FME-1.pdf

fundamentos da matemática elementar volume 1

1. FUNDAMENTOS

DE MATEMATICA

ELEMENTAR
Conjuntos
Funcoes

® BRELIVROS

GELSON IEZZI
CARLOS MURAKAMI

39) ntual
Ge Editora NOVAS QUESTOES DE VESTIBULARES

3. GELSON IEZZI
CARLOS MURAKAMI

FUNDAMENTOS
DE MATEMATICA
ELEMENTAR

Conjuntos
Funçôes

568 exercicios propostos
com resposta

361 questöes de vestbulares
com resposta

91 edigño | Sao Paulo - 2013

=9) Atual
6 tual

|S Editora

4. eso er Caro Muah, 2019

Carr ds seño:
ne: (Ot) 36113308 — For vendor (Dx) 26113268

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5. Apresentacáo

Fundamentos de Matemática Elementar 6 uma colegio elaborada com o objetivo de
oferecer 20 estudante uma visdo global da Matemática, no ensino médio. Desenvolvendo os.
Programas em geral adotados nas escolas, a caleçäo diigese aos vestibulandos, aos uni
versitrios que necessitam rever a Matemática elementar e também, como 6 Givi, aqueles
‘alunos de ensino médio cujo Interesse se focaliza em acquifr uma formagdo mais consistente
na área de Matemática,

No desenvolvimento dos capítulos dos livros de Fundamentos procuramos seguir uma
ordem lógica na apresentaçäo de conceitos e propriedades. Salvo algumas excogdes bem.
conhecidas da Matemática elementar, as proposigdes e os teoremas esto sempre acompe
nhados das respectivas demonstracées. 3

Na estruturagao das séries de exerícios, buscamos sempre uma ordenagäo crescente
de difculdade. Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questöes que envolvern
outros assuntos já vistos, lovando o estudante a uma reviso. A sequéncia do texto sugere
uma dosagem para teoria e exercicios. Os exerccios resolvidos, apresentados em melo aos.
propostos, pretendem sempre dar explicacáo sobre alguma novidade que aparece. No final de
‘cada volume, o aluno pode encontrar as respostas para os problemas propostos e assim ter
seu reforgo positivo ou partir à procura do erro cometido.

A última parte de cada volume 6 constituida por questdes de vestibular, selecionadas
dos melhores vestibulares do país e com respostas. Essas questdes podem ser usadas para
uma revisäo da matéria estudada.

úAproveltamos a oportunidade para agradecer ao professor d. Hygino H. Domingues, au
tor dos textos de história da Matemática que contibuem muito para o enriquecimento da obra.

Neste volume, abordamos a introdugáo ao concelto de funçdo e os estudos das fungdes
polinomiais de 1+ e 2+ graus. Os caplulos inicial (a IV) s8o preparatrios para o aprendizado
‘da Matemática no ensino médio, mas ndo devem tomar um tempo excessivo. O capítulo final
‘6 muito importante para a continuagáo do estudo de funçäo Inversa. Pode-se aproveitar 0
“desenvolvimento de cada capitulo para revisar cálculo alg6brico, principalmente em equacdes
inequagdes.

Finalmente, como há sempre uma certa distancia entre o anselo dos autores e o valor
(de sua obra, gostarfamos de receber dos colegas profesores uma apreciaçäo sobre este
trabaino, notadamente os comentários cticos, os quais agradecemos.

Os autores

6. Sumario

CAPITULO 1 — Nogöos de lógica

1. Proposiçäo ...
Il. Negagäo if
IM. Proposiçao composta — Conectivos
I. Condicionais
V. Tautologias
VI. Proposicöes logicamente falsas

VII. Relaçäo de implicacao .

Vill. Relaçäo de equivaléncia

IX. Sentengas abertas, quantificadores
X. Como negar proposigóes

1. Conjunto — Elemento — Pertinencia …
Il. Descriçäo de um conjunto.
I. Conjunto unitério — Conjunto vazio
IV. Conjunto universo on
V. Conjuntos iguals.
VI. Subconjuntos
VII. Reunido de conjuntos
VII. Intersegäo de conjuntos ...
IX. Propriedades ..
X. Diferenga de conjuntos.
XI. Complementar de B em À
Leitura: Cantor e a teoria dos conjuntos .......

CAPÍTULO Ill — Conjuntos numéricos
1. Conjunto dos números naturals .....
Il. Conjunto dos números inteiros ...
Il. Conjunto dos números racionals
IV. Conjunto dos números reals ..

V. Intervalos
Vi. Conjunto dos números complexes ...

7. VII. Resumo E 56
Apéndice: Principio da indugäo finite. 87
Leitura: Eudöxio e os incomensuráveis 62
CAPÍTULO IV — Relagóos 64
1. Par ordenado 64
11. Representagäo gráfica 65

I, Produto cartesiano ey 67

IV Reagan dr a
Y Eon omega E
Mt Recke more 7
Mi. Propoundos des SE i

CAPITULO V — Introdugáo as funçôes ....... 79
1 Pete 7
i a
I, Notte as fun E
N. Domini imagem … es
N. Funden lua E

Leta: Sn a rogó delo S

CAPÍTULO VI — Fungäo constante — Fungáo afim .... sé OT
1. FURGO Constante cen
11. Funcao identidade
I, Fungáo linear …
IV. Fungao afım
v. i
VI. Imagem 3
VII. Coeficientes da fungáo afım .
VI. Zero da funçäo afim ……
IX. Fungdes crescentes e decrescentes cr
X. Crescimento/decrescimento da funçäo afim ..
XI. Sinal de uma fungáo
XI. Sinal da funcio afım ….
XI. Inequagdes 0
XIV. Inequagées simultáneas
XV. Inequagdes- produto
XVI. Inequaçôes quociente

CAPÍTULO VII — Fungöes quadráticas ..
1. Definigäo
11. Gréfico a
Il. Concavidade …
IV. Forma canónica ...

8. Vo Zeros an.
VI. Máximo e mínimo
Vil. Vértice da parébola
Vil Imagem ……
IX. Eixo de simetria
X. Informagdes que auxliam a construgáo do gráfico
XI. Sinal da fungáo quadrática
XIl. Inequagäo do 2+ grau
AU. Comparaçäo de um número real com as ralzes da equagao
do 2 grau … a
XV. Sinais das raizes da equagao do
Leïtura: Dedekind e os números reais

140
145
147
149
152
153
159
164

172
: 179
182

. 184

CAPÍTULO VIII — Fungáo modular .. E
|. Funçäo definida por varias sentengas abertas ....
11. Módulo e a
I, Funçäo modular ....
IV. Equagdes modulares …
V. Inequagdes modulares ; ve
Leitura: Boole e a álgebra do pensamento …

205
“205
206
.. 210

CAPÍTULO IX — Outras funçües elementares

1. Funçao f(x) = x8 aE
I, Funçäo recíproca

Funçäo máximo Inteiro

CAPÍTULO X — Fangio composta — Fungo Inversa 212
1. Fungäo composta ... tea

Il. Funçäo sobrejetora ..
Il. Funçäo injetora .

IV. Funçäo bijetora

V. Fungao inversa ..
Leitura: Bertrand Russell e o Logicismo

APÉNDICE | — Equagdes irracionals .. .. 249

APÉNDICE ll — Inequagóes Irracionals 260

Respostas dos exercíclos 270

Questöes de vestibulares 313

Respostas das questóes de vestibulares … 404

Significado das siglas de vestibulares e olimpíadas. 410

9. Nocôes de
lógica

I. Proposigáo

1. Chama-se proposigäo ou sentença toda oraçäo declarativa que pode ser clas-
sificada em verdadera ou em falsa.

Observamos que toda proposigäo apresenta tés características obrigatóias:
11) sendo oracáo, tem sujeto e predicado;
2) 6 declarativa (ndo 6 exclamativa nem interogativa);

31) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou 6
falsa (A.

Exemplos:
Sao proposigdes:

a) Nove 6 diferente de cinco. (9 # 5)

b) Sete é malor que trs. (7 > 3)

+) Dois é um número inteto. (2 € 2)

4) Trés 6 divisor de onze. (3111)

©) Quatro vezes cinco 6 igual avnte. (4 - 5 = 20)

Dessas proposigdes, todas säo verdadeiras, exceto d.

1 1 Fundementas de Matemática Elementar ee

10. NOGOES DE LÓGICA

'Nao so consideradas proposigdes as frases:

N) Très vezes cinco mais um. (3-5 + 1)
8) Araiz quadrada de dois é número racional? (V2 € Q?)
h) O triplo de um número menos um 6 igual a onze. (3x — 1 = 11)

A frase fnáo tem predicado, a frase g é interrogativa e a frase h näo pode ser
classificada em verdadeira ou falsa

II. Negagáo

2. _ A partir de uma proposigäo p qualquer, sempre podemos construir outra, deno:
minada negagäo de p e indicada com o símbolo ~p,
Exemplos:
2) p: Nove 6 diferente de cinco. (9 # 5)
<p: Nove 6 igual a cinco. (9 = 5)
b) pi Sete é maior que très. (7 > 3)
pt Sete 6 menor ou igual a trós. (7 < 3)
©) pi Dois 6 um numero intro. (2 € Z)
‘pi Dois ndo é um número inteiro. (2 & Z)
d) p: Tres 6 divisor de onze, (3111)
--p: Tres nao 6 divisor de onze. (34 11)
e) p: Quatro vezes cinco 6 igual a vinte. (4 - 5 = 20)
‘pt Quatro vezes cinco 6 diferente de vinte. (4 - 5 # 20)
Para que ~p seja realmente uma proposiçäo, devemos ser capazes de classi
ficéla em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte
critério de classificagäo:

À proposiçäo ~p tem sempre o valor oposto de p, Isto 6, up
deira quando p 6 falsa e ~p € falsa quando p 6 verdadera,

Esse critério está resumido na tabela ao lado,

denominada tabelaverdade da proposigáo ~p. Le AL
VIF
F_| v

Assim, reexaminando os exemplos anteriores, temos que ~p 6 verdadeira no
exemplo d e =p 6 falsa nos demais.

Fundementos de Matemática Elementar 1 1

11. NOGOES DE LÓGICA

EXERCICIOS

1. Quais das sentengas abaixo säo proposicdes? No caso das proposigdes, quals.
do verdadeiras?

2) 5:4=20 e1+3#1+6
b) 5-4=3 D (-2 = ar
D 247-325-443 9 3+4>0

d 58+1)=5-345-4 ny at—4-2
2, Qual 6 a negaçäo de cada uma das seguintes proposigdes? Que nogagdes sio

verdadeiras?

AA
3-7=21 ARA

E o (J <(3)

DIENTE Pr n ei

© 3.2+1>4 9-27

d5-7-2<5.6 hy 317

III. Proposigáo composta - Conectivos
A partir de proposicóes dadas podemos construir novas proposigdes mediante

‘0 emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: o conectivo (lé-se: e) e
© conectivo v (löse: ou).

|. Conectivo A

Colocando o conectivo A entre duas proposigdes p e q, obtemos uma nova
proposigáo, p À q, denominada conjunçäo das sentengas p € q.
Exemplos:
2>0
241
PAq2>0 e 241

2 p-2<-1
GP < CAP
pAg-2<-1 e (-22<(-18

12. NOGOES DE LOGICA

3) p: um quadrado de lado a tem diagonal 2a
3: um quadrado de lado a tem área a?
PA a; um quadrado de lado a tem diagonal 2a e área a?
4%) p:215 (26divisorde 5)
4315 (3 6 divisor de 5)
pAg215 e 315 (203530 divisores de 5)

Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de uma
conjunçäo a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposigöes p e a:

‘menos uma delas for falsa, entáo pq 6 falsa.

Esse critério está resumido na tabela a0 lado,

em que sáo examinadas todas as possibilidades f
para p e q. Essa tabela 6 denominada tabelaverda

de da proposiçäo p Aq,

Reexaminando os exemplos anteriores, temos:
1) p:2>0 M

a2+1 M

entäo:

pAg2>0 e 2#1 m

2) p-2<-1 m
a (27 < (22 ©
entäo:
pag-2<-1 e (-2P<(-3F (A
39) p: um quadrado de lado a tem diagonal 2a (F)
a: um quadrado de lado a tem área a? (V)
entäo:
P Aa: um quadrado de lado a tem diagonal 2a e área a? (N)
4 215 ©
«als (A
entäo:
pAg:215 e 315 (A

13. NOGOES DE LÓGICA

4. Conectivo V

Colocando o conectivo y entre duas proposigdes p e q, obtemos uma nova
Proposigäo, p v q, denominada disjungäo das sentengas p e a.

Exemplos:

1%) p:5>0 (cinco 6 maior que zero)

9: 5 > 1 (cinco 6 maior que um)

Pva:5>0 ou 5>1 (cinco 6 malor que zero ou maior que um)
2) p:3=3 (très 6 Igual a trés)

9: 3 < 3 (très 6 menor que trés)

PV @ 3 < 3 (très 6 menor ou igual a très)
31) p: 10 6 número primo

4: 10 6 número composto

P V 4: 10 6 número primo ou número composto
a) pat < 29

ER <(-3)°

pvast<2 ou 2<(-3P

Vamos postular um critéio para estabelecer o valor lógico (V ou F) de uma
disjunçäo a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposigdes p e q:

Esse critério está resumido na tabela ao lado, (5
denominada tabelawerdade da proposigäo p v q. E

"<<<

Revendo os exemplos anteriores, temos:

1) p:5>0 M
a5>1 M
entac
pv

5>0 ou 5>1 m

1.1 Fundamentos de Matemático Elementar

14. NOGOES DE LOGICA

2) p3=3 M

a@3<3 m
entäo:
pva3<3 m

3') p: 10 6 número primo (F)

a: 10 6 número composto (V)

entäo:

PV 4 10 6 número primo ou composto (V)
4) p:3t<25 (A

a2 <(-38 m

entäo:

pvast<2 où 2<(-3/ M

EXERCICIO

3. Classique em verdadeira ou elsa cada uma das seguines proposiçües com
postas:
a) 3>1 6 4>2 o +<$ où sin
b) 3>4 où 3-1 na

9214 où 21(4+1) 8 VIE=6 ou mdc(4,7)=2

ae Pr

d 36 +2)=3-5+3-2 e 317

IV. Condicionais

Ainda a partir de proposigóes dadas podemos construlr novas proposigdes me-
diante o emprego de outros dois símbolos lógicos chamados condicionais: o condicio.
nal se... entdo... (símbolo: ~») e o condicional... se, e somente se, .. (símbolo: €).

Condicional >

Colocando o condicional > entre duas proposigdes p e 4, obtemos uma nova
proposiçäo, p > a, que se lé: "se p, entáo q”, "p é condiçäo suficiente para q”, “a &
condiçäo necessária para p”.

Fundementos de Matemática Elementor 1 1

15. NOGOES DE LÓGICA

No condicional p > q, a proposicäo p é chamada antecedente e q é chamada
consequente.

Exemplos:

1%) p: dois é divisor de quatro (2 | 4)
‘a: quatro 6 divisor de vinte (4 | 20)
P ~ a: se dois 6 divisor de quatro, entdo quatro 6 divisor de vinte
(214-4120)
P: dois vezes cinco 6 igual a dez (2 : 5 = 10)
très 6 divisor de dez (3 | 10)
P > 4; se dois vezes cinco é igual a dez, enti tés é divisor de dez
(2-5=103110)
3%) pi cinco € menor que dois (5 < 2)
4: dois 6 número nei (2 € Z)
P > a: se cinco 6 menor que dois, ento dois 6 número inteiro
G<2-2e2

4): um meto 6 menor que um tro (3 < 3)
q; trés é igual a cinco (3 = 5)
D e um mei € menor qu um tern. eno vés 6 ua a

CAN
cinco ($< $53 =5

Vamos postular um critéio de classificaçäo para a proposiçäo p — q baseado
nos valores lógicos de p e q:

Esse critério está resumido na tabela ao lado,

(al
denominada tabela-verdade da proposiçäo p — q. Le ESTA E

viviv

Revendo os exemplos dados, temos: Eole

1) pévegéW emo p>a6v Fiel y

2) péVeqéF enäo p=q6r
3) péFegéW emáo p>q6v
4) péFeqéF entäo pqéV

1 1 Fundamentos de Macemética Elementan

16. NOGOES DE LÓGICA

6. Condicional <>

Colocando o condicional > entre duas proposigdes p e q, obtemos uma nova
Proposigäo, p «> q, que se lé: “p se, e somente se, q”, "p 6 condiçäo necessária e
Suficiente para q”, “q é condigáo necesséria e suficiente para p" ou "se p, entáo q e
reciprocamente”.

Exemplos:
1) p:2112
«2-7112-7
Po«211262-7112-7

2)

6
$o3-446-2

3) p:6=12:3
æ3-6-18
pod6=12:303:6=18

4) pass
æ4-5<3.5
Poa4=304-5

Vamos postular para o condicional p «> q 0 seguinte critrio de classificagäo:

) condicional <> € a en jando

Assim a tabelaverdade da proposiçäo p +» q &
a que está ao lado.

Revendo os exemplos dados, temos;
19) péVegóY eno peqév.
2) péVeqér ento peqér
3) péFeqéy, ento peqér
4) péFegéF entio page.

Lo] Fundementos de Matemático Elementar 1 1

17. NOGOES DE LÓGICA

EXERCÍCIOS

4. Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das proposigdes abaixo.

a) 2- 125+7=3-4 e) 218 + mme (2, 8) = 2
b)2=40(-2%=4 N 6<2H6-2>0
O84 7 1=4049-9-9 03<203.702:5

d) mde (3, 6) = 1 > 4 6 número primo

5. Admitindo que p e q sáo verdadeiras e r é falsa, determine o valor (V ou F) de
cada proposigäo abaixo,

a) por A)
Deroga Nam
oro. dro
d (Pyne bh) spor

6. Sendo a proposigäo p — (rv s) falsa e a proposiçäo (q A ~s) «> p verdadera,
clasifique em verdadeira ou falsa as afirmagóes p, q, re s.

V. Tautologias

7. _ Seja v uma proposiçäo formada a partir de outras (p, a, r,..) mediante o em-

‘prego de conectivos (y où A) ou de modificador (~) ou de condicionais (> ou ©)

Dizemos que v & uma tautologia ou proposigäo logicamente verdadelra quando y

tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc.
Assim a tabelaverdade de uma tautologia v apresenta só V na coluna de v.
Exemplos:

1%) (pp) > (Gv p) 6 uma tautología, pois:

(Pala [ease [ave EN)
vivieler fy v
vir|leı er fy v
Elviv]or lv y
rlrlvl er ls y

4 1 Fundamentos de Maverética Elementan

18. NOGOES DE LOGICA

OEM IE IEEE)
viv[v or [ejer] or v
vie} re | ov felv| v v
elvle| ov [vlel v v
ele[ e | v [viv] v v

VI. Proposigóes logicamente falsas

8. Seja fuma proposiçäo formada a partir de outras (p, q. ... mediante o em
prego de conectivos (v ou A) ou de modificador (~) ou de condicionais (> ou +.
Dizemos que f 6 uma proposigäo logicamente falsa quando f tem o valor lógico F
(false) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc.

Assim, a tabelaverdade de uma proposigäo logicamente falsa f apresenta só F
na coluna de f

Exemplos

19) pa np 6 uma propos logicamente falsa, pois:

Ctrl)
2 |

EIRE:
A r

2) prog (pra)

PFlal» Ta [eyed | ona eve
vive lel v F F
vlele|v|v F F
elvlvlele v F
ele] vv] oy F F

Fundementos de Motemétice Elementar | 1

19. NOGOES DE LÓGICA

VII. Relaçäo de implicagáo

9. Dadas as proposigdes p e q, dizemos que “p Implica q” quando na tabela de p
© q náo ocorre VF em nenhuma linha, isto 6, quando nao temos simultaneamente p
verdadeira e q falsa.

Quando p implica q, indicamos p => q.

Observagdes:

1) Notemos que p implica q quando o condicional p -» q é verdadero.

2%) Todo teorema 6 uma implicagäo da forma

hipótese = tese

Assim, demonstrar um teorema significa mostrar que no ocorre o caso de a
hipótese ser verdadeira e a tese ser falsa,

Exemplos:

1) 214=214-5

significa dizer que o condicional “se 2 6 divisor de 4, entäo 2 é divisor de 4 + 5" 6
verdadeir.

2) p 6 positivo e primo = mde (p, p*) = p

‘quer dizer que o condicional “se p 6 número primo e positivo, entäo o máximo divisor
comum de p e p? 6 p” 6 verdadelro.

VIII. Relagáo de equivaléncia

10. Dadas as proposigöes p e q, dizemos que “p é equivalente a q” quando pe q

tém tbolas verdades iguals, sto 6, quando pe a tém sempre o mesmo valor lógico.
Quando p 6 equivalente a q, indicamos: p > a.

Observagdes:
1") Notemos que p equivale a q quando o condicional p <> q é verdadeiro.

21) Todo teorema cujo recíproco também 6 verdadeiro é uma equivalencia.
hipótese «> tese

4 1 Fundamentos de Meterética Elemantar @

20. NOGOES DE LÓGICA

Exempl
1) (pe (va > p)

Pp

m<n<le
<<mn<|l
<<n<|i

2) 218 «> mdc (2, 8) = 2 significa dizer que € verdadeiro o bicondicional
*2 é divisor de 8 se, e somente se, o máximo divisor comum de 2 e 8 6 2”.

EXERCÍCIO

7. Verifique, por meio das tabelas-verdades, a validade das equivalencias abaixo
a) da conjuncao ©) da conjung3o relativamente à disjungäo
PAGES GAP PAVOS (p AG) V(PAN
(AQAre PAGAN P VAN & (pv a) A (PV)
pApesp PAPvgep
pavap Pvpagep
pafet

b) da disjungáo @) da negagao
pvasavp Ap) ep
Pvavrepvavn mpage «PV ra
pvpep PV DS pra
pvvov
pvfep

‘em que p, g e r Sao proposigdes quaisquer, v é uma tautologla e f uma propos
(G40 logicamente falsa,

IX. Sentengas abertas, quantificadores

11. Há expressdes como:
a x+1=7
b) x>2
d B= 26

Fundementos de Maramétios Elementar ! 1

21. NOGOES DE LÓGICA

que contém variáveis e cujo valor lógico (verdadeira ou falsa) vai depender do valor
atribuido à variävel,

Nos exemplos citados, temos:
a) x + 1 = 7 6 verdadeira se trocarmos x por 6 e 6 falsa para qualquer outro
valor dado a x;
b) x > 2 6 falsa, por exemplo, para x = 0;

©) x? = 2x2 6 verdadeira se trocarmos x por 0 (0%
© é falsa para qualquer outro valor dado a x.

+08) ou 2 (28 = 2:22)

Oragdes que contém variáveis säo chamadas fungöes proporelonals ou sen-
tengas abertas. Tais oraçôes ndo s3o proposicées, pois seu valor lógico (V ou F) &
discutivel, depende do valor dado As variáveis.

Hé, entretanto, duas maneiras de transformar sentengas abertas em proposigóes:

1) atribuir valor as variávels;

2) utilizar quantificadores.

12. O quantificador universal

© quantiicador universal, usado para transformar sentengas abertas em pro-
posigdes, 6 indicado pelo símbolo V, que se 18: “qualquer que seja", “para todo”,
“para cada”.
Exemplos:
19) (vx) (x + 1 = 7), que sele:
“qualquer que seja o número x, temos x + 1
29 (vx) 08 = 232), que se 6
"para todo número x, temos x8 = 20". (F)
3) (va) (@ + 4)? = a? + 2a + 4), que se le:
“qualquer que seja o número a, temos (a + 4)? = a? + 2a + 1%. (V)
42) (Wy) (7? + 1 > 0), que se lé:
“para todo número y, temos y? + 1 positivo”. (V)

13. O quantificador existencial

O quantificador existencial 6 indicado pelo símbolo 3, que se 18: “existe”, “exis:
te pelo menos um” ou “existe um”.

22. NOGOES DE LOGICA

Exemplos:
19 (2x) + 1 = 7), que se lé:

‘existe um número x tal que x + 1 = 7". (V)
2) (Bx) 6 = 2x2), que se le:
“existe um número x tal que x° = 2x2". (V)

3) (Ba) (a? + 1 < 0), que se le:
“existe um número a tal que a? + 1 6 náo positivo”. (A

4°) (3m) (mim + 1) 4 m? + m), que se lé:
“existe pelo menos um número m tal que mim + 4) # m? +m". (A

14. Algumas vezes utilizamos também outro quantificador: 31, que se le: “existe
um único”, “existe um e um só” ou "existe só um".

Exemplos:
49 (31 + 1 = 7) que sele:

“existe um só número x tal que x + 1 = 7”. (N)
2%) (31x) 0° = 2x2), que se 18:

“existe um só número x tal que 0 Q]

3) (31x) & + 2 > 3), que sell:
“existe um único número x tal que x + 2>3". (A

EXERCICIO

8. Transforme as seguintes sentengas abertas em proposigdes verdadeiras usan:
do quantificadores:

a) 5x +4=0 e o =x
b) (+ 1Na—1)= 821 N sa+a<i
o
h) = =

Fundamentos de Matemático Elementar | 1

23. NOGOES DE LÓGICA

X. Como negar proposigóes
14 vimos o que é a negaçäo de uma proposigäo simples, no tem I deste
capitulo

Vamos destacar aqui resultados obtidos no exercício 7, os quais constituem
Processos para negar proposigdes compostas e condicionais.

15. Negagáo de uma conjungáo
Tendo em vista que ~{p Aa) ep vq, podemos estabelecer que a negado
de p A dé à proposiçäo ~p V ~a
Exemplos:
1 pazo
abro
pA&a#0 e b#0
~(pAQ):a=0 où b=0
29 pala
«319
pag2l4 e 319
Ag: 214 ou 349

16. Negagäo de uma disjungäo
Tendo em vista que ~ip va) > "PA a, podemos estabelecer que a nogagdo
de p vq à proposiçäo ~p amg,
Exemplos:
11) p:otrlángulo ABC 6 isósceles
a o triangulo ABC 6 equilátero
p va: 0 triángulo ABC é isésceles ou equilétero
‘pV a) 0 triángulo ABC nao € isósceles e no 6 equilátero
2) pra=o
@b=0
Pvaa=0 ou b=0
Mpva:a#0 e b#0

4 1 Fundamentos de Matemático Elementen

24. NOGOES DE LOGICA

17. Negagáo de um condicional simples
J6 que “(p > 4) & p À va, podemos estabelecer que a negaçäo de p > q é
a proposigäo pArA.
Exemplos:
1) m2ez
280
P>g2ez>2e0
p>d2EZ e 260
2) m = (5%
u5=-5
pas
Mp ai 5% e 5#-5

18. Negaçäo de proposigóes quantificadas

a) Uma sentenga quantificada com o quantificador universal, do tipo (WP),
negada assim: substitulse o quantificador pelo existencial e nega-se px), obtendo:
Eolo).

Exemplos
1%) sentenga: (Vx) (x + 3 = 5)
negaçäo: (3x) (x + 3 # 5)
2%) sentenga: (Wx) (x(x + 1) = x? + x)
negocio: (Ex) (e+ 4) # x +x)
31) sentenga: (vx) (EE 1 = x +1)
negagao: (3x) (Vi? +4 # x + 4)
41) santenca: Todo losango 6 um quadrado,
megaçäo: Existe um losango que no 6 quadrado
b). Uma sentenca quantficada com o quantiiador existencial, do tipo (BY).
6 negada assim: substituise o quantifcador pelo universal e negase pi, biendo:
(MIA.
Exemplos:
1%) sentenga: (3x) (x = x)
negaçäo: (Vx) (x # x)

Fundamentos de Matemática Elementar 1-1

25. 'NOQOES DE LÓGICA

21) sentenga: (3a) (a +

ee

negagäo: (Va)[a +

(
an sentenga: (3a)(4€

negaçäo: (Va)

à

EXERCICIOS

9. Diga qual é a negaçao de cada proposigäo abat.
a) mdo (2,3) = 1 où mme (2,3) # 6
b) 2-£ où 3-1046-5
5710
91e -3>-7
024 14=2
e) (SF = 959 4-3
f 26553657
8 (vx) (x > 2-93" > 34)
m (Gi) oR <0)
1) Todo número inti primo é Impar
J) Toco triángulo isósceles 6 equitar.
i) Existe um losango que náo é quadrado.
1) Existe um número cuja raiz quadrada 6 zero.
rm) Todo tróngulo que tem rés gos congruentes tem tés lados congruentes.

10. Classifique em V ou F as negagdes construídas no exercicio anterior.

4 1 Fundementos de Matemática Elementen

26. Faremos aqui uma revisäo das principals nogdes da teoria dos conjuntos, na-
uilo que importa à Matemática elementar. Em seguida usaremos essas nogôes
para apresentar os principais conjuntos de números.

I. Conjunto - Elemento - Pertinéncia

19. Na teoria dos conjuntos très nogdes säo aceitas sem definigäo, isto 6, säo
consideradas nogóes primitivas:

+ conjunto;
elemento;
+ pertingncia entre elemento e conjunto

A nogäo matemática de conjunto 6 praticamente a mesma que se usa na lin
guagem comum: 6 o mesmo que agrupamento, classe, coleçäo, sistema, Eis alguns
exemplos:

19) conjunto das vogais
29) conjunto dos algarismos romanos

3°) conjunto dos números impares positivos

4°) conjunto dos planetas do sistema solar

61) conjunto dos números primos positivos

6°) conjunto dos naipes das cartas de um baralho
7°) conjunto dos names dos meses de 31 dias

27. CONJUNTOS

Cada membro ou objeto que entra na formaçäo do conjunto 6 chamado eles
mento. Assim, nos exemplos crterores SRE

1

2

3)

4)

sn
sn
m

No 3* exemplo, cada número ímpar 6 elemento do conjunto dos números impar
res, isto 6, pertence ao conjunto. Em particular, 5 pertence ao conjunto dos números
impares e 2 näo pertence.

Um elemento de um conjunto pode ser eto. É
iron nr qu um nop sr amd o co Poe
plo, o conjunto das selegdes que disputam um campeonato mundial de futebol é um
conjunto formado por equipes que, por sua vez, s3o conjuntos de jogadores.

Indicamos um conjunto, em geral, com uma
‘elemento com uma

'Sejam'A um conjunto e x'um elemento. Se x pertence ao conjunto A, escreve-

Esa)

Para indicar que x nao é elemento do conjunto A, eScravamos:

€ paa presenta um ano pls pon Be
“

da. Assim, na representagäo ao lado, temos:

eum

mos

BEA DEACEA e IRA

No caso de usarmos um círculo para represen
tar um conjunto, estaremos usando o assim chama
do

28. IL. Descrigáo de um conjunto

Utilizamos dois recursos principais para descrever um conjunto e seus elemen-
tos: enumeramos (citamos, escrevemos) os elementos do conjunto ou damos uma
propriedade característica dos elementos do conjunto.

20. Descrigáo pela citagáo dos elementos

u

Beer
41) conjunto das vogas: [ayer 0F4
2) conjunto des algaismos romanos: iN RING)
39 conjunto dos nomes de meses de 34 das
Esso notacdo também 6 ompregada quando o exsceser08
eiguns elamentoe que escencial foragdo o om seguida
| céncias.
Brempis:
49 conjunto dos números impares postvos
(1.3,5,7.9,11,19,0)
) conjunto dos números pros postive:
(2.3.8.7, 11,13.)
39) conjunto dos mütiios intros de 3:
(0,3, -3, 6, -6, 9, —9, mi)

A mesa nro tanos empate unde oca ko cam ands
‘ners de elementos: escrevemos os elementos incas,
indicamos o último elemento.

Exemplos:
11) conjunto dos números intelros de O a 500:

(0,1,2, Si 500)

2%) conjunto dos divisores positivos de 100:
(2,5, 10, 00)

e Fundamentos de Macemdtice Elemensar | 1

29. CONJUNTOS

21. Descrigáo por uma propriedade

Quando queremos descrever um conjunto A por meto de uma propriedade ca-
racterfstica P de seus elementos x, escrevemos:

fom propidade
£ tomos: “A o conjunto dos elementos x al que x tem à propiedad Pr

Exemplos:

1) (xx 6 estado da regiño Sul do Brasil} é uma maneira de indicar o conjunto:

2) (xx é divisor inteiro de 3) 6 uma maneira de indicar o conjunto:
3") {xx é inteiro e 0 < x = 500) pode também ser indicado por:
(0,1,2,3,... 500)

III. Conjunto unitärio - Conjunto vazio

22. Ghana ecoute una agi que pos un no loro:
ei
49) conjunto dos divisores de 2, intros e postvos: il

3) conjunto dos estados, eer fronteira com o Urugual:
23. chama-se conjunto vazlo © símbolo
usual para o conjunto vazio 6

Obtemos um conjunto vazio id descrevemos um conjunto por meio de

Exemplos:
an fixed Bl

2) {ex 6 impar e múltiplo de 2} =]
3) &lx>0 © x <0) =

30. CONJUNTOS

IV. Conjunto universo

24. Quando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimos a
existencia de um conjunto U ao qual
Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo.

Assim, se procuramos as! nosso conjunto uni
verso 6 se estamos resolvendo um problema cuja
Baer. ‘nosso conjunto universo 6

se estamos resolvendo um problema de
Junto universo é

em
que estamos trabalhando. Consideremos a questáo: "Qual 6 o conjunto dos pontos.
P que ficam a igual distancia de dois pontos dados A e B, sendo A + B?"

2) Se U 6 um plano contendo A e B,
conjunto procurado é a

3) Se U6 0 espago, o conjunto procura:
do 6 0 plano mediador do segmento AB (plano
perpendicular a AB no seu ponto médio).

Portano, quando vamos descrever um conjunto A através de uma propriede-
de P, 6 essencialfxarmos o: conjunto Universo U:em que estamos trabethando,

escrevendo:

AA = (x € Ulxtem a propried

Fundamentos de Matemética Elementar | 1

31. CONJUNTOS

EXERCICIOS

im, a, te,
(branco, azul, amarelo, verde)
© = (Amazonas, Amapá, Acre, Alagoas)

dos conjuntos seguintes:

A=(0,2,4,6,8,... IE)

8 = rasta Rod
€ = (Brasil, Rio de Janeiro, Salvador 1

Soluçäo
[xx € inteiro, par e nao negativo)

(x|x 6 algarismo arábico)
© = {xx € nome de cidade que já foi capital do Brasil}

13. Esoreva com símbolos:
‘© conjunto dos múltiplos inteiros de 3, entre -10 e +10; (690385)
© conjunto dos divisores inteiros de 42; [1.2:3:4:8,7.14.21.42.123487.142122]
€) o conjunto dos múltiplos inteiros de 0; (a)
E) o conjunto das fragdes com numerador e denominador compreendidos entre
0e3;

e) © conjunto dos nomes das capitais da regido Centro Oeste do Brasil
(Cuba. Campo Garde, Gaia]
14. Descreva por meio de uma

A= (#4, —1, +2, -2, +3, -3, +6, -6) Baer]
30, -40,
a]

1 1 Fundamentos de Matemática Elementar

32. 15. Quais dos conjuntos abaixo so unitários?

Dor 8
ex fxd e x>$]
&lo-x pal eae Conjunto vaio aunar

{xlxé inteiro e x? = 3}

S-kiası=n

16. Quais dos conjuntos abaixo säo vazios?
{x10 -x = 0}

bx> 2 ex
B=fux> Se x<

5
© = {ax 6 visor de zero}
D = fxIx é divisfvel por zero}

V. Conjuntos iguais
2

Dois conjuntos.

Em símbolo:

Exemplos:
19) (a,b, , 6) = (d,6,b, a)
2) (1,3,5,7,9,... = {xIx 6 intero, positivo e impar)
3) flax +4 =5}= 12)

Observemos que na deinigáo de igualdade entre conjuntos náo intervém a |
_nocáo de ordem entre os elementos; portanto:

{2,b, c,d} = (d,c,b, a} = (b,

a

Observemos ainda que a repetigäo de um elemento

junto algo absolutamente na, pois, por exempl:
0.0.0 = 2, 8,b,,b, 4, 4.4.0)

para conferir basta usar a definicäo. Assim, preferimos sempre a notagäo mais
simples.

Fundementos de Matemática Elementar | 1

33. CONJUNTOS

26. E evidente que A é diferente de B se
existe um elemento de ou existe em B um elemento náo per.
tencente a A.

Exemplo:
Lab, d) + (a,b, c,d}

VI. Subconjuntos

21.
e somente se, todo elemento

de A pertence também a B.
dicamos que “A

6 subconjunto de B” ou "Aresta contido em
IB ou ‘A 6 parte de 8”

O símbolo C 6 denominado sal de Inc
q

Em símbolos, a definiçäo fica assim:

Exemplos:
19 (a,b) C {a,b,c, d)
2) (a) © (a,b)

3%) (a,b) C (a,b)
4) {xIx 6 inteiro e par} © {xIx 6 inteiro)

28. ¡Quando AEB, também podemos es-
creer BR, que see Boontem A.
Com a nord A BIndcamos que
a nto ont cont om 8 tor ne
Era
E evidente que A ¢ B somente se.

| — el hes

4 1 Fundamentos de Maveménco Elomentar

34. Assim, por exemplo, temos:
1) {@,,c} € (b.0,0,0)

2) fa.) € (0.0.0)

3% (xlxé inteiro e par} € {xIx 6 inteiro e primo}

29. Conjuntos iguais

Vimos anteriormente o conceito de igualdade de conjuntos:
A=B & (Vx) REA & xEB)

Nessa definigäo está explícito que todo elemento de A é elemento de B e vice:
versa, isto 6, À C Be B C A; portanto, podemos escrever:

A=B & (ACB e BCA)

Assim, para provarmos que A

B, devemos provar que AC B e BCA.

30. Propriedades da inclusáo

Sendo A, B e C trés conjuntos arbiträios, valem as seguintes propriedades:

19 BCA

2) AC A(eftexiva)

3 (ACB e BC A) = A = B (antissimetrica)

4) (ACB e BCO = AC C (transitva)

A demonstragao dessas propriedades 6 imediata, com exceçäo da 1*, que
passamos a provar. Para todo x, a Implicacáo

xED=XEA

6 verdadeira, pois x € Zé falsa. Entdo, por definicáo de subconjunto, 3 € A.

31. Conjunto das partes

Dado um conjunto A, chama-se conjunto das partes de A — notaçäo P{A) —
Em símbolos:

KIXC A}

Exemplos
11) Se À = {a}, os elementos de (A) sáo De (a), isto 6:
(2, tal}.

Fundementos de Matemético Elementar | 1

35. 47.

. Sendo À =

CONJUNTOS

2) Se A = (a,b),os elementos de (A) säo De (a), (b) e (a,b), isto 6:

PA) = (2, (e), (0), (a,b)

3') Se À = (a, b, c), os elementos de 9/4) säo ©, (a), (0), (ch, {ab}, (a, 0),
(b,c) e (a,b, c),isto 6:

DA) = (2, (a), {0}, (c) (a,b), (b, 0) lc, a), la, b, 0).

EXEREICIOS

Dados A = {1, 2,3, 4) eB= (2, 4):

a) escreva com os símbolos da teoria dos conjuntos as seguintes sentengas:
1) 3 6 elemento de A 4) B 6 iguala A
2) 1 nao está em B 5%) 4 pertence a B
3) B 6 parte de A

b) clasifique as sentencas anteriores em falsas ou verdadeiras,

Soluçäo
1)3€A M 4)B=A (A
2)1€8 M 51) 48 (V)

3)BCA M

(4, 2), B = (2, 3}, C = (1,3, 4e D
ou F cada sentenga abaixo e justifique.

(1, 2, 3, 4), classifique em V

a) ACD a BCO e C=D
D ACB d D28 Age
Soluçäo

AV pos1EA1ED,2EAe2ED
b)Fpoist EAe1€B
O)F pois 2 Be2EC
d)V.pois2€B,2€D,3€Be3ED
e) pois2EDe2 0
NV pois2EAe2 0

36. CONJUNTOS.

19. Quais das igualdades abalıo s8o verdadeiras?
2) (0,0, b,b) = (a,b)
D) lx? = 4} = {ax # 0x — ax = 0]
o K2x+ 7 = 11} = €
a) kIx<0ex>0)=2

20. Diga se € verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentengas abaixo.

a) 06 (0,1,2,3,4) N asta ta)
b) (a) € (a,b) 9 (aC fa, tal)
9 Del) h) BC (8, {al}
d0es y DE (Ata)
e (aca DRAN

21. Faga um diagrama de Venn que simbolize a situagäo seguinte: A, B, C e D säo
conjuntos näo vazios, DC CC BC A.

22. Construa o conjunto das partes do conjunto A = (a,b, ,d)

VII. Reuniáo de conjuntos

32. Dados dois conjuntos A e B, chamase reunido de A e B o conjunto formado
pelos elementos que pertencem a A ou a B.

AUB=kIxEA0Ux Eb)

O conjunto A U B (löse “A reunido B° ou
“A u B°) € formado pelos elementos que perten-
cem a pelo menos um dos conjuntos A e B.

Notemos que x 6 elemento de A U B se
corre ao menos uma das condigöes seguintes:

xEA ou xeB

Exemplos:

19 (a,b) U (6, dj = (8,b,c,d)

2) {a, b}U {a,b,c, dj = {a,b,c, dj

3") {a,b,c} U (c,d,e) = {a,b,c, d,e}

4) {a,b,c} UD = (a,b,c)

5) DUB=9

eS Fundamentos de Matemático Elementar | 1

37. 33. Propriedades da reuniäo

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
11) AU A = A (idempotente)

2) AU D = A (elemento neutro)

3) AUB = BU A (comutative)

4) (AU B)U C = AU (B U C) (associative)

Demonstragáo:

Fazendo A = {x|x tem a propriedade p) ou, simplesmente, A = (x]p(x) e ainda:

8 = {la}, C = {xl nto} e 2 = fel x)} em que £ 6 proposigäo logicamente falsa,
tomos:

AU A = {x1 p(s) ou pt} = {el pO} = A.

Analogamente, as demais decorrem das propriedades das proposicdes vistas
no exercico 7.

VIII. Intersegáo de conjuntos

34. Dados dois conjuntos A e B, chama-se Intersegäo de A e B o conjunto formado
pelos elementos que pertencem a À € a B.

AQB

KIxeA e xeB}

O conjunto A n 8 (lBe “A inter 8") 6
formado pelos elementos que pertencem
os dois conjuntos (A e B) simultaneamente.
Se x € AN B, isso significa que x per.
tence a A e também x pertence a B. O conec-
tivo e colocado entre duas condipdes significa
que elas devem ser obedecidas ao mesmo
tempo. o.
Exemplos:
19 {a,b,c} M(b,c,d,e) = (b,c)

2) (a.b)Mía.b,o,d) = (a,b)
31 {a,b,c} M(a,b,c)= (a,b,c)
4) fa,b/N (c,d = 2

5) (N= wo

1 1 Fundamentos de Matemática Elementar

38. 35. Propriedades da intersegáo

Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades:
1%) ANA = A (idempotente)

2) ANU = A (elemento neutro)

3) ANB = BNA (comutativa)

4) AN (BNC) = (A NB) C (associativa)

Como mostramos para a operaçäo de reunido, essas propriedades säo tam-
bém demonsträveis com auxfio do exercíco 7.

36. Conjuntos disjuntos
Quando À NB = 9 ito 6
Dr, Ae 8 sto ELLE
IX. Propriedades

37. Sendo A, B e € conjuntos quaisquer, valem as seguintes propriedades, que
interrelacionam a reunido e a intersegáo de conjuntos:

1) AU(ANB)=A
2) AN(AUB)=A
3) AU(BNO)=(AUBINAUVO)

(distributiva da reunido em relaçäo à intersegäo)
4) AN (BUC) =(ANB)U(ANC)

(distributiva da interseçäo em relagäo à reuniäo)

Demonstremos, por exemplo, a Ar e a 3:
AU (ANB) = {x1 pix) v (P(X) A 900) = (xl p60} = A

AU (BMC) = {xl DEH) v (ab 1001) = (XI (px) v 269) A (B00) v 109) =
bx] pO) v 960) N (xl p09 v 100) = (AUB) A {A U C)

EXERCICIOS

23. Dados os conjuntos A = (a,b,c),

BUCeAUBUC.

(c,d) e C = (o, e), determine AU B,AUC,

Fundementos de Matemático Elementar | 1

39. 24.

25.

26.

27.

28.

30.

Prove que AC (AUB), VA,
Soluçäo

XE AS (KE Aoux € B)
6 uma implicagäo verdadeira, Y x; portanto: A C (A U B)

Classifique em V ou F:

a) DC (AUB) d AUBICAUB)
b) AUBCA e) BC(AUB)
©) AD (AUB) N (AUBICAUBUO)

admitindo que A, B e C s3o conjuntos quaisquer.

Determine a reuniäo dos circulos de ralor, contidos num plano « e que tém um
ponto comum 0 € a.

Determine a reunido das retas de um plano a que säo paralelas a uma dada
reta rde a.

Dados os conjuntos A = {a, bc, a),
ANCBNCeANBNC.

(b,c,d,eJe C= (c,e, ), descreva A NB,

Prove que (ANB) CAVA

Soluçäo

XE(ANB)>KEACXEB)>XEA
6 uma implicacáo verdadeira, V x; portanto: (AN B) CA.

Ciassifique em V ou F:
2) BC(ANB)

b) AC (ANB)

d AE (ANB)

Y (ANB)C (ANB)

e ANBCE

DANBANBNO)

admitindo que A, B e C säo conjuntos quaisquer.

40. 31. Considere os conjuntos:
K = conjunto dos quadrláteros planos
P = {x € Kixtem lados 2 a 2 paralelos)
L = {x € KIx tem 4 lados congruentes)

R= {x € Kx tem 4 ángulos retos)

Q = (x € Kixtem 4 tados congruentes e 2 ángulos retos)
Determine os conjuntos:

a inp a Lnr a Lna
DROP 4 QAR 9 PUQ

32. Dados os conjuntos A = (1,2, 3), B
junto X tal que X U

3,40
AUCeXNB=Q.

(1, 2, 4}, determine o con

Soluçäo

(1,2, 3, 4), entao os possívels elementos de X sao: 4, 2, 3
DXNB-D=3EX e aex
Conclusao: X = (1, 2)

33. Determine o conjunto X tal que:
(a,b, c,d) UX = (a,b, c,d, el, fe, d} UX = (a, c,d, e) e {b, c, d} NX = (e),

34. Sabese queAUBUC=(nEN|1<n<10},ANB=(2,3,8},ANC=(2,7},
BNC ={2,5,6}eAUB={nEN|1<n<8}.
Determine C.

35. Determine o número de conjuntos X que satisfazem a relaçäo
(1,2) CXC(1,2,3,4).

36. Assinale no diagrama abaixo, um de cada vez, os seguintes conjuntos:
a) ANBNC
by ANGUC)
9 AUGNC)
d AUBUC D €

37. Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos, © com 4 elemen:
108. Qual 6 o número máximo de elementos de {A N B) N C?

41. CONJUNTOS.

X. Diferenga de conjuntos

38. Dados dois conjuntos A e B, chamase
diferença entre A e B o conjunto formado pe-
los elementos de A que näo pertencem a B.

BA fixe Aexe 6}

Exemplos:
1) {a,b, c) — (b,0,d, e)
2) {a,b, c} — (b,0)= {a}

3%) md} ~ (e,d,e,1) = (a,b)
4°) {@,) - {a,b,c,d,e} =

(a)

XI. Complementar de Bem A

39. Dados dois conjuntos A e B, tais que
8 C À, o conjunto A — B chama-se comple.
montar de B om relagóo a A, isto 6, 0 con.
junto dos elementos de A que náo perten
cem a8.

Com o símbolo

Go 5

indicamos o complementar de B em rela a A.

Notemos que ( só € definido para B C A, e af temos:

© 109

(inti
Exemplos:
1) SeA=(0,b,c,d,0)e B=(c,d, e), entáo:
CR = (8.0)
21) Se A = {e,b, 0,4) = B,entdo:
0-2
3) SeA=(8,b,0,d)e B = 2, entáo:

CR =(a,b,c,d) = A

42. CONJUNTOS

40. Propriedades da complementagáo
Sendo B e © subconjuntos de A, valem as seguintes propriedades:
19 ÜNB=GelluB=A

2

31) C4 (CX) = B (complementar em relaçäo a A do complementar de B em
relaçäo a A)

a) ce = CUE

5) OY = CNG

Provemos, por exemplo, a 21 e a 4? proprledades:
Uskeaken-o
Ü=kenkeoj=a

WOkenmeand kennee où xed=
= he) UREAxEC= CU

EXERCICIOS
38. Sejam os conjuntos À = (a,b, 6,4), B= (0,d,0,1,g) 00 = {b,d,e, g). Determine:
a) A-B 9 0-8 eo A~(@N0)
DI B-A d AUO-B DAUB)ANO)

89. Prove que (A — B) CA, VA,

Solugäo
Aimplicagdox € (A — B)=(XE A e x € B) = x € À
verdadeira para todo x, entáo (A = B) C A.

40. Clasifique em V ou F as sentengas:
a) A-8990 0) (A-B)CB
b) (A-B)UANB)=A a (A- 8) C(AUB)
admitindo que A e B so conjuntos quaisquer.

Fundementos de Matemático Elementen | 1

43. CONJUNTOS.

41. Dados os conjuntos A = (1, 2, 3, 4, 5), B = (1,2, 4, 6, 8) e C =(2,4,5,7),
‘obtenha um conjunto X tal que X C Ae A~X= BNC.

42. Assinale no diagrama ao lado, um de =
cada vez, os seguintes conjuntos oo
a) K-8
b)R-AUB A .
0) BUA
d RUE
e) ANB [es Sot)

BNA

43. Prove que A —

AN 8, em que Ae B säo conjuntos qualsquer do universo U.

Soluçäo
A implicaçäo x € (A — B) «(x € Ae x EB) eo (x € A6 x EB) eo
x EAN 8 6 verdadeira Vx; portanto, está provado,

44. Classifique em V ou Fas seguintes sentengas:
a) (A-B)U(B- A) = (AUB) ~ (ANB)
b) ACB= (C8) C (CA)
o) A-8C (CA
) (A8) c (C8)

Observaçäo: CA = U~ A

45. Sendo E = {1,2, 3, 4, 5,6, 7,8), pty + 1<6 e F = (y € E | y satistaz ply,
determine F.

46. Descreva os elementos dos conjuntos abaix:
A= {xlx? — 5x 6 = 0}
B = (xx 6 letra da palavra exercicio}

{xlx? — 9 = 0 ou 2x - 4 = 9}

D= (lax +1=0028-x-1=0}
E = (xIx é algarismo do número 234543}
47. Seja E = (a, {a}. Diga quals das proposigdes abaixo sao verdadeiras.
a) ace 0) ace e) DEE
DI (a) EE d {a} CE noce

44. 48. Sejam A e B dois conjuntos finitos. Prove que
© símbolo n, representa o número de elementos do conjunto X.

49. Dados A e B conjuntos tais que nía) = 4, ni)
número de subconjuntos de A U B.

5 enfA N B) = 3, determine o

50. Sendo A, B e C conjuntos finitos, estabeleça uma fórmula para calcular nay uc:

51. Se A={3nInEN}eB
mentos de AN B?

[n € NIn 6 divisor de 120), qual 6 o número de ele-

52. Em uma escola que tem 415 alunos, 221 estudam inglés, 163 estudam fran-
cés e 52 estudam ambas as linguas. Quantos alunos estudam inglés ou
francés? Quantos alunos nao estudam nenhuma das duas?

53. Denotando-se por X' o complementar de um conjunto qualquer X, determine o
Conjunto (P" U (P N Q)], quaisquer que sejam os conjuntos P e Q.

54. Considerando os conjuntos A, B e C, representados abalxo, e sabendo que

NA U B) = 24
TAN 8) = 4

nB UC) = 16

mA — C)= 11

n(B — C) = 10, calcule:
a) mA B)

b) ANB NC)

© MB (CUA)

d) MAN 8) ~ ©)

e) MB=(ANB)

55. Sabendo que A e B so subconjuntos de U,
A= (e,1,8,h,1), AM B = {e, dj, À U B = (a,b,c, d, e, responda:
Quantos elementos tem A? E B?

Observaçäo: À 6 o complementar de A em U.

56. Uma populagäo consome trés marcas de sabäo em p6: A, B e C. Feita uma
pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abalxo:

| Marca A | 8 | © |AeB|BeC|CealABec

Numero de
onsumidores|

109 | 203 | 162 | 25 | az | 5

e Fundamentos de Matemático Elamantar 1 1

45. 87.

58.

59.

60.

61.

Forneca:
a) o número de pessoas consultadas;

b) 0 número de pessoas que só consomem a marca
©) 0 número de pessoas que no consomem as marcas A ou C;
d) O número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.

Determine os conjuntos A, B e C que satisfazem as seguintes seis condigdes:

19 AUBUO=(2,x,4,u,1,5,6,0,P)
2MANB= (5)
3) BAC =(5,x)
4) CN A= {5,1}
5) AUC = {p, a,

6) AU B = (6.4,

Em certa comunidade há individuos de trés etnias: branca, negra e amarela. Sa-
bendo que 70 sao brancos, 350 so no negros e 50% 530 amarelos, responda:
8) quantos individuos tem a comunidade?

b) quantos sáo os individuos amarelos?

De todos os empregados de uma firma, 30% optaram por um plano de assis:
tencia médica. A firma tem a matriz na capital de Sao Paulo e somente duas
filiais, uma em Santos e outra em Campinas. 45% dos empregados trabalham
na matriz e 20% dos empregados trabalham na filial de Santos. Sabendo que
20% dos empregados da capital optaram pelo plano de assisténcia médica e
que 35% dos empregados da fal de Santos o fizeram, qual a porcentagem dos
empregados da filial de Campinas que optaram pelo plano?

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferenga simétrica de A com B o conjun-
to À À B tal que:
AAB=(A-B)U(B- A)
a) Determine (a,b, e, d) A (e, d, e, f, 8}.
b) Prove que AA = A, para todo A,
€) Prove que À À A= D, para todo A.
d) Prove que AA B = BA À, para Ae B quaisquer.
e) Assinale em cada diagrama abaixo o conjunto A À B.

CE) © VO

Desenhe um diagrama de Venn representando quatro conjuntos, A, B, Ce D, no
varios, de modo que se tenha:
ACB,BLACIAUEB) e DCIANB).

Fundamentos de Matemática Elemensan

46. LEITURA

Cantor e a teoria dos conjuntos

Hygino H. Domingues:

A natureza do infinito $ uma questäo antiga e controverse. Arquimedes,
(287-212 a.C.) fazia distincao entre Infinito potencial e Infinito atual, Este
último, que vem a ser o infinite como algo completo, era descartado por nao.
haver nenhuma evidéncia de que alguma colecáo de objetos pudesse corres.
Ponder a tal ideia. O conjunto N, por outro lado, 6 um exemplo de conjunto,
potencialmente infinito, pois sempre se pode somar uma unidade a cada um
de seus elementos, obtendo se outro número natural

No século XVII, chamou a atengao de Gallleu Galllel (1564-1642), a se-
'guinte correspondencia biunivoca entre os elementos de N* = (1, 2,3, 1.) e
P=(2,4,6, .): 152,2 4,3 > 6, ...que associa a cada elemento de N*
m (e apenas um) elemento de P. (Essa correspondencia 6 a fungäo bijetora
f:N* > P assim definida: (n) = 2n, para qualquer n € N#.) Mas como se é
uma parte propria de N*? Ou seja, P € INS. Esse aparente paradoxo (que en:
‘rou para a história como paradoxo de Galleu) e a resistencia a idela de Infinito,
¡tual em sua época devem ter feito Galleu deixar de lado essas cogitagdes,

Aliés, a ideia de infinito atual, porter conotaçües de ordem religiosa, nao
era aceita também por certos teólogos (S80 Tomás de Aquino, por exemplo)
que viam em Deus a única natureza absolutamente infinita. E Isso deve ter
Contribufdo para que sua adocáo fosse retardada em Matemática,

Curiosamente, quem tirou a Matemática dessa camisa de forga fol um
homem de profunda fé religiosa, Georg Cantor (1845-1918). Cantor nasceu ná!
Russia, na cidade de So Petersburgo, mas aos 11 anos mudou-se com sua!
famila para a Alemanha, onde se fixou, Em 1862 iniciou o curso de Engenha-
ría em Zurique mas, depols de um semestre, dekxouo para fazer Matemática
‘em Berlim, em cuja universidade obteve o grau de doutor no ano de 1867, com
uma tese sobre teoria dos números. Dols anos depois foi admitido na Univer
sidade de Halle, onde transcorreria sua carrelra academica,

Em suas pesquisas académicas chamou a atengáo do Inquieto esprrito
de Cantor a natureza dos conjuntos infinitos. E fol da exploragáo desse assun:
to, com muita ousadia, que nasceu a Teoria dos Conjuntos como capítulo au:
tonomo da Matemática,

47. Muito importante para a criacäo, por Cantor, da Teoria dos Conjuntos fol
a seguinte definig3o de conjunto infinito introduzida em 1872 pelo matemático:
'alemáo Richard Dedekind (1831-1916), seu grande amigo: “Um conjunto se,
diz infinito se é possivel estabelecer uma correspondencia entre ele e uma de
‘suas partes próprias”. Por exemplo, infinito devido à correspondencia
biunfvoca exibida no primeiro parágrafo. Ou seja, aquilo que para Gallleu
jpareceu ser um paradoxo transfo numa definigäo basilar da Teoria dos
Conjuntos.

(0 grande mérito de Cantor foi perce.
ber a partir dat, a existencia de conjuntos
infinitos de espécies diferentes, numa es
Cala de grandeza. Se dois conjuntos, como
N* e P, podem ser colocados em corres:
pondéncia biunivoca, dizse que ambos
tem mesma poténcia. E foi através dessas
úpoténcias que Cantor hierarquizou o infin
10, Na primeira categoria da escala do inf
únito estáo todos os conjuntos com a mes-
ma poténcia de N*, entre os quais estáo R
Ze, surpreendentemente, o proprio Q. Es
tes säo os conjuntos enumeravels. A se
'quéncia a seguir, em que os números sao
ordenados pela sua altura (= numerador

+ denominado), dá uma idea do porqué
de QF ser também enumerável:

4/2, 1/2, 2/1, 1/3, 2/2, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1,

4

E
E
E
E
E
E

Georg Fernand Ludwig Pi Cantor

Cantor mostrou que R e € tém a mesma potencia e que esta é superior
à dos enumeräveis. E mostrou ainda que a escala do infinito nao tem limites:
‘sempre há poténcias maiores e

Certos resultados obtidos por Cantor surpreenderam a ele mesmo, Sob
esse ponto de vista 6 possivel entender o 5 duras erficas que rece:
beu de importantes matemáticos de seu tempo. Mas, para 0 progreso da!

Matemática, prevaleceram opiniöes co Do paraíso criado por
Cantor ninguém nos tir

48. 112

Conjuntos
numéricos

41. Chamase conjunto dos números naturals — símbolo N — 0 conjunto formado.
pelos números O, 1,2, 3,

esse conjunto so definidas duas operagdes fundamentais, a adiçäo e a mul
tiplicagao, que apresentam as seguintes propriedades:

(aay

112]

CE]

Ma]

asociativa da adiçäo
@+b+c=a+(b+c
para todos a, b, 6 €

comutativa da adigño
atb=b+a

para todos a,b € N.
‘elemento neutro da adigäo
a+0=a

para todo a € N.
associativa da multiplicagäo

(able = abc)
para todos a, b, ¢ EN.

49. CONJUNTOS NUMÉRICOS.

1112] comutativa da mutiplicagäo
ab ba
para todos a,b € N.
[M3] elemento neutro da mutiplicagéo
a:1=a
para todo a €
[DI distributiva da muttipicagdo relativamente à adiçäo
afb +0) = ab + ac
para todos a,b, ¢ EN.

Veremos que os próximos conjuntos numéricos a serem apresentados säo
‘ampliacdes de N, isto 6, contém N, tem uma adigäo e uma multiplicacáo com as
propriedades formais já apresentadas e outras mais, que constituem justamente o
‘motivo determinante da ampliagäo.

Assim, dado um natural a # 0, o simétrico de a näo existe em N: -a € N. O
resultado disso 6 que o símbolo a — b nao tem significado em N para todos a, b €
isto é, em N a subtragäo nao é uma operagäo. Venceremos essa dificuldade introdu-
indo um novo conjunto numérico.

EXERCICIOS

62. Seja H o conjunto {n € N12 <n < 40, n múltiplo de 2, n náo múliplo de 3)
‘Qual 6 0 numero de elementos de H?

63. Um subconjunto X de números naturais contém 12 miltiplos de 4, 7 mültplos
de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números mpares. Qual 60 número de elementos
dex?

64. Sendo A = {nin = 2p - 1e p € B} qual 6 a condigo sobre B para que n seja
um ndmere natural par?

II. Conjunto dos números inteiros

42. Chamase conjunto dos números Intelros — símbolo Z — o seguinte conjunto:

4 1 Fundamentos de Metemético Elementar

50. CONJUNTOS NUMÉRICOS

No conjunto Z distinguimos très subconjuntos notäveis:
Z,=(0,1,2,3,..)=N
(chamado conjunto dos inteiros nao negativos);
(0.-1,-2,
(chamado conjunto dos inteiros náo positivos)
Z*=(...-3,-2,-1,1,2,3,
(chamado conjunto dos inteiros náo nulos).

43. Operaçôes em Z

No conjunto Z so definidas também as operagdes de adiçäo e muliplcacáo que
apresentam, além de [A.2), [A.2),[A.3], [M.1), [M.2], [M.3] e [D], a propriedade:

[4.4], simétrico ou oposto para a adigáo

Para todo a € Z existe -a E Z tal que
a+(-a=0.

Devido à propriedade [A.4], podemos definir em Z a operagäo de subtragäo,

estabelecendo que a - b = à + (-b) para todos a,b E Z.

44. Os números inteiros e a reta

(Os números inteiros podem ser representados sobre uma reta orientada por
‘melo do seguinte procedimento:

1) sobre a reta estabelecemos um sentido positivo e um ponto O (origem),
que representa o inteiro O (zero):

0

2») a partir de O, no sentido positivo, marcamos um segmento unitério u # 0
cuja extremidade passará a representar o inter 1:

oT

3) para cada inteiro positivo n, a partir de O, marcamos um segmento de
medida nu no sentido positivo cuja extremidade representará n e marcamos um
segmento de medida nu no sentido negativo cuja extremidade representará o in
teiro =n.

51. CONJUNTOS NUMÉRICOS

0 resultado 6 este:

45. Divisibilidade
Uma importante nogáo que devemos ter sobre números inteiros & o conceito
de divisor

Dizemos que 0 inteiro a 6 divisor do inteiro b — símbolo a |b — quando existe
um inteiro c tal que ca = b.

albe (Bo Z|ca=b)

Exemplos:
19 2112 pois 6-2=12

2) 31-18 pois (~6)-3= -18
3) -5120 pois (~4)-(~5) = 20
4) -21-14 pois 7-(-2)=

5) 410 pois

6) 010 pois.

Quando a é divisor de b, dizemos que “b é divi

A por a” ou “b 6 múltiplo
dea

Para um inteiro a qualquer, indicamos com D(a) o conjunto de seus divisores e
‘com Mía) o conjunto de seus múltiplos.

Exemplos:
19 DQ) = (1, ~1,2,-2) M(2) = (0, #2, +4, +6, ..}
2) D(-3) = (1, -1,3, -3) M(-3) = (0, #3, #6, #9, ..)
3) D0) = Z MO) = (0)

Dizemos que um número inteiro p 6 primo quando p # 0,1 e -1 e
Dip) =(1,-1, p, —p).

Exemplos:
2,-2,3, -3,5, -5, 7.e ~7 säo primos.

a

52. CONJUNTOS NUMÉRICOS.

EXERCICIOS

65. Quais das proposigdes abaixo sdo verdadeiras?
a) 0EN & NUZ_=Z 9 (-4)-(-8) EZ,
D (2-3)EN 9 Z,nz. h) OZ.
o Nez N (-3F eZ. ) 6-19eZ

66. Descreva os seguintes conjuntos: D(6), D(-18), D(-24) N D(16), MIA), M(10)
e M(-9) n MI)

67. Quais dos seguintes elementos de Z nao so primos: 12,
-4,1,49 0 537

13,0,5,31, -1,2,

68. Sendo a e b dois números inteiros, respondí
a) D(a) e D(b) podem ser disjuntos?
b) Que nome se dé a um intelro m tal que Dia) N D(b) = Dim)?
©) Quando Die) M D(b) = (1, —1), qual 6 a relaçäo existente entre a e b?
d) Em que caso ocorre M(a) C M(b)?
©) Em que caso ocorre Mía) N M(b) = M(aby?
N) Que nome se dá a um inteiro n tal que Mia) N M(b) = Min)?

69. Determine os seguintes números inteiros:
a) mdc (2, 3) ©) mde(-6,-14) e) mme(-4,6)
b) mde (4, 6) 4) mme (2, 3) 9 mme (-6, -14)

III. Conjunto dos números racionais

Dado um número intero q + 4 e -1, 0 inverso de q néo existe em 2:2 ¢Z.
Por isso ndo podemos definir em Z a operagáo de divisdo, dando significado ao sim
bolo 2. vamos superar essa difulide introduzindo os números racials.
46. Chamase conjunto dos números raclonals — símbolo Q — o conjunto dos

pares ordenados ou trodes) À, em que a € Z eb E Z*, para os quals dote
5 seguntes deis:

Fundamentos de Matemática Elementen | 1

53. CONJUNTOS NUMÉRICOS

bo

ARCOS
19) igualdade: À = À es a

ad + be
bd
a,6_#
3+) multiplicagao: 2. © = 20
) multiplicagdo: à - & = 2
No conjunto dos racionais destacamos os subconjuntos:

ás
2 adigao: À + €

Q, (conjunto dos racionais nao negativos);
(Q- (conjunto dos racionais nao positivos);
Q* (conjunto dos racionais nao nulos).
Na fraçäo 3, a 6 0 numerador e b o denominador. Se a e b Säo primos entre
redutível. Assim, as.

5,180, se mda) = 1, demos que 2-6 uma taco

tagdes2, 20 Fata mis. mas 2

toos 2,3 6 Lo mis, ms 206
Consiereme o emo Q amado pls número nas com denon

oar nto 0° = [1x 2} tomos

PE Sabah
FRET

portanto, os racionais com denominador igual a 1 comportam-se para a igualdade, a
adiçäo e a multiplicacáo como se fossem números inteiros. Assim, fazendo o racio-

47. Operagóes em Q

Pode-se verificar que a adicäo e a multplicacáo de racionais apresentam as.
seguintes propriedades:

war ars)

54. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Vo
Ma P+o= À

E)

Ca cB

er
MAS a de
LORS
et

em que À, $e sio racionais quaisquer; portanto, so válidas as mesmas

propriedades formais vistas para os números intelros. Além dessas, temos também
a seguinte:
[M.4] simétrico ou inverso para a multiplicagáo

2 2 40, existe
para todo EE Qe + O, exist

b
Peat
= que

2
2
‘ar
choco qe 2: = 2.8,

Devido à propriedade jodemos definir em Q* a operaçäo de divisäo,

ra 2 e © racionais quaisquer näo nulos.
para eG quaisa

48. Representaçäo decimal

Netemos que todo número racional À pode ser rpresnta por um número
i 2
decimal. Passo um número racional para foma de número decima ind

© inteiro a pelo inteiro b. Na passagem de uma notaçäo para outra podem ocorrer
dois casos:

11) o número decimal tem uma quantidade finita de algarismos, diferentes de
zero, isto 6, € uma decimal exata.

je Mavemética Esementan | 1

55. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Exemplos:

1 1 27

5-05 Leo Tol

2 20 05 1000 oe

2) o número decimal tem uma quantidade infnita de algarismos que se repe-
tem periodicamente, sto 6, 6 uma díima periódica.

Esemplos
1 Sá

4 = 0,338... = 03 (periodo 3)

2

2 = 0285714285714... = 0.285714 (período 286714)
3B = 1,8333... = 1,85 (perodo 3)

Podemos notar também que todo número na forma de decimal exata ou de df
zima periódica pode ser convertido à forma de fraçäo — e, portanto, representa um
b
nümero racional.
Quando a decimal 6 exata, podemos transformä-a em uma fraçäo cujo nume-
rador € o numeral decimal sem a virgula e cujo denominador é o algarismo 1 seguido
de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado.

Exemplos:
37 _ 2631 _ 634508
ar 2 63,4508 - LEP

Quando a decimal é uma dizima periódica, devemos procurar sua geratriz. Da
mos, a seguir, trés exemplos de como obter a geratriz de uma dizima periódica.

Exemplo 1: 0,777.

KOT. soe

10x = 7,777...) © 1%

Ñ 7
ento: 0,777... =,
Exemplo 2: 6,4343.

x= 6434343... 637
100x=643,434343... } Er AOR ah OST AS og
120: 6.434348... = $37

56. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Exemplo 3: 2,57919191...

2579101...
100x= 257919191... |-> 10000x - 100x = 25534 =>
100004 = 25794.919191.. _ 25534
9900
a 25534
en: 25 E
799101... = 255%
70. Quai das seguntes proposigdes sd verdades?
anca Sormm.ca ) Mea-z
»zca of Bea» Acide
: ba 121191
9 0ea #1ea-z “aaa
area mca-z nreas-rea

71. Coloque na forma de uma fraçäo irredutiel os seguintes números racionais:

0,4; 0,444... 0,32; 0,823232...; 54,2; 5,423423423....
15 11 18
72. Cojoque em rdemerescente os seguntesnümerosracenas: 1319
°F
73. Mostre que, se 1, e 1, $80 raclonals e 1, < F4, entäo existe um racional rtal que
E SIS fa
74. Represente sobre uma reta orientada os seguintes números racionais:
3 152445168
Ah, 152703
aa
+1
Les
D) 0900... + $
5 Y

O Fundamantos de Matemático Esementer | 1

57. CONJUNTOS NUMÉRICOS

76. Na minha calculadora, a tecla da divisño näo funciona. Nessa situaçäo, para
dividir um número por 40, usando a calculadora, eu devo multiplicar 40 por qual

a a; ee TR

77. Considere ondmeroa = 1 + L+ 4,4 4,4 4,
iad 1 +20 * 307 * 305 * 301
Se ele for racional, coloque-o na forma decimal e na forma de fraçäo irredutivel.

+

78. Suponha que um país A tem uma renda per capita anual de 20000 dólares e
‘uma populaçäo de 50 milhdes de habitantes. Um outro país B tem uma renda
per capita de 10000 dólares e uma populaçäo de 20 milhdes. Se os dois paí.
ses se fundirem para formar um novo país, qual será o valor da nova renda per
capita?

79. A pressäo P e o volume V de um gás perfeito mantido a uma temperatura cons-
tante satisfazem a Lei de Boyle PV = constante. Se aumentarmos a pressáo
‘em 25%, em quantos por cento diminuirá o volume do gs?

IV. Conjunto dos números reais
49. Números irracionais

Existem números cuja representagäo decimal com infinitas casas decimais
nao é periódica. Por exemplo, o numeral decimal 0,1010010001... (em que o núme-
ro de algarismos 0 intercalados entre os algarismos 1 vai crescendo) é no periéd-
co. Ele representa um número ndo racional. Ele representa um número irracional.

Outros exemplos de números irracional:

1,234567891011
6,202002000.
34,56789101112.

50. Chamase conjunto dos números reals — símbolo R — aquele formado por
todos os números com representaçäo decimal, isto 6, as decimais exatas ou peri
dicas (que s80 números racionais) e as decimais näo exatas e náo periódicas (que
‘so números irracionais).

Dessa forma, todo número racional é número real, ou seja:

58. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Além dos racionais, esto em R números irracionais como:
V3 = 1,4142136,
3,1415926...

Se quisermos outros números irracionais, poderemos obté-los, por exemplo,

por meio da expressäo \p, em que p 6 primo e positivo. So Iracionais: v3, 5, V7,
eto.

Outro recurso para construçäo de irracionais é usar o fato de que, se « é irra:

cional e r 6 racional näo nulo, entáo: « + 1, a +1, Se 530 todos irracionals.

Exemplos:
V3 + 1,942, V8, 3520 imacionais.

2 V6
Além de Q, destacamos em R trés outros subconjuntos;

,, (conjunto dos reais nao negativos);
R_ (conjunto dos reais nao positivos);
R+ (conjunto dos reais nao nulos).

51. Operagóes em R

As operagdes de adiçäo e multplicaçäo em R gozam das mesmas proprieda
des vistas para o conjunto Q. Em R é também definida a operagáo de subtragáo e
em R* 6 definida a divisäo.

52. Os números reais e a reta

Jé vimos que os números intelros podem ser representados por pontos de uma
reta orientada:

59. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Analogamente, os números racionais nao Intelros também podem. Se que-
1
remos, por exemplo, representar o número + sobre a reta, marcamos a partir de
1
0 um segmento de medida = u no sentido positivo. A extremidade desse seg

1
mento representa >. Na figura abaixo representamos sobre a reta várlos nüme-
ros racionais.

Os números racionals, entretanto, näo preenchem completamente a reta, isto
6 há pontos da reta que nao representam nenhum racional. Por exemplo, entre os

Pontos 1,41 e 1,42 fica um ponto que representa +2 = 1,414215... (Iracional).

Quando representamos também sobre a reta os números irracionals, cada
ponto da reta passa a representar necessariamente um número racional ou irracio-
nal (portanto, real), isto 6, os reals preenchem completamente a reta,

Essa reta, que representa R, 6 chamada reta real ou reta numérica,

Na reta real, os números estäo ordenados. Um número a & menor que qualquer
‘ndimero x colocado à sua direita e maior que qualquer número x à sua esquerda

e, —
herlx<a) WeRIx> a}

60. CONJUNTOS NUMÉRICOS

EXERCICIOS

80. Quais das proposigdes abalo säo verdadeiras?
a 3er ater-o afl@-säer-a
NZ
»NCR e Ger-a » Ser-a@

9) ZCR 9 Wer-a » Sea

81. Prove que, se a,b, ce d säo racionais, p 6 primo positivo ea + bYp = c + dV,
entäo a = 6 e b=d.

Soluçäo

a+ bVp = 0 + dp e (b =dWp =c- a
Como c — a é racional, a última igualdade só subsiste quando (b - dp € Q,
isto 6, se b = d= 0. Neste caso, c = a = 0, provando a tese.

82. Mostre que V4 + 243 = 1 + V3.

a

83. Mostre que existem a e b racionais tals que V18 — 812.

+ by!

84. Dados dois nimeros xe yreais e positives, chama-se média aritmética de x com
yoreala =*= echamasemédiageométicnorealg = y. Most quea>g
para todos x, y ER,

85. a) Mostre, por meio de um exemplo, que existe um número irracional a tal que
ate al so números racionais.
b) Mostre que, se a e at? sto racionais, entäo a 6 racional.

86. Prove que V2 € Q.

Sos
arose apo reat sj tal que VF = 2, Des moto emos:
2 = 86 por a par

61. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Fazendo a = 2m, com m € Z, temos:
a? = 2b? = (2m)? = 2b? = b? = 2m? = b?6 par =
= b 6 pare isso 6 absurdo, pois mde (a, b) = 1

87. Prove qe, ado um mero racon-2 eum número natural n> 2, em sempre

À 6 racional

88, Dentre os reais 1,0, 1, 2e 3, qual náo pode ser escrito sob a forma r
x real?

V. Intervalos

53. Dados dois números reais a e b, com a <b, definimos:
2) Intervalo aborto de extremos a e b 6 0 conjunto
bl = RER Ia <x<b}
ue também pode ser indicado por a —b.
b) intervalo fochado de extremos a € b 6 o conjunto
fab] RE Rla<x<b}
‘que também pode ser indicado por aH.
c) intervalo fochado à esquerda (ou aberto à dieit) de extremos a e b 6 0
conjunto
BH=RERIe<x<d}
que também pode ser indicado por ab.
reita (ou aberto à esquerda) de extremos a e b 6 0

d) Intervalo fechado
conjunto
Rb=RERla<x<b}
que também pode ser indicado por ab.
Os números reais a e b sáo denominados, respectivamente, extremo inferior e
extremo superior do intervalo.
Exemplos:
1) 2,51
2) (4,4

fe E R 12 < x < 5} 6 intervalo aberto
HER 1-1 < x < 4) 6 intervalo fechado.

11 Fundomentos de Matemática Elementar

62. CONJUNTOS NUMÉRICOS

2
on [2

1 1540
an Hv]- fre 1-2 <x= 42) éimenai echado a arena
» H4 eR| 3 2 itervalo fechado à direits

Também consideramos intervalos lineares os “intervalos infinitos” assim de-
finidos:

a) ==, af

que também podemos indica por (~, af ou =
b) real = ERI x<a}
que também podemos indicar por (e, a] où ==.

©) la, taf = ERI x> a}

‘que também podemos indicar por a, +=) ou a— +.
dla +f = KER I x> a}

ue também podemos indicar por a, +») ou ab +.
Om. taf =R

que também podemos indicar por (-=, +) ou

54. Representagäo gráfica

Os intervalos tém uma representaçäo geométrica sobre a reta real como a que
segue:

ma. — 3 2 —
ab) ee
1. || ——8_____4______.
jb) |) ——— 3
ag me fun en
EE —_—__ — — .

63. CONJUNTOS NUMÉRICOS

EXERCICIOS

89. Represente sobre a reta real cada um dos seguintes conjuntos:
A=keER|1<x<2}
B=keER|0<x<3}

keRIx=00ux>2)

Ooux > 3}

90. Descreva, conforme a notaçäo da teoria dos conjuntos, os seguintes intervalos:
(4,3), (0,21, 1-3,41, J=x,5[ e (1, +1

91. Utilizando a representaçäo gráfica dos intervalos sobre a reta real, determine
ANB e AU B, sendo A= (0, 3]e B = (1, 4),

Soluçäo
EE LS
8 A A

Ang —+——} 4 d ;,
As AeA A ey

entioAN B= [1,3] e AUB

(0, 4),

92. Descreva os seguintes conjuntos:

a) [0,2] N [1,3] 9) ]-2,2] N [0, +f
b) (0,219 1,3 on
2.4
o }.2[np.4f 9 1,2010,3/0(-1,4)
83. Determine os seguntes conjuntos:
3) (-4,3] 00,4) ©) LIV
1 3
b) J-2, 1) U J0,5{ d) [ 2. Ju).

94. Sendo À = [0,5[ e 8 = 11,31, determine a

4 1 Fundamentos de Matemática Elemencar

64. CONJUNTOS NUMÉRICOS

95, Sendo A= {x R]-1<x<3} e B=(xERI2<x=5),caloule AU B.

96. Sejam A = {-=; 2] e B = [0; +x) intervalos de números reais, Determine
ANB.

97. Determine a interseçäo dos conjuntos:
RANG; (NNAUQ e NU(ZNO)

VI. Conjunto dos números complexos

55. Vimos que Va € R, qualquer que seja o real a náo negativo. Assim, por exem-
2.5.6. Jet
plo, 12, 15, 5 e Va säo números reais.

Desde que o índice da raiz seja impar, os radicais da forma Y=a, em que
à € R,, também representam números reais. É o caso, por exemplo, de 1-1, Y=32

Se o radicando 6 negativo e o índice da raiz é par, entretanto, o radical =a
näo representa elemento de R. Por exemplo, V1 náo 6 real, pois:

Vt =x = -1=%
@ isso 6 impossivel pois, se x € R, entäo x? > 0.
Resolveremos definitivamente o problema de dar significado ao símbolo Va,

para todo número a, introduzindo no volume 6 desta colegáo o conjunto € dos núme'
ros complexos, do qual R & um subconjunto.

VII. Resumo

Os conjuntos numéricos podem ser re-
presentados esquematicamente pela figura
20 lado.

Observemos que

NcZCQCRCC.

Notemos também que:

Z - N = conjunto dos números intelros.
negativos;

Q ~ Z = conjunto dos números racio-
ais ndo intelros;

R — Q = conjunto dos números reais irracionais.

65. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Apéndice
Principio da indugáo finita
56. Indugáo vulgar

A inducáo vulgar (generalizagäo de propriedade após verificagáo de que a pro-
priedade € válida em alguns casos particulares) pode conduzir a sérios enganos na
Matemática. Vejamos dois exemplos:

11) Consideremos a relaçäo y = 27 + 1 definida para n EN.

Temos:
n=0=y=2P+1=2+1=3

n Sy. tie 2 125

n Sy Pri 2

n Sys 41-244 = 267
n > y= 244 = 21044 = 65597

(Os números y encontrados so números primos. Fermat (1601-1665) acredi
tou que a fórmula acima daria números primos, qualquer que fosse o valor inteiro
positivo atribuído a n, Esta inducáo é falsa, pois Euler (1707-1783) mostrou que para
n = 5 resulta y = 2% + 1 = 2% + 1 = 4294967297 = 641 x 6700417, isto 6,
resulta um número divisivel por 641 e que, portanto, nao € primo.

— 72 +3, definida para todo n € N*,
tomos: a

1+9-14+18
g

=2

8 + 36 ~ 28 +18

1 1 Fundementos de Matemática Elementar

66. CONJUNTOS NUMÉRICOS

Poderíamos tirar a conclusáo precipitada: “y é número primo, Y n € N°”. Essa
indugäo também 6 falsa, pois:
ae —125 + 225 - 70418 _ y,

6° 2 3 6

57. £ necessário, portanto, dispor de um método com base lógica que permita
decidir sobre a validado ou náo de uma indugdo vulgar.
Consideremos, por exemplo, a igualdade:
1+38+5+.+ Qn- 4) men
que expressa a propriedade: “a soma dos n primelros números impares positivos
on.
Vamos verificar se ela 6 verdadeira:

zu
9= #4

+19 = 100 = 107

Mesmo que continuemos o trabalho fazendo a verificagäo até n = 1000000,
no estará provado que a formula vale para todo n natural, pois poderá existir um
n > 1000000 em que a fórmula falha,

58. Princípio da indugáo finita

Para provarmos que a relagäo 6 válida para todo n € N* empregamos o prin-
cipio da indugáo finita (P..F) cujo enunciado 6 o seguinte:

Uma proposigäo Pin), aplicável aos números naturals n, $ verdadelt
para todo n € N,n > no quando:

6 verdeira, :

Provemos, por exemplo, que:
1434+54+..+ n=

18) Verifiquemos que P(1) € verdadeira:
neioi=2

(ens

67. CONJUNTOS NUMÉRICOS

2) Admitamos que P(k), com k € N, seja verdadeira:
1+3+5+. 4 (2k — 1) = 1 (hipótese da indugao)

e provemos que decorre a validade de P(k + 1), isto €
L434 5 +. + Ok 1) + (AK + 1) — A= (+1
Temos:
LAIA SEL + (Ok AMA (A,
A +
a |

EXERCICIOS

Demonstre, usando o principio da indugáo finita.

90192434. +n= MD vnene

99. 245484 + (240)

1002042142244 MI= 2, VEN.

En
rr [ME ven

108.8 | (gm - 1), Vn EN.

(QU Solugao

19) P(A) 6 verdadeira, pois 8 | (32 - 1).

2%) Admitamos que P(K), k € N°, seja verdadera:
8 | (3% — 1) (hipótese da indugäo)
+ provemos que 8 | (32% + 5) 1}:
ES e = DM (8 + 1) — À |
= 8.34 + (9-4)
entao:
8l8-3%
81(6%-1)

Josie SLI 4) 581 (999-4,

68. 04,

105. »
106.3 | (n° +20), Vn

1 1), fee
107 1+2).(1 (2 n+1.vnent

2 3 0)
108, 1 1. vneNns

£2°2-3°3.4 nara) ata

109.1-242-343-4+..¢nn +1) = OEP ens,
110.20 =n + 4,Vnen

Soluçäo
19) PA) 6 verdadeira, pois 2.1 =1 +1.
21) Admitamos que P(k), k € IN*, seja verdadeira:

2k = k + 4 (hipótese da Indugäo)

e provemos que 2(k + 1) > (k + 1) + 1.

Temos:

AK + 1) = 2k + 22 (k+4)+2>(k 1) #2

111.2>n,Vne
112.19 +29 > SVEN

113,(1 + a =1 + na, Vn EN*,VaeR,a> 1

nin = 3)

114.0 número de diagonais de um polígono convexo de n lados 6 da

Soluçäo

19) P(3) 6 verdadeira, pois:

3(3 = 3)
2

e Isso 6 verdade porque um triangulo näo tem diagonais.

n=3=4. =0

69. CONJUNTOS NUMÉRICOS

2?) Supondo válida a fórmula para um polígono de k lados (k > 3):

de o J (hipótese da induçäo)

provemos que ela vale para um polígono de k + lados:
a EDI a] +1) = 2
hea = 2
Quando passamos de um polígono com k vértices para um de
K + 1 vértices, arescentando mais um vértice, ocore o seguin
1. todas as diagonals do primeiro poigone continuam sendo diago-
mais do segundo
2. um lado do primeir se transforma em diagonal do segundo;
3. no segundo há k — 2 novas diagonais (as que partem do novo

vértice).
Vejamos, por exemplo, a passagem de um quadiilétero para um
Pentágono:
(oro virco)

AC e BD säo diagonais > AC e BD continuam diagonais
AD 6 lado > AD se transforma em diagonal
EB e EC sao diagonais

Entao:
kk = 3) Ke = 3k + 2k
d+ (k—2)= +k-1=
dema 2 = MKS 5
(k+ 4k = 2)

2

115.A soma das medidas dos ángulos internos de um polígono convexo de n lados &
S = (n= 2)- 180°.

116. Se A 6 um conjunto fnito com n elementos, entáo PA), conjunto das partes de A,
tem 2° elementos.

1 1 Fundamentos de Metemétice Elementar [5]

70. LEITURA

Eudóxio e os incomensuráveis

Hygino H. Domingues

A descoberta no séc. V a.C. da existencia de grandezas incomensurs
veis (como a diagonal e lado de um quadrado) abalou a matemática grega,
ado o peso que nela tinha a escola pitagórica. Anal esta escola apolavase,
na conviegdo de que o universo numérico ndo ulrapassava o que hoje chama:
mos de conjunto dos números racionais estitamente positives. Ademals, 0
espiito do povo grego era muito diferente do babllónico, por exemplo, que
aceitava as aproximagdes de números irracionais acaso surgidos em algum
problema sem questionamentos de ordem teórica. Os pitagóricos, por náo
encontrarem uma saída matemática satsfatóra para o impasse; limitaram-se
sempre, no caso de razöes, aquelas entre grondezas comensurévels.

A primeira teoria das proporgóes, envolvendo grandezas incomensuré
veis, 6 obra de Eudóxio (aproximadamente 408 a 355 2.0). Natural de Cnido,
colónia grega situada na Asia Menor, Eudóxio 6 considerado, depois de Arqui
medes, o maior matemático da Antiguldade. Muito Jovem, delxou sua cidade
natal para estudar geometria com o pitagó-
rico Arquitas. Depois seguis para Atenas,
onde estudou flosofi na Academia de Pla
180. Muito pobre, optou por morar na cide-
de de Pireu, a dues milhas (aproximade-
mente 3 quilómetros) de Atenas, onde a
pensäo era mais barata, fazendo a pé, to
dos os dias, o caminho de ida e volta à
‘Academia, Esteve também melo ano no
Egio estudando, e depois fundou, em Cf
co, uma escola que teve muito éxito. Com
cerca de 40 anos de idade voltou em visita
à Atenas, acompanhado de alguns alunos, fl
Sendo recepcionado por Platao com UM asus guns a ARCO
banquete. Retornou por fim a Cnido para ge este erage por Pata fa) A
lecionar e participar da vida da cidade, tr- errada da Academia es rt

“Que aqui no aderrem aguas que
nâo cannecem geometria.

minando seus dias cercado de prestigio.

e

71. {A solugäo encontrada por Eudöxlo para o problema da incomensurabll-
‘dade, embora brihante, tinha como sério inconveniente o fato de ser mera:
mente geométrica, o que contribulu fortemente para que nos dois milénios
‘Seguintes a geometria se tomasse praticamente a Única base de rigor da
Matematica,

Eud6xio introduziu a noçäo de grandeza para representar genericamente
‘coisas como segmentos, angulos, áreas, volumes e tempo, por exemplo, e a
dela de múltiplo de uma grandeza segundo um número natural nao nulo. As-
sim, se a, b,c, d so grandezas (a e b da mesma espécie; c e d também da
mesma espécie), o concelto de proporçäo segundo Eudéxio (e que irá figurar
nos Elementos de Euclides como definigäo 5, Inro V) 6 o seguinte:

2. © 50,6 somente se, ar qualquer nur ño nulos m ©
(ma = 18 = me = nu (ma > nb me > a) (na < 0 me < ne.

Com 0,10 uo, conto ds números radon mires que zero
fc vt em dus classes, aqua dos quocients ™ tai ue ma <n ©
à dos quotes pars ques ma > nb Escpos Sos gan desta 0
ent define po ess cases cu ej, o número rela que 6 a ma do
em raga aa.

Curacao Important de Eu o chamo aimant) todo
de exo para deteminar was «volumes d Agus curs, al ende
Bases, om te nunc, num postulado que lv 0 nome de ue.
des, mas ue, segundo este, € dev a Exo: Dads dues gandezas no
ls e mesma esté sempr há um min de uma ue super a au
‘Com isso Eudóxio póde provar, por exemplo, que as áreas de dois círculos
sio erre elcamo os quedado de eu mo os voles de ds estes
Come os caos de seus ao

"estados como eses, bor oi, pr nose ade om mé
ls nuns, pen em vo ans sento da matemática de Eos,

72. Relacóes

I. Parordenado

59. Par
Chamase par todo conjunto formado por dois elementos. Assim (1, 2,{3, 1),

{a,b} indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de conjuntos, observamos.
que inverter a ordem dos elementos näo produz um novo par:

(2,2) = (2, 1),(8, 1) = (-1,3), (a,b)

ba

Em Matemática existem situagdes em que hä necessidade de distinguir dois
pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equagdes.

x= 2e y = 1 6 soluçäo, ao passo que x = 1 e y = 2180 é soluçäo. Se representás-
emos por um conjunto, terfamos: (2, 1) seria solugao e (1, 2) näo seria solugáo. Há
uma contradigäo, pois, sendo (2, 1} = (1, 2), o mesmo conjunto € e nao 6 solugäo.
Por causa disso dizemos que a Soluçäo 6 o par ordenado (2, 1), em que fica suben-

tendido que o primeiro elemento, 2, refere se à incógnita x e o segundo elemento, 1,
refere-se à incógnita y.

Fundamentos de Matemático Elementar 1 1

73. RELAÇOES

60. Par ordenado

Admitiremos a noçäo de par ordenado como conceito primitivo(*). Para cada
elemento a e cada elemento b, admitiremos a existéncia de um terceiro elemento
(a,b), que denominamos par ordenado, de modo que se tenha

IL. Representagáo gráfica

61. Plano cartesiano

Consideremos dois elxos x e y per =
pendiculares em O, os quals determinam o.
plano a.

Dado um ponto P qualquer, P € a,
‘conduzamos por ele duas retas:

XUX e yily

Denominemos P, a intersegäo de x
‘com y e Pa a intersegdo de y com.

Nessas condigöes definimos:

2) absolssa de P 6 o número real xp
representado por Pa

b) ordenada de P 6 o número real y representado por Pa

©) coordenadas de P säo os números reais xp e yp, eralmente indicados na
forma de um par ordenado (xp Yo) em que xp é o primeiro termo

d) elxo das abscissas 6 0 exo x (ou Ox)

e) elxo das ordenadas 6 0 eixo y (ou Oy)

4) sistema de elxos cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular) 6 0
sistema xOy

€) origem do sistema 6 0 ponto O

h) plano cartesiano 6 o plano a

Ta Poderames dar par ordenado como Huratousk ez
cr

eo

1 1 Fundamentos de Matemétice Elementar e

74. RELAgUES

Exemplo:
Vamos localizar os pontos

AZ, 0), 810, ~3), C(2, 5), D(-3, 4),

Er, ~9) ra, -8), of, 2) e
a, -3) 0 ono cane,

lembrando que, no par ordenado, o
primeiro número representa a abs-
cissa e o segundo, a ordenada do
ponto.

62. Correspondéncia entre pontos e pares ordenados
Teorema

Entre o conjunto dos pontos P do plano cartesiano e o conjunto dos pares or
denados (Xp, yp) de números reais existe uma correspondencia biunfroca.

Demonstragao:

19 parte

As definigöes dadas anterlormente indicam que a todo ponto P, P € a, corres-
onde um único par de pontos (P,, Pz) sobre os eos x e y respectivamente e, por.
tanto, um único par ordenado de números reais (Xp, y) tals que xp e yp o represen-
tados por P, e P2, respectivamente,

Esquema: P - (Pa, Pa) => (xe Yo)

2 parte

Dado o par ordenado de números reais (xp yp), existem P, € xe Pz E y tals que
P, representa xp e PA representa yp conforme vimos no item 60.

Se construirmos x' /x por Pa € y'Z por Py, essas retas väo concorrer em P.
Assim, a todo par (xp yo) corresponde um único ponto P, P € a.

Esquema: (Xp, Yo) => (Pa, Pa) > P.

Fundamentos de Matemático Elemantar 1 1

75. RELAGOES

EXERCICIOS

117. Dé as coordenadas de cada ponto do plano cartesiano abaixo.

118. Assinale no plano cartesiano os pontos: A2, ~3), BO,

),C(-4, ~5), D(-1, 0),

III. Produto cartesiano

63. Sejam A e 8 dois conjuntos nao vazios. Denominamos produto cartesiano de
A por B o conjunto A x B cujos elementos sao todos pares ordenados (x, y), em que
© primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B.

AXB={xyIXEA e yeB)

Lése a notaçäo A x B assim: “A cartesiano B" ou “produto cartesiano de A
por”

Se A ou B for o conjunto vazio, definiremos o produto cartesiano de A por B
‘como sendo o conjunto vazio.

AXD=O pxB=0 BXB=B

4 | Fundementos de Matemática Elementar e

76. ReLagoes.

Exemplos:
11) SeA=(1,2,3) e B= {1,2}, temos

AXB=((1,0),(1,2),(2,1).(2,2),(3,1),(3, 2)
e
BX A = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3))

© as representagdes no plano cartesiano säo as seguintes:

2) Se A = (2,3), entäo o conjunto A X A (que também pode ser indicado por
Me lose “A dois”) é:

AX À = ((2,2),(2, 3), (3, 2), (3, 3))
3) SeA=kER|1<x<3}e Y
B = (2), entao temos A x B = (11,2) | x € A}.
A representaçäo gráfica de A x B dá como resul-
tado o conjunto de pontos do segmento paralelo
0 eixo dos x da figura ao lado,

4) SeA=eER]1<x<3} e B= RER 11 < x < 5} tems
AXB={KNERI1<x<3 e 1 < y < 5} representado graficamente no
plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retänguo. Notemos que
BxA= (uy ER?*|1<x=5 e 1<y <3} 6 representado por um retángulo
distin do anterior

77. RELAgES

i =

Observagdes:

11) Se A # B, entäo A x B + B X A,isto 6, o produto cartesiano de dois con-
Juntos nao goza da propriedade comutativa.

21) Se A e B säo conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente,
lento A X B 6 um conjunto finito com m + n elementos.

31) Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio, entäo A x B 6 um conjunto
infinito.

EXERCÍCIOS

119. Dados os conjuntos

A=(1,3,4) B=(-2,1) C=(-1,0,2)
represente pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos:
a) AXB a AXC e) B

b) BXA d CXA ne

120. Dados os conjuntos
A=kerli=x<3}
B=feR|-2<x<2}
O=kerl-a<ı<i}

represente graficamente os seguintes produtos:
a) AXB a 8xc or
by axe a) 0xB no

1 1 Fundamentos de Matemática Elementer

78. RELAgOES

121.

124.
125.

126.

127.

128.

. Sabendo que ((1, 2), (4, 2)) C A? e ma?)

Dados os conjuntos A = (1, 2, 3, 4}e B = {x € R | 1 < x < 4}, represente
graficamente os conjuntos:

a) AXB

b)BXA

©) AXBUBXA

. Sejam os conjuntos A, B e C tais que A C B C C. Estabelega as relagdes de

incluso entre os conjuntos À X A, À X B, AX C,BXA,B X B,B X C,C X À,
CxBecxc.

represente pelos elementos o
Conjunto A?.

Soluçäo

O número de elementos de A? 6 igual'ao quadrado do número de ele-
mentos de

Se A um conjunto de 3 elementos, (1, 2) € A? e (4, 2) € A? conclu
mos que À = (1,2, 4).

Assim sendo:
AX A= ((1, 1), (1, 2) (4,4), (2, 4) (2,2), (2, 4), (4, 1), (4,2), (4, 4)

16, ento represente A? pelos seus elementos.

Se ((1, -2),(3,0)) CA? enia)

2, pre

Considerando A C B, (0,5), (4,2), (2, -1)} C AX B e MAX 8)
sente A X B pelos seus elementos.

Sejam F = (1, 2, 3, 4) e G = (3, 4, 7}. Determine o número de elementos de
FXG,

Dados os conjuntos A= (1, 3} UKE R12 <x<3}eB=fERI1<x<2},
represente graflcamente A X B.

‘Soja Z o conjunto dos números Inteiros. Sejam ainda os conjuntos.
A= (e Z|-1<x<2)0 8 = (3, 4,5). Qual 6 o número de elementos do
conjunto D = (Y EA XEB Ly 2x4 4)?

Fundemencos de Matemético Elementer | 1

79. PLAGES

IV. Relaçäo binéria

64. Consideremos os conjuntos A = {2, 3, 4}
eB = (2,3, 4,5, 6). 0 produto cartesiano de A
por B 6 0 conjunto

AxB={x,y)lxeAey eB}
formado por 3 5 = 15 elementos representa
dos na figura ao lado. Se agora considerarmos
© conjunto de pares ordenados (x,y) de A x B
tals que x | y (ese: “x 6 divisor de y), teremos
R= {x y € À x B | x 1 y} = (2,2, (2, 4),
(2, 6), 6, 3), (3,6), (4, 4)} que 6 chamado rela.
‘0 entre os elementos de À e de B ou, simples:
mente, relagáo binärla de A em B.

© conjunto R está contido em À x B e 6
formado por pares (x, y), em que o elemento x
de A 6 “associado” ao elemento y de B median
te um certo crtéio de “relacionamento” ou
“correspondencia”

Será bastante útil a representaçäo da re-
lagáo por melo de flechas, como na figura ao A;
lado.

65. Dados dois conjuntos A e B, chamase relagáo binária de A em B todo subcon-
junto R de AX B.

R é relagáo binária de AemB © RCAXB,

Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de
À X À 6 chamado relagäo binária em A.

Re relacdo binária emA > RCA XA!

Utilizaremos as seguintes nomenclaturas já consagradas:
A = conjunto de partida da relagäo R
B = conjunto de chegada ou contradominio da relagäo R

80. RELAGOES:

‘Quando o par (x,y) pertence a relagáo R, escrevemos xRy (lé-se: “x erre y”.

Se o par (xy) ndo pertence à relagäo R, escrevemos xfy(l-se “x náo erre y”.

Exemplos:

1) SeA=(1,2,3,4,5) e B
R= (0 1x < y} de À em 87

(2,2, 3,4), quais s30 os elementos da relaçäo

Os elementos de R säo todos os pares ordenados de A x B nos quais o pri
meiro elemento é menor que o segundo, isto 6, sáo os pares formados pela “asso.
ciaçäo de cada elemento x € A com cada elemento de y € B tal que x < y".

Temos, entai

R= ((1,2),(1,3),(1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
2) Se A = (1, 2,3, 4,5} e B = (1, 2,3, 4,5,6), quals soos elementos da
relagáo binária R de A em B assim definida: Ry y = x + 2?

Fazem parte da relaçäo todos os pares ordenados (x,y) tals que x € A, y € B
+2.

ey

Utilizando as representaçôes gráficas:

Fundamentos de Metemétioa Elementen 1 1

81. RELAGoES

31) Se A=(-1,0,1, 2}, quais 520 08 elementos da retagáo
R= {ay EA be = y}?
Fazendo a representaçäo gráfica, notamos que:
R = 0,0, (4,3), (4, ~2,(-4, 2), (4, 2),(2,2))

EXERCICIOS

129. 1) Enumere pares ordenados.
11) Represente por meio de flechas.
11) Faga o gráfico cartesiano das relages binárias de A = {-2, -1,0,1,2} em
B= (-3, -2, -1, 1, 2,3, 4) definidas por:
a) xy eoxty=2 @) Wesxty>2
b) xSy cox? = ©) xWy eo e y? m1
©) xy lx

82. RELAGOES

130. Dado o conjunto A = (1,2, 3, 4,5, 6), enumere os pares ordenados e construa
© gráfico cartesiano da relaçäo R em A dada por:

R= {(x, y) € AP | mde (x, y) = 2}
431. Seja o conjunto A = (1, 2, 3, 4,5, 6). Construa o gráfico cartesiano da relaçäo
Rem À definida por:

XRy + x e y sño primos entre si

132.Dado o conjunto A = {m € Z | -7 <m = 7}, construs o gráfico cartesiano da
relaçäo binária R em A definida por

aRy 29 x2 + y 25

V. Dominio e imagem
66. Dominio

Seja R uma relaçäo de A em B.

Chama-se dominio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos dos
pares ordenados pertencente a R.

XED > 3yyEBI ye

Decorre da definigäo que D CA.

67. Imagem

Chamase imagem de R o conjunto Im de todos os segundos elementos dos
pares ordenados pertencente a R.

yelm © IxxeAlQNeR)

Decorre da definiçäo que Im CB.

Exemplos:
11) Se À = (0, 2,3, 4je B = (1, 2,3, 4,5, 6), qual 6 o dominio e a imagem da
relaçäo R = {(x, y) € AX B | y € múltiplo de x}?

83. ReLagoes

Utilizando o esquema das flechas 6 fé.
cil perceber que D 6 o conjunto dos elemen-
tos de A dos quais partem flechas e que Im 6
‘© conjunto dos elementos de B aos quals che-
gam flechas; portant:

R = {(2, 2), (2, 4) (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)}
3,4) Im = (2,3, 4, 6)

2) SoA=(KER|1<x=3}eB={yER|1<y < 4} qual éodominioe
a imagem da relagáo R = {(x, y € AX B | y = 2x)?

Utilizando a representaçäo cartesiana, temos:

EXERCICIOS

133. Estabelega o dominio e a imagem das seguintes relacdes:

a) {(4, 1), (4, 3), (2, 4)} 9 ((1 + ¥2, 42), (2 - v3, 1))

2.0)

VS
anne 9 (83) (5

9 ((2,0,(1, -3),(5, 42)

84. RELAGOES:

1134. Estabeleca o dominio e a imagem das relacóes binárias do exercício 129.

135. Sejam os conjuntos A = {~2, -1, 0, 1, 2,3, 4, 5), B = (-2, -1,0,1,2)e Ra
relaçäo binária de A em B definida por:
Ye x= Y
a) Enumere os pares ordenados de R.
b) Enumere os elementos do dominio e da imagem de R.
e) Faga o gráfico cartesiano de R.

136. Qual 6 o dominio da relagäo

f= fanerxely zak

187.50 R6 a relacio bina de À = RER 1 2x < 6emB = (ER 11 <y< 4),
fia por
iy ex = 2
fomesa:
2) ropresentagko cartesiana de A X Br
D) a representagaocartsiana de Ri
©) 0 dominio e a imagem de R.

138.Se R e S säo as relagdes binárias de A = {x Z| -2

B= {yEZ| -2 < y <3} definidas por:
xy © 2 divide (x = y)
y (x= 1 = (y 27
fomes:

a) as representagdes cartesianas de R e de S;
b) o dominio e a imagem de R e de S;
ORAS.

VI. Relagáo inversa

68. Dada uma relaçäo binéria R de A em B, consideremos o conjunto
Ro = {y,x) © B XA (xy) ER)

Como R~* 6 subconjunto de B X A, entáo R-1 6 uma relagáo binária de B em
À. à qual daremos o nome de relagáo inversa de R.

85. ReLAGOES

Decorre dessa definigäo que R-1 6 o conjunto dos pares ordenados obtidos a
partir dos pares ordenados de R invertendose a ordem dos termos em cada par.

Exemplos:

19) Se A = (2,3, 4, 5) e B = (1,3, 5, 7), quais sáo os elementos de
R= (0) E À X 8 1x < y} e de R-1?

Utiizando o esquema das flechas,

temos: R = (2, 3), (2,5), (2,7), (3,5), (3, 7), (4,5), (4, 7), (5, Te
RoE = ((3,2), (5,2), (7, 2) (5, 3), (7,3), (5, 4), (7, 4) (7, 5)

2) eA=kerlı
plano cartesiano as relagdes R

< d}eB={yER|2<y < 8}, representar no
(Oy) EA x B ly = 21) e sua inversa RS.

mm

86. RELAGOES

VII. Propriedades das relagóes

69. Sao evidentes as seguintes propriedades:
19) D(R-3) = ImiR)

isto 6, 0 dominio de R-4 6 igual à imagem de R.
21) im(R-4) = DIR)

{isto 6, a imagem de R-4 6 igual ao dominio de R.
IRA R

Isto 6, a relaglo inversa de R-1 € a relagdo de R.

EXERCICI

139. Enumere os elementos de R”_, relaçäo inversa de R, nos seguintes casos:
a) R =((1,2),(3, 1),(2,3))
b)R = {(1, -1), (2, 1), (8, 1), (2, 1)
GR = ((-3, -2), (1, 3), (-2, -3), (3, 1))

1140. Enumere os elementos e esboce os gráficos de R e R-4, relagöes binérias em
dx EN | x < 10), nos seguintes casos:
(0,1 EA Ix ty =8)

a)
DIR = (xy) € A? 1x + 2y = 40}

(y) EP Ly = (x BP + 1)
(YEAR Ly = 29

9
E)

141. Dados os conjuntos A= KE R|1<x<6,B=HERI2<y<10}e as
seguintes relagdes binárias:
a)R= (My EAXBI
b)S=(M y) EAXBIy
OT= {iy EAXBly=
V=()EAxBIx+y=7)
dé o gráfico cartesiano dessas relagdes e das respectivas relagdes inversas.

87. Introducáo
ás funcöes

I. Conceito de fungáo

70. Exemplos iniciais
Vamos considerar, por exemplo, os conjuntos
A=(0,1,2,3) e B=(-1,0,1,2,3)
e as seguintes relagdes binárias de A em B:
R=(MyNEAxBIy=x+1)

17-41}
W={RNEAXBIy= 2
úAnalisando cada uma das relagóes, temos:
2) R=(0,9,(1,2)(2,3)

Para cada elemento x € A, com exceçäo y
do 3, existe um só elemento y € B tal que
NER, I

Para o elemento 3 € A, ndo existe y € B
tal que (3, y) ER. x ®

1 1 Fundamentos de Matemático Elomentar

88. INTROOUGAD AS FUNGOES

by S=((0,0)(1,1),(1,1),(2,2),(3,3)

Para cada elemento x E A, com excego
do 1, existe um só elemento y € B tal que
(%, Y) E S. Para o elemento 1 € A existem
dois elementos de B, o 1 e o —1, tals que
(1,1)ESe(1,-1)€S.

©) T= {(0,0), (4, 1),(2,2),(3, 3))

Para todo elemento x E A, sem exce-
cho, existe um só elemento y € B tal que
&NET.

d) V={0.0).(2.

2), (2,0), (8,3)
Para todo elemento x € A, sem exce-

(do, existe um só elemento y € B tal que
GE

ew

(0, 2), (4, 2), (2, 2), (8. 2)

Para todo elemento x E A, sem exce-
géo, existe um só elemento y E B tal que
(y) EM

As relagdes T, V e W, que apresentam a particularidade: “para todo x € A exis-
te um só y € B tal que (x, y) pertence à relaçäo”, recebem o nome de aplicagáo de
À em B ou funçäo definida em A com Imagens em B.

Fundomentos de Matemática Elementer 1 1

89. INTRODUGAO AS FUNGOES

IL.

‘11. Dados dois conjuntos A e B(*), ndo vazios, uma relagáo de À em B recebe o
nome de aplicagáo de A em B ou fungáo definida em A com Imagens em B se, e
somente se, para todo x € A existe um 56 y € B tal que (x,y) E.

a |

anlicagäo de AemB > (Vx E A3lyEBI (Y

72. Esquema de flechas

Vejamos agora, com o auxilio do esquema de flechas, que condigóes deve
satisfazer uma relaçäo f de A em B para ser aplicagäo (ou funca).

11) É necessário que todo elemento x E A participe de pelo menos um par
(Sy) Ef, isto 6, todo elemento de A “deve servir como ponto de partida de flecha”.

21) É necessário que cada elemento x € A participe de apenas um único par
(y) E f, isto 6, cada elemento de A "deve servir como ponto de partida de uma
única flecha".

Uma relagáo fnäo é aplicagao (ou funçäo) se no satisfizer uma das condiçües
cima, isto 6:

19) se existir um elemento de A do qual i
náo parta flecha alguma ou

frio tun

21) se existir um elemento de A do qual
partam duas ou mais flechas.

(©) Em todo o nosso estudo de fungdos, fica estabelecido que A e B sio conjuntos formados
‘de números reas, ist é, A. B contidos em R.

1 Funcementos de Matemético Elementar EJ

90. INTRODUGAO AS FUNÇOES

73. Gráfico cartesiano

Podemos verificar pela representagäo cartesiana da relagáo f de A em B se fé
ou näo funcio: basta verficarmos se a reta paralela ao elxo y conduzida pelo ponto
{x 0), em que x € A, “encontra sempre o gráfico de f em um só ponto”.

Exemplos:
19) A relaçäo f de A em R, com
A=ER|-1<x<3},

representada ao lado, & funçäo, pois toda

reta vertical conduzida pelos pontos de abs-

cissa x € A “encontra sempre o gráfico de f
num 56 ponto”.

22) Arelagäo fde A em R, representada
0 lado, em que

nao 6 fungáo, pois há retas verticais que en-
contram o gráfico de fem dois pontos.

31) Arelagáo fde À em R, representada
0 lado, em que

AnKERIO<x< 4},

náo 6 fungáo de À em R, pois a reta vertical
conduzida pelo ponte (1, 0) no encontra o
gráfico de f. Observamos que fé funçäo de B
em R em que

kERI2<x< 4).

91. INTRODUGAO AS FUNGOES

EXERCICIOS

1142. Estabelega se cada um dos esquemas das relagdes abaixo define ou näo uma
fungdo de À = {-1, 0, 1, 2) em B = (-2, ~1, 0, 4, 2, 3). Justifique.

143. Quals dos esquemas abaixo definem uma funçäo de A = (0, 1, 2) em
B= (1, 0,4, 2)?

o

a

92. INTRODUGAO AS FUNGOES

144. Quais das relagóes de R em R, cujos gráficos aparecem abaixo, sdo fungdes?
Justifique.

III. Notagáo das fungóes

74. Toda funçäo 6 uma relaçäo binária de A em B; portanto, toda fungáo é um con-
junto de pares ordenados.

Geralmente, existe uma sentenga aberta y = fx) que expressa a lei mediante
a qual, dado x € A, determina-se y E B tal que (x,y) € f, entäo

i WIXEAy € Bey = fx).

Isso significa que, dados os conjuntos A e B, a funçäo ftem a lei de correspon-
déncia y = (0)

Para indicarmos uma fungáo f, definida em A com imagens em B segundo a lei
de correspondencia y = f(x), usaremos uma das seguintes notaçôes:

tk AB ADB fA B talque
ou ou

x x 16) vw

Fundamentos de Metemética Elementer | 1

93. INTRODUGAO AS FUNÇOES

Exemplos:
1) AB talque y=2%

é uma funçäo que associa a cada x de A um y de B tal que y = 2x

2) RR talque y=
é uma funçäo que leva a cada x de R um y de R tal que y

3) ER, DR talque y= We

{6 uma funçäo que faz corresponder a cada x € R, umy € R tal que y = YX.

15. Imagem de um elemento

Se (a, b) € f, como Já dissemos anteriormente, o elemento b 6 chamado Ima-
‘gem de a pela aplicaçäo f ou valor de f no elemento a, e indicamos:

10) =b

que se 18 “f de a 6 igual ab”.

Exemplo:
Seja a fungäo
# ROR

x 2x + 1, entdo:

2) a imagem de O pela aplicagäo Y 6 4, sto 6:

10)=2-0+1
b) a imagem de —2 pela aplicacño 16 -3, isto 6:
1-2) =2-(-2)+1=-3 a £
©) analogamente
1 E 2 Ls
d(3)-25+ E
D =2-V2+1 13 se
(OT = 2-07+1= 24 or 224
zu)

4 1 Fundamentos de Metemäticn Elementar e

94. INTRODUQAO AS FUNÇOES

EXERCICIOS

145. Qual é a notaçäo das seguintes fungdes de R em R?
a) f associa cada número real ao seu oposto.
b) g associa cada número real ao seu cubo,
©) h associa cada número real ao seu quadrado menos 1.
d) k asocia cada número real a0 número 2.

1146. Qual 6 a notaçäo das seguintes fungdes?
2) f 6 funçäo de Q em Q que associa cada número racional ao seu oposto
adicionado com 1.
b) £é a funçäo de Z em Q que associa cada número inteiro à poténcia de base
2 desse número.
©) h é a fungäo de R° em R que associa cada número real ao seu inverso.

147. Soja fa funçäo de Z em Z definida por fi) = 3x — 2. Calcule:

a) 12) D) 1-3) 9 10) a (3)
148, Seja fa funçäo de R em R definida por fl)

9 12 2)

Ds a)

1149. Seja P o único número natural que é primo e par. Sendo fix) = (0,25)-* + x — 1,
determine o valor de IP).
150. Seja fa funçäo de R em R assim definida

1 se xeQ
107 lx+4 se x€Q

ate) o 163) 0 (8-3)
») (- 9) 1%) 1 10,75)

151. Seja a funçäo fde R em R definida por f(x) aes ‚Qual é o elemento do dominio
que tem — 2 como imagem?

95. INTROOUGAS AS FUNGOES

Soluçäo à

Par domar var» = - bano, primo echo
aaa

Hs 5 4

Fesaharo casi

=: à a

ee 2

er si z

Resposta: O elemento €

152.Seja a funçäo f de R — (1) em R definida por f(x) =
do dominio que tem imagem 2?

3x42
2. Qual 6 o elemento
*-1 a

-5x+9

153. Quais sao os valores do dominio da fungáo real definida por fx)
que produzem imagem igual a 3?

1154.A funçäo f de R em R 6 tal que, para todo x € R, (3x) = 310%. Se f(9) = 45,

calcule (4).
Solugao
Fazendo 3x =
9) = 13 - 3) 15 = 13)
Fazendo 3x

3:5 = f)=5

155.A fungäo f: R > R tem a propriedade: (m - x) = m fi) para m Rexe R.
Calcule 10).
156.É dada uma funcäo real tal que:
1. 16010) = 0 + y)
2. 4) =2
3. 1012) = 4
Calcule 13 + V2)

96. INTRODUGAO AS FUNGOES

1157. Seja f uma funçäo definida no conjunto dos números naturais, tal que:
fin +1) = 2f(n) + 3

para todo n natural

a) Supondo f(0) = O, calcule (1), (2), (8), 4).… e descubra a “fórmula geral”
de f(r.

b) Prove por induçäo finita a fórmula descoberta.

IV. Dominio e imagem
undone Sa ag

76. Dominio
CChamamos de dominio o conjunto D dos elementos x € A para os quais existe
y € B tal que (x,y) € f. Como, pela definiçäo de fungäo, todo elemento de A tem essa
Propriedade, temos nas fungóos
dominio = conjunto de partida

isto 6,
D=A

11. Imagem
Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y € B para os quais exis-
tex € Atal que (xy E f portant:
Imagem 6 subconjunto do contradomínio

Isto 6,

mcs

comino contradominio

Fundamentos de Matemática Elementer 1-1

97. INTRODUGAD AS FUNGOES

Notemos que, feita a representagäo cartesiana da fungäo f, temos:
Dominio
(D) é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticals conduz

‘das por esses pontos interceptam o gráfico de f, isto é, é o conjunto formado por
todas as abscissas dos pontos do gráfico de

Imagem

(Im) é o conjunto das ordenadas dos pontos tals que as retas horizontais con-
duzidas por esses pontos interceptam o gráfico de f, sto 6, 6 0 conjunto formado por
todas as ordenadas dos pontos do gráfico de f.

Exemplos:
19 3%

D={keR|-2<x<4} D=keRIx*0)
im=YeR|o<y<4) Im={yER|-2<y<0

oui <y<2}
2) a

D=KER|-2<x<2
Im = (1,2)

98. INTROOUGAO AS FUNGOES:

18. Dominio das fungóes numéricas

As füngdes que apresentam maior interesse na Matemática so as fungdes nu-
Américas, isto 6, aquelas em que o dominio A e o contradominio B sáo subconjuntos de
R. As fungöes numéricas so também chamadas fungóes reals de variável real.

Observemos que uma fungäo f fica completamente definida quando säo dados
© seu dominio D, o seu contradomínio e a lei de correspond@ncia y = fx)

Quando nos referimos à fungao f e damos apenas a sentenga aberta y = f(x)
que a define, subentendemos que D 6 o conjunto dos numeros reais x cujas imagens
Pela aplicaçäo f säo números reais, isto 6, D é formado por todos os números reais
x para os quais 6 possivel calcular f(x).

xeD > mer

Exemplos:
Tomemos algumas fungóes e determinemos o seu dominio,
1) y= 2x
notando que 2x € R para todo x € R, temos:
D=R
2 ya?
notando que x2 € R para todo x € R, temos:
D=R
1
my
1

notemos que + € R se, e somente se, x6 real e diferente de zero; temos, ento:
D=R*
4) yok

notemos que Vx € R se, e somente se, x € real e náo negativo; entäo:

R,
5) ye
notando que Yx € R para todo x € R, temos:
D=R

Fundamentos de Matemática Elementen 11

99. INTROOUGAD AS FUNGOES:

EXERCICIOS

158. Estabelega o dominio e a imagem das fungóes abaixo:

159. Determine o conjunto imagem das fungdes abaixo representadas nos gráficos
cartesianos.

a) o =
AE LT

Oy

1 1 Fundemencoe de Mavemética Elementen

100. INTROBUGAD AS FUNGOES:

160. Considerando que os gráficos abalxo säo gráficos de fungdes, estabelega o
dominio e a imagem.

a o

EE

CR e

101. INTRODUGAD AS FUNQOES

161. D8 o dominio das seguintes fungdes reais:

a) fix) = 3x + 2 a) pix) = Xi 8) 90) = Ya
a) = E 5
» a= 5 D 10) = os
meth EZ
) ho = SF » ug) = SSS

162. Sendo x > 4, determine o conjunto imagem da fungáo y

163.86 f: A > B 6 uma funçäo e se D C A, chama:
mos de imagem de D pela funçäo f ao conjunto
anotado e definido por:

f<D> = (y € B | existe x € D tal que f(x) = y}

Se g 6 a fungdo de R em R cujo gráfico está
representado ao lado, determine a imagem de g.
do intervalo fechado [5; 9].

V. Fungöes iguais

79. Duas fungdest: AB e 8:0. D säo iguais se, e somente se, apresentarem:

a) dominios iguais (A = C);
b) contradomínios iguais (8 = D};

©) 10) = g(x) para todo x do dominio.

Isso equivale a dizer que dues fungdes fe g s3o iguais se, e somente se, forem
conjuntos iguais de pares ordenados.

Exemplos:
19) SeA=(1,2,3) e B = (-2, -1,0,1, 2}, entäo as fungdes de A em B
definidas por:
wena
w=x-1 e 80
f(s) wo

102. INTRODUGAO AS FUNÇUES

‘0 iguais, pois:

-1=00 a(t)

-1=1e82)=

=168)=3-1=2 e 88

3+1
ou soja, f= 8 = {(2, 0) (2, 4), (8, 2).

2) As fungdes f(x)
VxER,

31) As funçües f(x) = x e glx) = lx] de R em R ndo säo iguais, pois x # [xl
para x < 0.

VE e glx) = [xl de R em R säo iguais, pois RR = xl,

EXERCICIOS

164. Sejam as fungdes f, ge h de R em R definidas por f(x) = x, ly) = ÿ € hi
Quais delas sao iguais entre si?

165.As fungdes f de R em R definida por f(x) = \X? e g de R em R definida por
1809 = x 520 iguais? Justiique,

166.As funcdes fe g cujas leis de correspondencia säo

= [EL eww odem ser iguais? Justifique.
w= [Stew podem ser iguals? Justia

wed

167.As funçôes fe g de À = {x R | -1 <x < Ooux > 1) em, definidas por:

09 = JE e am = PE

880 iguais? Justifique.

168.As funçües:
EROR eR-W oR sao iguais? Justifique.

xHx+1

103. LEITURA

WEEGHDAE Ts
en "5" INTRODUGAD AS FUNGOES

Stevin e as fragóes decimais
Hygino H. Domingues

As tastes comns pois sugar natant aha da Mate
mate: na vit den eto pr oto and opm dad mit do
Segundo. O ahnen, per explo, una ve ued pea curo a mu
picar or, tha tabled mor ose sistema seagesial. Es

sas tabelas mostravam, por exemplo, expressbes como “igi 2 gälbi 30° e

sau 190,120
16. 840120°,aue siniteam, respectivamente, = 0.01.20,

sabia
ave inverse À, em au no tm fates pinos ders de 2,36, tem
represented sxagosimal rita

Quant 808 meros Irsionsl, 6 passe ue ecredtzesom, era
mate, como 6 bem sabio, que as tepresenactos apr due ol
nham (para V2, por exemplo) pudessem se transformar em exatas se mais
Gas rase seem landes

© Important porém 6 qe, median a notagto pslsonal os bablonios.
Événements ou nc) ce númers rol que es in
Som. sam 0 ut de denoinadore, ess lso aida 0 encor nas
Unidas de medida de Angus e tempo. For exemglo 21852" sien
25,2 graus.

0 * 3600
Os eos, por sua vz, em gaa expressaram a pate taco de
Um quire ná exo ene dois is mediante una soma de Tage
unie (da numerador 4) — 0 que sempre & poss ambas só 222
ones por les emirkamente, Por exemple, no pao Rin, importante
soumet agp de naturza matomdlen (prodmademene 4800 0.0.)
sera one: 22. = 24, quanto as números ielonals, quando

MO .

ocorriam em problemas algébricos, eram expressos aproximadamente através
de números eos au apes, som nena preocupar d oom terca

Os us, embar Besse tado una matendica ecmparvenat
te superior de babioios © gp, sob o aspecto tec, na questo em
pasta estara buscando inspira os gels a an. Assn 6 que
Ge nio usa os unha e, m sécls posters, cias comuna
+ sragesimalo. Eta, por emo, aparecen na br tigonomática de

104. y algo estranho ao sistema de numeragao grego
segundos o $80 para o nosso.

uso de fragdes decimals comegou a ser
e uco mudara nesse panorama, E o maior res:
:eminacao de tal uso fol o maior matemático dos Países:
Bakos (hoje Holanda Stevin,

Stevin (1548-1620) ao que parece comepou a vida como guardallvos.
Mas, por concillr grande formacáo teórica nas ciéncias exatas e um espiito
agudamente prático, chamou a atengäo do principe Mauricio de Orange. Esta
foi a porta pela qual se tornou engenheiro miltar e, posteriormente, comissé-
rio de obras de seu país. Seus trabalhos sobre Estática e Hidrostätica o nota:
bilizaram entre seus contemporaneos, dada a importancia do assunto num
país com as características fisico geogréficas da Holanda.

Em 1585 publica em Leyden o Ieto De thiende (O décimo) com o qual
pretendia ensinar a todos “como efetuar, com faclidade nunca vista, todos os
cálculos necessérios entre os homens por melo de interes sem fragdes”. A r=
presentaco ou forma decimal, provavelmente a principal vantagem da notagso
posicional, depois de oo séculos de uso dos numerais indo-arébicos, inalmen-
te era apresentada de maneira a poder vin-
gar. À notaçäo de Stevin, contudo, nao era

nee Mn i
E

do denominador subentendido. Por exemplo, hae
à aproximacdo 3,1416 do número podia
aparecer como 3010491080.
uso da vu ou do ponto como separador
decimal, sugestáo de Napier, acabou prevae-
cendo com o tempo.

Na mesma obra, Stein apresentou a
¡dela de rar um sistema unificado decimal de
pesos e medidas para todo o mundo,aciantan-

dose em alguns séculos à sua adogáo. ap Ci a

A invençäo das fraçôes decimais cons: ER
{itul uma das grandes etapas do desenvon sos des RGSS de GAMA
‘mento da matemática numérica, E 6 assim ge Simon St (1586) mostrando
{um dos fatores Importantes a colocar Stevin clotrans (our de estes)
A aly do Osteniando a scr 0 que prec ser
entre os notäveis da Matemática em todos … ‘ane sie que Parada
os tempos,

los et

e

105. Funcáo constante
Funcáo afim

I. Fungäo constante y

80. Uma aplicaçäo f de R em R recebe o nome gg
de füngäo constante quando a cada elemento
x € R associa sempre o mesmo elemento c € R.

0 gráfico da funçäo constante é uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo
ponto (0, c).
A imagem 6 o conjunto Im = (e).

Exemplos:
Construir os gráficos das aplicagóes de R em R definidas por:
1y=3 2 y=-1

y Y

us

on

4 1 Fundementos de Matemático Elomencar

106. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAO AFIM

IL. Fungáo identidade

81. Uma aplicaçäo f de R em R recebe o nome
de funçäo Identidade quando a cada elemento
x € R associa o proprio x, isto 6:

m

Maundrnte

© gráfico da fungáo identidade 6 uma reta que contém as bissetrizes do 19 e

3r quadrantes,

Aimagem 6 o conjunto Im =

III.Fungäo linear

82. Uma aplicagäo de R em R recebe o nome
de funçäo linear quando a cada elemento x € R
associa o elemento ax € R em que a + 0 6 um
número real dado, isto é:

(a 010)

Demonstrase que o gráfico da fungäo I
near 6 uma reta que passa pela origem.(**)

A imagem 6 0 conjunto Im = R.

be fate, quer ue sola oy € R,ansten= Le Ra # 0a ave:

(©) Obsorese quo, soa = 0, teremos a furgo constante y = 0,

(+) Essa demonsiacto ser ota pra um coso mals gra e encontra nas páginas 100401.

Fundamentos de Matemático Elamentar 1 1

107. FUNGAD CONSTANTE — FUNGAG AFIM

Exemplos:

18) Construir o gráfico da funçäo y = 2x.
Considerando que dois pontos distintos determi
nam uma reta e no caso da fungäo linear um dos
pontos é a origem, basta atribuir a x um valor nao
nulo e calcular o correspondente y = 2x.

a

Pelos pontos P(O, 0) e Q(1, 2) tragamos a reta PQ, que é precisamente o gräf-
co da fungáo dada.

28) Construir o gráfico da funçäo y = —2x.

‘Analogamente, temos:

E

EXERCICIOS

169. Construa o gráfico das funçües de R em R:
ay=2 ay=-3
b) y= 2 a y=0

108. FUNGAD CONSTANTE — FUNGAO AFIM

170. Construa, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das fungdes de R em R:

ay=x D) y= 2x 0) y= 3x

471. Construa, num mesmo sistema cartesiano, os gráficos das fungdes de Rem R:

a) y= =x b) y= -2x 9 y=-3x oy=

IV. Fungáo afim

83. Uma aplicagäo de R em R recebe o nome de fungáo afim quando a cada x € R
associa sempre o mesmo elemento (ax + b) € R, em que a + O e b säo números

reals dados.
Exemplos:
1) y=3x+2 emque a=3 e
2) y=-2x+1 emque a=-2 e
3) y=x-3 emque a=1 e
4) y=4x emque a=4 e

Notemos que, para b = 0, a funçäo afim y = ax + b se transforma na fungáo I
near y = ax; podemos, enti, dizer que a fungäo linear é uma particular fungáo afim.

V. Gráfico

84. Teorema

0 gráfico cartesiano da fungáo fx)

x + b (a # 0) € uma reta”

Demonstraçäo:

Sejam A, B e C trés pontos quaisquer, distintos dois a dois, do gráfico cartesia
no da funçäo y = ax + b (a # 0) € (ty, Ya) (Az Yo) € (a Ya, respectivamente, as.
coordenadas cartesianas desses pontos.

Fundomensoe de Matemática Elementar | 1

109. FUNGAD CONSTANTE — FUNGAD AFIM

Para provarmos que os pontos A, B e C
pertencem à mesma reta, mostremos, iniial-
mente, que os triángulos retängulos ABD e
BCE so semelhantes.

De fato:
Ory EF => y = au +b (1)
an +b (2)
ay +b (3)

Way) Ef => ya

(ay) EF > ya

‘Subtraindo membro a membro, temos:

Ye = Ya = Ke x)

Yo Ya = alts 2)

Os triángulos ABD e BCE sto retängulos e 16m lados proporcionais, entäo säo
semelhantes e, portanto, a = B. Segue-se que os pontos A, B e C estáo alinhados.

85. Aplicagóes
19) Construir o gráfico da fungáo
y= 2x +1
Considerando que o gráfico da fungáo afim

6 uma reta, vamos atribuir a x dots valores distin
tos e calcular os correspondentes valores de y.

jae
o 1
1 3

0 gráfico procurado 6 a reta que passa pelos pontos (0, 1) e (1, 3).

110. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAO arım

21)Construir o gráfico da funçäo y = -x + 3.
De modo análogo, temos:

EXERCÍCIOS

172.Construa o gráfico cartesiano das fungdes de R em R:

a) y=2-1 e) y=-=3%-4
D) y=x+2 D y=-x+1
o) y=3x+2 Dy=-2x+38
2-3 Per
ay. ny
173. Resolva analica e graficamente o sistema de equagdes:
x-y=-3
ax + 3y=4

Solugäo analítica

Existem diversos processos analíticos pelos quais podemos resolver um
sistema de equagdes. Vamos apresentar dois deles.

Ar processo: Substituigdo

Este processo consiste em substituir o valor de uma das incógnitas
‘obtido a partir de uma das equagées, na outra.

Fundamentos de Matemático Elementar 1 1

111. FUNÇAO CONSTANTE — FUNGAO AFIM

Resolvendo, por exemplo, a primeira equagäo na incógnita x, temos:
x-y=-3 © x=y-3
+ substituimos x por esse valor na segunda equagäo:
2y-3)+3y=4 O 2-6+3=4 © y=2
que levamos à primeira equaçäo, encontrando:

x-2=-3 0 x=—
A solugäo do sistema € o par ordenado (-1, 2).

21 processo: Adiçäo
Este processo baselase nas seguintes propriedades:

1. "Num sistema de equaçôes, se multiplicamos todos os coeficientes de
uma equacáo por número nao nulo, o sistema que oblemos 6 equivalente.

20 anterior (+).
fax + bay = ci Koy = key (k #0)
ax + bay = 02 ay = Ca

Il, “Num sistema de equacdes, se substituímos uma das equagdes pela
‘sua soma com uma outra equaçäo do sistema, o novo sistema 6 equiva-
lente ao anterior

ay + bıy=cı (a, + 82 + (by + bay = 01 +02
ax + bay = co (ax + bay = 02

O fundamento do processo da adiçäo consiste no seguinte: aplicando a
primeira propriedade, multilicamos cada equacáo por números convenien-
tes, de modo que os coeficientes de determinada incógnita sejam opostos
e, aplicando a segunda propriedade, substituímos uma das equagdes pela
soma das duas equagdes.

3
4

multiplicamos a primeira equaçäo por 3

[ax - ay = -9
ax + By = 4
Substituindo a primeira equagäo pola soma das duas equagdes, temos:

5x= -5
2x +3=4

(0) Sistemas de equagdes sd equialentes quando opresentam as mesmas soluios

112. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAO AFIM

{que 6 equivalente a:
x= -1
2x + 3y

Substituindo x = —1 em 2x + 3y = 4, encontramos:
2.(-D+3y=4=y=2

A solugáo do sistema 6 o par ordenado (-1, 2)

Solugäo gráfica

O sistema proposto

X= y=-3
2x + 3y= 4

6 equivalente a

y=x+3
y ta
3
Construimos os gráficos de
per!
as 214
y=x+3 0 y. À

À soluçäo do sistema sáo as coordenadas do ponto de interseçäo das
retas, portanto (=4, 2)

174, Resolva analltica e graficamente os sistemas de equagdes.
ae Sy =2

alfoz
h+2y=1
2x + 4y=3

2x + 5y = 0
sl 1370

175. Resolva os sistemas de equagdes:

o, da 2
y AAA PA"
wats
¥-y key" 4 FF ays
Sugostäo:
1 1
Faça e b.
x my

Fundamentos de Matemática Elementer I 1

113. FUNGAD CONSTANTE — FUNGAD AFIM

176. Obtenha a equagäo da reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, ~2)
Solugéo
Seja y = ax + b a equagäo procurada. O problema estará resolvido se.
determinarmos os valores de a e b.

Considerando que o ponto (1, 2) pertence a reta de equagdo y = ax + b,
0 substituirmos x = 1 e y= 2 em y = ax + b, temos a sentença
verdadelra:
2=a-1+b, iss a+
Analogamente, para o ponto (3, ~2), obtemos:
-2=a:3+b, istoó Sa+b=—
Resolvendo o sistema

atb=2
Sa +b==2

encontramos a
Assim, alequaçäo da reta 6 y = —2x + 4.

2

177. Obtenha a equaçäo da reta que passa pelos pontos:
a) (2,3)e(3,5) 0) (3, -2)e (2, -3)
b) (1-1) e (-1,2) d (4, 2)€ (2,2)

1178. De uma caixa contendo bolas brancas e pretas, retiraramse 15 brancas, fican
do a relagdo de 1 branca para 2 pretas. Em seguida, retiraram-se 10 pretas,
restando, na caixa, bolas na razäo de 4 brancas para 3 pretas. Determine quan-
tas bolas havia, inicalmente, na cal.

179.A funçäo f 6 definida por f(x)
termine o valor de f(3)

86. Teorema

ax + b. Sabese que f(-1) = 3 € f(t) = 1. De-

© conjunto imagem da fungáo afim f: R —> R definida por f(x) = ax + b, com
2+0,6R,

I. € R tal que

De fato, qualquer que seja y € R existe
y-b

m-1(2>)

114. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAO AFIM

VII. Coeficientes da fungáo afim

87. O coeficiente a da funçäo y = ax + b 6 denominado coeficiente angular ou
declividade da reta representada no plano cartesiano,
O coeficiente b da fungáo y = ax + b 6 denominado coeficiente linear.

Exemplo:

Na funçäo y = 2x + 1 0 coeficiente angular é 2 e o coeficiente linear € 1. Ob-
serve que, se x = 0, temos y = 1. Portanto, o coeficiente linear 6 a ordenada do
Ponto em que a reta corta o elxo y.

EXERCÍCIOS

180. Obtenha a equagáo da reta que passa pelo ponto (1, 3) e tem coeficiente angu:
lar igual a 2.

Solugäo
A equaçäo procurada 6 da forma y = ax + b.

Se o coeficiente angular 6 2, entäo a = 2.
Substituindo x = 1,y=3 e a = 2 emy = ax +b, vem:

3=2:1+b=b=1
A equaçäo procurada 6 y = 2x +1.

181. Obtenha a equaçäo da reta que passa pelo ponto (-2, 4) e tem coeficiente
angular igual a -3.

282 Cha a ago denota com are anular à pastndo
pa pio 33

183. Obtenha a equaçäo da reta que passa pelo ponto’(-2, 1) e tem coeficiente
linear igual a 4.

115. FUNGAG CONSTANTE — FUNGAD FM

184. Obtenha a equagäo da reta com coeficiente linear igual a —3 e que passa pelo
onto (-3, -2)

185. Dados os gráficos das fungdes de R em R, obtenha a lei de correspondencia
dessas fungdes.

a o

DJ 6)

T
HH

186.0 custo C de produçäo de x litros de uma certa substáncia € dado por uma
funçäo linear de x, com x > 0, cujo gráfico está representado abaixo.

EN
a)
| ae
‘eo.

CET

Nessas condigdes, o custo de R$ 700,00 corresponde à produçäo de quantos
litros?

4 1 Fundamentos de Metemética Elementor

116. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAO AFM

187. Considere esta tabela para o cálculo do imposto de renda a ser pago pelos
‘contribuintes em um certo més de 2012.

x i AAA
Renda bruta (R$) ‘Aliquota % | Parcela a deduzir do Imposto (RS) |
té 1637.11 isento =
De 1637.12 at6 245350 | 7,5 12278
De 2453,51 até 327138 | 150 306,80
De 3271,39 até 4087,65 | 225 552,15
cima de 4087,65 215 n

Considerando x como a renda bruta de um contribuinte, o imposto a pagar 6

funçäo f de x. O contribuinte deve multiplicar a sua renda bruta pelo valor da

alíquota e subtralr do resultado a parcela a deduzir. Além disso, tal fungäo deve

‘ser contínua, para náo prejudicar nem beneficiar contribuintes cuja renda se si-

tue em faixas distintas da tabela. Note, por exemplo, que, ao passar da primeira

faixa (isento) para a segunda (alíquota de 7,5%), a parcela a deduzir (122,78)

näo permite saltos no gráfico.

2) Utilize os valores ¡ e d da tabela e dé a expresso da funçäo “imposto a
pagar” relativa a uma renda x, em cada faixa da tabela

b) Determine o valor de n da tabela para tomar a funçäo obtida no Item a con-
tina

VIII. Zero da fungáo afim

88. Zero de uma fungäo 6 todo número x cuja imagem 6 nula, isto 6, fx) = 0.

x E710 de y = f(x) = 1) = 0

‘Assim, para determinarmos o zero da funçäo afim, basta resolver a equagao de
grau:

ax + b=0

que apresenta uma única soluçäo x = D.
De fato, resolvendo ax +b = 0, à # O, temos:

ax +b=0 & ax=-b © x

Fundamentos de Matemática Elemantar | 1

117. FUNGAD CONSTANTE — FUNGAO AIM

Exemplo:

© zero da fungao fx) = 2x — 16x
xi

2

Podemos interpretar o zero da funçäo afim como sendo abscissa do ponto
onde o gráfico corta o eixo dos x.

pois, fazendo 2x — 1 = 0, vom

Exemplo:
Fazendo o gráfico da fungáo y = 2x — 1,
podemos notar que a reta intercepta o eixo dos x

1
em x = À isto 6, no ponto

xy
o |-1
1 | 3

EXERCÍCIOS

188. Na hora de fazer seu testamento, uma pessoa tomou a seguinte decisäo: divi-
dia sua fortuna entre sua filha, que estava gravida, e a prole resultante dessa
gravidez, dando a cada crianga que fosse nascer o dobro daquilo que caberia à
mäe, se fosse do sexo masculino, e 0 triplo daquilo que caberia à mae, se fosse
do sexo feminino, Nasceram trigemeos, sendo dois meninos e uma menina.
Como veio a ser repartida a heranga legada?

189. Um pequeno aviäo a jato gasta sete horas a menos do que um avido a hélice
para jr de Sáo Paulo até Boa Vista. O avi a jato voa a uma velocidade média
de 600 km/h, enquanto o avido a hélice voa em média a 275 km/h. Qual 6 a
distancia entre Sao Paulo e Boa Vista?

190.0 salério médio, por hora de trabalho, numa fábrica de 110 trabalhadores 6 de
RS 10,00. Caleulando-se, no entanto, apenas com os 100 trabalhadores ho-
mens, a média passa a ser R$ 10,60. Qual o salário médio das mulheres, por
hora de trabalho, em reais?

1 1 Fundamentos de Matemático Elementor ico]

118. FUNGAO CONSTANTE — FUNGA AFIM

1191. Paulo e Joana recebem o mesmo saldrio por hora de trabalho. Após Paulo ter tra-
balhado 4 horas e Joana 3 horas e 20 minutos, Paulo tinha a receber R$ 45,00
a mals que Joana. Calcule em reais um décimo do que Paulo recebeu.

192. Qual o menor número inteiro de voltas que deve dar a roda c da engrenagem da
figura, para que a roda a dé um número inteiro de voltas?

193. Supondo que dois pilotos de Fórmula 1 argam juntos num determinado circuito
‘e completam, respectivamente, cada volta em 72 e 75 segundos, responda: de-
pois de quantas voltas do mais rápido, contadas a partir da largada, ele estará
uma volta na frente do outro?

89. Fungáo crescente

A funçäo 1: A —> B definida por y = f(x) 6 crescente no conjunto A, C À Se, para
dois valores qualsquer xy € x; pertencentes a Ay, Com x, < xa, ivermos fix) < fx).

Em símbolos: fé crescente quando

CF Xan 22) la < Ho = 10) < 100)

e isso também pode ser posto assim:

1) = 109) > 0),

CE) ta > 1 LE

Fundamentos se Metern Bemerter | 4

119. FUNÇAO CONSTANTE — FUNGAD AFIM

Na linguagem prática (ndo matemática), 4
isso significa que a fungáo € crescente no con-

Junto A, se, ao aumentarmos o valor atribuldo a

x 0 valor de y também aumenta,

Exemplo:
A funçäo f(x) = 2x 6 crescente em R, pois:

X <Xp = 2 < 2 paratodox, E R etodox, € R.

90. Fungáo decrescente

A funçäo f: A —> B definida por y = f(x) 6 decrescente no conjunto Ay C A se,
para dois valores quaisquer x: e x, pertencentes a Ay, com x, < x, temse
fu) > fa)

Em símbolos: fé decrescente quando
(xx) On < Mo =) > A)

e Isso também pode ser posto assim:

(vr (ere 2089 co)

Na linguagem prática (náo matemática),
isso significa que a fungáo 6 decrescente no con: |
junto A, se, ao aumentarmos o valor atribuído a

x, o valor de y diminul

1 1 Fundamentos de Matemárico Elementen 111

120. FUNGAO CONSTANTE — FUNÇAO AFIM

Exemplo:

À funçäo f(x) = —2x 6 decrescente em R, pois.
Xi <% => -24 > 2 para todox, € R etodox E R.

Notemos que uma mesma fungäo y = f(x) y
pode nao ter o mesmo comportamento (crescen-
te ou decrescente) em todo'o seu dominio.

€ bastante comum que uma funçäo seja
crescente em certos subconjuntos de D e de-
crescente em outros. O gréfico ao lado represen-
ta uma funçäo crescente em R, e decrescente
emR..

EXERCICIOS

194. Com base nos gráficos abalxo, de fungdes de R em R, especifique os intervalos
‘em que a funçäo 6 crescente ou decrescente.

Fundementos de Matemática Elementar | 1

121. FUNGAD CONSTANTE — FUNGAO AFIM

X. Crescimento/decrescimento da fungáo afim
91. Teoremas

1) À funçäo afim f(x) = ax + b 6 crescente se, e somente se, o coeficiente
‘angular a for positivo.

Demons:
Waar een e IO a
o EI o

11) A funçäo afim f(x) = ax + b 6 decrescente se, e somente se, o coeficiente
angular a for negativ.

10 = a+b 6 ame co TM) <9 à
(ax, + D) — (a + b) alta = x)
“then Cg à EE Co waco
Y ne fe

EXERCICIOS

195, Especifique, para cada uma das fungdes abalxo, se é crescente ou decrescente
emR:

a) y=3x-2

+3

ET

a) É crescente pois o coeficiente angular é positivo (a = 3). |
D) É decrescente, pois o coeficiente angular 6 negativo (a

196. Especifique, para cada uma das fungóes abaixo, se é crescente ou decrescente

em R:
a) y= 1+ 5x 9 y=x+2 ©) y= ~2x
D y=-3-2x dy=3-x Dn y=3x

4 1 Fundamentos de Matemética Etementar

122. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAO AFIM

197. Estude, segundo os valores do parámetro m, a variagáo (crescente, decrescen-
te ou constante) da funçäo y = (m — 1)x +

Solugäo

Se m — 1 > 0, isto 6, m > 1, entäo a funçäo terá coeficiente angular

positivo e, portanto, será crescente em R.

Se m — 1 <0, isto 6, m < 1, entáo a fungáo terá coeficiente angular

negativo e, portanto, será decrescente em R.

Sem — 1 =0,isto é, m= 1, entäo a funçäo 6 y = (1 — 1)x + 2, ou seja,
2, que 6 constante em R.

1198. Estude, segundo os valores do parámetro m, a variagao (crescente, decrescen-
te ou constante) das fungöes abaixo.

a) y=(m+2x-3 0) y=4=(m+3x
D) y= (4 mx +2 dy=mx-1+3-x
XI. Sinal de uma funçäo

92. Seja a funçäo f: A —> B definida por y = fx). Vamos resolver o problema “para
que valores de x temos 100) > 0, f(x) =O ou fx) < 07.

Resolver este problema significa estudar o sinal da funçäo y = fx) para cada x
pertencente a seu dominio

Para se estudar o sinal de uma fungáo, quando ela está representada no plano
cartesiano, basta examinar se a ordenada de cada ponto da curva 6 positiva, nula ou
negativa,

Exemplo:
Estudar o sinal da fungdo y = f(x) cujo gráfico está representado abaixo.

134) Fundamentos de Matemática Elementen | 1

123. FUNGAD CONSTANTE — FUNÇAO AFIM

Observemos, inicialmente, que Interessa o comportamento da curva y
em relaçäo ao eixo dos x, näo importando a posigáo do eixo dos y.

100

Preparando o gráfico com aspecto prático, temos:

_ A
ee celo | +

Conelusäe:
169
100>0 > -1<x<2 où 2<x<4 où x>7

4 ou x=7

> x=-1 ou x=2 ou

fx) <0 e x<-1 où 4<x<7.

EXERCICIOS

199, Estude o sinal das funçües cujos gráficos estáo representados ababo.

a)

4 1 Fundementos de Macernésice Elomentar

124. FUNGAO CONSTANTE — FUNÇAO AFIM

b Sl

y ve

ven

o

XII. Sinal da funçäo afim

93. Considerando que x

x para o qual f(x) = 0, examinemos, entäo, para que valores ocorre f(x) > 0 ou
f(x) <0.

Devemos considerar dois casos.
1 caso: a > 0

{= a+b > 0 m a > be x> -È
Wrath <0 wae dere 2

Colocando os valores de x sobre um exo, o sinal da funçäo f(x)
a>0,6

x + D, com

Fundamentos de Matemática Elementer | 1

125. FUNÇAO CONSTANTE — FUNGAO AFM

‘Outro processo para analisarmos a variaçäo do sinal da fungäo afim é construir
© gráfico cartesiano.

Lembremos que na funçäo afim f(x) = ax + b o gráfico cartesiano 6 uma reta
e, se 0 coeficiente angular a é positivo, a funçäo 6 crescente.

Construindo o gráfico de fix) = ax + b com a > 0, e lembrando que náo impor:
ta a posiçäo do eixo y, temos:

28 caso: a < 0

f(x) = ax +b>0 © ax>-b & x <—

fix) = a+ b<0 @ ax < bd x >

Colocando os valores de x sobre um eixo, o sinal da fungäo x)
a <0é

Wen
(20)

Podemos analisar o sinal da funçäo f(x) = ax + b, com a < O, construindo o
gráfico cartesiano. Lembremos que neste caso a funçäo 6 decrescente.

126. FUNGAG CONSTANTE — FUNGAG AFIM

Resumo
1) A fungdo afim fx) = ax + b anulase para x = — À.
In Para x > 2, temos:
(ses Seto to ax+b>0
se a < 0 entdo (0) = ax + b < 0

isto 6, pare x > —È a funçäo 10) = ax +b temo sina dea

11) Para x < =>, temos:
a

Se a > 0 entäo f(x) = ax + b < 0
sea <0 entäo f(x) = ax + b > 0

isto 6, para x < - a fungao fx)
de a) “

Se colocarmos os valores de x sobre um eixo, a regra dos sinais da funçäo afim
pode ser assim representada:

ax + tem o sinal de —a (sinal conträrio ao

tem osnalde à tem onal de

ou, simplesmente:

Atom soute a Totem sal des

Exemplos:

1) Estudar os sinais de fungáo fx) = 2x -1.

Temos:

160 = 0 = 2x -
a=25a>0¢ -a<0.

me!
0=x-3

an) Fundementos de Matemática Elementan | 1

127. FUNÇAO CONSTANTE — FUNÇAO AFIM

Logo:
porax> à = 1M>0 — (sinaldea)

parax< À = 16)<0 (sinal de a)

Fazendo o esquema gráfico, temos:

sine
19

2») Estudar os sinais da funçäo f(x
Temos:

fx) =0 = -2x+4=0-x=2
a=-2 3 a<0 e -a>0.
Parax>2 = fo) <0 — (sinal de a)
Parax<2 = ffx)>0 (sinal de ~a)

2x + 4.

Were
Fazendo o esquema gráfico, temos:
Weiz 7 A 27

EXERCICIOS

200. Estude os sinais das funçôes definidas em R:

a y= x43 ny
b) y= ~8x +2
o) y=4=x

ay
ay

128. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAO AFIM

201. Seja a fungäo de R em R definida por f(x) = 4x— 5. Determine os valores do
‘dominio da funçäo que produzem imagens maiores que 2.

Soluçäo

Os valores do dominio da fungáo que produzem imagens malores que 2
so os valores de x € R tais que

4x-5>2
e, portanto,

4

202. Para que valores do dominio da funçäo de R em R definida por fx) =
imagem 6 menor que 4?

203, que ar cx Ran = 2 = À raie?
. Pen
204 Sam a ungen 10 = 2+ 3.00 =? 34 0 09 = À À cotos em
Ron qe hs ex eae
a) fx) > gtx)? b) glx) < hx)? ©) 109 > Hix)?

205. Dados os gráficos das fungdes , ge h definidas em R, determine os valores de
x € R, tals que:

2) 109 > 800) © gi >4
D) 800 < ho) e) fh) <0
©) fx) > nox)

129. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAD AFIM

XIII. Inequagóes

94.

Definiçäo

Sejam as fungöes fix) € g(x) cujos dominios säo respectivamente Dy CR e

D, C R. Chamamos inequagáo na incógnita x a qualquer uma das sentengas abertas

abalxo:
16) > a)
1 < 80)
169 > ets)
100 < gts)
Exemplos:

95.

19) 2x— 4 > x 6 uma inequaçäo em que fix) = 2x — 4 e gi) = x
2%) 3x— 5 < 2 6 uma inequaçäo em que fi) = 3x — 5 e glx) = 2.

3) x — 3 > À 6 uma inequagdo em que (0) =? — 3 0 800 = À

40) VK

stg € uma inequaco em que 109 = Ze ei)

Dominio de validade
Chamamos de dominio de validado da inequagáo f(x) < gx) o conjunto

D = D, Dz, em que D; 6 o dominio da funçäo f e Da 6 o dominio da fungao g. É
evidente que, para todo xo E D, estáo definidos fx) € glia), isto 6:

96.

LEDS (MED, e ED) € (MER e ER) ER).

Nos exemplos anteriores, temos:

1) D=RNR=R
2) D=RNR=R
3) D=RAR*=R«

4) D= RERIx>2ANRERIx# = ERI x>2 6 x#3)

Soluçäo

O número real x é soluçäo da inequaçäo f(x) > glx) se, e somente se, 6 verda-

deira a sentenca fix) > 86x).

A 1 Fundamentos de Matemétice Elementar Le]

130. FUNÇAO CONSTANTE — FUNGAO AFIM

Exemplo:
O número real 3 6 solucdo da inequacáo 2x + 1 > x + 3, pois
2:3+1>3+3

3) ES]
6 uma sentenga verdadeira

97. Conjunto solugáo

Ao conjunto S de todos os números reais x tals que fx) > gx) 6 uma sentenga
verdadeira chamamos de conjunto solugáo da inequagäo.

Exemplo:
A inequaçäo 2x + 1 > x + 3 tem o conjunto soluçäo S = {x € R | x > 2}, isto
6, para qualquer xy € S a sentenga 2x + 1 > xo + 3 6 verdadeira,
Se náo existir o número real x tal que a sentença f(x) > g(x) seja verdadeira,
iremos que a inequagäo fix) > g(x) 6 impossivel e indicaremos o conjunto solugáo
pors = 3.

Exemplo:
O conjunto soluçäo da inequagdo x + 1 > x + 2 6 8 = ©, pois nao existe
xo € R tal que a sentenga X + 1 > Xo + 2 seja verdadeira,
Resolver uma inequacáo significa determinar o seu conjunto solucäo. Se xy € R
6 solugáo da inequagäo f(x) > EIx), entáo xa 6 tal que flr) E R e glxo) R, Isto 6,
xo E D (dominio de validade da inequaçäo). Assim sendo, temos:

HES SHED

ou seja, o conjunto soluçäo 6 sempre subconjunto do dominio de validade da inequagáo.

98. Inequagäo equivalente
Duas inequagdes säo equivalentes em D CR se o conjunto soluçäo da primer
ra 6 igual ao conjunto solugäo da segunda.

Exemplos:
19) 3+6>0 e x+2>0 sao equivalentes em R, pois o conjunto solugáo
de ambas éS = {KE R | x > -2).

131. FUNÇAO CONSTANTE — FUNGAG Arım

21) x<1 e x? < 1 näo säo equivalentes em R, pois x = —2 6 soluçäo da
primeira inequagáo mas nao o 6 da segunda.

99. Princípios de equivaléncia

Na resoluçäo de uma inequacáo procuramos sempre transformála em outra
equivalente e mais “simples”, em que o conjunto soluçäo passa ser obtido com
maior faclidade. Surge, entäo, a pergunta: “Que transformagdes podem ser feitas
‘em uma inequagäo para se obter uma inequagáo equivalente?”. A resposta a essa
Pergunta sño os dois principios seguintes:

PA) Sejam as fungóes f(x) e g(x) definidas em D, e Da, respectivamente. Se a fun
930 ix) 6 definida em D, N) Da, as inequagóes
109. < 80 e 100) + Ya) < 800 + ni)
Säo equivalentes em D; N Da,

Exemplos:
Seja a inequaçäo
R-1>2+3 m
[7 on

adicionemos hix) = —2x + 1 aos dois membros:

(1) + (AED > 4) +(-2x +1) (2)

façamos as simplificagdes possiveis:
x > 4

IND gh) +e)

portanto, como (4) é equivalente a (2) temos:
S= ERI x> 4).

Na prática, aplicamos a propriedade P-1 com o seguinte enunciado: “Em uma
incquaçäo, podemos transpor um termo de um membro para outro trocando o sinal
do termo considerado”:

100 + he) < 80) => 10) < glx) — hb).

132. FUNGAD CONSTANTE — FUNGAO AFIM

Assim, no exemplo anterior, terfamos:
Bx 41> 2x43 = K-1-%>3 = x>3+41=x>4

P22) Sejam as funçôes f(x) e glx) definidas em D, e Da, respectivamente. Se a fun-
ao h(x) 6 definida em D, 1 D2, e tem sinal constante, entáo:

a), se ho) > 0, as inequagdes f(x) < ei) e
f(x) + nx) < g(x) - hi) so equivalentes em Di N D.

b) se h(x) < 0, as inequagdes f(x) < gx) e
100 + n(x) > g(x) « h(x) so equivalentes em Di N Da.

Exemplos:

1
>} © 6x ~ 9 > 4 sao equivalentes em R, pois a segunda
inequaçäo foi obtida a partir da primeira por meto de uma multiplicagäo por 12.

mi

21) -2 + 8x> 1 0 2x? — 3x < -1 530 equivalentes em R, pois a segunda
fol obtida da primeira por melo de uma multplicacáo por —1 e inverso do sentido
da desigualdade.

x-3 5

an BaF >0 e ax - 3 > 0 sño equivalentes em R. Notemos que a
segunda fol obtida da primeira por meio da multplicaçäo por x? + 1 > 0, Vx € R.

Na prática, aplicamos a propriedade P-2 com o seguinte enunciado: “Em uma
inequaçäo, podemos multiplicar os dois membros pela mesma expresso, mantendo
ou invertendo o sentido da desigualdade, conforme essa expressño seja positiva ou
negativa, respectivamente”.

EXERCÍCIOS

206. Resolva as inequagdes, em R:
a) e+ 5 > 2-3
D) Sx + 3) — An + 1) <2x +3
©) 3x + 1)- 22 Six — 1) — 3(2x- 1)

133. FUNÇAO CONSTANTE — FUNGAO AIM

207. Resolva, em R, a inequagáo:

Soluçao

À inequaçäo € equivalente aquela que se obtém multiplicando. pelo
mme (3, 2) = 6.

2x + 2) = 3x — 4) > 6x
Efetuando as operagóes, temos:
+73 6x
ou ainda:
>

Dividindo ambos os membros por =7.e lembrando que devemos inver:
ter a desigualdade, temos,

e, portanto,

keRIx=1)

208. Resolva, em R, as inequagdes:

E ye

y 23-53

<3

2 3
©) (Bx + 1)2x + 1)
4) (Bx 2 (a 1 > (x + 292 — A?
e) A(x 2) (x + 2)> Sx — 6 — A(x 1)

D G(x + 2) - 28x + 2) > A8x — 1) — 2x + 1)

(2 ~ x +2) - (4 — 5x)

209. Numa escola 6 adotado o seguinte critério: a nota da primeira prova 6 muttipli-
cada por 1, a nota da segunda prova 6 multiplicada por 2 e a da última prova
€ multiplicada por 3. Os resultados, após ser adicionados, säo divididos por 6.
Se a media obtida por esse crtéri for maior ou igual a 6,5, o aluno 6 dispen-
sado das atividades de recuperaçäo. Suponha que um aluno teria tirado 6,3
na primeira prova e 4,5 na segunda. Quanto precisará trar na terceira para ser
dispensado da recuperagdo?

134. FUNÇAD CONSTANTE — FUNGAO AFIM

210. Resolva, em R, a inequacáo:

x-3_
Fer
Soluçäo

A inequaçäo proposta 6 equivalente a que, reduzindo

10 denominador, obtemos ==

1
== 7 deverä ser nao positiva; como o numerador
—1 6 negativo, entáo o denominador x — 1 deverá ser positivo.

x-1>0 8 x>1

Notemos que a fraçäo

e, portanto,
kerIx>1).
211. Resolva, em R, as inequagdes;
3-2 2-5 4-3
a) 3 1? <a

XIV. Inequagóes simultáneas

100. A dupla desigualdade fir) < g(x) < hi) se decompde em duas inequagdes
simultáneas, isto 6, equivale a um sistema de duas equagdes em x, separadas pelo
conectivo e:

fix) < gs) (4)

10 < 8) < ho) > e
als) < ht) (2)

Indicando com S, o conjunto solugáo de (1) e S2 o conjunto soluçäo de (2), o
conjunto soluçäo da dupla desigualdade 6 S = S; N Sa.

dE Fundamentos de Matemática Elemantar I 4

135. FUNÇAO CONSTANTE — FUNCAD Arım

Exemplo:

Resolver 3x + 2

Temos que'resolver duas inequagóes:

a
(1) Sx+2<-x48 = acd = x< À
a K+3 = 4<1 +

x+3<x4+4 = -x= nu
(2) -x+3<x+4 = ato x> À

À interseçäo desses dois conjuntos é:

EXERCICIOS

212. Resolva as inequagdes, em R:

a) -2<3x-1<4 xtte7- RM 1
b) -4<4~ 2 e) K+4<5<6-%
e) -8<3%x-2<x f) 2-x<3x+2<4x+1

213, Resolva, em R, os sistemas de inequagües:
+22 5-2
a [aaa

pris ESE.
€) f3x+1>4x-5 dex”

136. FUNÇAO CONSTANTE — FUNGAO AFIM

214. Combasenos gráficos das fungdes1,gen
definidas em R, determine os valores de
x € R, tals que:

2) 100 < Er) < his)

D) glx) < 10) < his)
ON) < 100) < Eb)

XV. Inequaçôes-produto

Sendo fix) e gx) duas fungdes na variável x, as inequagdes
100 + 80) > 0, 0) - 800 < 0,100) + 800 >0 e fs) - 80) <0
Säo denominadas Inequagdes-produto.

101. Vejamos, por exemplo, como determinamos o conjunto solugáo S da inequa-
go fx) - 80 > 0.

De acordo com a regra de sinals do produto de números reais, um número xo,
6 solugdo da inequacáo fx)» glx) > O se, e somente se, fx) e Elta), no nulos, tem
0 mesmo sinal.

Assim, säo possivels dois casos:

19169 >0 e gh) >0

Se S, e S, slo, respectivamente, os conjuntos solugdes dessas Inequapdes,
entáo Sy N 82 6 0 conjunto solugáo do sistema.

N <0 e gx) <0

Se Sa e Sa säo, respectivamente, os conjuntos solugdes dessas inequaçües,
eto Sa N Sa 6 0 conjunto solugáo do sistema.

Daf conclulmos que © conjunto solugáo da inequacáo do produto
160-809 > 06:

(Si NS) U (SNS)
Raciocinio análogo seria feito para a inequaçäo:
169 - glx) < 0.

D Fundementoe de Matemática Elementen 1 1

137. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAD AFIM

Exemplo:
Resolver, em R, a inequagäo (x + 2)(2x — 1) > 0.
Analisemos os dois casos possiveis:
Ar caso
‘Cada um dos fatores 6 positivo, isto 6
x+2>0 = x>-2
e e

1
2%-150 = x>t

2

A interseçäo das duas solugdes é:

ot +
unza[renst]

28 caso

Cada um dos fatores é negativo, isto 6:
x+2<0 = x<-2

2
x-1<0 = x<h —
2-1<0 <£ + :
Aintersegäo das duas solugdes 6: 5 z

© conjunto solugäo da inequagáo
(+ 2)2x = 1) > 0.6:

s

(Si M Sa U ($3 9 Sa

frenix> 4} unert<-2
]

Vejamos um outro processo, mais prático, para resolvermos a inequagao
(+ 2)2x~ 1) > 0 em R.

portanto:

102. Quadro de sinais

4 1 Fundamentos de Matemética Elementar

138. FUNÇAO CONSTANTE — FUNGAG AFI

Fazemos inicialmente o estudo dos sinals das fungdes f(x) = x + 2 e
go = 2x = 1.

z

CE FT + a 7

Com o objetivo de evitar cálculos algébricos no estudo dos sinais do produto
103 - gb, usaremos o quadro abaixo, que denominamos quadro-produto, no qual fr
guram os sinais dos fatores e o sinal do produto.

1 =

on = ots

109-900 os

1
s=frenta<-2 où x>4}
103. Podemos estender o racicinio empregado no estudo dos sinais de um pro
ut de dois fatores para um produto com mals de dos fatres
Exemplo:
Resolver a inequacio (x - 24x + 1X3 — x) <0emR.
úAnalisando os sais dos fatores, emos

PS u, +

wre EE

Fundamentos de Matemdtica Elemantar | 1

139. FUNÇAO CONSTANTE — FUNGAO AFIM

Vamos, agora, construir o quadro produto:

104. A inequaçäo f(x) - #0) > O tem por conjunto soluçäo S a reunido do
conjunto solucáo S; da inequagáo fx) + g(x) > 0 com o conjunto solugäo Sz da equa-
Gao f(x) - g(x) = O , isto 6:

[10-80 > 0
fi) gx) =O = | où
100809 = 0

Exemplo:
Resolver a inequagio (3x + 1N2x — 5)

A inequaçäo (3x + 1{2x — 5) > 0 é equivalente a:
(Gx +1)-(2x-5)>0 (a)
(x + 1) -(2x-5)=0 (2)

io
A ow k>.5]

2.5)
2

© conjunto soluçäo 6:

4 1 Fundamentos de Matemática Elementar =

140. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAO AFIM

ou seja:

s=frerix<-2 où 125)

3 2
Se recorréssemos ao quadro-produto, teríamos:

CEE = + FR

105. Dentre as inequagdes-produto, so importantes as Inequagdes:
HOOP > 0, (oo? < 0, [NOT > © e [MOP < 0, em que n E N*

Para resolvermos essas inequagdes, vamos lembrar duas propriedades das
poténcias de base real e expoente intero:

_X 2) “Toda potencia de base real e expoente par conserva 9 ina da base”,
isto &

etiso & aso)

amtilo & a=0
ant1<0 & a<o men)

20) “Toda potencia de base real e expoente par 6 um número ndo negativo”,

isto 6:
FOVaeRVnen

> Assim sendo, temos as seguintes equhaldneias

es 1)>0 — sené impar
MO 940 sené par

fs) <O sen 6 impar

wor<0 Are

Fundementoe de Matemática Elementer | 1

141. FUNÇAO CONSTANTE — FUNGAD AFIM

ua fiW>o seme impar
marzo «(Veco semen
to <0 sonen
moro lazo Serger
Exemplos:
1) (x-29>0 = %-2>0 = S frenix>3]
2 WaPo > momo = s-fcenlx à]
a mriro > miso = s-fcenti<-À}
4) (x-2<0 = S=9
5) 6-syao > aso > serie?)
6) (4x-5P>0 = S=R
7) (8-20 = 8-2=0 > -S={4)
EXERCÍCIOS

215. Resolva, em R, as inequagdes:

a) (3x +35 3) > 0
by (4 ~ 2016 + 2x) < 0

©) (Gx + 212 - xx + 3) > 0
d) (Bx + 23 + 4 6) < 0

e) (x ~ ax +7)>0
N (5- 29(-7x- 2) < 0

216. Resolva, em R, as inequagdes:

a) («= 3) >0
D) Gx + 87 <0
©) (a 506 <0
Y 1-7 >0

@ @- 2(ax + 1X6x +3) > 0
hy (5 - 397 = Aufl 49) < 0

e) x +5F =O
N Gx+1P<0
@ (4+ 3x'<0
h) @x- 8 > 0

41 Fundementos de Matemático Elemencor

142. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAD AIM

217.Resolva, em R, a inequaçäo (x — 3) + (2x + 3)° < 0.

Soluçäo

Estudemos separadamente os sinais das fungdes fix) = (x — 3) e
8) = (2x + 3). Lembrando que a poténcia de expoente Ímpar e base
real tem o sinal da base, entáo o sinal de (x — 3)5 6 igual ao sinal de
X= 3, isto 6:

SIND SERRE

A poténcia de expoente par e base real nao nula é sempre positiva, entáo

3 3
(2x + 3)° 6 positivo sex + e (2x + 3) 6 nulo se x = 2, isto 6:
(2x + 3)° € posit Ze (2x + 39 6 nuk 3

3
CO Taare

Fazendo o quadro produto, temos:

m - - +
e ail + +
won - E +

218. Resolva, em R, as inequagdes:
a) (Sx + 4)* - (7x — 2 > 0
b) (8x + 1: (2 — 509$ - (x + 48 > 0
©) (+ 6)" + (6x — 2} (4x + 50 < 0
d) (Gx ~ 1): (2x + 68 (4 — Eu > 0

219. Determine, em R, a soluçäo da inequagäo (3x — 2)°- (x — 5)? -(2 — xx > 0.

Fundamentos de Matemática Elementar | 1

143. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAD AFI

XVI. Inequacóes-quociente
106. Sendo 10) e gx) dues fungdes na variávelx, as inequagdes
Be 18 soe e
aby gy A
so denominadas inequagSes-quociente.

Considerando que as regras de sinais do produto e do quociente de números
reals säo análogas, podemos, entäo, construir o quadro-quoelente de modo análogo
‘20 quadro produto, observando o fato de que o denominador de uma fraçäo nao pode
ser nulo,

Exemplo:
ox+4
3x4 2-9)
< 2505
1=x 1-x 1=x
Fazendo o quadroquociente, temos:

Resolver, em R, a inequagáo
+4 y ts

2. Temos:

fem

Podemos resolver a inequagao
examinando dois casos:

1-xe

alwensennfenne-2)-enie-2]

= +42 UN = x

144. FUNGAO CONSTANTE — FUNGAO AFIM

© conjunto solugäo 6:

5
Daremos sempre preferéncia ao método do quadro-quociente, por sua maior
simplicidade.

EXERCICIOS

220. Resolva as Inequacdes, em Re:

pest %-2
ELA —a <o
aero nie

222. Resolva, em R, as inequacbes
5-3 a
DEE res
11 5-2 x+1
nh» 034 <2 na

222. Resolva as inequacdes, em R:

(1 = 2) + 40 „

aa e 9
un

TEE) a

223, Resolva, em R, as inequagóes:
1 2

3 < x43
12
1°x-2

x+1 ta

x+2 x+4

xt x-2
Bx+2 ars

a)

DJ

o

o

224.Ache os valores reais de x para os quais vale a desigualdade:
44354
cin

145. Funcóes
quadráticas

I. Definigäo

107. Uma aplicagao f de R em R recebe o nome de fungäo quadrática ou do
2 grau quando associa a cada x € R 0 elemento (ax? + bx + c) € R, em que a, be
sao números reals dados e a + 0.

Exemplos de fungdes quadráticas:
em que
em que
em que
em que
em que
em que

IL. Gräfico

108. Ográfico da funçäo quadrática é uma parábola.(*)

FEI € provado no volume de Gaomevia Aaltica desta coloco.

+ 1 Fundamentos de Matemática Elementen. eS

146. FUNGOES GUADRATICAS

Exemplos:
49) Construir o gráfico de y =

en

en9/ Noa
can es
e) 6
EXERCICIOS
225. Construa os gráficos das funçôes definidas em R
a) y= x? a) y= 22 8 y= -3?-3
by) y= x? e y= 2x Hy=x-2x+4
oy D y= 2x2 - 4

Fundementos de Matemévca Elementar | 1

147. FUNGOES GUADRÁTICAS

226. Em que condigöes a funçäo quadrática y = (m? ~ 4x2 — (m + 2x — 1 está
definida?

227, Determine uma funçäo quadrática tal que f(—1) = —4, (1) = 2 e 1(2) = -1.

228. Seja fix) = ax? + bx + c. Sabendo que f(1) = 4, (2) = 0 e (3) = -2, deter:

mine 0 produto abe.

II. Concavidade

109. A parábola representativa da funçäo
quadrática y = ax? + bx + c pode ter a con-
Cavidade voltada para “cima” ou voltada
para “baixo”.

Se a > 0, a concavidade da parábola
está voltada para cima,

Se a < 0, a concavidade da parábola
está voltada para baixo

IV. Forma canónica

110. Aconstrugäo do gráfico da funçäo quadrática y = ax? + bx + e com o auxtio
‘de uma tabela de valores x e y, como foi feito no item anterior, tomna-se as vezes um
trabalho impreciso, pois na tabela atribufmos a x alguns valores inteitos e pode acon.
tecer que em determinada funçäo quadrática os valores de abscissa (valores de x),
em que a parábola intercepta o elxo dos x ou a abscissa do ponto da parábola de
‘maior ou menor ordenada, nao säo interes.

Para iniciarmos um estudo analítico mais detalhado da funcáo quadrática, va-

mos primeiramente transformátia em outra forma mais conveniente, chamada forma
canónica.

148. FUNGOES GUADRATICAS

f= a + x +e= ae + 242) =o
woes dae) Gee)

Representando b? — 4a0 por A, também chamado discriminante do trinómio do|
segundo grau, temos a forma canónica.

19 =a (e

V. Zeros

111. 0s zer0s ou rafzes da funçäo quadrática f(x) = ax? + bx 4.0 säo os valores
de x reais tals que f(x) = O e, portanto, as solugdes da equagáo do segundo grau

a + bx+ 6 = 0

Utiizando a forma canónica, temos:

2 by.
a rmrenoe der 2) Lo
bya Bra
ae re
42 ba Va
Erz

112. Nümero de raizes

Observe que a existéncia de raízes reals para a equaçäo do segundo grau
ax? + bx + e fica condicionada ao fato de VA ser real. Assim, temos trés casos a
considerar:

149. FUNGOES QUADRATICAS

19) A > 0, a equaçäo apresentará duas raízes distintas, que säo:

ge et ==
+ 2a = 2a
2%) A=0, a equaçäo apresentará duas rafzes iguais, que séo:

x =:
NH" Te

3) A < 0, sabendo que nesse caso VA € R, diremos que a equaçäo náo
apresenta raízes reais.

Resumo
b+va
B50 Sm ua = ne
a8 +bx+c=0 0) A=0 = x=-2
2a

A <0 = näo existem raires reais,

113. Significado geométrico das raizes

Intérpretando geometricamente, di
zemos que os zeros da fungáo quadrática
‘so as abscissas dos pontos onde a pará-
bola corta o eixo dos x

Exemplo:

Construinds o gráfico da fungäo
y= x = 4x + 3 podemos notar que a pa-
rébola corta_o.elxo dos x nos pontos de
abscissas 1 e. 3; que säo as rafzes da
equaçäo x? — 4x+3=0.

1 1 Fundamentos de Matemática Elemencar fa

150. FUNGOES QUADRÁTICAS

EXERCICIOS

229, Determine os zeros reais das funçües:
a) ffx) = x — 3x + 2 DEV
D) 169 = x + 7x 12
©) fx) = BE — 7x + 2
d) ffx) = 2 — 2x + 2
€) fx) = x + 4e + 4

+3%-4

er}
D 9 = +7

2 + (1-8-8
2x2 ds

D 16) = 38 +6
m1) = AR + 3
1) ffx) = 5

230. Uma empresa produz e vende determinado tipo de produto. A quantidade que
ela consegue vender varia conforme o prego, da seguinte forma: a um prego
y ela consegue vender x unidades do produto, de acordo com a equaçäo

y = 80 = &. Sabondo qu a recta (quantdade vencida vezes o prego de
venda) tia fl de A 1250.00 qual ia uantiade vendia?
2,1. L
yr

x-y=12

232.2) Resolva a equaçäo x? — 3x ~ 4
ax +y= 4
x + y = -8

233. Determine os zeros reais da funçäo f(x) = x' — 3 — 4.

Soluçäo

Queremos determinar x € R tal que x — 3x? — 4 = 0.
Fazendo a substitulgao

Fundementoe de Matemétice Elementar | 1

151. FUNGOES GUADRÁTICAS

234, Determine os zeros reais das fungdes:

8) 16) = x8 — Sie + 2 ©) fh) = 2x8 + 6 + 4
D) 10) = X + 5 + 36 D fh) = + 32-3
6) f0) = x8 — 32-6 8) fx) = 3x4 — 12%

0) 100 = x = 4e + 4 D 10) = 38 70-8

235. Determine os valores de m para que a funçäo quadrática

10) = mé + (2m — Lx + (m — 2) tenha dois zeros reais e distintos

Soluçäo
Na fungáo f(x) = mx? + (2m — 1)x + (m — 2), temos:
a=mb=2m-1,c=m-2e A=4m+1

Considerando que a funçäo 6 quadrática e os zeros sño reais e distintos,
entáo:

a=m#0 e A=4m+1
ou seja:

1
m+o e m>-+

236. Determine os valores de m para que a funçäo quadrática
f(x) = (m = 1) + (2m + 3x + m tenha dois zeros reais e distintos.

237. Determine os valores de m para que a equaçäo do 2 grau
(m + 22 + (3 — 2m + (m = 1) = O tenha ralzes reais.

238. Determine os valores de m para que a fungáo
ffx) = mx? + (m + 1)x + (m + 4) tenha um zero real duplo.

239. Determine os valores de m para que a equagáo
x2 + (Gm + 2)x + (m? + m + 2) = O tenha duas rafzes reais iguals,

240. Determine os valores de m para que a fungáo
109 = (m + 192 + (2m + 3)x + (m — 1) nao tenha zeros reais.

241. Determine os valores de m para que a equagáo
mé + (2m — 1x + (m — 2) = Ondo tenha rafzes reais.

242.0 trindmio ax? + bx + © tem duas raies reals e distintas; a e ß so dois
Números reais näo nulos. O que se pode afirmar sobre as raízes do trinómio

Far pe + ape?

152. FUNGOES GUADRATICAS

243. Mostre que na equaçäo do 2r grau ax? + bx + © = 0, de ralzes reais x, € xa,
b
temos para a soma S das rares S = x, + X = ~ € Para o produto P das

raies P = x 019.
244. Na equaçäo do 2+ grau 2x? — 5x — 1 = 0, de rares x € Xo, Calcule:
ES OS
D x 0% ? ra
ip
eos ax)? + (ua?
re 9 Eu + Ca

245.As raízes da equagäo 2x? — 2mx + 3 = O säo positivas e uma 6 o triplo da
outra. Caloule o valor de m.

246. As raizes da equagáo x? + bx + 47 = 0 so inteiras. Calcule o módulo da dife-
renga entre essas raízes.

247.500 soo ans dei + + 0 2 06 # 000 # aise

248. Determine o parámetro m na equaçäo x? + mx + m? — m — 12
‘que ela tenha uma raiz nula e a outra positiva,

0, de modo

249. Dadas as equacdes »2 - 5x + k= 00 x2 - 7x + 2k = 0, sabe-se que uma das.
raízes da segunda equag30 é o dobro de uma das ralzes da primeira equaçäo.
Sendo k + 0, determine k

250. Mostre que uma equaçäo do 2+ grau de raies x, e x2 6 a equagäo
Y = Sx + P =O emqueS=% +% 0 P= Hy

254. Obtenha uma equagáo do segundo grau de raies:

2)20-3 aie 8

1,3 a

Lo o1+6e1-6
Dre )1+ 01-13
0) 0465

252.5e a equaçäo ax? + bx + 0 = 0, a +0, admite as rares reais ndo nulas x, ©
xa, obtenha a equagäo de raies:

a) (u)? e (x e) % e =
niet © Ou? e tu

153. FUNGOES GUADRÁTICAS

253. Determine m na equaçäo mx? — 2(m — 1x + m

A 4 3 4,om que a sto a aes da eq.

© para que se tenha

254.0 trindmio f(x)

x — px + q tem por raies 2 e b,a # O € b # 0. Qualéo
ES

rindmio cujas raízes sáo + e +7

t Jas raízes sáo e +

255.Sejam me n dois números intelros positivos tals que me n sao ímpares
consecutivos em : n = 1599, Indique o valor de m + n.

VI. Máximo e mínimo
114. Definigöes

Dizemos que o número yy E Im. 6 0 valor máximo da fungáo y = f(x) se, e
somente se, yy > y para qualquer y € Im(f. O número xy € DIf) tal que Yu = 1040
€ chamado ponto de máximo da fungäo.

Dizemos que o número ya € Im{) 6 o valor mínimo da funçäo y = fi) se, 0
somente se, ys y para qualquer y € Im. O número xp € D(f) al que Yn = fn)
é chamado ponto de mínimo da func.

im

imo

1 1 Fundamentos de Matemática Elementen

154. FUNGOES GUADRATICAS

115. Teoremas

Sp 8 < 0,8 mag unten y = 87 + bn + € am ovalo mémo
ju = À ru = =

1) Se a > O, a fungäo quadrática y = ax? + bx + ¢ admite o valor mínimo.
da = À pax = 2

Demonsvack:

2 eo
(+2ÿ-24
a) ar

ess eens, À constante pe no depende dx; monde de

=

2 »
Ÿ = 0, ou sei, quando x = —

poste ua ( »

2a

Pare x = -,,temos na expresso (2):

2) ae) AP ae] ae

2

A+

1) Provasse de modo análogo.

116. Aplicagóes
19) Na fungdo real f(x) = 4x? — 4x - 8,temos: a = 4,b

A= 144.
‘Como a = 4 > 0, a funçäo admite um valor mínimo:
A_ -14a
da 4.4
em

272

Fundementos de Matemática Elementen 1 1

155. FUNGOES GUADRÁTICAS

2) Na funçäo real f(x) = 2% + x +

temos: a= -4,b=4,¢
a
Como

-1 < 0, a funçäo admite um valor máximo:

em

VIL. Vértice da parábola

bs
117. 0 ponto v( A) é chamodo vértice da parábola representativa da
fungao quadrática.

4

EXERCICIOS

256. Determine os vértices das parábolas:
ay

257. Determine o valor máximo ou o valor mínimo e o ponto de máximo ou o ponto
de mínimo das fungdes abaixo, definidas em R.

ay

258. Determine o valor de m na funçäo real ffx) = 3x2 — 2x + m para que o valor
5
mínimo seja =,
e

1 1 Fundamentos de Matemático Elementar

156. FUNGOES GUADRÁTICAS

259. Determine o valor de m na funçäo real f(x) = ~3x? + 21m — 1)X + (m + 1) para
ue o valor máximo seja 2.

260. Determine o valor de m na fungäo real fx) = mx? + (m — 1 + {m + 2) para
que o valor máximo seja 2.

261. Determine o valor de m na fungo real f(x) = (m — 1x2 + (m + 1x — m para
‘que © valor mínimo seja 1.

262, Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto $
maximo,

Soluça

Indicando por x e z esses nümeros e por y o seu produto, temos:
x+2= yaxız
Como precisamos ficar com apenas uma das variäveis, x ou z, fazemos:
x+2=8 => z=8-x

e portanto:

eR => YB => y= Wx? + 8x
Como a = -1 < 0, y 6 máximo quando:

By
2a

Substituindo em z = 8 — x, vem z
Logo, os números procurados so 4 e 4. |

263. Soja y = —x + 8x — 1. Dado que x varia no intervalo fechado [0, 6], determine
‘© maior (yy) € © menor (Y) valor que y assume,

264. Dada f(x

2x? + Tx ~ 15, para que valor de x a fungáo atinge um máximo?

265.A parábola de equacio y = -2x? + bx + c passa pelo ponto (1, 0) e seu vértice.
$ 0 ponto de coordenadas (3, v). Determine v.

266. Dentre todos os números real x ez tals que 2x + z = 8, determine aqueles.
cujo produto 6 máximo.

267, Dentre todos os retängulos de perímetro 20 cm, determine o de área máxima.

268.Dentr todos os números x ez de soma 6, determine aqueles cuja soma dos
quadrados 6 minima, je soma do:
269. Determine o retángulo de área máxima localizad

0 no primeiro quacrante, com
dois lados nos eixos cartesianos e um vértice na ae

reta y = —4x + 5,

Fundamentos de Matemática Elementer | 1

157. FUNÇOES GUADRÁTICAS

270.É dada uma folha de cartolina como na
ne esse retángulo, sabendo que a área & ÿ
= |

271. Determine o retängulo de maior área contido num triangulo equilátero de lado
4 cm, estando a base do retangulo num lado do triangulo.

272. Num triángulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrito um retángulo.
Determine o retángulo de área máxima, sabendo que a base do retängulo está
sobre a base do triangulo.

1273. Uma conta perfurada de um colar 6 enflada em um arame fino com o formato
da parábola y = x? ~ 6. Do ponto P de coordenadas (4, 10) deixa-se a conta
deslizar no arame até chegar ao ponto Q de ordenada —6. Qual é a distancia
horizontal percorrida pela conta (diferenga entre as abscissas de P e Q)?

274, Uma parede de tjolos será usada como um dos lados de um curral retangular
Para os outros lados iremos usar 400 metros de tela de arame, de modo a
produzir área máxima. Qual é o quociente de um lado pelo outro?

VIII. Imagem

118. Para determinarmos a imagem da fungáo quadrática, tomemos inicialmente
a funçäo na forma canónica:

2

=]

(x + y =A obtemos qua: k + = > 0 para qualquer

ou seja, f(x)

250 = es 2] 00, ponemos
2)

¿DA E A
ka)

1 1 Fundementos de Matemático Elementar

158. FUNGOES QUADRÁTICAS

29 caso

N
ize wien BEREICHE
eet} PORSCHE

Resumindo:

ou ainda:

Exemplos:
1) Obter a imagem da funçäo f de R em R definida por 1)
Na fungao: f(x) = 2x2 — 8x + 6,

28 — & + 6.

tomos:
a -800=6
logs
A=b2-400=(-8?-4:2-6=16 Y
A _ 16
e portanto: = 4.2” ”

Como a = 2 > 0, temos:
Im) = Y € RIy> -2)

=) Fundementos de Matemática Elementen | 1

159. FUNGOES QUADRATICAS

21) Obter a imagem da fungäo f de R em F

Na fungae 109 = + 2x <>
temos: 3

1 5
a=-Lp= u
qib=2ec

logo:

1/5
AS

E a( sk 3
e portant:

EXERCICIOS

275. Determine a imagem das fungdes definidas em R.
a) y=? = x 0) y= AR + Bx + 12

»)

D y= P= +E

276, Determine m na funcño (9) = 3x? — 4x + m definida em R para que a imagem
seja im = ye Rly > 2).
277. Datermine m na ungdo 109 = — À + mx — definida em R para que aime

gem soja Im = (ye Rly <7}.

1 1 Fundomentos de Matemática Elementor

160. FUNÇOES QUADRÁTICAS

IX. Eixo de simetria
119. Teorema

“0 gráfico da funçäo quadrática admite um eixo de simetria perpendicular ao
eixo dos x e que passa pelo vértice.”

(Os pontos da reta perpendicular ao eixo dos x que passa pelo vértice da parábola

b
LE pois todos os pontos dessa reta tem abscissa — >.

obedecer à equagáo x= —>-, 28

b

Para provarmos que a parábola tem eixo de simetria na reta x devemos

mostrar que, dado um pont À (—2- = ry) com r E R, pertencent ao gráfico da
pl a

fro, oi (2 +3) mb err ge ago

a
2) we]
pts ie tinca
y i ye
BP of

yb ](+)

= Fundamentos de Matemática Elementar | 1

161. FUNQOES GUADRATICAS

X. Informagóes que auxiliam a construgáo
do gráfico

120. Para fazermos o esbogo do gráfico da funçäo quadrática f(x)

buscaremos, daqu para frente, informagdes preliminares, que 530:

19) 0 gráfico 6 uma parábola, cujo elxo de simetia 6 a reta
cular ao eixo dos x.
21) Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
31) Zeros da funçao:

Se A > 0, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos:

a +8
A o!

5

a

Seguem os tipos de gráfico que podemos obter:

1 Fundamentos de Metemético Elementar

162. FUNGOES GUADRATICAS

EXERCICIOS

ax 43.

278. Faga o esbogo do gráfico da funcäo y = x?

Solugäo

Concavidade

Como a = 1 > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima,

Zeros da funçäo
x 4x +3=0 5 x=1 où x
(Os pontos no eixo x säo PA(1, 0) e Pa(3, 0)-

Vertice
Em y = x ~ 4x + 3, temos:
a=1,b=-40=3 e A=4

bs
come = 7.7”
o vértice 6 M2, —1).

Gráfico
Observe que a parábola sempre inter-
cepta 0 eixo y. Para determinarmos
‘onde o faz, basta lembrar que o ponto
situado no elxo y tem abscissa nula,

| jogo (0) = 07 4.0.43 =3,1st0 6,0
ponto no exo y 6 (0, 3)

Determinado o ponto onde a parábola
| corta o exo y, podemos determinar ou:

tro ponto (4, 3) da parábola, simétrico a

(0, 3) em relagáo à reta x = 2 (eixo de
| simetria da parabola).

a rer eat amer 1

163. FUNGOES GUADRATICAS

279. Faga o esbogo do gráfico da funçäo y +4
Soluçäo
Concavidade
Como a = ~1 < 0, a parábola tem a concavidade voltada para bab.

Zeros da fungao
+4 4=0 > x=2
A parábola admite um único ponto no eixo x, que é P

Vértice

Considerando que a parábola admite um único ponto no eixo x, entáo
‘esse ponto 6 o vórtice da parábola.

Gráfico

A
280.Faça o esbogo do gráfico da fungdoy = Sx? + x + 1

Soluçäo
Concavidade
Como a = => 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.

Zeros da fungáo
Ya4x+1=0 3 =-1<0 = A rates reais.
2

A parábola näo tem pontos no eixo dos x.

164. FUNGOES GUADRATICAS:

Vérice
1

Emy=L x? 4 x + 4, temos:
02

Gráfico

281. Construa o gráfico cartesiano das fungdes definidas em R:

2-2-3 +2
4
D) y= AR - 10044 NysaR- +2
rt =-
ay atts CP
D y=-86+6x- 38 nyse
282. No gráfico ao lado estao representadas très A

parábolas, 1, 2 e 3, de equagdes, respect
vamente, y = axé, y = bx? e y = cx. Qual 6
a relagao entre a, bec?

æ Perce de Meare mana 1

165. FUNGOES GUADRATICAS

283.0 gráfico do trindmio do 2: grau ax? — 10x + c 6 0 da figura:

Determine a ec.

Solugäo,

b _ 10
is een ae

A _ 100+ dac _ _-100 + 4e

A _ =100+ fee _ 10044 _ 9 c= 16
ETS da 4

Resposta: a = 1 e c= 16.

284.A figura abalxo é o gráfico de um trinómio do segundo grau.

Determine o trinômio.

Solugäo
--2-2= -p=4asb?= 160? (1
2a
=? = dec)

3 = -(1682 ~ 4ac) = 12a
168 - 4

28

-12= 4a

(2)

1 1 Fundamentos de Matemática Elementer

166. FUNGOES GUADRATICAS

Como xy + x2 = 2 = 4 (6 utilizado em (4))

Temos, ainda: xy + xp 5 = ¢ = -5a (por simetria, a outra raiz

65). (3)

1
Substituindo (3) em (2), vem: 4a + 5a = -3 = a =-3'

5
Portanto: b = À 0 o= =.
Pre 3

t+ Axed
sas

Entäo, o trinômio 6: y

285. Se f: R —+ R a funçäo definida por f(x) = ax? + bx + c, cujo gráfico € dado abai
xo, Sendo a, b, ¢ € R. Determine o valor de a,

286. Determine a funçäo g(x) culo gráfico 6 o simétrico do gráfico da fungáo
f(x) = 2x — x? em relaçäo à reta y = 3. Esboce o gráfico.

1287.05 gréficos de duas fungdes quadráticas g e h interceptam-se nos pontos.
Pb: Ya) € Olea Ya), com xa > x, como mostra a figura,

Se go = ax + bx+ cena) = dé+ex+f, yb
a érea da regiao sombreada, na figura, 6 dada

de 4

por fix) = f(x), em que f(x) =

e-b
SP ye + om.
5 (op

Nessas condigdes, qual 6 a área A da regigo
úsombreada, no caso em que gl) = x? + xe
PO = x? x + 47

Fundamentos de Matemática Elementor | 1

167. FUNGOES GUADRÁTICAS

XI. Sinal da fungáo quadrática

121. Consideremos a fungáo quadrática
fi) = a +bx +0 (a 0)
e vamos resolver o problema: “para que valores de x € R temos:
a) 10) > 0; b) fo) <0; ©) fo) = 02"

Resolver esse problema significa estudar o sinal da fungäo quadrática para
cada x ER.

Na determinaçäo do sinal da funçäo quadrática, devemos comegar pelo cálculo
do discriminante A, no qual trés casos distintos podem aparecer

a) A<0 b) A=0; 9 4>0
Vejamos como prosseguir em cada caso.
19 caso: A

Se 4 < 0, entäo -4>0.
Da forma canónica, temos:

ee ee

positivo. (ndonegativo) positivo

a fhe)

Isso significa que a fungáo f(x) = ax? + bx + c, quando A < O, tem o sinal de
a para todo x € R, ou melhor:

a>0-f()>0,VxeR
a<0=f(x)<0,VxER
A representagäo gráfica da fungäo f(x)
¡confirmar a dedugäo algébrica

22 + bx + 6, quando A < O, vem

wo

168. FUNGOES GUADRATICAS

Exemplos:

19) f(x) = x2 — 2x + 2 apresenta A = (-2? -4 : 1: 2 = -4< 0 e, como
> 0, concluimos que:

109 > 0,VxER

29) 100) = =? + x —1 apresenta A = 12-4 + (~4)-(-1) = 3 < 0, como
a= 1 < 0, concluimos que

169 <0, Vx ER

2 caso: A=0
Da forma canónica, temos:

Da

positivo (ndo negativo) positivo

entáo a - fi) > 0, Vx ER.

Isso significa que a funçäo f(x) = ax? + bx + c, quando A = 0, tem o sinal de

a para todo x € R — (xs), Sendo x,

2>0=31)>0,VxER
a<0=f(x)<0,VxER

A representagäo gráfica da funçäo f(x) = ax? + bx + c, quando À = O, vem
confirmar a deduçäo algébrica.

b
3 2210 duplo de fx), ou melhor:

169. FUNGOES QUADRÁTICAS

Exemplos:

19) 6)

= 2x + 1 apresenta A

2)? —4 : 1 : 1 = 0; nto f(x) tem um
b ‘i
Fy = 1, como a = 4 > 0, concluimos;

[10 >0,Vx ER (0

lí) =0 se x=1

zero duplo x; =

29) ft) = 2x2 + 8x —8 apresenta A = 82 —4(-2) - (-8) = 0, entäo f(x) tem

>
um zero duplo para xy = - 4

e, como a = -2 < 0, concluimos:
fx) <0, Vx ER — (2)
Ix) = 0 se x=2

3 caso: A> 0
Da forma canónica, temos:

eue) (Sy ASS

Lembramos que a fórmula que dé as ralzes de uma equagáo do segundo grau 6:
yá

xo 2

, isto 6, |

fica evidente que a forma canónica se transforma em:

ee] -

© sinal de a - f(x) depende dos sinals dos fatores (x — xy) e (x - x). Admitin-
do xy < Xo, temos que:

A — x — xa)

Dunn PE, tomos:

af) = 2K — x) = x) > 0

666

4 1 Fundamentos de Mateménco Elementar

170. FUNGOES GUADRÁTICAS.

B+ (x x) & 12) <0

660 0
3) sex> x2 tomos:
BE
> ky > > ¡EOS a? &= x) @ = x) > 0

bod à
600
1820 significa que

19) 0 sinal de x) 60 sina dea para todo x tal que x < xy OU x > Kt

2%) 0 sinal de f(x) 6 0 sinal de —a para todo x, tal que xy <x <X>.

En ecu
wu | Sey I mm

O gráfico da funçäo 100)
80 algébrica.

oa

12 + bx + 0, quando A > 0, vem confirmar a dedu:

Exemplos:

48) 109 = x2 — x — 6 apresenta A
tem dois zeros reals e distintos;

1 4-1 (~6) = 25 > 0; entäo fi)

VA 1-5 _. b+ ats
2 2 Bene 3

Fundementos de Matemática Elementar | 1

171. FUNGOES QUADRATICAS

e, como a = 1 > 0, concluímos que:

109>0 para x<-2 ou
fo) =0 para x

2 ou

19<0 para -2< x <3

21) f(x) = - 2x2 + 3x + 2 apresenta A = 32 -4 - (2): 2 = 25; logo f(x) tem
dois zeros reais e distintos:

E EE EA
me 2a 4 2 > 2a 4

2 < 0, concluimos que:

fix) <0 para x <

109 = 0 para x =

169 > 0. para

EXERCICIOS

288. Estude os sinais de cada uma das fungdes do exercíclo 281.

289. Quais as condigdes de x para que a expressäo ax? + bx + c, em que
b? — dac >0 e à <0, seja estritamente positiva?

290.Qual 6 a condiçäo necesséria e suficiente para que o ti
x) = ax? + bx + e tenha sinal constante em R?

172. FUNÇOES GUADRATICAS

XII. Inequagáo do 2° grau

122. Sea # 0, as inequagñes a? + bx + 6 > an + bx 6 < 0,2 + bx+ > 0
© ax? + bx + 6 <0 sáo denominadas inequagdes do 2" grau.

Resolver, por exemplo, a inequaçäo:
ax? + bx +0>0

€ responder à pergunta: “existe x real tal que f(x) = ax? + bx + 0 seja positiva?”.

A resposta a essa pergunta se encontra no estudo do sinal de f(x), que pode,
Inclusive, ser feito através do gráfico da fungäo. Assim, no nosso exemplo, dependen:
do de a e de A, podemos ter uma das seis respostas seguintes:

|

Fundamentos de Matemática Elementar | 1

173. FUNGOES GUADRATICAS

EXERCICIOS

291. Resolva a inequagäo x? — 2x + 2 > 0.

Soluçäo

Considerando f(x) = x? — 2x + 2,temos
a=1>0 e A=-4<0;entao,
10) >0,Vx ER.

v4

Como a inequaçäo 6 f(x) > 0, vem:
S=R

292. Resolva a inequaçäo x? — 2x + 1 < 0.

Soluçäo

Considerando f(x)
a=1>08

cbr
2a

10) > 0)
169 = 0

Como a inequacáo 6 f(x) = 0, vem:

x2 = 2x +1 tomos.
0 e 0 zero duplo

entáo:

VxER - (1)
sex=1

s= (1)

293, Resolva a inequagdo —2x? + 3x + 2

Solugao
Considerando fi

28 - 8x + 2, tomos a =

1
08 zer08 x, = - 2 e xa = 2; entáo:

2<0,4=25>0e

174. FUNGOES GUADRATICAS

294, Resolva as inequagées er
a) 2 -3+2>0

D x46 > 0
o) 32 - Bx +3

2+ 2x4
) 4 Fx 410
e) 82-143 = 0

D ae -ax+1 > 0

1298. ara que valores de x 0 trindmio

296.Se A
ANB.

297.Se À

RERIE-x-2

2 - 5x + 6 e aly)

298. Sejam plx)

KERIK-22>0,8- Kerl
0}, determine (A U B) N €

D x-6&+9 >0
h) 42 + 12x-9 > 0

D 24x47 > 0
D RAR 3 <0
À 2 ax + 5 <0

1

» Le

1,-21,
star ar

+ 36-4 6 negative?

KERI®-3+2=0) e B= KE RIX — 4x + 3 > 0), determine

3e

2 + 5x + 6. Se a 6 um número real e

pla) < O, qual é a condigáo que deve satisfazer aa)?

299. Qual 6 uma condiçäo suficiente para que a expressäo y

te uma fungäo?

NPA represen

175. FUNGOES GUADRATICAS

300, Resolva a inequaçäo (x? ~ x — 2): (12 + 4x 3) > 0 em R.

Solugao

Analisando os sinais dos fatores, temos:

CET =e =f oh =

S=keR|-1<x<102<x<3)

302. Resolva, em R, as inequagóes:
a) (4 — 4x2) (2? + 3) > 0
D) (2x? — Tx + 6) (2x? — 7+ 5)
O (2x 6): A 1) >0
8) (B+ x= 6): (92-2 + 8)> 0
OR - 22 -x+2>0
D 28-6 +x-3<0

o

802.É dada a funçäo y = (2x? — 9x ~ 5)- 18
Determine:
a) os pontos de intersegáo do gráfico da funçäo com o elxo das abseissas;
b) o conjunto dos valores de x para os quals y = 0.

2+2)

303. Dentre os números inteiros que säo solugóes da inequaçäo
(2 = 21x + 20) - (3 — x) > 0, qual 6 o maior?

304. Determine os valores de x € R que satisfazem a inequaçäo
(2 — 2x + 8) - (1? — Sx + 6)-(é — 16) < 0.

1 Fundementos de Matemático Elementar ©

176. FUNGOES GUADRÁTICAS

305. Seja Ao conjunto solugáo, em R, da inequagäo (x? ~ 5x) 0? — 8x + 12) < 0.
Determine A.

Ax 1

306. Resolva a inequagáo 7

=0emR.

Solugao
Analisando os sinais do numerador e do denominador, temos:

ETA
CITÓ

era oe +1447

dae ras 1
2-% yy EH

EE Naar nt

177. FUNGOES GUADRATICAS

308. Determine, em R, o conjunto solugáo das inequagdes:

x+1 x
Mazo vr

¿E
ates
em 1
R-1 Ket
309. Tomando como conjunto universo o conjunto U = R — (1), resolva a inequagäo
xt x42
2 <4-x
310. Dada f: RR, definida por (x) = -x?, resolva a inequagao:
16) = 1-2)
MEN un
Fre ee)

311. Responda:
2) 0 que se pretende dizer quando se pede para achar o dominio de uma 1)
igualada a uma expresso em x? ei
b) Determine, em R, 0 dominio da fungo 1 = „| FE

812. Ache o dominio da fungao y = [ 445

ES. em.
Ve

313. Determine o conjunto igual a k er

x-1

= 3 tx B)

J. Qual 6 a condigao para que
344. Qual a condigäo para que y = | “ELLO

+ real, seja definida?

345, Resolva as inequagdes:
a) 4<%-12=4x
b) 2 +1<2- 35 8x
o) O<- 3x +256
d x+1<X Ha
eo) 0<+x+1<1
D AP Ex + 4 € BE — Ex + 6 < 8 + A

x + 2

216.Resohe os sistemas de Inequagdes:
a) fB+x-2>0 o f1+2>0

lex <0 La + 83 < 0

b) [x2 +x-20<0 d) |-22-x+1>0

Pa 21>0 la? ex+ 320

4 1 Fundamentos de Matemática Elementar E

178. FUNGOES GUADRÁTICAS

317. Considere as desigualdades:
448 <12, O< x e O<y,
Classique as proposigöes abaixo em verdadeiras (Y) ou falsas (F:
2) O conjunto de solugdes das desigualdades é limitado no plano (x,
b) O valor máximo da variävel x satistazendo as desigualdades 6 4.
€) O conjunto de solugdes das desigualdades náo é limitado no plano (x,y)
©) O valor mínimo da variáve y satisfazendo as desigualdades € 3.
e) O valor máximo da variáve y satisfazendo as desigualdades € 3.

348. Assinale as proposigdes verdadeiras (Y) e as proposigöes falsas (F) nos itens

aba.
O conjunto solugäo do sistema
é-1>0

DRER|-1<x<1}
DRERI-1<x<0}U(0<x<1}
ORERIx<-YUAERI>2
3
RIS

afkerlı<ı

349, Resolva a inequaçäo x* — 5x? + 4 > 0, em R.

sol
Fazendo z = x%,temos:
?-82+4>0=2<10uz>4

mas z = x%; portanto:
(2 < Lou? > 4) = (8 -1<00ux%~4>0)5
2 (-1<x=1oux= -2 oux> 2)

logo S = KE RIx<-2 ou -1<x< 1 oux > 2)

320. Resolva, em
ax - 10% + 9
x - 3 -4>0
ox + 8% - 9 < 0
da - ae + 4 < 0
ex? - 78 - 8 > 0
Nat - Be + 4 > 0

179. FUNGOES GUADRÁTICAS

321. Determine m de modo que a fungáo quadrática

f(x) = me? + (2m — 1)x + (m + 1) seja positiva para todo x real

Soluçäo

Devemos ter simultaneamente A < O e a > 0; portanto:

19) A = b? — dae = (2m - 4)? ~ 4m «(m + 4) = Am? - 4m + 1 — Am? -
Am = -Sm+1<0=m>4

8
2) a=m>0=m>0
Como as condigdes sao simultáneas, concluímos que:
a
(9>0,VxER) > m> =
322. Determine m para que se tenha para V x € R:
a) +(2m-1x+(m-2)>0 N (m= 1 + 4m 1x + m> 0
D) + (2m + 3x +(m+3)>0 — g) mÉ+(M-2K + m<0
9% - m+m>0 h) mé + (m + 3x + m > 0
dE + (m + 1x + m>0 D (m+ dpe — Am 1x + 3m -1) <0
e)-#+(m+2x-m+3>0 j) (m2 Axe + 2m 1x + 1> 0

2 + (m + 1x + 1

323, Determine m para que se tenha —

<2 para Vx ER,
Soluçäo
Considerando que x? + x + 1 6 positivo para qualquer x real, multiplica:

DE + (m + A+ 1

‘mos ambos os membros de < 2 por (2 + x + 1),

axed
mantendo a desigualdade.

Entao:

PHM+IKtt Lover

waxed
et Am + IK 1 < 27 + x + 1), VXER ©
& 8 + (m= 1x 1 < 0, VXER
Devemos ter 4 < O, portanto:
A= (m4? 4: (-1)-(-1)
Resposta: —1 < m <3.

-2m-3<0 & -1<m<3

180. FUNGOES GUADRATICAS

324, Determine m para que se tenha para V x € R.
22 + mx +1
ari <2
x-mx+2

EE >m

E
x2 + mx =
aa <2

325. Qual 6 o conjunto de valores de p para os quais a inequagáo x? + 2x + p > 10
é verdadeira para qualquer x pertencente a R?

326. Qual é a condicäo para que a desigualdade x? — 2(m + 2x + m + 2
verificada para todo número real x?

seja

827,50 478 < 45, par todo # 0, qual 6 cond que star?
328. Determine os valores de m € R para os quais o dominio da funçäo

CE 6 0 conjunto dos reais.

329. Para que a fungäo real fix) = RT Gx F K, em que x e k säo reais, seja def.

‘ida para qualquer valor de x, qual deve ser o valor de K?

XIII. Comparagáo de um número real com as
raízes da equaçäo do 2° grau

123. Comparar o número real « As rafzes reals x, = x, da equaçäo do 29 grau
a be te = 0 6 verificar se:

19) a está à esquerda de x, (a < x = xo)
2) a está entre as ralzes (x, <a< x);
31) a está à direita de xa (x = X2 <a);
45) a 6 uma das raízos (a= x, ou a

sem calcular as rafzes.

Sendo fix) = ax? + bx + ¢ uma funçäo quadrática, cuja regra de sinal já discu:
timos neste capfulo, temos que:

Fundementos de Matemática Elementar 1 1

181. FUNGOES GUADRATICAS

8) se a estiver à esquerda de x, ou à direita de Xp, 0 produto a + f(a) € positivo,
isto é: a (coeficiente de x?) e f(a) = au? + ba + c tém o mesmo sinal.

> co

b) se a estiver entre as ralzes x, € x (ti # Xa), 0 produto a : fla) 6 negativo,
isto 6: à e f(a) tem sinais opostos.

{ = 2-0
ed ao

|

| 5 E

©) se a 6 zero de f(x), entäo a - fla) = O, pois fa) = 0.
Resumo

Conhecendo a posicáo de a em relagáo as raízes reals x, e xa de f(x) =
temos que:

Da<k<% = a-ffa)>0
Mu<a<x = affa) <0
mx,

<a = a-fa)>0

Mask ouùa=x = a-fla)=0

182. FUNGOES GUADRÁTICAS

Observemos que nos casos I, Ill e IV o discriminante 6 A > O, enquanto no

caso Iltemos A > ©

Inversamente, conhecendo o sinal do produto a - (a), que conclusäo podemos
tirar da existóncia de rafzes reais da equacäo f(x) = O e qual a posigäo de « em re:
laçäo ás mesmas rafzes?

Eo que veremos em seguida.

124. Teorema 1

Se a - (a) < 0, o trinómio fix) = ax? + bx + c tem zeros reais e distintos e a
está comprendido entre eles.

Hipótese: a-f{a)<O — Teseia>00x <a < %
Demonstragäo:

19) Se fosse A = 0, teríamos: a + fa) > O, Y a, a E R, o que 6 absurdo, pois
contraria a hipótese a - fla) < 0.

Concluimas, entáo, que A > 0, Isto 6, f(x) tem dots zeros, x: e x2, reais e dis.
tintos.

22) Se o real a estiver à esquerda de x, ou à dieita de x, ou for um zero de fi),
teremos a - la) > 0, o que contraria a hipôtese a - fla) < 0.

Concluimos, entäo, que « está comprendido entre x; e xa.

Exemplo:

¡Comparar o número 1 ds raízos da equaçäo 3 — 5x + 1 = 0,

Temos a = 3, = 1 e 1) = 3x? — 5x + 1; entäo:
aff) = 3-10) =3-(8-4?7-5-444)=

Conclusäo: À > 0 e x <1< x.

3<0

125. Teorema 2

Sea- f(a) > O e A > 0, entdo a está a esquerda de x, ou à direita de x.

a fa) > 0 a<u<x
Hipótese | e Tese fou
a>0 1=%<a

Fundamentos de Matemático Elementen 1 1

183. FUNGOES GUADRATICAS

Demonstragäo:

Sea>0ex<
Se
a fla) > 0.
Concluimos que a <x; < x2 0U <x <a

= x, entáo a» fla) < 0,0 que contradiz a hipstese a + fa) > 0.
Oe = x = x, entäo a- f(a) = 0, 0 que também contradiz a hipôtese

Observacáo:

Notemos que, se a : f(a) > 0 e A > 0, o teorema 2 garante que a E XX,
mas nao indica se « está à esquerda desse intervalo (a < xy = xz) ou a direita dele
= % < a). Para verificarmos qual dessas duas situaçes está ocorrendo, deve-
‘mos comparar a com um número qualquer que esteja entre as rafzes. Para facilitar

s
08 cálculos, vamos utilizar o número I =
2

= 2, que é a média aritméti
ca das raízes xy 0 x, pol 2a

=> y< La
amar ES
s__b
Calculando = —2. tomos duas possibilidades a examinar:
Sta p a exa
S ona s
19) se a <<, entäo a está a esquerda de, consequentemente, à esquer-
da de x: 2
s “ “
acy asm Si — nt
=
s s
21) se «> À, ontdo a está à direta de 3 e, consequentemente, à diteta
dx; ® 2
>> à
«gan

Exemplos:
19) Comparar o número 1 ás raízes da equaçäo 3% + 4x — 3 = 0.

A=42-4-3-(-3)=52>0
a-fa)=3-11)=3:8+4-9=12>0 | =x<x,<1

4 1 Fundamentos de Matemática Elementen 4

184. FUNGOES GUADRÁTICAS

) Comparar o número O as raizes da equagäo 4x? — 6x + 1 = 0.

A=(-6P -4:4:1=20>0

af) =4-10)=4-1=4>0 | =0<x<%
S_-b_3

27470

126. Resumo

Se fx) = ax? + bx + ¢ apresenta zeros reals x; xp € a 6 um número real que
val ser comparado a xa € Xo, temos:

a)a-fa)<0 Ebo x, < à <x

b) a fa) = 0 — a é uma das raízes

da-f@>0 e 4>0 = pot

le vio

HS <a se a>

EXERCICIOS

330. Determine m de modo que o número 1 esteja comprendido entre as rafzes da
equagáo: mé + (m - 1x — m = 0.

Soluçäo
Considerando f(x) = mx? + (m — 1% - m.
Para que acontega x, < 1 < x, em que xy © X sio as raízes de
ime + (m — 1)x = m = 0, devemos ter:
a-f(1) <0 =mim-12+(m-1)-1-m<0 =
7 a)
=m:(m-1)<0 => 0<m<4
Resposta: 0<m <1.