Formas y polos de las clases cristalinas

Diferentes Notaciones de los polos de las clases de simetría

1. 1










































TOMÁS LASARTE ESTEBAN
FORMAS, CLASES Y POLOS DE
LOS SISTEMAS CRISTALINOS

CRISTALOGRAFÍA

2. 2

FORMAS SIMPLES ABIERTAS: Caras equivalentes que no cierran espacio
















FORMAS SIMPLES CERRADAS: Caras equivalentes que cierran espacio
















FORMAS COMBINADAS (de simples abiertas)











FORMAS COMBINADAS (de simples cerradas)


m
Pedión
Pinacoide Domo
Esfenoide Prisma
Pirámide
Escalenoedo
tetragonal
Trapezoedro
tetragonal
Biesfenoide
rómbico
Cubo
Octaedro
Deltoedro
+
= prisma
Caras prismáticas + Caras pinacoidales
Cubo + octaedro

3. 3

















































Holoedría 4/m 3 2/m
3 ejes cuaternarios
4 ejes ternarios de inversión
6 binarios
9 planos
centro simetría
3E
4
i
3
4E
2
6E
3P 6P
c
(con centro de simetría y plano m)
Hexaquisoctaedro
321
231

48 caras
(triángulos escalenos)
Polo 1
(hkl)
Clase hexaquisoctaédrica
Trioctaedro
221
122
212
(octaedro piramidado)
24 caras
triángulos isósceles
Polo 3
(hhl)
211
121
Trapezoedro
Polo 2
24 caras
trapezoidales
(hkk) (hll)
211
Tetraquihexaedro o cubo piramidado
210
120
021
24 caras
(triángulos isósceles)
Polo 4
(hk0)
Octaedro
111
8 caras
Polo 5
(triángulos equiláteros)
(111)
Rombododecaedro
110
12 caras
(en forma de rombos)
Polo 6
(110)
Cubo
100
001
010
6 caras
Polo 7
(cuadrados)
(100)

4. 4

















































Hemiedría Hemimórfica 43m
3 cuaternarios de inversión
4 ternarios
6 planos
3E
4
p i
3
4E 6P
(sin centro de simetría y sin plano m)
(sin centro)
(Clase hexaquistetraédrica)
Hexaquistetraedro
132
231 321
123 213
312
24 caras
Polo 1
(triángulos escalenos)
(hkl) + y -
Triaquistetraedro triangular (trigonal)
112
121
211
12 caras
(triángulos isósceles)
Polo 2
(hkk) + y -
Deltoedro
221
212
122
(dodecaedro trapezoidal)
12 caras
(trapezoidales)
Polo 3
(hll) + y -
(triaquistetraedro trapezoidal)
Polos 4 y 5
igual a la
holoedría
Tetraedro
111
4 caras
(triángulos equiláteros)
Polo 6
(111) + y -
Polo 7 igual a la
holoedría

5. 5


















































3 ejes binarios
4 ejes ternarios
Triaquistetraedro pentagonal tetartoédrico
Tetartoedro
12 caras
(pentágonos asimétricos)
p
3
4E
2
3E
(sin centro de simetría y sin plano m)
3 ejes cuaternarios
4 ejes ternarios
6 binarios
3E
4 3
4E
2
6E
(sin centro de simetría y sin plano m )
Hemiedría enantiomórfica 432
(Clase giroédrica)
3 ejes binarios
4 ejes ternarios de inversión
3 planos
3E
2
i
3
4E
3P
c
(con centro de simetría y plano m)
Hemiedría Paramórfica 2/m 3
(Clase diploédrica)
Diploedro (Disdodecaedro)
hkl = 321
24 caras
Polo 1
(trapezoides)
(hkl) izq. dcha
Polos 2, 3, 5, 6 y 7 igual a la holoedría
pero con menor
simetría
Polos 2, 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría
pero con menor simetría
(pentágonos no regulares)
12 caras
Piritoedro (Dodecaedro pentagonal)
hk0
Polo 4
(4 iguales y uno desigual)
(hk0) izqu. dcha
Giroedro (Triaquisoctaedro pentagonal)
24 caras
Polo 1
(pentágonos no regulares)
(hkl) izqu. dcha
Tetartoedría 2 3
(sin centro)
(clase tetartoédrica)
Polo 1
(khl)
centro
(dihexaedro)

6. 6



















































Holoedría 4/m 2/m 2/m
1 eje cuaternario
4 ejes binarios
5 planos
centro de simetría
E
4 2
2E
´2
2E
P 2P 2P´
c
(con centro de simetría y plano m)
(Clase bipiramidal ditetragonal)
(hkl)
Bipirámide ditetragonal
Polo1
16 caras
(triángulos escalenos)

Prisma ditetragonal (hk0)
Polo 4
(hk0)
110
Prisma tetragonal
segundo y primer orden
Polo 5 y 6
(110) y (100)
2ª y 1º orden
Polo 7
Pinacoide base
(001)
(001)
1 eje cuaternario de inversión
2 ejes binarios
2 planos
E
4
i
2
2E 2P
(sin centro de simetría
y sin plano m)
Bipirámide tetragonal
Polo 2 y 3
8 caras
(triángulos isósceles)
(hhl) y (h0l) 2º y 1º orden
de 2º y 1º orden
Polos 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría
Hemiedría de 2ª especie 4 2m
(Clase escalenoédrica tetragonal)
Escalenoedro tetragonal
Polo 1
8 caras
(triángulos
(hkl)
+ y -
escalenos)
Escalenoedro tetragonal
Biesfenoide tetragonal 2º orden
Polo 2
4 caras
(triángulos isósceles)
(hhl) + y -

7. 7


















































Hemiedría hemimórfica 4mm
Hemiedría paramórfica 4/m
1 eje cuaternario
1 plano
centro de simetría
Bipirámide tetragonal 3º orden
8 caras
(triángulos isósceles)
E
4
c P
(con centro de simetría y plano m)
Pirámide tetragonal 2º orden y 1º orden
Se repite de la holoedría pero en otra posición y
con menor número de elementos de simetría
Los demás polos son iguales a la holoedría pero
con menor número de elementos de simetría
1 eje cuaternario
4 planos
E
4
p
2P´ 2P
(sin centro de simetría y sin
plano m)
1 eje cuaternario
4 ejes binarios
E
4 2
2E
´2
2E
(sin centro de simetría y sin plano m)
Hemiedría enantiomórfica 422
(Clase trapezoédrica tetragonal)
(Clase piramidal ditetragonal)
Pirámide ditetragonal
8 caras
(triángulos escalenos)
Polo 1
(hkl)
Polos 2 y 3
(hhl) y (h0l)
2º y 3º orden
Polo 7 (001) Pedión
Se repiten formas de la holoedría
Trapezoedro
tetragonal
8 caras
(trapezoides)
izquierda y derecha
Polo 1
(hkl) izqu.
(khl) dcha
(Clase bipiramidal tetragonal)
Polo 1
(hkl) izqu.
(khl) dcha.
110
Prisma tetragonal 3º orden
Polo 4
(hko) izqu.
(kh0) dcha

8. 8



















































Pirámide tetragonal
Tetartoedría de 2ª especie 4
Tetartoedría de 1ª especie 4
1 eje cuaternario de inversión
Biesfenoide tetragonal
1 eje cuaternario
polar
4 caras (triángulos isósceles)
Polo 1, 2 y 3 = 3º, 2º y 1º orden
Polo
1
E
4
p
E
4
i
(sin centro de simetría y
sin plano m)
(sin centro de simetría
y sin plano m)
Se repite de la hemiedría, en
otra posición y con menos simetría
Se repite de la 4mm en otra posición
y con menos simetría
(Clase biesfenoidal tetragonal)
(Clase piramidal tetragonal)
(hkl)
El resto de los polos dan formas
iguales a la holoedría

9. 9


















































Bipirámide dihexagonal
(hk i l)
Polo 1
Prisma dihexagonal
(hk i 0)
Polo 4
Pinacoide hexagonal
(0001)
Polo 7
1 eje senario
6 ejes binarios
7 planos
centro de simetría
E
6 2
3E
´2
3E
P 3P 3P´
c
(con centro de simetría
y con plano m)
Holoedría 6/m 2/m 2/m
(Clase bipiramidal dihexagonal)
Polo 5 y 6
Prisma hexagonal
(10 1 0) y 11 2 0)
1º y 2º orden
Polo 2 y 3
(h0 h l) 1º orden
(hh 2h l) 2º orden
Bipirámide hexagonal

10. 10


















































1 eje senario
6 planos
Pirámide dihexagonal
(hk i l)
Polo 1 Polo 2 y 3
E
6
p
3P 3P´
(sin centro de simetría
y sin plano m)
Pirámide hexagonal
Trapezoedro hexagonal
Hemiedría enantiomórfica 622
1 eje senario
6 binarios Polo 1
E
6 2
3E
´2
3E
(sin centro de simetría y sin plano m)
1 senario de inversión = ternario rotación
3 binarios
4 planos
(sin centro de simetría pero con
plano m)
Bipirámide trigonal
E
6
i
2
3E 3P
P
3 + P
Hemiedría de 2ª especie 6m2 = 62m (HM)
(Clase bipiramidal ditrigonal)
Prisma ditrigonal
Bipirámide ditrigonal
(hk i l)
(hk i l)
(hk i 0)
Polo 1
Polo 4
(+ y -)
Polo 2
(h0 h l)
1º orden
(+ y -)
Prisma trigonal
Polo 5
(10 1 0)
1º orden
Polos 3, 6 y 7 igual a la
holoedría
Hemiedría hemimórfica 6mm
(Clase piramidal dihexagonal)
(h0 h l) y (hh 2h l)
1º y 2º orden
Polo 7 pedión
(ClaseTrapezoédrica hexagonal)
(dcho e izqui.)
Polo 2, 3, 4, 5, 6 y 7 igual a la holoedría
pero con menor simetría

11. 11



















































Tetartoedría 6
Tetartoedría de 2ª especie 6 = 3/m
Bipirámide trigonal
1 eje senario de inversión
1 plano Polo 1 y 3
(hk i l)
(hk i 0)
Pirámide hexagonal 3º orden
(hk i l)
Polo 1
1 eje senario polar
E
6
i
= 3 + P
(sin centro de simetría pero con
plano ecuatorial m)
E
6
p
(sin centro de simetría y
sin plano
m)
Se repite de clases anteriores pero
con menor simetría
Se repite de la clase 6mm pero
con menor simetría
Hemiedría paramórfica 6/m
1 eje senario
1 plano
centro de simetría
E
6
P
c
(con centro de simetría y con plano m)
Se repiten con otra orientación pero con
menor simetría que en la holoedría
(Clase bipiramidal hexagonal)
Bipirámide hexagonal
(hk i l)
Polo 1
(dcho e izqu.)
3º orden
Polo 4
Prisma hexagonal
3º orden
(Clase piramidal hexagonal)
(Clase Bipiramidal trigonal)
Prisma trigonal
Polo 4 y 6
(hk i 0).......
3º y 2º orden 3º y 2º orden

12. 12


















































Pirámide ditrigonal
Escalenoedro ditrigonal
2131
Hemiedría hemimórfica 3m
Polo 1
Polo 2
(hk i l) + y -
(hk i l)
1 eje ternario
3 planos
Polo 1
E
3
p
3P
(con centro de simetría y sin plano
m)
(sin centro de simetría y sin plano
m)
Pirámide trigonal de 1º orden
Romboedro trigonal 1º orden
E
3
i
2
3E
3P
c
Polo 3 Bipirámide hexagonal 2º
orden Polo 4 Prisma
dihexagonal Polo 5 y 6 Prisma hexagonal 1º y 2º
orden Polo 7
Pinacoides
Holoedría 3 2/m = 3 m
(Clase Escalenoédrica ditrigonal)

(h0 h l)
+ y -
(Clase piramidal ditrigonal)
+ y -
sup. e
inf.
Polo 2
Polo 3 Pirámide hexagonal de 2º
orden Polo 4 Prisma
ditrigonal Polo 5 Prisma trigonal 1º
orden Polo 6 igual
holoedría polo 7
Pedión
+ y n
sup. e
inf.
1 eje ternario de inversión
3 binarios
3 planos
centro de simetría

13. 13


















































Pirámide trigonal 3º orden
Romboedro trigonal 3º orden
Hemiedría paramórfica 3
Tetartoedría 3
1 eje ternario de inversión
1 eje ternario polar
E
3
i
(con centro de simetría y sin plano m)
E
3
p
(sin centro de simetría y sin plano m)
c
Se repite de la holoedría
pero con menor simetría
Se repite de la clase 3m pero
con menor simetría
Trapezoedro trigonal
Hemiedría enantiomórfica 3 2
(hk i l)
(hk i l)
1 eje ternario
3 binarios
Polo 1
E
3 2
3E
(sin centro de simetría y sin plano m)
(Clase trapezoédrica trigonal)
+ y -
dcho. e izqu.
Polo 3 Bipirámide trigonal de 2º orden
Polo 6 Prisma trigonal de 2º orden
Polo 2, 4, 5 y 7 = a la holoedría
(Clase romboédrica)
Polo 1
+ y -
dcha. e izqu.
Polo 3 Romboedro trigonal 2º orden
Polo 4 Prisma hexagonal 3º orden
Polo 2, 5, 6 y 7 = holoedría
(Clase piramidal trigonal)
Polo 1
Polo 2 y 3 Pirámide trigonal 2º orden
Polo 4 Pirámide trigonal 3º orden
Polo 7 Pedión superior e inferior
centro de simetría

14. 14

















































Bipirámide
rómbica
Holoedría 2/m 2/m 2/m
3 ejes binarios
3 planos
centro de simetría
Polo 1
Pinacoide (010) Pinacoide (100)
Prisma (0kl)
0kl
Prisma (h0l)
h0l
Prisma (hk0)
hk0
Polo 2
Polo 3
Polo 4 Polo 5 Polo 6
Primera especie 2º especie
3ª especie
1º orden
2º orden
E
2
´2
E
´´2
E
P P´ P´´
c
(con centro de simetría y plano ecuatorial m)
(Clase Bipiramidal rómbica)
(hkl)
hkl
(0kl)
(h0l)
(hk0)
(100) (010)
3º orden Pinacoide (001)
Polo 7
(001)

15. 15


















































1 binario
2 planos
E
2
2P
(sin centro de simetría y sin plano m)
Biesfenoide rómbico
3 binarios
E
2 ´2
E
´´2
E
(sin centro de simetría y sin
plano m)
Hemiedría enantiomórfica 222
(Clase piramidal rómbica)
Hemiedría hemimórfica 2mm = mm2 (HM)
(Clase piramidal rómbica)
Pirámide rómbica
Polo 1
(hkl) sup. e inf.
Polo 4 prisma de 3ª especie
Polo 5 Pinacoide 1º orden
Polo 6 Pinacoide 2º orden
Polo 7 Pedión
Polo 1
Domo (0kl)
Polo 2
1ª especie
(0kl)
Domo (h0l)
Polo 3
2ª especie
(h0l)
(hkl)
dcho. e izqu.
Polo 2, 3, 4, 5, 6 y 7 iguales a la
holoedría

16. 16


















































Diedro axial o esfenoide
Pinacoide (100)
Prisma (hkl) 4ª especie
Hemiedría 2
Prisma (hk0) 3ª especie
1 eje binario
1 plano
centro de simetría
1 eje binario polar
Polo 1
Polo 4
Polo 5
Pinacoide (010) 2º
orden
Polo 6
Pinacoide (001) 3º
orden
Polo 7
E
2
P
c
(con centro de simetría y sin plano m)
E
2
p
(sin centro de simetría y sin plano m)
Diedro anaxial o domo
Hemimorfía de 2ª especie m
1 plano
P
(sin centro de simetría y sin plano m)
Holoedría 2/m
(Clase Prismática)
Polo 1 Domo de 4ª especie
Polo 1 Esfenoide 4ª especie
Polo 2 Esfenoide 1ª especie
Polo 4 Esfenoide 3ª especie
Polo 6 Pedión 2º orden
Polo 7 Pinacoide 3º orden
(Clase esfenoídica)
Polo 2 Domo de 1ª especie
Polo 3 Pedión de 2ª especie
Polo 4 Domo de 3ª especie
Polo 5 Pedión de 1º orden
Polo 6 = holoedría
Polo 7 Pedión de 3º orden
Polo 3 y 5 = holoedría
(Clase domática)
Polo 2 prisma 1ª especie
Polo 3 Pinacoide 2ª especie

17. 17




















































Pedión
Pinacoide (hk0)
Pinacoide (010)
Pinacoide (001)
Pinacoide (hkl)
Combinación de pinacoides
triclínicos
Bipirámide triclínica
Prisma triclínico
Pinacoide (100)
Pinacoide (h0l)
Holoedría 1
Hemiedría 1
Polo 1
Pinacoide (0kl)1ª especie
Polo 2
Polo 3
Polo 4 Polo 5
Polo 6
Polo 7
centro de simetría
4ª especie
2ª especie
3ª especie
3º orden
1º orden
2º orden
c
Simetría: nada
(Clase pedial)
Polo 1 Pedión de 4ª especie
Polo 2 Pedión de 1ª especie
Polo 3 Pedión de 2ª especie
Polo 4 Pedión de 3ª especie
Polo 5 Pedión de 1º orden
Polo 6 Pedión de 2º orden
Polo 7 pedión de 3º orden
(Clase pinacoidal)