemos que a cargaq4não contribui para o uxo em nenhuma superfície
porque ela está fora de todas as superfícies.
Assim, aLei de Gauss, que é a generalização do que descrevemos aqui, estabelece
que o uxo total sobre qualquer superfície fechada é
FE=
I
~Ed~A=
Qint
e0
(2.2)
ondeQintrepresenta a carga total no interior da superfície e~Erepresenta o campo
elétrico em qualquer ponto na superfície.
2.3 Aplicações da Lei de Gauss
A lei de Gauss é útil para determinar campos elétricos de distribuições de cargas
comalto grau de simetria.
A idéia é escolher uma superfíciegaussianaque satisfaz uma ou mais condições a
seguir:
1.

2.3. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 25
2. ~Ed~Aé zero porque~Eed~Asão perpencilares, enquanto~Ed~A
éEdApois~Eed~Asão paralelos.
3.
Essas condições serão usadas nos exemplos a seguir.
Exemplo:
Vamos determinar o campo elétrico de uma carga puntiformeqa partir da Lei de
Gauss. +
Como o espaço em volta da carga tem si-
metria esférica, essa simetria nos diz que o
campo elétrico deve ser radial apenas, de
forma que escrevemos
~E=E(r)r
Escolheremos uma superfície gaussiana que satisfaça algumas das propriedades lis-
tadas acima, e a melhor opção parece ser uma superfície gaussiana esférica de raior
centrada na carga puntiforme, conforme gura. Com isso, podemos escrever o uxo
do campo elétrico como
FE=
I
~Ed~A=
I
E(r)dA=
q
e0
onde usamos o fato que o campo elétrico é normal à superfície gaussiana. Além disso,
o campo elétrico possui a mesma intensidade em todos os pontos da superfície esférica,
devido à distância ser a mesma em todos os pontos, de modo que
I
E(r)dA=E(r)
I
dA=E(r)(4pr
2
) =
q
e0
e assim
E(r) =
q
4pe0r
2
=k
q
r
2
Obs:Se a carga não estivesse no centro da esfera, a lei de Gauss permaneceria válida,
mas não haveria simetria suciente para determinar o campo elétrico, pois a intensi-
dade do campo elétrico iria variar ao longo da superfície gaussiana.

26 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
Exemplo:
Vamos determinar o campo elétrico de uma esfera isolante de raioae carregada uni-
formemnte com uma cargaQ.
Como a distribuição de cargas é esfericamente simétrica, sabemos que o campo deve
ser radial para fora
~E=E(r)r
e que a superfície gaussiana deve ser uma superfície esférica, conforme as guras
abaixo.
No caso em quer>a, conforme gura (a) e do exemplo anterior, sabemos que
FE=
I
E(r)dA=E(r)
I
dA=E(r)(4pr
2
) =
Q
e0
cujo resultado é
E(r>a) =k
Q
r
2
No caso em quer<a, conforme gura (b), o uxo do campo elétrico deve ser
FE=
I
E(r)dA=E(r)
I
dA=E(r)(4pr
2
) =
Qint
e0
porém, nesse caso, a carga interna à superfície gaussiana é dada a partir da densidade
de carga da esferar=Q/
4
3
pa
3
na forma
Qint=r

4
3
pr
3

=Q
r
3
a
3

2.3. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 27
que juntos resultam em
E(r<a) =k
Q
a
3
r
Sendo assim, o campo elétrico dentro e fora
da esfera tem formas diferentes e podemos
analisá-los na forma de um gráco.
E(r) =
8
<
:
k
Q
a
3rser<a
k
Q
r
2ser>a

28 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
Exemplo:
Vamos determinar o campo elétrico de um o delgado innito e isolante carregado
uniformemente com uma densidade de carga linearl. +
+
+
+
+
+
Como a distribuição de cargas é cilindricamente
simétrica, sabemos que o campo deve ser radial
cilíndrico para fora, conforme a gura (b)
~E=E(s)s
e que a superfície gaussiana deve ser uma
superfície cilíndrica, conforme a gura (a).
Usando a Lei de Gauss, sabemos que o uxo do
campo elétrico através da superfície gaussiana
é proporcional à carga interna à gaussiana
FE=
I
~Ed~A=E(s)
Z
dA=E(s)(2psl) =
ll
e0
onde usamos o fato que o campo elétrico~Eé
perpendicular aos vetoresd~Anas superfícies da
tampa e do fundo do cilindro, de modo que o
resultado é
E(s) =
l
2pe0s
Assim, o campo elétrico de uma distribuição de
cargas com simetria cilíndrica cai com 1/ren-
quanto que o de uma distribuição com simetria
esférica cai com 1/r
2
. Tal campo foi encontrado
no exemplo do o carregado, no capítulo ante-
rior, no limite em que o o é innito.
Obs:Se o o fosse nito, não poderíamos armar que na borda desse o o campo teria
a forma~E=E(s)s. Na verdade, apareceriam componentes do campo que são parelelas
ao o.

2.3. APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS 29
Exemplo:
Vamos determinar o campo elétrico de um plano delgado innito e isolante carregado
uniformemente com uma densidade de carga supercials. + + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + +
+ + +
+ + +
+ + + + +
+ + + + + + +
Como a distribuição de cargas tem simetria pla-
nar, ou seja, simetria na forma de um plano, sa-
bemos que o campo deve ser perpendicular à
superfície
~E=E(n)n
e que a superfície gaussiana pode ser uma
superfície cilíndrica, conforme a gura.
Usando a Lei de Gauss, sabemos que o uxo do campo elétrico através da superfície
gaussiana é proporcional à carga interna à gaussiana
FE=
I
~Ed~A=E(n)
Z
dA=2E(n)A=
sA
e0
onde usamos o fato que o campo elétrico~Eé perpendicular aos vetoresd~Ana lateral
do cilindro e somente há uxo nas tampas do cilindro, de modo que o resultado é
E(n) =
s
2e0
Assim, o campo elétrico de uma distribuição de cargas plana innita independe da dis-
tância ao plano. Tal campo foi encontrado no exemplo do disco carregado, no capítulo
anterior, no limite em que o disco é innito.

30 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
2.4 Cargas em Condutores
Como vimos no capítulo anterior, um bomcondutorelétrico contem cargas (elé-
trons) que não estão ligados aos átomos e portanto estão livres para se moverem dentro
do material.
Quando não há nenhum movimento
Um condutor em equilíbrio eletrostático tem as seguintes propriedades:
1.
2.
3.
perfície e de módulos/e0.
4. sé maior onde menor
for o raio de curvatura da superfície.
Vamos vericar as primeiras três propriedades a seguir, e a quarta propriedade é
apresentada aqui apenas para completar a lista de propriedades de um condutor em
equilíbrio eletrostático, mas será vericada apenas no capítulo seguinte.
Primeira propriedade:Vamos considerar uma chapa condutora imersa num campo
elétrico externo~E.+
+
+
+
+
+
+
+
?
?
?
?
?
?
?
?
O campo elétrico dentro do condutor deve
ser zero sobre a hipótese que estamos em
equilíbrio eletrostático. Se o campo não fosse
zero, os elétrons livres experimentariam uma
força elétrica e iriam acelerar devido a essa
força. Esse movimento dos elétrons, contudo,
signicaria que o condutor não está em equilí-
brio eletrostática.
Assim,a existência do equilíbrio eletrostático é con-
sistente apenas com o campo zero no condutor.
Segunda propriedade:Vamos considerar um condutor de forma arbitrária. Uma
superfície gaussiana é desenhada dentro do condutor e pode estar próxima da super-
fície do condutor o quanto quisermos.

2.4. CARGAS EM CONDUTORES 31
Como já mostramos, o campo elétrico no
interior do condutor deve ser nulo quando está
em equilíbrio eletrostático. Portanto, o campo
elétrico deve ser nulo em todos os pontos da
gaussiana, de modo que o uxo total sobre essa
superfície deve ser nulo. E pela Lei de Gauss,
concluímos que a carga total no interior da
gaussiana é zero.
Assim, como a carga total dentro do condutor
deve ser nula,a carga total no condutor reside na
sua superfície.
Terceira propriedade:Vamos usar a lei de Gauss para mostrar essa propriedade.
Notamos que se o campo elétrico~Etiver componente paralela à superfície do condutor,
elétrons livres sofrerão força e estarão postos a se mover ao longo da superfície, o
que no caso de equilíbrio eletrostático é proibido. Então, o vetor~Edeve ter apenas
componente normal à superfície. +
++
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
++
+
+
+
+
Vamos usar uma gaussiana na forma de um ci-
lindro tão pequeno quanto quisermos, cujas fa-
ces planas são paralelas à superfície do condu-
tor, enstando parte do cilindro fora do condutor
e parte dentro. O uxo sobre a superfície late-
ral do cilindro é zero, pois o campo é paralelo à
superfície, e na superfície dentro do condutor é
zero pois o campo é zero naquela região.
Então, o uxo na gaussiana é apenas
FE=
I
EdA=EA=
Qint
e0
=
sA
e0
de modo que o campo na superfície do condutor deve ter módulo igual a
E=
s
e0
tendo a direção perpendicular à superfície do condutor.

32 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
Exemplo:
Vamos determinar o campo elétrico de um plano delgado innito e isolante carregado
uniformemente com uma densidade de carga supercials.+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
Como a distribuição de cargas tem simetria es-
férica, a direção do campo elétrico deve ser ra-
dial de tal forma que
~E=E(r)r
Região 1:Para encontrar o campo dentro da esfera sólida, consideremos uma superfí-
cie gaussiana de raior<a. Como a carga total dentro de um condutor em equilíbrio
eletrostático é zero,Qint=0 , então, usando a Lei de Gauss e simetria,E(r<a) =0.
Região 2:Nessa região, consideremos uma gaussiana esférica de raiorondea<r<b
e notemos que a carga no interior dessa superfície é+2Q(a carga da esfera sólida).
Devido à simetria esférica, o campo elétrico deve ser radial, de modo que pela Lei de
Gauss
E(4pr
2
) =
2Q
e0
e assim
E(a<r<b) =k
2Q
r
2
Região 3:Nessa região, o campo elétrico deve ser zero pois a casca esférica é também
um condutor em equilíbrio, entãoE(b<r<c) =0.

2.4. CARGAS EM CONDUTORES 33
Região 4:Usando uma gaussiana esférica de raioronder>ce notando que a carga
interna a essa superfície éQint= +2Q+ (Q) =Q, temos
E(r>c) =k
Q
r
2
Desta forma, o campo elétrico dessa distribuição de cargas pode ser escrito e represen-
tado num gráco como a seguir.
E(r) =
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
0 ser<a
k
2Q
r
2sea<r<b
0 seb<r<c
k
Q
r
2ser>c

34 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS
2.5 Lista de Exercícios
1. Restá imersa em um campo elétrico uniforme~E. Determine:
(a) o uxo elétrico através da esfera; (b) o uxo elétrico que sai da esfera.
2. lexiste uma cargaQ. Determine: (a) o
uxo elétrico através de uma das faces do cubo. (b) o uxo elétrico total através
da superfície do cubo.
3. ~E=ayx+bzy+cxz,
ondea,b, ecsão constantes. Determine o uxo elétrico através de uma superfície
retangular no planoxy, que se estende dex=0 ax=we dey=0 atéy=h.
4. qpuntiforme.
5. Rpossui carga totalQuniformemente distribuida. Determine
o campo elétrico na região (a)r>R. (b)r<R.
6. lconstante. Determine o
módulo do campo elétrico em função da distância ao eixo do o.
7.
distribuição supercial de cargassuniforme.
8.
abaixo. O plano da esquerda tem densidade de carga uniforme igual as, e o
da direita tem densidade de carga uniforme igual as. Determine o campo
elétrico para pontos situados entre os dois planos e na região fora dos planos
considerados.
9. Re comprimento innito possui distribuição su-
percial de carga uniformes. Determine o campo elétrico para pontos interiores
e exteriores ao cilindro.

2.5. LISTA DE EXERCÍCIOS 35
10. Rpossui uma distribuição de cargas esfericamente simétrica
dada porr=Br, ondeBé uma constante eré a distância ao centro da esfera.
Determine: (a) a carga total da esfera. (b) os campos elétricos dentro e fora da
esfera.
11. ae de cargaQé colocada no centro de
uma casca esférica condutora neutra de raio internobe raio externoc, conforme
gura abaixo. (a) Determine o campo elétrico nas regiões 0<r<a,a<r<b,
b<r<c, er>c. (b) Determine a carga induzida por unidade de área nas su-
perfícies interna e externa da casca esférica. (c) Esboce um gráco da intensidade
desse campo.
12. aé feita de um material não-condutor que tem densidade
de carga uniformer. Uma cavidade de raioaé então removida da esfera, como
mostra a gura. Mostre que o campo elétrico dentro da cavidade é uniforme e é
dado porEx=0 eEy=ra/3e0. (Sugestão:Use o princípio da superposição.)
Young & Freedman:22.37, 22.40, 22.44, 22.52, 22.55, 22.65, 22.66

36 CAPÍTULO 2. LEI DE GAUSS

Capítulo3
PotencialEletrostático
Nesse capítulo, estudaremos o potencial eletrostático criado por cargas puntiformes
e distribuições de cargas, bem como diferenças de potenciais entre pontos.
3.1 Força Elétrica como Força Conservativa
Uma das propriedades mais interessantes da Lei de Coulomb é o fato da força ele-
trostática entre cargas elétricas ser umaforça conservativa, que obedece a condição
I
~F
eld~
l=0,
sendod~
lum elemento diferencial de deslocamento, denotado pord~
l=dxx+dyy+
dzzno sistema de coordenadas cartesiano. Lembremos que essa integral representa o
trabalho feito pela força elétrica sobre uma carga ao longo de qualquer caminho fe-
chado, de modo que
W
(el)
A!B
=
Z
B
A
~F
eld~
l (3.1)
é o trabalho da força elétrica entre quaisquer dois pontosAeBdeve ser o mesmo
para qualquer caminho que escolhamos entre esses dois pontos.
Assim como no caso das forças gravitacional e elétrica, que são forças conservati-
vas, podemos associar à força elétrica uma diferença de energia potencial eletrostática,
W
(el)
A!B
=(U
(el)
B
U
(el)
A
), sendo escrita na forma integral
U
(el)
B
U
(el)
A
=
Z
B
A
~F
eld~
l. (3.2)
37

38 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
3.2 Diferença de Potencial e Potencial Eletrostático
Para um deslocamento innitesimald~
lde uma carga, o trabalho realizado pela força
elétrica numa carga é~F
eld~
l=q0
~Ed~
l, sendoq0a carga teste que experimenta o campo
elétrico~Ecriado por alguma distribuição fonte de carga. Como essa quantidade de
trabalho é feita pelo campo, a energia potencial do sistema carga-campo é mudada por
uma quantidadedU=q0
~Ed~
l. E para um deslocamento nito entre os pontosAe
B, a mudança na energia potencialDU=UBUAdo sistema é
DU=q0
Z
B
A
~Ed~
l (3.3)
e a integração é feita ao longo do caminho que a cargaq0segue deAparaB. Como
a forçaq0
~Eé conservativa, essa integral de linha não depende do caminho que ligueA
aB.
Dividindo a energia potencial pela carga teste obtemos uma quantidade física que
depende somente da distribuição fonte de cargas, essa quantidade é denominada po-
tencial eletrostáticoV. Assim, a diferença de potencialDV=VBVAentre dois pontos
AeBnum campo elétrico é denida como a mudança de energia potencial do sistema
quando uma carga teste é deslocada entre os pontos dividida pela carga testeq0
DV=
Z
B
A
~Ed~
l (3.4)
A unidade de potencial eletrostático no S.I é oVolt,VC/m. Como o campo
elétrico se relaciona com o potencial, é comum utilizarmos como unidade de campo
V/m, além deN/C.

3.3. POTENCIAL DE CARGAS PUNTIFORMES 39
Exemplo:
Vamos determinar a diferença de potencial (d.d.p.) entre os pontosAeBsujeitos a um
campo elétrico uniforme~Ee a variação da energia potencial necessária para levar uma
cargaqde um ponto a outro, conforme gura.
O campo elétrico nessa região é~E=Ey, de modo
que o produto escalar~Ed~
l=Edy, e nesse caso te-
mos
VBVA=
Z
B
A
~Ed~
l=
Z
B
A
Edy=Ed.
Assim, o potencial emBdeve ser menor do que o
potencial emApois a diferença de potencial é ne-
gativa entre os pontos. Isso signica que o campo
elétrico aponta no sentido em que há decréscimo do
potencial.
DV=Ed
A variação da energia potencial eletrostática é dada porDU=qDV, então
DU=qEd.
O que nos informa que a energia potencial do sistema diminui fazendo com que a
energia cinética da partícula aumentasseDK=DU, uma vez que não há forças dis-
sipativas durante a trajetória.
3.3 Potencial de Cargas Puntiformes
Agora que sabemos determinar a diferença de potencial entre dois pontos do es-
paço, podemos o potencial eletrostático num ponto espacíco do espaço localizado a
uma distânciarde uma carga puntiforme. Para isso, começaremos com a expressão
geral
VBVA=
Z
B
A
~Ed~
l
ondeAeBsão os dois pontos arbitrários conforme a gura. Em qualquer ponto

40 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
do espaço, o campo elétrico de uma carga puntiforme é~E=kqr/r
2
, onderé um vetor
unitário dirigido da carga para o ponto. A quantidade~Ed~
lpode ser expressa como
~Ed~
l=k
q
r
2
rd~
l
O produto escalarrd~
l=dlcosq, ondeqé o ângulo en-
trered~
l. Além disso,dlcosqé a projeção ded~
lemr,
então,dlcosq=dr. Isto é, qualquer deslocamentod~
lao
longo do caminho deAparaBproduz uma mudançadr
na magnitude der, o vetor posição do ponto com relação
a carga fonte do campo. Fazendo essa substituição, en-
contramos que~Ed~
l= (kq/r
2
)dr, e assim, a expressão
para a diferença de potencial se torna
VBVA=kq
Z
rB
r
A
dr
r
2
=kq

1
r

rB
r
A
=k
q
rB
k
q
rA
Essa equação nos mostra que a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos
AeBnum campo criado por uma carga puntiforme depende somente das coordenadas
radiaisrAerB, ou seja, indepente do caminho escolhido deAparaB, como discutido
anteriormente.
Uma vez estabelecido uma referência para o potencial no pontoA, qualquer ponto
Bterá seu potencial denido univocamente, isto é, o valor deVBdepende do valor de
VA. É comum escolhermos a referência do potencial elétrico, no caso de uma carga
puntiforme, sendoV=0 emrA=¥. Com essa escolha de referência, o potencial
elétrico criado por uma carga puntiforme em qualquer ponto a uma distânciarda
carga é
V(r) =k
q
r
, (3.5)
de modo que, o potencial eletrostático depende apenas da posiçãoV=V(x,y,z),
ou seja, o potencial é um campo escalar.
Para um conjunto de duas ou mais cargas puntiformes, o potencial eletrostático to-
tal pode ser obtido pelo princípio da superposição, isto é, o potencial total num deter-
minado ponto do espaço devido ao conjunto de cargas é a soma dos potenciais devido
a cada carga independentemente naquele ponto. Assim, para um conjunto de cargas,
o potencial eletrostático total é

3.4. GRADIENTE DO POTENCIAL E EQUIPOTENCIAIS 41
V(r) =å
i
V
i=å
i
k
q
i
r
i
. (3.6)
3.4 Gradiente do Potencial e Equipotenciais
Uma vez que conhecemos o potencial de uma dada conguração de cargas, será que
conseguiremos inferir algo sobre o campo elétrico? De fato, sabemos que a diferença de
potencial entre dois pontos innitesimalmente próximos é dada pela própria denição
do potencial
dV=~Ed~
l,
sendo assim, o campo elétrico é proporcional ao gradiente do potencial~rVe de
fato
~E=~rV=
¶V
¶x
x
¶V
¶y
y
¶V
¶z
z (3.7)
Isto é, a componentexdo campo elétrico é igual ao negativo da derivada do poten-
cial com respeito ax. Processo similar pode ser feito para as componentesyez. Esse
fato é a armação matemática que o campo elétrico é uma medida da taxa de variação
do potencial com a posição.
Vamos agora imaginar um caminhod~
lque seja perpendicular ao campo elétrico
~E. A diferença de potencial nesse caminho édV=~Ed~
l=0, ou seja, a diferença
de potencial é nula quando caminhamos sobre uma superfície que é perpendicular ao
campo elétrico. Essas superfícies recebem o nome deequipotenciais, pelo fato de terem
o mesmo potencial em todos seus pontos. +

42 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Na gura acima vemos equipotenciais (linhas tracejadas) e linhas de campo (linhas
cheias) para (a) um campo elétrico uniforme produzido por um plano innito de carga,
(b) uma carga puntiforme, e (c) um dipolo elétrico. E em todos os casos,o campo elétrico
é sempre perpendicular às superfícies equipotenciais e tem sentido que aponta na direção do
potencial decrescente.
3.5 Potencial Devido a Distribuições Contínuas de Carga
Para distribuições contínuas de carga, podemos calcular o potencial eletrostático de
duas maneiras apresentadas a seguir.
Se a distribuição de carga é conhecida, podemos con-
siderar o potencial devido a um pequeno elemento de
cargadq, tratando esse elemento como uma carga pun-
tiforme. O potencial eletrostáticodVem algum pontoP
devido ao elemento de cargadqé
dV=k
dq
r
onderé a distância do elemento de carga ao pontoP.
Para obter o potencial total no pontoP, integramos a equação acima para incluir
contribuições de todos elementos de carga da distribuição. Como cada elemento está,
em geral, a distâncias diferente do pontoP, podemos expressar
V=k
Z
dq
r
(3.8)
onderdepende do elemento de cargadq, e assumimos que o potencial é zero
quando o pontoPé innitamente distante da distribuição de carga.
Se o campo elétrico já é conhecido por outras considerações, tais como Lei de Gauss,
podemos calcular o potencial elétrico devido à distribuição contínua de carga usando
a denição do potencial. Se a distribuição de carga tem simetria suciente, primeiro
calculamos~Eem qualquer ponto usando a Lei de Gauss e então substituímos emDV=

R
~Ed~
lpara determinar a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos. E por
m, escolhemos o potencialVsendo zero em algum ponto conveniente do espaço.

3.5. POTENCIAL DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 43
Exemplo:
Vamos determinar o potencial eletrostático em qualquer localizado num eixo central
perpendicular a um aro uniformemente carregado de raioRe carga totalQ. +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+

P
dE
x
dE
dE

a
r
dq
R
Consideremos, como na gura, que o aro está ori-
entado tal que seu plano é perpendicular ao eixoxe
seu centro está na origem. Para analisar o problema,
consideraremos o pontoPestando a uma distância
xdo centro do aro, conforme gura. O elemento de
cargadqestá a uma distância
p
x
2
+R
2
do pontoP.
Assim, podemos expressarVcomo
V=k
Z
aro
dq
r
=k
Z
aro
dq
p
x
2
+R
2
.
Como cada elementodqestá a mesma distância do pontoP, podemos tirar
p
x
2
+R
2
da integral, eVse reduz a
V=k
1
p
x
2
+R
2
Z
aro
dq,
e usando o fato que
R
aro
dqé a carga total do aroQ, temos
V(P) =k
Q
p
x
2
+R
2
A única variável nessa expressão paraVéx, uma vez que nosso cálculo é válido so-
mente para pontos ao longo do eixox. A partir desse resultado, o campo elétrico pode
ser determinado a partir do gradiente do potencial como
~E=rV=
dV
dx
x=kQ
d
dx
(x
2
+R
2
)
1/2
=kQ(
1
2
)(x
2
+R
2
)
3/2
(2x)
então
~E(P) =k
Qx
(x
2
+R
2
)
3/2
x

44 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Exemplo:
Vamos determinar o potencial eletrostático em qualquer ponto localizado no eixo cen-
tral perpendicular a um disco uniformemente carregado de raioRe densidade super-
cial de cargas. P
a
r
R
dq
dr
Novamente, escolhemos o pontoPno eixoxa
uma distânciaxdo centro do disco. Simpli-
camos o problema dividindo o disco num con-
junto de aros carregados de espessura innite-
simaldr. O potencial devido a cada aro é dado
pelo exemplo anterior. Consideremos um des-
ses aros de raiore espessuradr, conforme -
gura. A área desse aro édA=2prdr, de modo
que a carga desse aro édq=sdA=s2prdr.
Assim, o potencial no pontoPdevido a esse aro
é
dV=k
dq
p
x
2
+r
2
=k
s2prdr
p
x
2
+r
2
ondexé uma constante eruma variável. Para encontrar o potencial total emP, soma-
mos sobre todos os aros formando o disco. Isto é, integramosdVder=0 ar=R
V=pks
Z
R
0
2rdr
p
x
2
+r
2
=pks
Z
R
0
(x
2
+r
2
)
1/2
d(r
2
)
e assim
V(P) =2pks
h
(x
2
+R
2
)
1/2
x
i
Como no exemplo anterior, podemos determinar o campo elétrico em qualquer ponto
axial do disco usando o gradiente do potencial
~E=
dV
dx
x=2pks
d
dx
h
(x
2
+R
2
)
1/2
x
i
=2pks

1
2
(x
2
+R
2
)
1/2
(2x)1

então
~E(P) =2pks

1
x
p
x
2
+R
2

x
O cálculo deVe~Epara um ponto qualquer fora do eixo do disco é muito difícil de
realizar, e não trataremos esses exemplos nesse curso.

3.5. POTENCIAL DEVIDO A DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE CARGA 45
Exemplo:
Vamos determinar o potencial eletrostático em qualquer região do espaço criado por
uma esfera uniformemente carregada de raioRe carga totalQ.
Comecemos pelos pontos no exterior da esfera,
isto é,r>R, tomando o potencial como zero
emr=¥. Nos capítulos anteriores, encontra-
mos que a intensidade do campo elétrico no ex-
terior de uma esfera uniformemente carregada
de raioRé
E(r>R) =k
Q
r
2
onde o campo é radial para fora quandoQé positivo. Nesse caso, para obter o poten-
cial num ponto exterior, tal comoBna gura, usamosDV=
R
B
A
~Ed~
l, escolhendo o
pontoAcomor=¥
VBVA=
Z
rB
r
A
E(r)dr=kQ
Z
rB
r
A
dr
r
2
=kQ

1
rB

1
rA

VB0=kQ

1
rB
0

e assim sabemos que o potencial na regiãoexteriorà esfera é dado por
V(r>R) =k
Q
r
Por continuidade emr=R, o potencial num pontoCna superfície da esfera deve ser
VC=kQ/R. Para um ponto no interior da esfera, vamos lembrar que o campo elétrico
no interior de uma esfera isolante uniformemente carregada é
E(r<R) =k
Q
R
3
r
Podemos usar esse resultado para calcular a diferença de potencialVDVCem algum
ponto interiorD
VDVC=
Z
rD
r
C
E(r)dr=k
Q
R
3
Z
r
R
rdr
VDk
Q
R
=k
Q
2R
3
(R
2
r
2
)

46 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
de modo que o potencial na regiãointeriorà esfera é dado por
V(r<R) =k
Q
2R

3
r
2
R
2

V(r) =
8
<
:
k
Q
2R

3
r
2
R
2

ser<R
k
Q
r
ser>R
Podemos esboçar um gráco do potencialV(r)
como função da distânciarao centro da esfera,
denindoV0=3kQ/(2R).
3.6 Potencial Devido a um Condutor Carregado
Vimos no capítulo anterior que quando um condutor sólido em equilíbrio está car-
regado, sua carga reside na sua superfície, fato que os difere dos isolantes. Assim,
o campo elétrico próximo a superfície externa é perpendicular a mesma e dentro do
condutor o campo é nulo.
Consideremos dois pontosAeBna superfície de um condutor carregado, conforme
gura.+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+++
+
+
+
+
+
+
+
+
Usando um caminho ao longo da superfície que ligue os dois pontos, vemos que o
campo~Eé sempre perpendicular ao deslocamentod~
l, de modo que~Ed~
l=0. Usando
esse resultado, vemos que

3.6. POTENCIAL DEVIDO A UM CONDUTOR CARREGADO 47
VBVA=
Z
B
A
~Ed~
l=0
que vale para quaisquer dois pontos na superfície, portantoVé constante na su-
perfície.
Assim,a superfície de um condutor carregado em equilíbrio eletrostático é uma superfície
equipotencial.
Exemplo:
Consideremos uma esfera condutora de cargaQe de raioR, como mostra a gura (a). + +
+ +
+ +
+ +
+
+ +
+ +
+ +
+
O campo elétrico obtido via Lei de Gauss é
E(r) =
8
<
:
0 ser<R
k
Q
r
2ser>R
O potencial pode então ser obtido via
campo elétrico por integração, como no
exemplo anterior, de modo que
V(r) =
8
<
:
k
Q
R
ser<R
k
Q
r
ser>R
Portanto, o potencial elétrico no interior da
esfera condutora é uniforme e de mesmo
valor que o potencial na superfície (gura
(b)), uma vez que a diferença de potencial
entre a superfície e qualquer ponto no inte-
rior da esfera deve ser nula, pois o campo
no interior do condutor é também nulo (-
gura (c)).
Concluímos então queo potencial eletrostático de um condutor carregado é constante em
qualquer ponto no interior do condutor e de mesmo valor que na superfície.

48 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
Exemplo:
Consideremos um condutor representado por duas esferas condutoras de raiosR1eR2
conectadas por um o condutor, como mostra a gura.
Como as esferas estão conectadas por
o condutor, elas devem ambas terem o
mesmo potencial
V=k
Q1
R1
=k
Q2
R2
Assim, a razão entre suas cargas é
Q1
Q2
=
R1
R2
Porém, a razão entre suas densidades superciais de cargas deve então ser
s1
s2
=
R2
R1
que mostra que a densidade de carga é maior na esfera de menor raio, ou seja,quanto
menor for a curvatura da superfície maior será a densidade de carga num condutor.

3.7. LISTA DE EXERCÍCIOS 49
3.7 Lista de Exercícios
1. qe massamsai da placa positiva de um capacitor plano de
placas paralelas e atinge a placa negativa. A velocidade inicial da carga é igual a
zero. A densidade supercial de cargas numa das placas é igual as; a distância
entre as placas do capacitor é igual ad. Determine a variação da energia potencial
e a velocidade da cargaqquando ela atinge a placa
2. q.
3. q1,q2eq3, colocadas no vértice de um triângulo equilátero
de lado igual aL. (a) Determine o potencial elétrico no ponto onde se situa a
cargaq1. (b) Qual seria o trabalho necessário para deslocar a cargaq1do vértice
deste triângulo até o ininito?
4.
forme igual al. Um pontoP1está a uma distânciabdo o e um pontoP2está
a uma distânciacdo o, sendoc>b. Determine o módulo da diferença de
potencial entre os pontosP1eP2.
5. lestá dobrado na forma da
gura. Determine o campo elétrico no pontoO.
6. se de forma
dada na gura. (a) Calcule o potencial num pontoPao longo do eixo do anel. (b)
Determine o campo elétrico no mesmo pontoP.
7. Re cargaQ. Determine o potencial a
uma distânciardo seu centro quando: (a)r>R; (b)r<R; (c)r=R; (d)r=0.

50 CAPÍTULO 3. POTENCIAL ELETROSTÁTICO
8. Rcom uma cargaQdistribuída uniformemente no
volume dessa esfera. Determine: (a) o potencial para pontos no interior da esfera.
(b) o potencial para pontos no exterior da esfera. (c) em que ponto noexterioro
potencial tem valor igual à metade do valor do potencial na superfície da esfera.
(d) em que ponto nointerioro potencial tem valor igual à metade do valor do
potencial na superfície da esfera.
9. y, conforme gura. A inten-
sidade do seu momento de dipolo elétrico é denida comop=2qa. (a) Num
pontoP, bem distante do dipolo (ra), mostre que o potencial eletrostático é
V=k
pcosq
r
2
(b) Calcule as componentesExeEydo campo elétrico nesse ponto.
10.
V(r) =
V0
e0
exp(r
2
/a
2
), ondeV0easão constantes, eré a distância à origem.
Determine: (a) o campo elétricoE(r)nessa região. (b) a carga totalQ(r)no in-
terior de uma região de raior. (c) a densidade de cargar(r), usando o fato que
dQ/dr=r(r)4pr
2
. (d) Esboce um gráco der(r)em função der.
Young & Freedman:23.61, 23.66, 23.70, 23.71, 23.81, 23.85, 23.90.

Capítulo4
CapacitânciaeDielétrico
Nesse capítulo, estudaremos o conceito de capacitância, aplicações de capacitores e
dielétricos.
4.1 Capacitância
Considere dois condutores carregando cargas de mesmo sinal e sinais opostos, con-
forme gura. Essa combinação de dois condutores chamaremos decapacitores, sendo
ambos condutores algumas vezes chamados deplacas. E devido à presença das cargas,
existe uma diferença de potencialDVentre os condutores.
O que determina quanta carga está nas placas de um capacitor para uma dada vol-
tagem? Experimentos mostram que a quantidade de cargaQnum capacitor é linear-
mente proporcional a diferença de potencialDVentre os condutores. Sendo assim, a
capacitância Cde um condutor é denida como a razão entre a intensidade da carga
num dos condutores pela intensidade da diferença de potencial entre eles
C
Q
DV
(4.1)
51

52 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
Note que por denição capacitância é sempre uma quantidade positiva. Além
disso, capacitância é uma medida da capacidade de um capacitor em armazenar ener-
gia, pois cargas positivas e negativas estão separadas no sistema dos dois condutores
de um capacitore, existindo uma energia potencial elétrica armazenada no sistema.
A capacitância no sistema SI tem unidade de Coulomb por Volt, sendo denida
comoFarad F=C/V, em homenagem a Michael Faraday.
Consideremos um capacitor formado por um par de placas paralelas, conforme
gura. +
?
Com o capacitor inicialmente descarregado, conec-
tamos cada placa a um terminal de uma bateria, que
age como uma fonte de diferença de potencial, es-
tabelecendo um campo elétrico nos os condutores
quando essa conexão é feita. Na placa conectada ao
terminal negativo da bateria, o campo elétrico força
os elétrons a irem em direção à placa, o processo
continua até a placa, o o, e o terminal da bateria
terem o mesmo potencial, de modo que não há mais
diferença de potencial entre o terminal e a placa, não
há mais movimento de elétrons, e a placa agora está
carregada negativamente.
Um processo similar ocorre na outra placa do capacitor, com elétrons saindo da
placa para o o, deixando a placa carregada positivamente. Nessa conguração -
nal, a diferença de potencial entre as placas do capacitor é a mesma daquela entre os
terminais da bateria.
4.2 Cálculo de Capacitância
Para determinar a capacitância de um certo tipo de capacitor vamos usar o seguinte
procedimento: assumimos uma carga de magnitudeQnuma das placas, em seguida
calculamos a diferença de potencialDVentre as placas usando as técnicas do capítulo
anterior, e por último usamos a expressãoC=Q/DVpara determinar a capacitância.

4.2. CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA 53
Exemplo:
Imaginemos um condutor esférico carregado. As linhas de campo ao redor desse
condutor são exatamente as mesmas que no caso se existisse uma casca esfé-
rica condutora de raio innito, concêntrica com a esfera e carregando uma carga
de mesma intensidade e sinal oposto, de modo que essa casca esférica imaginária
pode ser identicada como um segundo condutor de um capacitor de dois condutores.
Assim, podemos calcular a capacitância para essa situação usando o fato que o poten-
cial de uma esfera de raioRe cargaQé simplesmentekQ/Rna sua superfície, eV=0
na casca innitamente grande, então
C=
Q
DV
=
Q
kQ/R
=
R
k
=4pe0R,
mostrando que a capacitância de uma esfera carregada é proporcional ao seu raio e
independe da carga na esfera e da diferença de potencial.
A capacitância de uma par de condutores depende somente da geometria dos con-
dutores. Vamos ilustrar isso com duas geometrias familiares: placas paralelas e cilin-
dros concêntricos.

54 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
Exemplo:
Consideremos duas placas metálicas de áreas iguaisAseparadas por uma distância
d, conforme gura. Uma placa está carregada com cargaQ, a a outra carregada com
cargaQ.
Se as placas estão muito próximas, de tal forma
que a distânciadé muito menor que as dimen-
sões típicas das placas, podemos considerar o
campo elétrico uniforme na região entre as pla-
cas com valor igual a
E=
s
e0
=
Q
e0A
,
e nulo na região fora das placas. Então, como o campo entre as placas é uniforme, a
diferença de potencial entre as placas é
DV=V+V=Ed=
Qd
e0A
.
Substituindo esse resultado na denição de capacitância, temos para o capacitor de
placas paralelas
C=
Q
DV
=
Q
Qd/e0A
,
portanto
C=
e0A
d
Isto é, a capacitância de um capacitor de placas paralelas é proporcional à área das suas
placas e inversamente proporcional à separação entre as placas.

4.2. CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA 55
Exemplo:
Consideremos um condutor cilíndrico sólido de raioae cargaQé coaxial a uma casca
cilíndrica de raiob>ae espessura desprezível, com cargaQ.
Se os condutores tiverem um comprimentoL
muito maior que os raioaeb, podemos des-
prezar os efeitos de borda sobre as linhas de
campo, de tal forma que nesse caso o campo
elétrico é perpendicular ao eixo dos cilindros e
é connado na região entre eles.
A partir da Lei de Gauss, a intensidade do
campo elétrico de um cilindro com distribuição
de carga uniformelé .
E(r) =
2kl
r
=
2Q/L
r
,
e como o campo elétrico da casca cilíndrica não inuencia na região entre os cilindros,
esse deve ser o campo na região entreaeb. Então, como conhecemos o campo entre os
cilindros, a diferença de potencial entre eles é
DV=V+V=
Z
a
b
E(r)dr=2k(Q/L)
Z
a
b
dr
r
=2k(Q/L)ln

b
a

.
Substituindo esse resultado na denição de capacitância, temos para o capacitor cilín-
drico
C=
Q
DV
=
Q
2k(Q/L)ln(b/a)
,
portanto
C=
L
2kln(b/a)
Isto é, a capacitância de um capacitor cilíndrico é proporcional ao comprimento dos
cilindros.

56 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
4.3 Associação de Capacitores
Agora que sabemos determina a capacitância de capacitares devido a sua geome-
tria, podemos associar diferentes capacitares para obter qualquer valor de capacitância
que necessitarmos. Existem dois de associações: paralela e série.
4.3.1 Capacitores em Paralelo
Numa associação em paralelo, conforme gura (b), as diferenças de potenciais em
cada capacitor individualmente são as mesmas e iguais à diferença de potencial apli-
cada sobre a associação inteira.+
?
+ ?
+ ?
+ ? + ?
Quando os capacitores são conectados ao circuito conforme a gura (a), elétrons
são transferidos entre os os e as placas, permitindo as placas da direita se carregarem
negativamente e as placas da esquerda se carregarem positivamente. O uxo de carga
cessa quando a voltarem sobre os capacitares é igual àquela dos terminais da bateria, e
os capacitares cam carregados com cargasQ1eQ2. A carga totalQarmazenada nos
capacitores é
Q=Q1+Q2
Isso é, a carga total nos capacitares conectados em paralelo é a soma das cargas
de cada capacitor individual. E como a voltarem sobre cada capacitor é a mesma, as
cargas que eles carregam são

4.3. ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES 57
Q1=C1DV e Q2=C2DV
Suponha que nós desejamos trocar esses capacitores por umcapacitor equivalente
tendo uma capacitânciaCeq, conforme gura (c). O efeito desse capacitor no circuito
deve ser o mesmo do conjunto de capacitores anteriores, isto é, esse capacitor equi-
valente deve armazenar cargaQquando conectado a d.d.p deDV. Assim, para o
capacitor equivalente,
Q=CeqDV
Substituindo essas três relações para as carga na equação da carga total do circuito,
temos
CeqDV=C1DV+C2DV
Ceq=C1+C2
Assim, a capacitância equivalente de uma associação de capacitores em paralelo é
a soma algébrica das capacitâncias individuais e é maior que qualquer uma das capa-
citância individuais.
Ceq=C1+C2+C3+. . . (em paralelo) (4.2)
4.3.2 Capacitores em Série
Numa associação em série, conforme gura (b), as cargas em cada capacitor indivi-
dualmente são as mesmas e iguais à carga total armazenada na associação inteira.?+ + ?
+
?

58 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
Quando os capacitores são conectados ao circuito conforme a gura (a), elétrons
são transferidos para fora da placa da esquerda deC1e vão para a placa da direita
deC2. Como essa carga negativa se acumula na placa direita deC2, uma quantidade
equivalente de carga negativa é forçada para fora da placa esquerda deC2, e essa placa
esquerda adquire então um excesso de carga positiva. A carga negativa deixando a
placa esquerda deC2causa um acumulo de carga negativa na placa direita deC1.
Como resultado, todas as placas da direita cam com carga negativaQ, e todas placas
da esquerda com carga+Q. Assim, as cargas nos capacitares conectados em série são
as mesmas.
Da gura (a), vemos que a voltagemDVentre os terminais da bateria é dividida
entre os capacitores
DV=DV1+DV2
Em geral, a diferença de potencial entre qualquer número de capacitores conectados
em série é a soma da diferença de potencial sobre cada capacitor individualmente. E
como as cargas nos capacitores são as mesmas, as voltagens sobre eles são
DV1=
Q
C1
DV e DV2=
Q
C2
Suponha que nós desejamos trocar esses capacitores por umcapacitor equivalente
tendo uma capacitânciaCeq, conforme gura (c). O efeito desse capacitor no circuito
deve ser o mesmo do conjunto de capacitores anteriores, isto é, esse capacitor equiva-
lente deve armazenar cargaQna placa da direita e carga+Qna placa da esquerda
quando conectado a d.d.p deDVdos terminais da bateria. Assim, para o capacitor
equivalente,
DV=
Q
Ceq
Substituindo essas três relações para as voltagens na equação da voltarem total do
circuito, temos
Q
Ceq
=
Q
C1
+
Q
C2
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
Assim, o inverso da capacitância equivalente de uma associação de capacitores em
série é a soma algébrica dos inversos das capacitâncias individuais e é menor que qual-

4.4. ENERGIA ARMAZENADA NUM CAPACITOR 59
quer uma das capacitância individuais.
1
Ceq
=
1
C1
+
1
C2
+
1
C3
+. . . (em série) (4.3)
Exemplo:
Consideremos um circuito misto de capacitores, conforme gura (a). A capacitância
equivalente entreaebpode ser encontrada reduzindo as associações de capacitores
como indicadas nas partes (b), (c), e (d), usando as regras de associações em série e
paralelo.ba
( b)
ba
( c)
ba
( d)
ba
( a)
4.4 Energia Armazenada num Capacitor
Quanta energia deve estar armazenada num capacitor depois que o carregamos?
Para calcular a energia armazenada num capa-
citor durante o processo de carregamento, ima-
ginemos que a carga é transferida mecanica-
mente para o capacitor, de modo que o traba-
lho necessário para adicionar uma cargadqao
capacitor é
dW=DVdq
e sabendo que a diferença de potencial entre as placas do capacitor depende da
cargaqnele, podemos escrever
dW=
q
C
dq,

60 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
ilustrado na gura. O trabalho total para carregar o capacitor desde uma carga
q=0 até a carga nalq=Qé
W=
Z
Q
0
q
C
dq=
1
C
Z
Q
0
q dq=
Q
2
2C
O trabalho feito para carregar o capacitor aparece como energia potencial elétrica
Uarmazenada no capacitor. Usando a capacitância, podemos expressar a energia po-
tencial armazenada num capacitor carregado nas seguintes formas
U=
Q
2
2C
=
1
2
QDV=
1
2
C(DV)
2
(4.4)
Podemos considerar a energia armazenada num capacitor como sendo armazenada
no campo elétrico criado entre as placas quando o capacitor está carregado, pois o
campo elétrico é proporcional a carga no capacitor. Para um capacitor de placas para-
lelas, a diferença de potencial está relacionada com o campo elétrico através da relação
DV=Ed, e sua capacitância éC=e0A/d. Substituindo essas expressões na energia,
obtemos
U=
1
2
e0A
d
(Ed)
2
=
1
2
(e0Ad)E
2
.
Como o volume ocupado pelo campo elétrico éAd, a energia por unidade de vo-
lumeuE=U/(Ad), conhecida comodensidade de energia, é
uE=
1
2
e0E
2
(4.5)
Assim, a densidade de energia em qualquer campo elétrico é proporcional ao qua-
drado da intensidade do campo elétrico num dado ponto.
Para uma dada capacitância, a energia armazenada aumenta com o aumento da
carga e com o aumento da diferença de potencial. Na prática, entretanto, há um limite
de energia máxima (ou carga) que pode ser armazenada pois, em valores muito altos
de voltarem, ocorre descarga elétrica entre as placas.
4.5 Materiais Dielétricos
O que acontece quando colocamos um material isolante na presença de um campo
elétrico externo?
Consideremos um dielétrico feito de moléculas polares localizadas num campo elé-
trico entre as placas de um capacitor. Os dipolos (isso é, as moléculas polares que
formam o dielétrico) estão orientados aleatoriamente na ausência de um campo elé-

4.5. MATERIAIS DIEL?TRICOS 61
trico, conforme gura (a). Quando um campo el?trico externo
~
E
0
devido ao capacitor
? aplicado, conforme gura (b), um torque ? exercido sobre os dipolos, fazendo com
que eles se alinhem parcialmente com o campo. O grau de alinhamento das mol?culas
com o campo el?trico depende da temperatura e da intensidade do campo, em geral,
aumentando com o aumento da temperatura e do campo. Se as mol?culas do diel?-
trico s?o apolares, ent?o o campo el?trico externo produz alguma separa??o de cargas
e num momento de dipolo induzido.
Em ambos materiais feitos de mol?culas polares ou apolares, os campos el?tricos
induzidos pelos momentos de dipolos el?tricos alinhados tendem a cancelar parcial-
mente o campo externo original, gura (c). Assim, o campo el?trico resultante
~
E
T
dentro do diel?trico ? o campo original
~
E
0
mais o campo induzido
~
E
ind
~
E
T
=
~
E
0
+
~
E
ind
,
ou
E
T
= E
0
E
ind
.
Notamos que o campo resultante dentro do diel?trico aponta na dire??o do campo
externo original. O campo induzido depende do campo externo original na forma
E
ind
= a E
0
, sendo a a polarizabilidade do meio material. Com isso, podemos escrever
E
T
= ( 1 a ) E
0
,
e denominando k = 1 / ( 1 a ) a constante diel?trica do meio material, vemos que o
campo resultante no interior do meio diel?trico ? reduzido de um fator k
~
E
T
=
~
E
0
k
(4.6)
Al?m disso, o campo el?trico externo E
0
est? relacionado com a densidade de carga
s nas placas atrav?s da rela??o E
0
= s / e
0
, e o campo el?trico induzido E
ind
no die-
l?trico est? relacionado com a densidade de carga induzida s
ind
, conforme gura (b),

4.6. CAPACITORES COM DIELÉTRICOS 63
um fatorkpois o campo no interior do capacitor foi reduzido do mesmo fator, desta
forma
DV=
DV0
k
.
Como a cargaQ0no capacitor não mudou, concluímos que a capacitância deve
mudar para o valor
C=
Q0
DV
=
Q0
DV0k
=k
Q0
DV0
então
C=kC0 (4.8)
Isso é, a capacitância aumenta de um fatokquando um dielétrico preenche com-
pletamente a região entre as placas.

64 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
Exemplo:
Consideremos um capacitor de placas paralelas com separação entre as placasd, que
tem capacitânciaC0na ausência de um dielétrico, preenchido com dielétrico de cons-
tanteke espessurad/3 conforme gura (a).
Podemos imaginar o conjunto da gura (a)
como sendo dois capacitoresC1eC2associados
em série, conforme gura (b). Usando o resul-
tado da capacitância de um capacitor de placas
paralelas, temos
C1=
ke0A
d/3
e C2=
e0A
2d/3
.
Como associamos em série, a capacitância equi-
valente é dada por
1
C
=
1
C1
+
1
C2
=
d/3
ke0A
+
2d/3
e0A
então
C=

3k
2k+1

e0A
d
e como a capacitância sem o dielétrico éC0=
e0A/d, podemos escrever
C=

3k
2k+1

C0

4.7. LISTA DE EXERCÍCIOS 65
4.7 Lista de Exercícios
1.
O condutor esférico interno possui raio externob. O condutor externo é uma
casca muito na de raio externoc. A superfície interna (de raiob) possui carga
Qe a superfície externa (de raioc) carga oposta. (a) Determine a diferença de
potencial entre as superfícies. (b) Determine a capacitância desse capacitor. (c)
Esses resultados mudariam se o condutor interno fosse uma casca esférica oca de
raiob? Por que?
2. dcom
seus centros separados por uma distânciaD. Assuma que a carga está distribuída
uniformemente na superfície de cada o, mostre que a capacitância por unidade
de comprimento desse par de os é
C
l
=
pe0
ln[(Dd)/d]
3. ncapacitores idênticos de capacitânciaC0. Deter-
mine a capacitância do capacitor equivalente ao circuito quando (a) todos os ca-
pacitores estão em paralelo; (b) todos os capacitores estão em série; (c) quando
metade dos capacitores estão ligados em série ligados a outra metade que está
em paralelo.
4.
cialVde uma bateria. Sem desconectar a bateria, afasta-se uma das placas, de
modo que a nova distância entre as placas seja igual ao triplo da distância origi-
nal. Calcule (a) a nova capacitância em função da capacitância inicial; (b) a carga
acumulada em função da carga inicial; (c) a energia armazenada em função da
energia inicial.
5. C1eC2estão carregados na mesma diferença de potencial inicial
DV
i. Os capacitores carregados são removidos da bateria, e suas placas são co-

66 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO
nectadas com polaridade oposta como na gura (i). As chavesS1eS2são então
fechadas, como na gura (ii). (a) Determine a diferença de potencial nalDV
f
entreaebapós fechar as chaves. (b) Determine a energia total armazenada nos
capacitores antes e depois das chaves serem fechadas e razão entre a energia nal
e a inicial.+ ?
+
ba
?
? +
+
ba
?
6. Restá uniformemente car-
regada com densidade volumétrica de cargar. Determine (a) o campo elétrico
Edentro e fora da esfera. (b) a densidade de energia elétrica em cada ponto do
espaço. (c) a energia elétrica total do campo elétrico produzido por esta esfera
em todo o espaço. (Sugestão:Integre a densidade de energia do item (b) em todo
o espaço.)
7. Emaxacima
do qual ocorre descarga para o ar, que tem constante dielétricak. Determine a
expressão da carga máxima que pode ser acumulada na superfície de uma esfera
condutora de raioR.
8.
dielétrico de constantek(gura (a)). Quando o capacitor é posicionado horizon-
talmente (gura (b)), que fração dele deve ser preenchida com o mesmo dielétrico
para que os dois capacitores tenham a mesma capacitância.
9. Ae distânciadentre as placas
está totalmente preenchido por três dielétricos de constantesk1,k2ek3, de mesma
áreaAe mesma espessura igual ad/3. Mostre que a capacitância desse capacitor
é
C=
3e0Ak1k2k3
d(k1k2+k1k3+k2k3)

4.7. LISTA DE EXERCÍCIOS 67
Young & Freedman:24.62, 24.66, 24.68, 24.71, 24.72, 24.76.

68 CAPÍTULO 4. CAPACITÂNCIA E DIELÉTRICO

Capítulo5
Corrente,ResistênciaeForça
Eletromotriz
Nesse capítulo, estudaremos a denição de corrente, com descrição microscópica,
as denições de resistência elétrica e introduzimos o resistor, como uma força eletro-
motriz possibilita o uxo de corrente em um circuito, e por m, como obter as energia
e potência em circuitos.
5.1 Corrente Elétrica
O que acontece ao ligarmos por um o metálico às placas de um capacitor carre-
gado?
Como não pode haver equilíbrio eletrostático, pois as extremidades do o condutor
estão em potenciais diferentes, há movimento de cargas, ou seja, umacorrente elétrica
passa através do o quando a conexão é feita.
A intensidade da corrente elétricaique atravessa
uma dada seção de um o condutor é denida como
a quantidade de cargadqque atravessa esta seção
num dado intervalo de tempodt, de modo que po-
demos escrever
i
dq
dt
. (5.1)
A unidade de corrente elétrica no SI é oAmpère, que passa a denir a unidade de
Coulomb. Assim, numa corrente de 1A, a secção do o é atravessada a cada segundo
por 1Cde carga, equivalente a 6.210
18
C.
69

70 CAPÍTULO 5. CORRENTE, RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ
Por motivos históricos, é convencional denir a corrente tendo a mesma direção do
uxo de cargas positivas. Em condutores elétrico, tais como cobre e alumínio, a cor-
rente é devido ao movimento de elétrons. Portanto, num metal, a direção da corrente
num condutor é oposta ao uxo de elétrons. Numa lâmpada uorescente, os porta-
dores de cargas são tanto elétrons como íons positivos do gás, que se deslocam em
sentidos opostos sob a ação do campo de descarga.
5.1.1 Modelo Microscópico para Corrente
Podemos relacionar a corrente elétrica com o movimento de cargas através de um
modelo microscópico de condução num metal.
Num condutor isolado, isto é, a diferença de potencial é zero nele, os elétrons se
movem num movimento aleatório que é análogo ao movimento das moléculas num
gás. Quando uma diferença de potencial é aplicada nesse condutor, um campo elétrico
aparece nesse condutor exercendo uma força nos elétrons, produzindo uma corrente.
Contudo, os elétrons não se movem em linhas retas através do condutor, pois colidem
repeditademnte com os átomos do metal, e seu movimento resultante é complicado
em zig-zag. Apesar das colisões, os elétrons se movem vagarosamente através do con-
dutor (na direção oposta de~E) com a velocidade de arrasto~vD, conforme gura (a). ?
Agora, consideremos um comprimentoDxde um condutor de seção transversalA,
de modo que o volume dessa região éADx, conforme gura (b). Sené o número de
portadores de carga por unidade de volume, o número de portadores nessa região é
nADx. Assim, a carga totalDQnessa região é
DQ= (nADx)q
ondeQé a carga de cada portador. Se os portadores se movem com velocidade de
arrastovD, devido à inuência do campo elétrico externo, o intervalo de tempo que
leva para atravessarem essa região é dado pela relaçãoDx=vDDt. Esse intervalo de

5.1. CORRENTE ELÉTRICA 71
tempo é aquele necessário para todas as cargas no cilindro passarem de uma extremi-
dade a outra. Com isso, podemos escrever
DQ= (nAvDDt)q
Se dividirmos ambos os lados da equação porDt, a corrente elétrica média nesse
condutor é
i
med=
DQ
Dt
=nqAvD
E com isso, temos umadensidade de corrente elétrica~jpercorrendo o o que é dada
por
j=
i
A
=nqv
d
ou
~j=nq~v
d (5.2)
Exemplo:
Consideremos um o de cobre de área de seção transversalA=310
6
m
2
, cuja
densidade é de 8.95 g/cm
3
e massa molar igual a 63.5 g/mol, por onde passa uma
corrente de 10 A.
A densidade de portadores de carga (para o cobre, elétrons) é dada por
n=
r
m
NA=
(8.95 g/cm
3
)
(63.5 g/mol)
(6.2210
23
) =8.810
28
e

/m
3
.
Assim, a velocidade de arrasto no o é determinada pela corrente através de
v
d=
i
nqA
=
(10 A)
(8.810
28
e

/m
3
)(1.610
19
C)(310
6
m
2
)
=0.2 mm/s.
Desta forma, um elétron demoraria aproximadamente 1.5 horas para percorre um tre-
cho de 1 m nesse o. O fato é que não é necessário que o elétron chegue até o equipa-
mento para acioná-lo, basta que o campo elétrico se propague pelo o e faça com que
todos os elétrons se movimentem na mesma direção. O campo elétrico se propaga com
a velocidade da luz no meio material!

72 CAPÍTULO 5. CORRENTE, RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ
5.2 Lei de Ohm e Condutância
Anteriormente vimos que o campo elétrico no interior em equilíbrio eletrostático é
nulo, porém quando as cargas no condutor não estão em equilíbrio é possível que haja
um campo elétrico em seu interior.
Em alguns materiais, a densidade de corrente elétrica é proporcional ao campo elé-
trico
~j=s~E (5.3)
onde a constante de proporcionalidadesigmaé denominadacondutividadedo ma-
terial. Materiais que obedecem essa relação são conhecidos comomateriais ôhmicos, em
homenagem a Georg Simon Ohm que descobriu essa relação empírica válida somente
para certos materiais.
Consideremos agora um pequeno trecho de um o de comprimentoLe seção trans-
versal uniforme de áreaA, conforme gura. Uma diferença de potencialDV=V
bVa
é mantida ao longo do o, criando no interior do o um campo elétrico e portanto uma
corrente. Se o campo puder ser considerado uniforme, a diferença de potencial está
relacionada com o campo através da relação
DV=EL
Assim, podemos expressar a intensidade da densidade de corrente no o como
sendo
j=sE=s
DV
L
,
comoj=i/A, podemos escrever
DV=
L
s
j=

L
sA

i=Ri.
A quantidadeR=L/sAé denominadaresistência elétricado o, que no SI tem
unidadesohm, equivalente a Volt por Ampère,W=V/A. Assim, a relação entre a

5.2. LEI DE OHM E CONDUTÂNCIA 73
diferença de potencial sobre um o e a corrente elétrica criada no mesmo é dada pela
famosaLei de Ohm, escrita na forma
DV=Ri (5.4)
O inverso da condutividade é aresistividader
r=
1
s
, (5.5)
comoR=L/sA, podemos expressar a resistência de um o condutor de material
homogêneo e isotrópico como
R=r
L
A
. (5.6)
Materiais que são bom condutores de eletricidade apresentam resistividade baixa,
como o cobre cuja resistividade é da ordem de 10
8
W.m, enquanto que materiais iso-
lantes apresentam alta resistividade, como o quartzo cuja resistividade é da ordem de
10
16
W.m. Além disso, a resistividade, num certo intervalo de temperatura, varia apro-
ximadamente linearmente com a temperatura de acordo com a expressão
r=r0[1+a(TT0)] (5.7)
onderé a resistividade em alguma temperaturaT,r0é a resistividade em alguma
temepratura de referênciaT0, eao coeciente de temperatura da resistividade.
5.2.1 Modelo Microscópico para Condutividade
Podemos pensar num condutor como sendo uma rede regular de átomos mais um
conjunto de elétrons livres, que podemos chamar deelétrons de condução. Não há cor-
rente elétrica no condutor na ausência de um campo elétrico externo pois a velocidade
de arrasto dos elétrons é zero, isto é, na média o movimento dos elétrons é zero, con-
forme gura (a). ?
?
? ? ?
?
? ?

74 CAPÍTULO 5. CORRENTE, RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ
Com a presença do campo elétrico externo a situação muda, além do movimento
aleatório devido à agitação térmica, o campo elétrico~Ecausa um arrasto dos elétrons
numa direção oposta àquele campo~E, conforme gura (b).
Quando um elétron livre de massame cargaqestá sujeito a um campo elétrico~E,
ele sofre uma forçca~F=q~E. Como essa força está relacionada com a aceleração do
elétron através da segunda lei de Newton,~F=m~a, concluímos que a aceleração do
elétron é
~a=
q~E
m
Essa aceleração, que ocorre somente em um curto intervalo de tempo entre colisões,
permite ao elétron adquirir uma pequena velocidade de arrasto. Se~v
ié a velocidade
inicial do elétron no instante após a colisão (que ocorre num tempo que deniremos
comot=0), então a velocidade do elétron num tempot(no qual ocorre a próxima
colisão) é
~v
f=~v
i+~at=~v
i+
q~E
m
t
Em seguida, tomamos uma média sobre todos os valores possíveis de~v
fe~v
idu-
rante um intervalo de tempo médio entre sucessivas colisõest. Como a distribuição
das velocidades iniciais é aleatória, o valor médio de~v
ié zero. De modo que,
~v
(
f
med) =~v
d=
q~E
m
t
Relacionando essa expressão para a velocidade de arrasto com a corrente num con-
dutor, encontramos que a densidade de corrente é
j=nqv
d=
nq
2
E
m
t.
Comparando essa expressão com a lei de Ohm,j=sE, obtemos as seguintes rela-
ções para condutividade e resistividade do material
s=
nq
2
t
m
(5.8)
r=
1
s
=
m
nq
2
t
(5.9)
E de acordo com esse modelo clássico, a condutividade e a resistividade do material
não depende da intensidade do campo elétrico externo. O tempo médio entre colisões
testá relacionado com a distância média entre colisõesl(ou livre caminho médio) e a

5.3. POTÊNCIA ELÉTRICA E EFEITO JOULE 75
velocidade média¯vatravés da expressãot=l/¯v.
5.3 Potência Elétrica e Efeito Joule
Agora que sabemos que corrente é efetivamente o movimento das cargas no interior
de um condutor, quanta energia deve ser gasta para realizar esse movimento?
Para mover uma quantidade de cargadq=idtentre uma diferença de potencial
DV, a quantidade de energia necessária é igual ao trabalho
dW= (idt)DV
de modo que a potência da fonte, ou seja, da bateria deva ser
Pot=
dW
dt
=iDV (5.10)
No caso de um material condutor, podemos usar a lei de Ohm para determinar a
potência dissipada pelo condutor em formas alternativas
Pot=Ri
2
=
(DV)
2
R
(5.11)
Assim, a energia fornecida pela bateria para o movimento das cargas num condutor
acaba sendo dissipada na forma de calor devido a resistência do objeto, tal fenômeno
é conhecido comoefeito Joule. Efeitos como esse são o que permitem utilizar energia
elétrica para gerar calor, como num chuveito elétrico.
De fato, podemos pensar nas colisões átomos-elétrons num condutor como uma
fricção interna efetiva similar aquela sentidas pelas moléculas de um líquido uindo
através de um duto. A energia transferida dos elétrons para os átomos do metal du-
rante as colisões causa aumento da energia de vibração dos átomos e um correspon-
dente aumento na temperatura do condutor.

76 CAPÍTULO 5. CORRENTE, RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ
Exemplo:
Um aquecedor elétrico é construído aplicando-se uma diferença de potencial de 120 V
num o de nicromo cuja resistência total é de 8.0W.
A corrente elétrica que passa pelo o é dada pela lei de Ohm como
i=
DV
R
=
120 V
8.0W
=15.0 A
A potência elétrica dissipada na forma de calor é dada por
Pot=Ri
2
= (8.0W)(15.0 A)
2
=1.8010
3
W=1.80 kW

5.4. LISTA DE EXERCÍCIOS 77
5.4 Lista de Exercícios
1.
menta com o tempo de acordo com a relaçãoq=q0[1exp(bt)], ondebé uma
constante. Determine a expressão da corrente em função do tempo.
2.
uma certa lâmpada uorescente ocorre o deslocamento de 1,510
18
elétrons por
segundo e o deslocamento de 0,510
18
íons positivos por segundo. Calcule a
corrente elétrica.
3. Le diâmetrod, feito de material ôhmico de
resistividader, é colocado ao longo do eixox. Assumindo que um potencialV
é mantido emx=0 e que o potencial é zero emx=L. Em termos deL,d,V,
r, e constantes físicas, derive expressões para (a) o campo elétrico no o; (b) a
resistência do o; (c) a corrente elétrica no o; (d) a densidade de corrente no o.
(e) Prove queE=rj.
4. A, de resistividaderA, fabrica-se um o de comprimentoLe de
raioa, e com um metalB, de resistividaderB, fabrica-se um o de comprimento
Le de raiob. Determine uma relação entre as resistividas desses materiais para
que a corrente que passa em um dos os seja igual à corrente que passa no outro
o, quando estes estão ligados em paralelo.
5. Qé colocada num capacitor de capacitânciaC. O capacitor é conec-
tado no circuito mostrado na gura, com uma chave aberta, um resistor de resis-
tênciaR, e um capacitor inicialmente descarregado de capacitância 3C. A chave
é então fechada e o circuito entra em equilíbrio. Em termos deQeC, determine
(a) a diferença de potencial nal entre as placas de cada capactor; (b) a carga em
cada capacitor; (c) a energia nal armazenada em cada capacitor; (d) a energia
dissipada no resistor.

78 CAPÍTULO 5. CORRENTE, RESISTÊNCIA E FORÇA ELETROMOTRIZ
6.
tem condutividadesnão nula. SejaAa área de cada placa,da distância entre
elas, eka constante dielétrica do material. Mostre que a resistênciaRe a capaci-
tânciaCsão relacionada por
RC=
ke0
s
Young & Freedman:25.60, 25.64, 25.66, 25.72, 25.80, 25.85.

Capítulo6
CampoMagnético
Nesse capítulo, estudaremos as forças que agem em cargas elétricas em movimento
e em os que carregam correntes elétricas na presemça de um campo magnético.
6.1 Fatos Experimentais
Na Grécia antiga se conheciam as propriedades de um minério de ferro encontrado
na região da Magnésia, amagnetita(Fe3O4): um pedaço de magnetita é umimã perma-
nente, que atrai pequenos fragmentos de ferro.
Em 1100 a.C., os chineses já haviam descoberto que uma agulha de magnetita capaz
de se orientar livremente num plano horizontal alinha-se aproximadamente na direção
norte-sul, e usavam este aparelho, abússola, na navegação.
Em 1600, William Gilbert publicou um importante tratado sobre omagnetismo, onde
observa, pela primeira vez, que a própria Terra atua como um grande imã.
Um imã permanente tem umpólo norte(N) e umpólo sul(S), e é fácil vericar, com
dois imãs, que seus pólos de mesmo nome (N-N e S-S) se repelem, e que seus pólos de
nomes contrários (N-S) se atraem.
Entretanto, a experiência mostra que não é possível separar um pólo do outro num
imã. Se o partirmos em dois, cada um deles continuará tendo dois pólos N e S.
79

80 CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO
Em anos recentes, fez-se um grande esforço experimental para vericar se existem
partículas com carga magnética, que seriam pólos N ou S isolados (monopólos magné-
ticos). Nenhum jamais foi detectado. É portanto um fato experimental básico no estudo
do magnetismo quenão existem cargas magnéticas(pólos magnéticos isolados).
Quando salpicamos limalha de ferro sobre um imã, cada pequeno fragmento de
ferro se magnetiza por indução e funciona como uma minúscula agulha imantada (bús-
sola), indicando a direção do campo, de modo que materializamos assim aslinhas de
força magnéticas, conforme a gura a seguir.
6.2 Força e Campo Magnéticos
Em nosso estudo de eletricidade, descrevemos as interações entre objetos carrega-
dos em termos de campos elétricos, que rodeiam qualquer carga elétrica. Além de
conter o campo elétrico, a região do espaço ao redor de qualquer carga emmovimento
contém um campo magnético.
A força magnética que atua numa carga puntiforme devido a algum campo mag-
nético~B, tem as seguindes propriedades:
a intensidade da força é proporcional à cargaqe a intensidade da velocidadev
da partícula.
quando~ve~Btem direções paralelas, a força magnética é nula.
quando~ve~Btem direções que fazem um ânguloq6=0 entre si, a força magnética

6.2. FORÇA E CAMPO MAGNÉTICOS 81
tem a direção perpendicular às direções de~ve~Be seu módulo proporcional a
senq.
Podemos resumir essas propriedades escrevendo a força magnética na forma de
um produto vetorial como sendo
~FB=q~v~B (6.1)
A direção da força magnética~FBagindo numa partícula carregada movendo-se com
uma velocidade~vna presença de um campo magnético~Bé perpendicular a ambos~ve
~B, conforme gura (a). Forças magnéticas de sentidos opostos são exercidas em cargas
de sinais opostos que se movem com a mesma velocidade num campo magnético,
conforme gura (b), onde as linhas tracejadas mostram os caminhos das partículas. ? +
Como a força magnética é sempre perpendicular à velocidade da partícula, pode-
mos dizer queo campo magnético não realiza trabalho. Assim, a energia cinética de uma
partícula carregada num campo magnético constante permanece também constante.
Da equação para a força magnética, vemos que a unidade no SI do campo magné-
tico é o Newton por Coulomb-metro por segundo, que é denominadaTesla(T), sendo
então
1 T1
N
Cm/s
,
e uma outra unidade muito comum é denominadaGauss(G), que é relacionado
com o Tesla através da conversão 1 T=10
4
G. O campo magnético da Terra é0.6 G.

82 CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO
Para facilitar as ilustrações, vamos denir uma pequena notação para indicar a di-
reção de~Bquando este está perpendicular ao plano do papel, usaremosquando este
aponta saindo da página equando este aponta entrando na página.

6.2. FORÇA E CAMPO MAGNÉTICOS 83
Exemplo:
Consideremos uma fonte de partículas puntiformes de carga elétricaqe com veloci-
dades~vna direçãox. As partículas passam por uma fenda e chegam na região onde
existem simultaneamente um campo magnético uniforme~B=Bze um campo elé-
trico uniforme~E=Ey, conforme a gura (a). +
?
++++++
??????
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
Algumas dessas partículas passam por essa região sem deetir, ou seja, permanecem
em movimento com a velocidade constante. Para que isso ocorra, sabemos que a força
resultante sobre a mesma deve ser nula, conforme gura (b), de modo que
å
~F=q~E+q~v~B=0,
que corresponde a~E=~v~B, e como a velocidade da partícula está na direçãox,
podemos escrever
Ey=(vx)(Bz),
sendo necessário que a partícula tenha velocidade cujo módulo é
v=
E
B
Assim,a força resultante sobre uma partícula puntiforme em movimento na presença de campos
elétrico e magnético é dada pela força de Lorentz, que corresponde a equação
~FL=q~E+q~v~B
onde q é a carga elétrica e~vé a velocidade da partícula.
Obs.:Esse equipamento é conhecido comoseletor de velocidades, pois permite ltrar as
partículas que tenham somente a velocidade dada porv=E/B.

84 CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO
6.3 Força Magnética numa Corrente
Sabemos que uma força magnética é exercida numa única partícula quando esta
se move através de um campo magnético. Então, não deveria ser surpresa que um
o carregado também deva experimentar uma força quando colocado na presença de
um campo magnético, pois uma corrente elétrica nada mais é do que uma coleção de
cargas em movimento.
Vamos quanticar esse efeito considerando um segmento innitesimal de o com
comprimentodle seção transversal de áreaA, carregando uma correnteIna presença
de um campo magnético aproximadamente uniforme~B, conforme gura. +
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
?
?
A força magnética exercida numa cargaqmovendo-se com velocidade de arrasto
~vDéq~vD~B. A força magnética atuando no o é devido a todas as cargas em mo-
vimento em seu interior que sãonAdl, lembrando quené o número de cargas por
volume. Assim, a força magnética nesse segmento do o de comprimentodlé
d~FB= (q~vD~B)nAdl
que pode ser escrita de maneira mais conveniente se usarmos o fato queI=nqv
dA,
portanto
d~FB=I d~
l~B
onded~
lé o vetor que aponta na direção da correnteIe tem magnitude igual ao
comprimentodldo segmento.

6.3. FORÇA MAGNÉTICA NUMA CORRENTE 85
A força total que age sobre o o todo, conforme -
gura, pode ser integrada sobre o comprimento do
o
~FB=I
Z
B
A
d~
l~B (6.2)
ondeAeBrepresentam as extremidades do o.
Quando realizamos essa integração, a magnitude do
campo magnético e sua direção com o vetord~
lpode
variar para pontos diferentes.
Consideremos agora um o suspenso verticalmente entre os pólos de um magneto,
conforme gura (a). ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
Nas guras (b), (c) e (d) temos o aparato apresentado na parte (a) como visto do
pólo norte do magneto, tal que o campo magnético (cruzes azuis) tem direção entrando
na página. Quando não há corrente passando pelo o, este permanece na vertical,
conforme gura (b). Quando há uma corrente vertical ascendente, o o deete para a
esquerda, conforme gura (c). Quando a corrente é descendente, o o deete para a
direita, conforme gura (d).
Portanto, o sentido da corrente determina o sentido da força magnética, uma vez
que trocarI! Iresulta em levar~FB! ~FB.

86 CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO
Exemplo:
Consideremos um o curvado que carrega uma correnteIe está localizada num campo
magnético uniforme~B, conforme a gura.
Como o campo é uniforme, podemos tirar~Bda in-
tegral, e obtemos
~FB=I
Z
B
A
d~
l

~B
Mas a quantidade
R
B
A
d~
lrepresenta a soma vetorial
de todos os elementos de linha deAatéB. Pela lei
da adição vetorial, a soma é igual a~L
0
, dirigido de
AparaB. Portanto, reduzimos nosso resultado a
~FB=I~L
0
~B
Assim,a força magnética num o curvado carregando uma corrente num campo magnético
uniforme é igual aquela de um o reto conectando os pontos nais e carregando a mesma cor-
rente.
Exemplo:
Consideremos um o na forma de um loop fechado que carrega uma correnteIe está
localizada num campo magnético uniforme~B, conforme a gura.
Novamente como o campo é uniforme, podemos ti-
rar~Bda integral, e obtemos
~FB=I
I
d~
l

~B
Como o conjunto de elementos representa um polí-
gono fechado, a soma vetorial de todos os elementos
deve ser zero. Isso segue do procedimento da adi-
ção de vetores pelo método gráco. Sendo
H
d~
l=0,
concluímos que
~FB=0
Assim,a força magnética total agindo em qualquer loop fechado de o carregando uma corrente
num campo magnético uniforme é zero.

6.3. FORÇA MAGNÉTICA NUMA CORRENTE 87
Consideremos um circuito retangular de ladosaebpercorrido por uma corrente
estacionáriaIe situado num campo magnético uniforme~B, que supomos paralelo ao
ladoa, conforme gura (a). ?
Como os lados 1 e 3 são paralelos a~B,
a força magnética sobre ambos é zero.
Usando o sistema de coordenadas da -
gura, a força~F2sobre o lado 2 é
~F2= (Ibz)(By) =IBbx,
igual e contrária à força~F4sobre o lado 4,
o que corresponde a um binário de torque,
conforme gura (b).
~t= (ay)(IBbx) =IBAz
ondeA=abé a área do circuito e deni-
mos
~m=IAx=IAnI~A
como omomento de dipolo magnéticoda es-
pira, onde~A=Ané a sua área orientada
(visto da extremidade den, o circuito é per-
corrido em sentido anti-horário).
Sendo assim, o torque magnético sobre uma espira com momento de dipolo mag-
nético~mnum campo magnético uniforme~Bé dado facilmente via
~t=~m~B
A posição de equilíbrio corresponde a~m//~B, ou seja, o circuito tende a se orientar
perpendicularmente ao campo magnético. É devido a esse fato que uma bússola se
orienta na presença do campo magnético terrestre, o momento de dipolo magnético da
bússola se alinha ao campo magnético da Terra!

88 CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO
6.4 Movimento de Cargas num Campo Magnético Uni-
forme
Vimos que a força magnética agindo numa partícula carregada em movimento num
campo magnético é perpendicular à velocidade da partícula e consequentemente o
trabalho feito pela força magnética sobre essa partícula é nulo.
Consideremos o caso especial de uma partícula com carga positiva que se move
num campo magnético uniforme com sua velocidade inicial perpendicular ao campo.
Conforme a partícula muda a direção da sua velocidade devido à força magnética, a
força magnética permanece perpendicular à velocidade. E como a força é sempre per-
pendicular à velocidade, a trajetória da partícula é um círculo! A gura a seguir mostra
a partícula se movendo num círculo num plano perpendicular ao campo magnético. + + +
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
A partícula se move num círculo porque a força
magnética~FBé perpendicular a~ve~Be tem uma
intensidade constanteqvB, e tem orientação anti-
horária para uma carga positiva. Sendo assim, a
força centrípeta é igual a força magnética
åF=macp
FB=qvB=
mv
2
R
R=
mv
qB
Assim, o raio da trajetória é proporcional ao momentum linearmvda partícula e
inversamente proporcional a intensidade da cargaqdela e à intensidade do campo
magnéticoB. A velocidade angular da partícula é
w=
v
R
=
qB
m
Esse resultado mostra que a velocidade angular da partícula e o período da órbita
circular não dependem da velocidade linear da mesma ou do raio da órbita. A velo-
cidade angularwé algumas vezes denominada defrequência cíclotronpois partículas
carregadas circulam com essa frequência angular num tipo de acelerador chamado de
cíclotron.

6.4. MOVIMENTO DE CARGAS NUM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME 89
Exemplo:
Consideremos um campo magnético uniforme na direçãozdado por~B=Bz, con-
forme a gura. +
A força magnética sobre uma partícula de cargaqe
velocidade arbitrária~vé dada por
~FB=q~v~B=qvB(vz)
ondevrepresenta a direção do vetor velocidade~v
da partícula, e por consequência(vz)é sempre
uma direção perpendicular az.
Desta forma, não há nenhuma componente da força magnética ao longo da direçãoz,
e consequentemente a aceleração éaz=0, de modo que a componentezda velocidade
permanece constante,vz=v0z.
Contudo, a força magnética tem componentesxeyque causam mudanças nas com-
ponentesvxevyno tempo, de modo que a projeção da trajetória nesse planoxyé um
círculo, cujo raio é
R=
mv
?
qB
,
ondev
?=
q
v
2
x+v
2
yé a componente da velocidade que é perpendicular ao campo
magnético. As projeções emxzeyzsão senóides!
Assim,se a partícula carregada se move num campo magnético uniforme com sua velocidade
em alguma direção arbitrária com respeito à direção do campo, sua trajetória é uma hélice com
o eixo paralelo ao campo magnético.

90 CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO
6.5 Lista de Exercícios
1. i. O o possui um comprimentoLestá
imerso em um campo magnético uniforme, formando um ânguloqcom a direção
do o. Determine o módulo da força magnética que atua sobre o o.
2. l. Quatro segmentos de o -ab,bc,cd, eda
- formam uma espira fechada que carrega uma corrente elétricai, cuja direção
está dada pela gura. Um campo magnético uniforme de intensidadeBestá na
direçãoypositivo. Determine a intensidade e a direção da força magnética em
cada segmento, e a força total sobre a espira.
3. R, forma um cir-
cuito fechado e é percorrido por uma correntei. O circuito está no planoxye
um campo magnético uniforme~Bestá aplicado paralelamento ao eixoy, como é
visto na gura. Determine: (a) a força magnética total sobre a parte retilínea do
condutor. (b) a força magnética total sobre a parte curva do condutor. (c) o torque
total sobre o circuito.
4. apor onde passa uma correntei. A
espira se encontra no planoxyonde existe um campo magnético uniforme~B=
Bx, conforme a gura. Determine: (a) os vetores força resultante sobre cada um
dos lados do quadrado. (b) o vetor torque sobre a espira.
5.
~E=Eze~B=By. Determine o valor deEpara que uma partícula de energia
cinéticaKmovendo-se ao longo do eixoxpositivo não seja deetida.

6.5. LISTA DE EXERCÍCIOS 91
6.
um campo magnético uniforme~Borientado para dentro de uma folha de papel.
O vetor velocidade~vda partícula alfa está contido no plano da folha. A carga
do próton é igual ae, e sua massa é igual am, sendo igual à massa do nêutron.
Determine: (a) a intensidade da força magnética sobre a partícula. (b) o raio da
trajetória da partícula. (c) a frequência cíclotron.
7. Bé dirigido ao longo do eixo
xpositivo. Um pósitron movendo-se com velocidadeventra na região com o
campo ao longo de uma direção que faz um ânguloqcom o eixox, conforme
gura. O movimento da partícula é esperado ser uma hélice. Calcule (a) o vetor
força magnética, (b) o passope (c) o raiorda trajetória.
8.
Considere uma agulha imantada de momento de dipolo magnético~me momento
de inérciaI, suspensa de forma a oscilar livremente em torno de um eixo verti-
cal, situada num campo magnético horizontal uniforme~B. As direções de~me
~Bformam inicialmente um pequeno ânguloq0. Calcule a frequência angular de
pequenas oscilações (desprezando o armotecimento) e mostre que sua determi-
nação permite medirj~mj.j~Bj.
Young & Freedman:27.53, 27.60, 27.66, 27.75, 27.81, 27.84, 27.91

92 CAPÍTULO 6. CAMPO MAGNÉTICO

Capítulo7
FontesdeCampoMagnético
Nesse capítulo, exploramos a origem do campo magnético - cargas em movimento.
Apresentaremos a Lei de Gauss do Magnetismo, a Lei de Biot e Savart, a Lei de Ampère
e a corrente de deslocamento de Maxwell.
7.1 Lei de Gauss no Magnetismo
O uxo associado com um campo magnético é de-
nido numa maneira similar aquela usada para de-
nir o uxo elétrico. Se em algum elemento de super-
fíciedA, o campo magnético é~B, o uxo magnético
através desse elemento é~Bd~A, onded~Aé um vetor
que é perpendicular a superfície e tem intensidade
igual a áreadA. Portanto, o uxo magnético total
FBsobre a superfície é
FB=
Z
~Bd~A
A unidade de uxo magnético é T.m
2
, que é denido comoWeber(Wb), de modo
que 1 Wb=1 T.m
2
.
Vimos no capítulo 2 que o uxo elétrico através de uma superfície fechada em volta
de uma carga é proporcional a essa carga (Lei de Gauss). Em outras palavras, o número
de linhas de campo elétrico deixando a superfície depende somente da carga total no
seu interior. Essa propriedade é baseada no fato que as linhas de campo elétrico come-
çam e terminam em cargas elétricas.
A situação é um pouco diferente para campos magnéticos, que são contínuos e for-
mam curvas fechadas. Em outras palavras, linhas de campo magnético não começam
e terminam em qualquer ponto, conforme gura (a) a seguir.
93

94 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO ? +
Note que para qualquer superfície fechada, tal como a linha tracejada na gura (a)
acima, o número de linhas entrando na superfície é igual ao número saindo dela, então,
o uxo magnético total é zero. No contrário, para uma superfície fechada ao redor de
uma carga de um dipolo elétrico, conforme gura (b), o uxo elétrico total não é zero.
Assim, alei de Gauss no magnetismoestabelece que o uxo magnético total em qual-
quer superfície fechada é sempre zero
I
~Bd~A=0 (7.1)
o que permite armar quenão há cargas magnéticas, ou seja, monopólos magnéticos não
existem.

7.2. LEI DE BIOT-SAVART 95
7.2 Lei de Biot-Savart
Se não existem cargas magnéticas, quais seriam as fontes do campo magnético?
Pouco depois de Oersted descobrir em 1819 que uma bússola é deetida por um
condutor que carrega uma corrente elétrica, Jean-Baptiste Biot e Félix Savart realizaram
experimentos quantitativos da força exercida por uma corrente elétrica num magneto
próximo.
A partir dos seus resultados experimentais para o campo magnéticod~Bnum ponto
Passociado com um elemento de linhad~
lde um condutor carregando uma corrente
estacionáriaI, conforme gura, Biot e Savart chegaram as seguintes propriedades ex-
perimentais para o campo magnéticod~B:
é perpendicular a ambosd~
le ao vetor unitário
rdirigido ded~
lparaP.
a sua intensidade é inversamente proporcio-
nal a distância até o pontor
2
, e é proporcional
a correnteIe a magnitudedl.
a sua intensidade é proporcional a senq, onde
qé o ângulo entre os vetoresd~
ler.
Essas propriedades podem ser resumidas numa expressão matemática conhecida
hoje como lei de Biot-Savart
d~B=
m0
4p
Id~
lr
r
2
(7.2)
ondem0é a constante denominadapermeabilidade magnética do vácuoe tem valor
igual a
m0=4p10
7
T.m/A
Note que o campo magnético dado pela Lei de Biot-Savart é o campo criado por
uma corrente em somente um pequeno elemento de linhad~
ldo condutor. Para encon-
trar o campo magnéticototal~Bcriado em algum ponto por uma corrente de tamanho
nito, devemos somar as contribuições de todos elementos de correnteId~
lque formam
a corrente. Isso é, devemos calcular~Ba partir da integral
~B=
m0I
4p
Z
d~
lr
r
2
(7.3)

96 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO
Exemplo:
Consideremos um o retilíneo e no, de comprimentoL, carregando uma corrente
elétrica estacionáriaIe localizado ao longo do exiox, conforme gura.
Pela Lei de Biot-Savart, sabemos que o campo mag-
nético criado pelo o no pontoPque situa-se a uma
distânciaydo o pode ser calculado por
~B=
m0I
4p
Z
o
d~
lr
r
2
Um elemento de corrente do o pode ser facilmente
descrito pord~
l=dxx, de modo que o produto veto-
rial entred~
lertem a direçãozpositivo, pela regra
da mão direita, e assim
d~
lr=jd~
lrjz= (dxsenq)z
A distância do pontoPao elemento de corrente é obtida geometricamente comor
2
=
x
2
+y
2
, além do fato que senq=y/r, e com isso temos a integral de Biot-Savart
~B(P) =
m0I
4p
z
Z
L/2
L/2
y dx
(x
2
+y
2
)
3/2
e como
R
y dx/(x
2
+y
2
)
3/2
=x/y
p
x
2
+y
2
(*Mostre!), podemos escrever
~B(P) =
m0I
4p
L/y
p
(L/2)
2
+y
2
z
No limite que o o é muito longo, ou seja,Ly, é fácil mostrar que
lim
Ly
~B(P) =
m0I
2py
z
É fácil notar que o campo magnético produzido por um o muito longo só depende da
distância perpendicular a ele do ponto. Isto é, a intensidade do campo~Bé constante
em qualquer círculo de raioy, enquanto sua direção é dado pela regra da mão-direita
de tal forma que o campo circule ao redor do o.
Assim,as linhas de campo magnético produzidas por um o retílineo e muito longo que carrega
uma corrente estacionária são círculos concêntricos ao o e pertencem a planos perpendiculares
a ele.

7.2. LEI DE BIOT-SAVART 97
Exemplo:
Consideremos uma espira circular de raioRlocalizada no planoxye carregando uma
corrente estacionáriaI, conforme gura.
Pela Lei de Biot-Savart, sabemos que o
campo magnético criado pela espira em
qualque pontoPque situa-se a uma distân-
ciazdo centroOdela, pode ser calculado
por
~B=
m0I
4p
Z
espira
d~
lr
r
2
Nessa situação, todos os elementos de cor-
rented~
lda espira são perpendiculares ao
vetorrdo próprio elemento, uma vez que
o primeiro se encontra no planoxye o se-
gundo no planoxz, como na situação apre-
sentada ao lado. Então, para qualquer ele-
mento
jd~
lrj= (dl)(1)sen 90
o
=dl
e sua distância até o pontoPé a mesma
r
2
=z
2
+R
2
.
A direção ded~Bproduzido por esse elemento é perpendicular ao plano formado pord~
l
er, conforme gura. Decompondo esse vetor numa componentedBxe outradBz, no-
tamos que quando as componentesdBxforem somadas sobre todos os elementos da
espira, a componente resultanteBxserá nula. Mesmo argumento vale para a compo-
nenteBy, de modo que a única componente restante será a componenteBzdada por
~B=Bzzonde
Bz=
Z
espira
dBcosq=
m0I
4p
Z
espira
dscosq
(z
2
+R
2
)
sendo a integral feita sobre toda a espira. Como cosq=R/(z
2
+R
2
)
1/2
, obtemos que
Bz=
m0IR
4p(z
2
+R
2
)
3/2
Z
espira
ds
e como
R
espira
ds=2pRé o comprimento da espira, chegamos ao resultado
~B(P) =
m0IR
2
2(z
2
+R
2
)
3/2
z
Podemos re-escrever esse resultado usando a denição de momento de dipolo magné-
tico da espira, apresentada no capítulo anterior, que nesse caso é
~m=ipR
2
z ) ~B(P) =
m0
2p
~m
(z
2
+R
2
)
3/2
ou seja, o campo magnético no eixo da espira tem a direção do momento de dipolo
magnético dela própria.

98 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO
Se o pontoPestá muito distante da espira, ou a espira é muito pequena, temos o limite
dezR, e nesse limite
lim
zR
~B(P) =
m0
2p
~m
z
3
que é o limite conhecido como o campo magnético de umdipolo magnético físico.
O padrão das linhas de campo magnético para uma
espira circular de corrente é apresentado na gura
a seguir. Por clareza, as linhas são desenhadas so-
mente em um plano que contém o eixo da espira.
Assim,as linhas de campo magnético produzidas por uma espira circular são axialmente simé-
tricas e parecem aquelas linhas produzidas por um imã, de modo que podemos associar a
espira um pólo norte e um pólo sul, essencialmente caracterizado pelo seu momento
de dipolo magnético~m.
7.3 Lei de Ampère
Em 1819, a descoberta de Oersted sobre uma bússola deetida demonstra que um
condutor carregando uma corrente elétrica produz campo magnético. A gura a seguir
mostra como esse efeito pode ser demonstrado usando algumas bússolas colocadas
num plano horizontal próximo a um o longo vertical.
Quando nenhuma corrente passa pelo o, todas bússolas apontam na mesma di-
reção (aquela do campo magnético da Terra), como esperado na Fig.(a). Quando o o

7.3. LEI DE AMPÈRE 99
carrega uma corrente estacionária forte, todas as bússolas são deetidas numa direção
tangente a um círculo, como na Fig.(b).
Como as bússolas apontam na direção de~B, concluímos que as linhas de~Bformam
círculos ao redor do o, como discutido na seção anterior. Por simetria, a intensidade
de~Bé a mesma em todo lugar no caminho circular centrado no o e pertencente ao
plano perpendicular ao o, de modo que~B=B(s)f, sendofa coordenada angular
cilíndrica. Variando a corrente elétricaIe a distânciasao o, encontramos queB(s)
é proporcional a corrente e inversamente proporcional ao o, de modo queB(s) =
m0I/2ps.
Vamos calcular o produto~Bd~
lpara um pequeno elemento de linhad~
lnum ca-
minho circular denido pela bússola, e somar esse produto sobre todos elementos de
linha sobre o caminho circular. Ao longo desse caminho, os vetoresd~
le~Bsão paralelos
em cada ponto (vide Fig.(b)), tal que~Bd~
l=B dl. Além disso, a intensidade de~Bé
constante nesse círculo conforme vimos. Portanto, a soma dos produtosb dlsobre o
caminho fechado, que é equivalente a integral de linha~Bd~
l, é
I
~Bd~
l=B
I
dl=
m0I
2ps
(2ps) =m0i
onde
H
dl=2psé circunferência do caminho circular. Embora esse resultado fora
calculado para o caso especial de um caminho circular ao redor do o, isso vale para
uma curva fechada dequalquerforma, umaamperianacircundante à corrente.
O caso geral, conhecido como Lei de Ampère, pode ser descrito como a integral de
linha de~Bd~
l, ou seja, a circulação de~Bao redor de qualquer curva fechada é igual
am0I, ondeIé a corrente total que passa através de qualquer superfície limitada pela
curva fechada.
I
~Bd~
l=m0Ienc (7.4)

100 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO
Exemplo:
Consideremos 4 curvas fechadas nomeadasa,b,cedorientadas no sentido anti-horário
e pertencentes a um plano perpendicular ao eixo de três os que carregam correntesI,
conforme gura.?
Pela Lei de Ampère, sabemos que a circulação do
campo magnético criado pelos três os em qualquer
uma das curvas pode ser calculado por
C
i
I
i
~Bd~
l=m0Ienc
Na curvaavemos que as três correntes estão cerca-
das pela curva, de modo que
Ca
I
a
~Bd~
l=m0(I+II) =m0I
pois duas correntes estão no sentido positivo e so-
mente uma das correntes está orientada no sentido
contrário.
Na curvabvemos que somente duas correntes estão
cercadas pela curva, de modo que
C
b
I
b
~Bd~
l=m0(II) =0
pois uma corrente está no sentido positivo e a outra
está orientada no sentido contrário.
Na curvacvemos que duas correntes estão cercadas pela curva e ambas no mesmo
sentido, assim
Cc
I
c
~Bd~
l=m0(I+I) =2m0I
Na curvadvemos que duas correntes estão cercadas pela curva e em sentidos opostos,
assim
C
d
I
d
~Bd~
l=m0(II) =0
Assim,usando a lei de Ampère ca fácil determinar a circulação do campo magnético ao longo
de qualquer curva, basta saber a corrente total que atravessa a superfície delimitada pela curva
dada.

7.3. LEI DE AMPÈRE 101
A lei de Ampère descreve a criação de campos magnéticos por todas congurações
contínuas de correntes, mas nesse nível matemático é somente útil para cálculo de
campos magnéticos de congurações de correntes tendo alto grau de simetria. Seu uso
é similar aquele da lei de Gauss no cálculo do campo elétrico para distribuições de
cargas altamente simétricas.
Exemplo:
Consideremos um o retilíneo e muito longo de raioRque carrega uma corrente esta-
cionáriaIque é uniformemente distribuída através da seção reta do o.
Pela alta simetria do o, podemos determinar o
campo magnético pela lei de Ampère. De fato, pela
simetria axial, as linhas de força de~B, dentro e fora
do o, são círculos concêntricos, orientados como
na gura (curvas 1 e 2), e a intensidade deBnão
varia ao longo de cada um desses círculos.
Usando coordenadas cilíndricas com eixozparalelo
à corrente, temos
~B=B(s)j
e o elemento de linha de um círculo pode ser escrito
comod~
l=dlj.
Para o casos>R, devemos chegar no mesmo resultado que aquele obtido pela lei de
Biot-Savart. Para analisar esse caso, escolhemos como caminho de integração o círculo
1, conforme gura, e com isso temos
I
1
~Bd~
l=2psB(s) =m0I
e como a corrente totalIatravessa a área denida pela curva 1, concluímos que
B(s>R) =
m0I
2ps

102 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO
Para o casos<R, escolhemos como caminho de integração o círculo 2, conforme
gura, e com isso temos
I
2
~Bd~
l=2psB(s) =m0I
0
e como a correnteI
0
que atravessa a área denida pela curva 2 é proporcional à área da
mesma, sabemos queI
0
= (I/pR
2
)ps
2
, e com isso
B(s<R) =
m0I
2pR
2
s
A intensidade do campo magnéticoBcomo função
da distância ao eixo do osé representada no grá-
co ao lado. Notemos que nos dois casos, o campo
magnético ems=Ré o mesmo, demonstrando que
o campo magnético é contínuo na superfície do o.
Exemplo:
Consideremos um solenóide, um o muito longo enrolado na forma de uma hélice,
retilíneo e muito longo de raioRque carrega uma corrente estacionáriaIe temnespi-
ras por unidade de comprimento. De fato, consideraremos umsolenóide ideal, onde a
separação entre as espiras é desprezível e o comprimento do solenóide é muito maior
que o seu raio interno.?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Pela alta simetria do solenóide, podemos determi-
nar o campo magnético pela lei de Ampère. De
fato, pela simetria cilíndrica, as linhas de força de
~B, dentro e fora do solenóide, são axiais, isto é, são
linhas paralelas ao eixo do solenóide, orientados
como na gura (corte longitudinal do solenóide), e
a intensidade deBdeve depender da distância ao
eixo do solenóide.
Usando coordenadas cilíndricas com eixozparalelo
à corrente, temos
~B=B(s)z

7.3. LEI DE AMPÈRE 103
Para determinar o campo no interior do solenóide, ou seja no casos<R, escolhemos
como amperiana o retânguloC=C1[ C2[ C3[ C4, conforme gura. Para facilitar o
cálculo, a curvaC3é levada ao innito, de tal forma que o campo magnético sobre essa
curva seja nulo, de modo que
I
C
~Bd~
l=
Z
C
1
~Bd~
l=lB(s) =m0Ienc
onde a integrais sobreC2eC3devem ser nulas pois~B?d~
lao longo dessas curvas, e
a integral sobreC4é nula pois~B!0 quandow!0. Além disso, a corrente total que
passa pela amperiana éIenc=NI, de modo que
B(s<R) =m0
N
l
I=m0nI
ondeN/lé exatamenten, o número de espiras por unidade de comprimento do
solenóide.
Para determinar o campo no exterior do solenóide, ou seja no casos>R, escolhe-
mos como amperiana o mesmo retânguloC, porém, levando a curvaC1para fora do
solenóide, e com isso
I
C
~Bd~
l=
Z
C
1
~Bd~
l=lB(s) =m0Ienc=0
onde usamos os mesmos argumentos anteriores, e utilizamos o fato que a corrente
nessa nova amperiana é zero, de modo que
B(s>R) =0
Assim,num solenóide ideal, o campo magnético é uniforme em seu interior e nulo na região
externa.

104 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO
7.4 CorrentedeDeslocamentoeaLeideAmpère-Maxwell
Vimos que quando um condutor carregada uma corrente elétrica e tem alta sime-
tria, podemos usar a lei de Ampère para calcular o campo magnético criado. Na lei
de Ampère,
H
~Bd~
l=m0I, a integral de linha é sobre qualquer curva fechada através
da qual atravessa a corrente de condução, onde a corrente de condução é denida pela
expressãoI=dq/dt. Porém, nesta forma, a lei de Ampère é válida somente se os
campos elétricos presentes são constantes no tempo, ou seja, estacionários.
Consideremos um capacitor que está carregando.
Quando uma corrente de condução está presente, a
carga na placa positiva muda masnenhuma corrente
existe entre as placas. A lei de Ampère estabelece que
H
~Bd~
lao longo do caminho deve ser igual am0I,
ondeIé a corrente total que atravessa qualquer
superfície delimitada pela curvaC.
Agora, consideremos duas superfíciesA1eA2, con-
forme gura, delimitadas pela mesma curvaC.
Quando o caminhoCé considerada como a borda deA1,
H
~Bd~
l=m0Ipois a
corrente de condução passa através deA1. Quando o caminho é considerado como a
borda deA2, contudo,
H
~Bd~
l=0 pois nenhuma corrente de condução passa através
deA2. Então, temos uma situação contraditória que aparece devido a discontinuidade
da corrente!
Maxwell resolveu esse problema postulando um termo adicional do lado direito da
lei de Ampère, que inclui um fator chamadocorrente de deslocamento I
d, denida como
I
de0
dFE
dt
(7.5)
ondee0é a permissividade elétrica do vácuo eFE=
R
~Ed~Aé o uxo elétrico.
Como o capacitor está sendo carregado (ou descarregado), a variação do campo elé-
trico entre as placas deve ser considerada equivalente à corrente. Quando a expressão
para a corrente de deslocamento é adicionada à corrente de condução no lado direito
da lei de Ampère, o problema apresentado ca resolvido. Não importa que superfície
delimitada porCseja escolhida, ora uma corrente de condução ora uma corrente de
deslocamento irá atravessá-la.
Com esse novo termoI
d, podemos expressar a forma geral da lei de Ampère, deno-
minadalei de Ampère-Maxwellcomo

7.4. CORRENTE DE DESLOCAMENTO E A LEI DE AMPÈRE-MAXWELL 105
I
~Bd~
l=m0(I+I
d) =m0I+m0e0
dFE
dt
(7.6)
Desta forma, concluímos que campos magnéticos são produzidos por correntes elé-
trica e por campos elétricos que variam no tempo.
Exemplo:
Consideremos um capacitor com placas de áreaAcarregando devido a uma corrente
I, conforme gura.
O uxo elétrico que atravessa a superfícieA2é
FE=
Z
A2
~Ed~A=EA
ondeEé a intensidade do campo elétrico uniforme
entre as placas.
Seqé carga numa das placas em qualquer instantet, entãoE=q/(e0A), e o uxo
elétrico atravésA2é simplesmente
FE=EA=
q
e0
Então, a corrente de deslocamento através deA2é
I
d=e0
dFE
dt
=
dq
dt
Isto é,a corrente de deslocamento I
datravés deA2é precisamente igual a corrente de condução
I através deA1!

106 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO
7.5 Lista de Exercícios
1. apor onde passa uma correnteicolocado ao
longo do eixox, conforme a gura. Determine o campo magnético produzido
pelo o num pontoPdo eixoy: (a) usando a lei de Biot-Savart. (b) estendendo
esse resultado paraa!¥. (c) usando a lei de Ampère para o caso do o innito.
2.
círculos cujos centros estão no pontoP. Determine a intensidade e a direção de~B
no pontoP.
3. i1ui através de um o retilíneo innito colocado no eixo de
sim,etria de uma casca condutora cilíndrica innita de raioRpor onde ui uma
correntei2uniformemente distribuída, com sentido oposto ao sentido da corrente
i1. Determine o módulo do campo magnético~Bpara pontos situados: (a) entre
a casca e o o, isto é, paras<R. (b) fora da casca, isto é, paras>R. (c) O que
ocorre quandoi1=i2?
4. Rconduz uma correnteidistribuída uni-
formemente em sua seção reta. Determine o campo magnético: (a) no exterior do
cilindro,s>R. (b) no interior do cilindro,s<R.
5. Re densi-
dade de espirasn.
6. i1e uma espira
retangular que carrega uma correntei2. Determine a intensidade e a direção da
força total exercida na espira pelo campo magnético criado pelo o.

7.5. LISTA DE EXERCÍCIOS 107
7. R, carregado com densidade linear de cargal, gira em torno
de um exiozque passa pelo seu centro com uma velocidade angular~w=wz,
conforme a gura. Atua nessa região um campo magnético externo uniforme
~B=Bx. Determine: (a) a correnteiassociada ao movimento do anel, e qual o
sentido da corrente. (b) o vetor torque que o campo externo~Bexerce sobre o
anel. (c) o campo magnético~BOproduzido pelo anel no seu centro. (d) o vetor
momento de dipolo associado ao anel.
8. R, cada comNvoltas, estão perpendiculares a
um eixo comum. Os centros das bobinas estão a uma distânciaRum do outro.
Cada bobina carrega uma corrente estacionáriaina mesma direção, conforme
gura. (a) Mostre que o campo magnético no eixo a uma distânciaxdo centro de
uma das bobinas é
B=
Nm0iR
2
2

1
(R
2
+x
2
)
3/2
+
1
(2R
2
+x
2
2Rx)
3/2

(b) Mostre quedB/dxed
2
B/dx
2
são ambos zero no ponto médio entre as bobi-
nas. Isso signica que o campo magnético na região média entre as bobinas é
uniforme. Bobinas nessa conguração são chamadasbobinas de Helmholtz.
Young & Freedman:28.60, 28.70, 28.74, 28.76, 28.77, 28.82, 28.88.

108 CAPÍTULO 7. FONTES DE CAMPO MAGNÉTICO

Capítulo8
InduçãoEletromagnética
Nesse capítulo, estudaremos como um campo magnético variável pode induzir
uma f.e.m num circuito, o grandioso fenômeno da indução eletromagnética, determi-
nar a indutância de alguns circuitos, calcular a energia armazenada no campo magné-
tica e obter enm as famosas equações de Maxwell.
8.1 Lei de Lenz
Experimentos conduzidos por Michael Faraday na Inglaterra em 1831 e indepen-
dentemente por Joseph Henry nos EUA no mesmo ano mostraram que uma f.e.m
(força eletromotriz) pode ser induzida num circuito pela variação do campo magné-
tico.
Primeiramente, vamos analisar qualitativamente o sentido da corrente induzida
numa espira devido a variação do uxo magnético que atravessa a mesma, para isso
consideremos a situação em que um imã se move em direção a uma espira condutora,
conforme gura.Example N S
NS
Quando o imã se aproxima da espira, conforme gura (a), o uxo magnético ex-
terno através da espira aumenta com o tempo. Para contrabalancear esse aumento de
109

110 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
uxo devido ao campo dirigido para a direita, a corrente induzida produz seu próprio
campo para a esquerda, conforme gura (b), e assim, a corrente induzida está na dire-
ção indicada. Sabendo que pólos iguais se repelem, concluímos que a face esquerda da
espira age como um pólo norte e a face direita como um pólo sul.S N NS
Se o imã se move para a esquerda, conforme gura (c), seu uxo através da área
delimitada pela espira diminui com o tempo. Agora a corrente induzida na espira está
na direção mostrada na gura (d) pois sua corrente produz um campo magnético na
mesma direção do campo externo. Nesse caso, a face esquerda da espira é um pólo sul
e a face direita é um pólo norte.
Essa interpretação física é conhecida comolei de Lenze arma que a corrente in-
duzida numa espira está na direção que cria um campo magnético que se opões a
mudança do uxo magnético através da área delimitada pela espira.
8.2 Indução de Faraday
Vamos agora descrever um experimento conduzido por Faraday e ilustrado na -
gura a seguir. Uma bobina primária está conectada a uma chave e a uma bateria,
estando enrolada num anel de ferro, de tal forma que uma corrente na bobina produz
um campo magnético no metal quando a chave é fechada. Uma bobina secundária está
também enrolada no anel metálico e está conectada a um amperímetro, onde nenhuma
bateria está conectada a ela, e nem mesmo está conectada à bobina primária. Qualquer
corrente detectada no circuito secundário deve ser induzida por algum agente externo.
No instante que a chave é fechada, o amperímetro marca uma corrente numa certa
direção e então retorna ao zero. No instante em que a chave é aberta, o amperímetro
marca a corrente numa direção oposta e retorna ao zero.
Finalmente, o amperímetro lê zero quando há ora uma corrente estacionária, ora
nenhuma corrente no circuito primário. A idéia principal desse experimento é que

8.2. INDUÇÃO DE FARADAY 111 +
?
quando a chave é fechada, a corrente no circuito primário produz um campo magnético
que penetra o circuito secundário, e o mesmo ocorre no momento em que a chave é
aberta, de modo que o sentido da corrente se opõe devido a lei de Lenz.
Como resultado dessas observações, Faraday concluiu que uma corrente elétrica
pode ser induzida num circuito pela mudança do campo magnético. A corrente indu-
zida existe somente num curto intervalo de tempo quando o campo magnético através
da bobina secundária está mudando. E uma vez que o campo magnético se torna esta-
cionário, a corrente na bobina secundária desaparece.
Em geral, alei de indução de Faradaydiz que a f.e.m induzida num circuito é direta-
mente proporcional a taxa temporal da variação do uxo magnético através do circuito,
e pode ser escrita como
E=
dFB
dt
(8.1)
ondeFB=
R
~Bd~Aé o uxo magnético através do circuito.

112 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
Exemplo:
Uma espira condutora retangular de dimensõeslewse move com velocidadevcons-
tante para a direita, conforme a gura. A espira atravessa um campo magnético uni-
forme~Bdirigido para dentro da página numa extensão de 3wao longo do eixox.? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
A gura (a) mostra o uxo através da área delimi-
tada pela espira como função dex. Antes da espira
entrar na região do campo, o uxo é zero. Conforme
a espira entra no campo, o uxo aumenta linear-
mente com a posição até a lateral esquerda da es-
pira estar justamente dentro do campo. Finalmente,
o uxo através da espira decresce linearmente para
zero conforme a espira deixa o campo.x
A gura (b) mostra a f.e.m induzida na espira como função dex. Antes da espira
entrar na região do campo, nenhuma f.e.m é induzida na espira. Conforme a aresta
direita da espira entra no campo, o uxo magnético dirigido para dentro da página
cresce, e de acordo com a lei de Lenz, a corrente induzida é anti-horária pois deve
produzir um campo saindo da página, sendo a f.e.m induzida igual aBlv. Quando
a espira está inteiramente no campo, a variação do uxo é zero, e assim a f.e.m é nula.
Quando a aresta direita da espira deixa o campo, o uxo diminui, uma corrente horária
é induzida, e a f.e.m induzida éBlv. E enquanto a aresta esquerda deixa o campo, a
f.e.m diminui para zero.

8.2. INDUÇÃO DE FARADAY 113
Exemplo:
Uma barra condutora de comprimentole massamse move em cima de dois trilhos pa-
ralelos sem atrito na presença de um campo magnético uniforme dirigido para dentro
da página, conforme a gura. No instante inicial, a velocidade da barra év0.?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Usando a lei de Lenz, vemos que conforme a barra
se movimenta para a direita, uma corrente no sen-
tido anti-horário se estabelece no circuito consis-
tindo da barra, os trilhos e um resistorR. O uxo
magnético que atravessa o circuito depende da po-
sição da barrax, isto éFB=Blx, com o sinal ne-
gativo vindo do fato que a área está orientada posi-
tivamente e o campo negativamente.
Desta forma, a variação do uxo magnético neste mesmo circuito será
dFB
dt
=Bl
dx
dt
=Blv
Usando a lei de Faraday podemos determinar a f.e.m induzida nesse circuito, uma vez
que há variação do uxo magnético, de modo queE=Blv, e com a resistência do
circuito sendoR, a corrente induzida será
I=
Blv
R
Como a energia tem de ser conservada no sistema, a taxa de energia cinética transferida
da barra é igual a taxa de energia transferia para o resistor. Então,Presistor=P
barra,
que podemos escrever como
R

Blv
R

2
=mv
dv
dt
que resolvendo paravem função detteremos como solução
v(t) =v0e
t/t
ondeté um tempo característico de decaimento da velocidade, dado por(Bl)
2
/mR.
Assim, devido o aumento do uxo magnético, a corrente elétrica induzida faz com que
a barra freie e cesse o aumento do uxo magnético enm.

114 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
8.3 Lei de Faraday
Vimos que uma mudança no uxo magnético induz uma f.e.m e uma corrente
numa espira condutora. Em nosso estudo de eletricidade, relacionamos a corrente a
um campo elétrico que aplica uma força em partículas carregadas. Da mesma ma-
neira, podemos relacionar uma corrente induzida numa espira condutora a um campo
elétrico. ? ? ?
? ?
??
? ? ? ??
? ? ? ??
? ? ??
? ? ?
Podemos entender essa relação considerando uma
espira condutora de raiorsituada num campo mag-
nético uniforme que é perpendicular ao plano da es-
pira, conforme gura. Se o campo magnético varia
no tempo, então, de acordo com a indução de Fa-
raday, uma f.e.mE=dFB/dté induzida na es-
pira. A indução de uma corrente numa espira im-
plica a presença de um campo elétrico induzido~E,
que deve ser tangente à espira pois essa é a direção
em que as cargas no o se movem sob a ação da
força elétrica.
A f.e.m induzida em qualquer curva fechada pode ser expressa comoE=
H
~Ed~
l.
Em casos mais gerais,Enão deve ser constante, e o caminho pode não ser um círculo.
Assim, a lei de Faraday da indução pode ser escrita na forma geral
I
~Ed~
l=
dFB
dt
(8.2)
O campo elétrico induzido~Epela lei de Faraday é um campo não-conservativo que
é gerado pela variação do campo magnético. De fato, o campo elétrico induzido pela
lei de Faraday é não-conservativo, uma vez que a integral
H
~Ed~
l6=0.

8.3. LEI DE FARADAY 115
Exemplo:
Consideremos um solenóide muito longo de raioRpossuindonespirar por unidade
de comprimento que carrega uma corrente variável na formaI=I0coswt, ondeI0é o
valor máximo da corrente ewé a frequência angular da corrente alternada.
Devido a simetria axial das linhas de campo~B
produzidas pelo solenóide, devemos usar a lei de
Faraday com o auxílio de amperianas na forma
circular. Por simetria, vemos que a intensidadeE
do campo elétrico é constante nessa amperiana e
que~Eé tangente a curva.
Usando coordenadas cilíndricas onde o eixo do so-
lenóide é o eixoz, temos
~E=E(s)j
Para a região externa ao solenóide, utilizaremos uma amperiana de raios>Rpor
onde passa um uxo magnético igual aBA=BpR
2
, e assim
I
~Ed~
l=2psE(s) =
d
dt
(BpR
2
) =pR
2
dB
dt
e como o campo magnético no interior do solenóide éB=m0nI, podemos substituir a
correnteI=I0coswtnessa relação e então substituir na equação acima como
2psE(s) =pR
2
m0nI0
d
dt
(coswt)
então
E(s>R) =
m0nI0wR
2
2s
senwt
Para a região interna ao solenóide, utilizaremos uma amperiana de raios<Rpor onde
passa um uxo magnético igual aBA=Bps
2
, e assim
I
~Ed~
l=2psE(s) =ps
2
dB
dt
=ps
2
m0nI0wsenwt
então
E(s<R) =
m0nI0w
2
ssenwt
Isso mostra que a intensidade do campo elétrico induzido varia de forma senoidal
devido à variação da corrente elétrica no solenóide. Assim,o campo elétrico induzido
depende da variação do campo magnético.

116 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
8.4 Indutância Mútua e Auto-Indutância
Sabemos que entre dois os que conduzem correntes elétricasestacionáriasexiste
uma interação magnética, pois a corrente de um o produz um campo magnético sobre
a corrente do outro o. Porém, quando existe uma correntevariávelem dos circuitos,
ocorre uma interação a mais!
Consideremos duas bobinas com número de espi-
rasN1eN2, conforme gura ao lado. Pela bobina 1
passa uma correnteI1que produz um campo mag-
nético~B1e, portanto, um uxo magnético através
da bobina 2, denominadoF2. Quando a correnteI1
varia, o uxoF2também varia, e de acordo com a
lei de Faraday, isso produz uma f.e.mE2na bobina
2, dada por
E2=N2
dF2
dt
Além disso, podemos representar a proporcionalidade entre o uxo totalN2F2atra-
vés da bobina 2 e a correnteI1da bobina 1 na forma
N2F2=M12I1
ondeM12é chamadaindutância mútuadas duas bobinas. Portanto,
N2
dF2
dt
=M12
dI1
dt
e podemos escrever
E2=M12
dI1
dt
(8.3)
Ou seja, a variação da correnteI1na bobina 1 induz uma f.e.mE2na bobina 2
diretamente proporcional à taxa de variação da correnteI1.
Podemos repetir o raciocínio anterior para o caso oposto, no qual uma corrente
variávelI2na bobina 2 produza um uxo magnético variávelF1e induza uma f.e.m
E1na bobina 1. E com isso, vericamos queM12é sempre igual aM21, de modo que
podemos representar a indutância mútua simplesmente pela letraM. Logo, podemos
escrever para as f.e.m's induzidas
E2=M
dI1
dt
eE1=M
dI2
dt
(8.4)
e que a indutância mútua é

8.4. INDUTÂNCIA MÚTUA E AUTO-INDUTÂNCIA 117
M=
N2F2
I1
=
N1F1
I2
(8.5)
A primeira equação arma que a variação da corrente na bobina 1 produz uma
variação do uxo magnético na bobina 2, induzindo uma fem na bobina 2 que se opõe
à variação desse uxo, e na segunda equação as bobinas são invertidas.
A unidade no SI de indutância denomina-sehenry(H), sendo igual a um weber por
ampère, 1 H = 1 Wb/A.
Exemplo:
Consideremos um solenóide (fonte) de comprimentolcomNIespiras, carregando uma
correnteI, e tendo área da seção transversalA. À sua volta se encontra outro solenóide
(receptor) comNEespiras, conforme gura.
O solenóide interno carrega uma correnteI, de
modo que o campo magnético em seu interior tem
intensidade
B=
m0NII
l
.
Como o uxo do campo magnéticoF
B(E)através do
solenóide externo éBA, a indutância mútua é
M=
NEF
B(E)
I
=
NEBA
I
e usando o valor do campo magnético
M=m0
NENIA
l
Um efeito análogo ocorre até mesmo quando consideramos umaúnicabobina iso-
lada. Quando existe uma corrente em um circuito, ela produz um campo magnético
que gera um uxo através do próprio circuito, e quando a corrente varia, esse uxo
também varia. Portanto, qualquer circuito percorrido por uma corrente variável pos-
sui uma f.e.m induzida nele mesmo pela variação doseu própriouxo magnético, que
de acordo com a lei de Lenz, sempre se opõe à variação da corrente que produz a f.e.m
e, portanto, tende a tornar mais difícil qualquer variação da corrente.
Uma f.e.m auto-induzida pode ocorrer em qualquer circuito, porém o efeito é am-
pliado quando o circuito contém uma bobina deNespiras. Por analogia à indutância

118 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
mútua, denimos aauto-indutância Ldo circuito na forma
L=
NFB
I
(8.6)
E de acordo com a lei de Faraday para uma bobina comNespiras, a f.e.m auto-
induzida pode ser escrita em termos da auto-indutância como
E=L
dI
dt
(8.7)
E o sinal negativo novamente mostra que a fem auto-induzida em um circuito se
opõe a qualquer varia cão da corrente que ocorra no circuito.
Exemplo:
Consideremos novamente um solenóide de comprimentolcomNespiras cuja área da
seção transversalA.
Sabemos que o campo magnético produzido no interior do solenóide devido a uma
correnteIé
B=m0nI=m0
N
l
I
onden=N/lé o número de voltas por unidade de comprimento. O uxo magnético
através de cada espira é
FB=BA=m0
NA
l
I
Usando a denição da auto-indutância, encontramos que
L=
NFB
I
=
m0N
2
A
l
Assim,a auto-indutância de um solenóide só depende da geometria e é proporcional ao quadrado
do número de espiras no solenóide.

8.5. ENERGIA MAGNÉTICA 119
8.5 Energia Magnética
Digamos queUseja a energia armazenada num indutor em algum instante de
tempo, então a taxadU/dtna qual a energia está sendo armazenada é
dU
dt
=EI=LI
dI
dt
Para determinar a energia total armazenada no indutor, podemos re-escrever essa
expressão e integrar
U=
Z
dU=
Z
I
0
LI
0
dI
0
=L
Z
I
0
I
0
dI
0
U=
1
2
LI
2
(8.8)
E essa expressão representa a energia armazenada no campo magnético do indutor
quando a corrente éI. Note que essa equação é similar aquela da energia armazenada
no campo elétrico de um capacitor,U=
1
2
C(DV)
2
. No outro caso, vimos que aquela
energia é necessária para estabelecer o campo elétrico.
Podemos também determinar a densidade de energia de um campo magnético. Por
simplicidade, consideremos um solenóide cuja indutância é dada por
L=m0n
2
Al
O campo magnético do solenóide é dado por
B=m0nI
Substituindo a expressão paraLeI=B/m0n, temos
U=
1
2
LI
2
=
1
2
m0n
2
Al

B
m0n

2
=
B
2
2m0
Al
e comoAlé o volume do solenóide, a densidade de energia magnética, ou a energia
armazenada no campo magnético por unidade de volume do indutor é
uB=
U
Al
=
B
2
2m0
(8.9)
Embora essa expressão foi derivada para o caso especial de um solenóide, é válida
para qualquer região do espaço em que existe um campo magnético. Note que essa
energia é similar a forma da energia por unidade de volume armazenada num campo
elétrico,uE=
1
2
e0E
2
. Em ambos os casos, a densidade de energia é proporcional ao

120 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
quadrado do campo.
8.6 Equações de Maxwell e Além!
Concluímos esse capítulo apresentando as quatro equações que são tratadas como
as bases de todos fenômenos elétricos e magnéticos. Essas equações, desenvolvidas
por James Clerk Maxwell, são tão fundamentais para os fenômenos eletromagnéticos
como as leis de Newton são para os fenômenos mecânicos. De fato, a teoria de Maxwell
foi mais longe do que ele próprio poderia imaginar pois concorda ainda mesmo com a
teoria da relatividade especial, conforme Einstein mostrou em 1905.
As quatroequações de Maxwellsão
I
¶V
~Ed~A=
Qint
e0
(8.10)
I
¶V
~Bd~A=0 (8.11)
I
¶S
~Ed~
l=
d
dt
Z
S
~Bd~A (8.12)
I
¶S
~Bd~
l=m0I+e0m0
d
dt
Z
S
~Ed~A (8.13)
e junto da equação para aforça de Lorentz
~F=q~E+q~v~B (8.14)
contém toda a informação sobre os fenômenos eletromagnéticos!

8.7. LISTA DE EXERCÍCIOS 121
8.7 Lista de Exercícios
1. Rli-
gado a um solenóide (a) quando o imã se afasta dele. (b) quando o irmã se apro-
xima dele. (c) quando o solenóide se aproxima do imã. (d) quando o solenóide
se afasta do imã. SN SN SN SN
2. restá num campo magnético uniforme, com o plano
da espira perpendicular à direção do campo, conforme gura. O campo magné-
tico varia com o tempo de acordo comB(t) =a+bt, ondeaebsão constantes. (a)
Calcule o uxo magnético através da espira no instantet=0. (b) Calcule a f.e.m
induzida na espira. (c) Se a resistência da espira éR, qual é a corrente induzida?
(d) Qual é a taxa de energia sendo dissipada pela resistência da espira?

122 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
3. le massamcai a partir do repouso no
campo gravitacional escorregando sem atrito sobre um o condutor na forma de
umUligado a um resistor de resistênciaR, conforme a gura. O conjunto forma
um circuito na vertical que se encontra na presença de um campo magnético uni-
forme~Bna direção perpendicular ao plano do circuito. Determine (a) o sentido
da corrente induzida no circuito. (b) a f.e.m induzidaEno circuito em termos do
módulovda velocidade da barra. (c) a velocidade terminalvtermda barra. (d) a
potência dissipada pelo sistema na situação do item (c) e mostre que ela é igual à
potência fornecida ao sistema pelo campo gravitacional.?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4. I=Imaxsen(wt+f)
e se encontra no plano de uma bobina retangular deNespiras, conforme gura.
Determine (a) o campo magnético produzido pelo o na região da bobina. (b) o
uxo magnético total através da bobina. (c) a f.e.m induzida na bobina, despre-
zando sua auto-indutância. (d) a indutância mútua do conjunto.
5.
B. O solenóide tem raio interno igual aRe comprimento igual aL. Determine
(a) a densidade de energia magnética no campo e (b) a energia armazenada no
campo magnético no interior do solenóide.
6. nespiras por unidade de comprimento e raioR
carrega uma corrente oscilante na formaI=I0coswt. Determine (a) o campo

8.7. LISTA DE EXERCÍCIOS 123
elétrico induzido no interior do solenóide, ou seja,s<R. (b) o campo elétrico no
exterior do solenóide, ou seja,s>R. (c) a sua auto-indutância.
Young & Freedman:29.48, 29.49, 29.61, 29.78, 30.48, 30.50, 30.73, 30.78.

124 CAPÍTULO 8. INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

ReferênciasBibliográcas
[1] University Physics with Modern Physics. McGraw-Hill
Companies,Incorporated, 2010.
[2] Lições de Física. Number v. 2. Bookman, 2008.
[3] Fisica Conceitual. Bookman, 2002.
[4] Coleção Física 3 Eletromagnetismo, Teoria e problemas resolvidos. Fisica 3.
Livraria da Física, 2009.
[5] Curso de Física Básica: Eletromagnetismo. Edgard Blucher, 2001.
[6] Berkeley Physics Course: Electricity and Magnetism. Berkeley Physics
Course. McGraw-Hill, 1965.
[7] Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics.
Physics for Scientists and Engineers. Cengage Learning, 2007.
[8] Sears e Zemansky Física III:
Eletromagnetismo. Física. Pearson Addison Wesley, 2004.
125

126 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ApêndiceA
GabaritosdasListasdeExercícios
Capítulo 1
1.Q=meNA/m
2.F=
(1+2
p
2)kQ
2
2L
2
3.F=
3
p
3kqQ
a
2na direção da carga 3q
para aq.
4.q1=q2=Q/2
5.
6.~E=k
Qx
(x
2
+R
2
)
3/2x
7.~E=k
Qx
(x
2
+R
2
)
3/2x, mesmo resultado
do anterior.
8.~E=k
Qp
4R
2ye~F=k
qQp
4R
2y
9.E=k
2Q
y
p
L
2
+4y
2
10.~E=k
4lLd
((L/2)
2
+d
2
)(2(L/2)
2
+d
2
)
1/2z
11.E=k
Q
2R
2
12. ?+
13.~v(t) =~v0+
e
m
~Ete
~r(t) =~r0+~v0t+
1
2
e
m
~Et
2
Capítulo 2
1.
(b)pR
2
E.
2. Q/(6#0).
(b)Q/#0.
3.FE=chw
2
/2.
4.E=
q
4p#0r
2.
5. E(r>R) =
Q
4p#0r
2.
(b)E(r<R) =
Qr
4p#0R
3.
6.E(s) =
l
2p#0s
.
127

128 APÊNDICE A. GABARITOS DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS
7.E=
s
2#0
.
8.E=
s
#0
entre as placas, eE=0 fora
das placas.
9.E(s<R) =0 eE(s>R) =
sR
#0s
.
10. Q=pBR
4
.
(b)E(r<R) =
Br
2
4#0
eE(r>R) =
Q
4p#0r
2.
11. E(r<a) =k
Qr
a
3
E(a<r<b) =k
Q
r
2
E(b<r<c) =0
E(r>c) =k
Q
r
2.
(b)s(r=b) =
Q
4pb
2
s(r=c) =
Q
4pc
2.
(c)
12.
Capítulo 3
1.DU=
qsd
e0
ev=
q
2qsd
e0m
2.V(r) =
kq
r
3. V=
k(q2+q3)
L
(b)W=q1
k(q2+q3)
L
4.DV=2klln

c
b

5.Ex=0 eEy=
2kl
R
.
6. V(P) =2pks

(x
2
+b
2
)
1/2
(x
2
+a
2
)
1/2

.
(b)Ex(P) =2pksx
h
1
p
x
2
+a
2

1
p
x
2
+b
2
i
eEy=0.
7. V(r>R) =
kQ
r
;
(b)V(r<R) =
kQ
R
;
(c)V(r=R) =
kQ
R
;
(d)V(r=0) =
kQ
R
.
8. V(r<R) =
kQ(3R
2
r
2
)
2R
3;
(b)V(r>R) =
kQ
r
;
(c)r=2R;
(d)r=
p
2R.
9.
(b)Ex=k
3pcosqsenq
r
3
Ey=k
p
r
3(3 cos
2
q1)
10. E(r) =
2V0
e0
rexp(r
2
/a
2
).
(b)Q(r) =8pV0r
3
exp(r
2
/a
2
).
(c)r(r) =2V0(32r
2
)exp(r
2
/a
2
).
(d) Esboce.

129
Capítulo 4
1. DV=
Q
4pe0
h
1
b

1
c
i
.
(b)C=
4pe0Qbc
cb
.
(c) Não. Como a carga de um condu-
tor maciço já se encontra na superfí-
cie, um condutor de espessura des-
prezível seria equivalente a um ma-
ciço.
2.
3. C=nC0.
(b)C=C0/n.
(c)C=
2nC0
n
2
+4
.
4. C=C0/3.
(b)Q=Q0/3.
(c)U=U0/3.
5. DV
f=

C
1C2
C
1+C2

DV
i.
(b)U
i=
1
2
(C1+C2)(DV
i)
2
,
U
f=
1
2
(C
1C2)
2
(C
1+C2)
(DV
i)
2
e
U
f
U
i
=

C
1C2
C
1+C2

2
6. E(r>R) =
rR
3
3e0r
2eE(r<R) =
rr
3e0
.
(b)uE(r>R) =
r
2
R
6
6e0r
4euE(r<R) =
r
2
r
2
6e0
.
(c)UE=
4pr
2
R
5
5e0
.
7.Q=kEmaxR
2
/k.
8.kd/(1+k).
9.
Capítulo 5
1.i=bq0exp(bt)
2.
3. Ex=V/L.
(b)R=rL/(pd
2
).
(c)i=
V(pd
2
)
rL
.
(d)j=
V
rL
.
(e) Mostre!
4.rA/rB= (a/b)
2
.
5. Q/4Cem ambos.
(b)Q/4 e 3Q/4.
(c)
Q
2
32C
e
3Q
2
32C
.
(d)
7Q
2
8C
.
6.

130 APÊNDICE A. GABARITOS DAS LISTAS DE EXERCÍCIOS
Capítulo 6
1.F=iLBsenq
2.~F
ab=0,~F
bc=ilBx,
~F
cd=ilBz,~F
da=ilB(x+z),
eå
~F=0.
3. ~F
retil=2iRBz.
(b)~Fsemi-circ=2iRBz.
(c)~t=(ipR
2
B/2)x.
4. ~F
hor-sup=~F
hor-inf=0,
~Fver-esq=2iaBz=~F
ver-dir.
(b)~t=4ia
2
By.
5.E=B
p
2K/m.
6. F=2evB. (b)R=2mv/(eB).
(c)w=eB/(2m).
7. ~F=qvBsenqr.
(b)p=2pmvcosq/(qB).
(c)r=mvsenq/(qB).
8.w=
q
j~mj.j~Bj/I.
Capítulo 7
1. ~B(P) =
m0i
2p
a
y
p
a
2
+y
2
z.
(b) lima!¥
~B(P) =
m0i
2py
z.
(c)~B(P) =
m0i
2py
z.
2.~B(P) =
m0i
12
(ba)
ab
z.
3. ~B(s<R) =
m0i
1
2ps
j.
(b)~B(s>R) =
m0(i
1i2)
2ps
j.
(c)~B(s<R) =
m0i
1
2ps
je
~B(s>R) =0.
4. ~B(s>R) =
m0i
2ps
j.
(b)~B(s<R) =
m0i
2pR
2sj.
5.~B(s<R) =m0nize~B(s>R) =0.
6.F=
m0i
1i2ab
2pd(d+a)
, horizontal para es-
querda.
7. i=lRw.
(b)~t=lpR
3
~w~B.
(c)~BO=
m0l
2
~w.
(d)~m=lpR
3
~w.
8.
Capítulo 8
1.
(b) da direita para a esquerda.
(c) da direita para a esquerda.

131
(d) da esquerda para a direita.
2. FB(0) =apr
2
.
(b)E=bpr
2
.
(c)I=
bpr
2
R
.
(d)Pot=
(bpr
2
)
2
R
.
3.
(b)E=Blv.
(c)vterm=
mg
(Bl)
2R.
(d)
dU
diss
dt
=
(mg)
2
(Bl)
2R=
dUgrav
dt
.
4. B(y,t) =
m0Imaxsen(wt+f)
2py
, en-
trando na página.
(b)NFB=N
m0Imaxsen(wt+f)
2p
lln

h+w
h

.
(c)E=wN
m0Imaxcos(wt+f)
2p
lln

h+w
h

.
(d)M=N
m0
2p
lln

h+w
h

.
5. uB=
B
2
2m0
.
(b)U=
B
2
2m0
pR
2
L.
6. ~E(s<R) =
m0nI0w
2
ssenwtj.
(b)~E(s>R) =
m0nI0wR
2
2s
senwtj.
(c)L=m0n
2
L.

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