Formulario plano cartesiano y la recta

Principales fórmulas del plano cartesiano y la recta en R^2

1. FORMULARIO
Ladistancia entre dos puntoscualesquieraP1(x1; y1)y
P2(x2; y2)está dada por la fórmula:
d(P1; P2) =
p
(x2x1)
2
+ (y2y1)
2
(1.1)
Dado un segmento por extremosA(x1; y1)yB(x2; y2),
se determinan elementos como: elpunto medioM(xm; ym),
donde:
xm=
x1+x2
2
; ym=
y1+y2
2
(1.2)
y lapendiente:
m
AB
=
y2y1
x2x1
(1.3)
Dados los puntosA(x1; y1),B(x2; y2)yC(x3; y3)como
vértices del triánguloABC, su área se calcula mediante el
valor absoluto de la mitad del determinante de la matríz:
2
6
4
x1y11
x2y21
x3y31
3
7
5
o equivalentemente:
ÁreaABC=
1
2
jx1y2+x2y2+x3y1(x2y1+x3y2+x1y3)j
LA RECTA
Una rectaL que pasa por un punto
P0(x0; y0)es el conjunto de puntos P(x; y)que
determinan conP0un segmentoP P0con pendiente
constantem. Tiene por ecuación:
yy0=m(xx0) (1.4)
ésta es también conocida comoecuación punto - pendiente.
Otras formas de la ecuación de la recta son:
1.Ecuación cartesiana de la rectaLque pasa por los puntos
P1(x1; y1)yP2(x2; y2):
yy1=
y2y1
x2x1
(xx1) (1.5)
2.Ecuación simétrica de la rectaLque pasa por los puntos
P(a;0)yQ(0; b):
x
a
+
y
b
= 1 (1.6)
Los puntosP(a;0)yQ(0; b)son también de-
nominados interceptoscon los ejesXeY,
respectivamente.
3.Ecuación general de la rectaL:
Ax+By+C= 0 (1.7)
donde los coecientesA,ByCson determinados luego
de reducir las ecuaciones (1.4), (1.5) ó (1.6). La pendiente
en (1.7) se puede hallar como:
mL=
A
B
:
Dado un puntoP0(x0; y0), la distancia deP0a la rectaL
dada por la ecuación general (1.7) se calcula por la fórmula:
d(P0;L) =
jAx0+By0+Cj
p
A
2
+B
2
(1.8)
Sean las rectas:
L1:A1x+B1y+C1= 0; L2:A2x+B2y+C2= 0
con sus respectivas pendientesmL1
ymL2
. Se tienen sigu-
ientes las propiedades:
1. Las rectasL1yL2sonparalelassi y sólo si:
mL1=mL2
(1.9)
Un caso muy particular de paralelismo ocurre cuandoL1
yL2coinciden o se superponen. En este caso se cumple:
A1
A2
=
B1
B2
=
C1
C2
:
2. Las rectasL1yL2seránortogonales(o perpendiculares)
si y sólo si:
mL1:mL2=1 (1.10)
3. Las rectasL1yL2sonoblicuassi y sólo si no son
paralelas ni ortogonales.
4. El ángulo agudocomprendido entre las rectasL1yL2
se determina como:
tan=




mL1mL2
1 +mL1mL2




(1.11)