[FREE PDF sample] Boundary methods elements contours and nodes 1st Edition Subrata Mukherjee ebooks

Visit https://ebookgate.com to download the full version and
explore more ebooks
Boundary methods elements contours and nodes 1st
Edition Subrata Mukherjee
_____ Click the link below to download _____
https://ebookgate.com/product/boundary-methods-
elements-contours-and-nodes-1st-edition-subrata-
mukherjee/
Explore and download more ebooks at ebookgate.com

Here are some recommended products that might interest you.
You can download now and explore!
Asymptotic Methods in the Theory of Plates with Mixed
Boundary Conditions 1st Edition Danishevskin
https://ebookgate.com/product/asymptotic-methods-in-the-theory-of-
plates-with-mixed-boundary-conditions-1st-edition-danishevskii/
ebookgate.com
Performance of Home Textiles 1st Edition Subrata Das
(Auth.)
https://ebookgate.com/product/performance-of-home-textiles-1st-
edition-subrata-das-auth/
ebookgate.com
Elements of Numerical Methods for Compressible Flows 1st
Edition Doyle D. Knight
https://ebookgate.com/product/elements-of-numerical-methods-for-
compressible-flows-1st-edition-doyle-d-knight/
ebookgate.com
Strigolactones Alkamides and Karrikins in Plants 1st
Edition Soumya Mukherjee
https://ebookgate.com/product/strigolactones-alkamides-and-karrikins-
in-plants-1st-edition-soumya-mukherjee/
ebookgate.com

Numerical Continuation Methods for Dynamical Systems Path
following and boundary value problems Understanding
Complex Systems 1st Edition Bernd Krauskopf
https://ebookgate.com/product/numerical-continuation-methods-for-
dynamical-systems-path-following-and-boundary-value-problems-
understanding-complex-systems-1st-edition-bernd-krauskopf/
ebookgate.com
Politics in India Structure Process and Policy 2nd Edition
Subrata K. Mitra
https://ebookgate.com/product/politics-in-india-structure-process-and-
policy-2nd-edition-subrata-k-mitra/
ebookgate.com
Corporate Coaching The Essential Guide 1st Edition Sraban
Mukherjee
https://ebookgate.com/product/corporate-coaching-the-essential-
guide-1st-edition-sraban-mukherjee/
ebookgate.com
Pharmacological Therapies for Peripheral Vascular Disease
1st Edition Debabrata Mukherjee
https://ebookgate.com/product/pharmacological-therapies-for-
peripheral-vascular-disease-1st-edition-debabrata-mukherjee/
ebookgate.com
Beyond A Boundary C.L.R. James
https://ebookgate.com/product/beyond-a-boundary-c-l-r-james/
ebookgate.com

DK3139_half 1/20/05 11:13 AM Page 1
Boundary
Methods
Elements, Contours, and Nodes© 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

MECHANICAL ENGINEERING
A Series of Textbooks and Reference Books
Founding Editor
L. L. Faulkner
Columbus Division, Battelle Memorial Institute
and Department of Mechanical Engineering
The Ohio State University
Columbus, Ohio
1.Spring Designer’s Handbook, Harold Carlson
2.
Computer-Aided Graphics and Design, Daniel L. Ryan
3.
Lubrication Fundamentals, J. George Wills
4.
Solar Engineering for Domestic Buildings, William A. Himmelman
5.
Applied Engineering Mechanics: Statics and Dynamics, G. Boothroyd
and C. Poli
6.
Centrifugal Pump Clinic, Igor J. Karassik
7.
Computer-Aided Kinetics for Machine Design, Daniel L. Ryan
8.
Plastics Products Design Handbook, Part A: Materials and Components;
Part B: Processes and Design for Processes
, edited by Edward Miller
9.
Turbomachinery: Basic Theory and Applications, Earl Logan, Jr.
10.
Vibrations of Shells and Plates, Werner Soedel
11.
Flat and Corrugated Diaphragm Design Handbook, Mario Di Giovanni
12.
Practical Stress Analysis in Engineering Design, Alexander Blake
13.
An Introduction to the Design and Behavior of Bolted Joints, John H.
Bickford
14.
Optimal Engineering Design: Principles and Applications, James N. Siddall
15.
Spring Manufacturing Handbook, Harold Carlson
16.
Industrial Noise Control: Fundamentals and Applications, edited by
Lewis H. Bell
17.
Gears and Their Vibration: A Basic Approach to Understanding Gear Noise,
J. Derek Smith
18.
Chains for Power Transmission and Material Handling: Design and Appli-
cations Handbook
, American Chain Association
19.
Corrosion and Corrosion Protection Handbook, edited by
Philip A. Schweitzer
20.
Gear Drive Systems: Design and Application, Peter Lynwander
21.
Controlling In-Plant Airborne Contaminants: Systems Design
and Calculations
, John D. Constance
22.
CAD/CAM Systems Planning and Implementation, Charles S. Knox
23.
Probabilistic Engineering Design: Principles and Applications,
James N. Siddall
DK3139_series.qxd 1/20/05 11:17 AM Page 1© 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

24.Traction Drives: Selection and Application, Frederick W. Heilich III
and Eugene E. Shube
25.
Finite Element Methods: An Introduction, Ronald L. Huston
and Chris E. Passerello
26.
Mechanical Fastening of Plastics: An Engineering Handbook,
Brayton Lincoln, Kenneth J. Gomes, and James F. Braden
27.
Lubrication in Practice: Second Edition, edited by W. S. Robertson
28.
Principles of Automated Drafting, Daniel L. Ryan
29.
Practical Seal Design, edited by Leonard J. Martini
30.
Engineering Documentation for CAD/CAM Applications, Charles S. Knox
31.
Design Dimensioning with Computer Graphics Applications,
Jerome C. Lange
32.
Mechanism Analysis: Simplified Graphical and Analytical Techniques,
Lyndon O. Barton
33.
CAD/CAM Systems: Justification, Implementation, Productivity Measure-
ment
, Edward J. Preston, George W. Crawford, and Mark E. Coticchia
34.
Steam Plant Calculations Manual, V. Ganapathy
35.
Design Assurance for Engineers and Managers, John A. Burgess
36.
Heat Transfer Fluids and Systems for Process and Energy Applications,
Jasbir Singh
37.
Potential Flows: Computer Graphic Solutions, Robert H. Kirchhoff
38.
Computer-Aided Graphics and Design: Second Edition, Daniel L. Ryan
39.
Electronically Controlled Proportional Valves: Selection and Application,
Michael J. Tonyan, edited by Tobi Goldoftas
40.
Pressure Gauge Handbook, AMETEK, U.S. Gauge Division,
edited by Philip W. Harland
41.
Fabric Filtration for Combustion Sources: Fundamentals and Basic
Technology
, R. P. Donovan
42.
Design of Mechanical Joints, Alexander Blake
43.
CAD/CAM Dictionary, Edward J. Preston, George W. Crawford,
and Mark E. Coticchia
44.
Machinery Adhesives for Locking, Retaining, and Sealing, Girard S. Haviland
45.
Couplings and Joints: Design, Selection, and Application, Jon R. Mancuso
46.
Shaft Alignment Handbook, John Piotrowski
47.
BASIC Programs for Steam Plant Engineers: Boilers, Combustion, Fluid
Flow, and Heat Transfer
, V. Ganapathy
48.
Solving Mechanical Design Problems with Computer Graphics,
Jerome C. Lange
49.
Plastics Gearing: Selection and Application, Clifford E. Adams
50.
Clutches and Brakes: Design and Selection, William C. Orthwein
51.
Transducers in Mechanical and Electronic Design, Harry L. Trietley
52.
Metallurgical Applications of Shock-Wave and High-Strain-Rate Phenomena,
edited by Lawrence E. Murr, Karl P. Staudhammer, and Marc A. Meyers
53.
Magnesium Products Design, Robert S. Busk
54.
How to Integrate CAD/CAM Systems: Management and Technology,
William D. Engelke
DK3139_series.qxd 1/20/05 11:17 AM Page 2© 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

55.Cam Design and Manufacture: Second Edition; with cam design software
for the IBM PC and compatibles
, disk included, Preben W. Jensen
56.
Solid-State AC Motor Controls: Selection and Application,
Sylvester Campbell
57.
Fundamentals of Robotics, David D. Ardayfio
58.
Belt Selection and Application for Engineers, edited by Wallace D. Erickson
59.
Developing Three-Dimensional CAD Software with the IBM PC, C. Stan Wei
60.
Organizing Data for CIM Applications, Charles S. Knox, with contributions
by Thomas C. Boos, Ross S. Culverhouse, and Paul F. Muchnicki
61.
Computer-Aided Simulation in Railway Dynamics, by Rao V. Dukkipati
and Joseph R. Amyot
62.
Fiber-Reinforced Composites: Materials, Manufacturing, and Design,
P. K. Mallick
63.
Photoelectric Sensors and Controls: Selection and Application, Scott M. Juds
64.
Finite Element Analysis with Personal Computers, Edward R. Champion, Jr.
and J. Michael Ensminger
65.
Ultrasonics: Fundamentals, Technology, Applications: Second Edition,
Revised and Expanded
, Dale Ensminger
66.
Applied Finite Element Modeling: Practical Problem Solving for Engineers,
Jeffrey M. Steele
67.
Measurement and Instrumentation in Engineering: Principles and Basic
Laboratory Experiments
, Francis S. Tse and Ivan E. Morse
68.
Centrifugal Pump Clinic: Second Edition, Revised and Expanded,
Igor J. Karassik
69.
Practical Stress Analysis in Engineering Design: Second Edition,
Revised and Expanded
, Alexander Blake
70.
An Introduction to the Design and Behavior of Bolted Joints: Second Edition,
Revised and Expanded
, John H. Bickford
71.
High Vacuum Technology: A Practical Guide, Marsbed H. Hablanian
72.
Pressure Sensors: Selection and Application, Duane Tandeske
73.
Zinc Handbook: Properties, Processing, and Use in Design, Frank Porter
74.
Thermal Fatigue of Metals, Andrzej Weronski and Tadeusz Hejwowski
75.
Classical and Modern Mechanisms for Engineers and Inventors,
Preben W. Jensen
76.
Handbook of Electronic Package Design, edited by Michael Pecht
77.
Shock-Wave and High-Strain-Rate Phenomena in Materials, edited by
Marc A. Meyers, Lawrence E. Murr, and Karl P. Staudhammer
78.
Industrial Refrigeration: Principles, Design and Applications, P. C. Koelet
79.
Applied Combustion, Eugene L. Keating
80.
Engine Oils and Automotive Lubrication, edited by Wilfried J. Bartz
81.
Mechanism Analysis: Simplified and Graphical Techniques, Second Edition,
Revised and Expanded
, Lyndon O. Barton
82.
Fundamental Fluid Mechanics for the Practicing Engineer,
James W. Murdock
83.
Fiber-Reinforced Composites: Materials, Manufacturing, and Design,
Second Edition, Revised and Expanded
, P. K. Mallick
84.
Numerical Methods for Engineering Applications, Edward R. Champion, Jr.
DK3139_series.qxd 1/20/05 11:17 AM Page 3© 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

85.Turbomachinery: Basic Theory and Applications, Second Edition,
Revised and Expanded
, Earl Logan, Jr.
86.
Vibrations of Shells and Plates: Second Edition, Revised and Expanded,
Werner Soedel
87.
Steam Plant Calculations Manual: Second Edition, Revised and Expanded,
V. Ganapathy
88.
Industrial Noise Control: Fundamentals and Applications, Second Edition,
Revised and Expanded
, Lewis H. Bell and Douglas H. Bell
89.
Finite Elements: Their Design and Performance, Richard H. MacNeal
90.
Mechanical Properties of Polymers and Composites: Second Edition,
Revised and Expanded
, Lawrence E. Nielsen and Robert F. Landel
91.
Mechanical Wear Prediction and Prevention, Raymond G. Bayer
92.
Mechanical Power Transmission Components, edited by David W. South
and Jon R. Mancuso
93.
Handbook of Turbomachinery, edited by Earl Logan, Jr.
94.
Engineering Documentation Control Practices and Procedures,
Ray E. Monahan
95.
Refractory Linings Thermomechanical Design and Applications,
Charles A. Schacht
96.
Geometric Dimensioning and Tolerancing: Applications and Techniques
for Use in Design, Manufacturing, and Inspection
, James D. Meadows
97.
An Introduction to the Design and Behavior of Bolted Joints: Third Edition,
Revised and Expanded
, John H. Bickford
98.
Shaft Alignment Handbook: Second Edition, Revised and Expanded,
John Piotrowski
99.
Computer-Aided Design of Polymer-Matrix Composite Structures,
edited by Suong Van Hoa
100.
Friction Science and Technology, Peter J. Blau
101.
Introduction to Plastics and Composites: Mechanical Properties
and Engineering Applications
, Edward Miller
102.
Practical Fracture Mechanics in Design, Alexander Blake
103.
Pump Characteristics and Applications, Michael W. Volk
104.
Optical Principles and Technology for Engineers, James E. Stewart
105.
Optimizing the Shape of Mechanical Elements and Structures, A. A. Seireg
and Jorge Rodriguez
106.
Kinematics and Dynamics of Machinery, Vladimír Stejskal
and Michael Valásek
107.
Shaft Seals for Dynamic Applications, Les Horve
108.
Reliability-Based Mechanical Design, edited by Thomas A. Cruse
109.
Mechanical Fastening, Joining, and Assembly, James A. Speck
110.
Turbomachinery Fluid Dynamics and Heat Transfer, edited by Chunill Hah
111.
High-Vacuum Technology: A Practical Guide, Second Edition,
Revised and Expanded
, Marsbed H. Hablanian
112.
Geometric Dimensioning and Tolerancing: Workbook and Answerbook,
James D. Meadows
113.
Handbook of Materials Selection for Engineering Applications,edited by
G. T. Murray
DK3139_series.qxd 1/20/05 11:17 AM Page 4© 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

114.Handbook of Thermoplastic Piping System Design, Thomas Sixsmith
and Reinhard Hanselka
115.
Practical Guide to Finite Elements: A Solid MechanicsApproach,
Steven M. Lepi
116.
Applied Computational Fluid Dynamics, edited by Vijay K. Garg
117.
Fluid Sealing Technology, Heinz K. Muller and Bernard S. Nau
118.
Friction and Lubrication in Mechanical Design, A. A. Seireg
119.
Influence Functions and Matrices, Yuri A. Melnikov
120.
Mechanical Analysis of Electronic Packaging Systems, Stephen A. McKeown
121.
Couplings and Joints: Design, Selection, and Application, Second Edition,
Revised and Expanded, Jon R. Mancuso
122.
Thermodynamics: Processes and Applications, Earl Logan, Jr.
123.
Gear Noise and Vibration, J. Derek Smith
124.
Practical Fluid Mechanics for Engineering Applications, John J. Bloomer
125.
Handbook of Hydraulic Fluid Technology, edited by George E. Totten
126.
Heat Exchanger Design Handbook, T. Kuppan
127.
Designing for Product Sound Quality, Richard H. Lyon
128.
Probability Applications in Mechanical Design, Franklin E. Fisher
and Joy R. Fisher
129.
Nickel Alloys, edited by Ulrich Heubner
130.
Rotating Machinery Vibration: Problem Analysis and Troubleshooting,
Maurice L. Adams, Jr.
131.
Formulas for Dynamic Analysis, Ronald L. Huston and C. Q. Liu
132.
Handbook of Machinery Dynamics, Lynn L. Faulkner and Earl Logan, Jr.
133.
Rapid Prototyping Technology: Selection and Application,
Kenneth G. Cooper
134.
Reciprocating Machinery Dynamics: Design and Analysis,
Abdulla S. Rangwala
135.
Maintenance Excellence: Optimizing Equipment Life-Cycle Decisions,
edited by John D. Campbell and Andrew K. S. Jardine
136.
Practical Guide to Industrial Boiler Systems, Ralph L. Vandagriff
137.
Lubrication Fundamentals: Second Edition, Revised and Expanded,
D. M. Pirro and A. A. Wessol
138.
Mechanical Life Cycle Handbook: Good Environmental Design
and Manufacturing
, edited by Mahendra S. Hundal
139.
Micromachining of Engineering Materials, edited by Joseph McGeough
140.
Control Strategies for Dynamic Systems: Design and Implementation,
John H. Lumkes, Jr.
141.
Practical Guide to Pressure Vessel Manufacturing, Sunil Pullarcot
142.
Nondestructive Evaluation: Theory, Techniques, and Applications,
edited by Peter J. Shull
143.
Diesel Engine Engineering: Thermodynamics, Dynamics, Design,
and Control
, Andrei Makartchouk
144.
Handbook of Machine Tool Analysis, Ioan D. Marinescu, Constantin Ispas,
and Dan Boboc
DK3139_series.qxd 1/20/05 11:17 AM Page 5© 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

145.Implementing Concurrent Engineering in Small Companies,
Susan Carlson Skalak
146.
Practical Guide to the Packaging of Electronics: Thermal and Mechanical
Design and Analysis
, Ali Jamnia
147.
Bearing Design in Machinery: Engineering Tribology and Lubrication,
Avraham Harnoy
148.
Mechanical Reliability Improvement: Probability and Statistics
for Experimental Testing
, R. E. Little
149.
Industrial Boilers and Heat Recovery Steam Generators: Design,
Applications, and Calculations
, V. Ganapathy
150.
The CAD Guidebook: A Basic Manual for Understanding and Improving
Computer-Aided Design
, Stephen J. Schoonmaker
151.
Industrial Noise Control and Acoustics, Randall F. Barron
152.
Mechanical Properties of Engineered Materials, Wolé Soboyejo
153.
Reliability Verification, Testing, and Analysis in Engineering Design,
Gary S. Wasserman
154.
Fundamental Mechanics of Fluids: Third Edition, I. G. Currie
155.
Intermediate Heat Transfer, Kau-Fui Vincent Wong
156.
HVAC Water Chillers and Cooling Towers: Fundamentals, Application,
and Operation
, Herbert W. Stanford III
157.
Gear Noise and Vibration: Second Edition, Revised and Expanded,
J. Derek Smith
158.
Handbook of Turbomachinery: Second Edition, Revised and Expanded,
edited by Earl Logan, Jr. and Ramendra Roy
159.
Piping and Pipeline Engineering: Design, Construction, Maintenance,
Integrity, and Repair
, George A. Antaki
160.
Turbomachinery: Design and Theory, Rama S. R. Gorla
and Aijaz Ahmed Khan
161.
Target Costing: Market-Driven Product Design, M. Bradford Clifton,
Henry M. B. Bird, Robert E. Albano, and Wesley P. Townsend
162.
Fluidized Bed Combustion, Simeon N. Oka
163.
Theory of Dimensioning: An Introduction to Parameterizing Geometric
Models
, Vijay Srinivasan
164.
Handbook of Mechanical Alloy Design, edited by George E. Totten, Lin Xie,
and Kiyoshi Funatani
165.
Structural Analysis of Polymeric Composite Materials, Mark E. Tuttle
166.
Modeling and Simulation for Material Selection and Mechanical Design,
edited by George E. Totten, Lin Xie, and Kiyoshi Funatani
167.
Handbook of Pneumatic Conveying Engineering, David Mills, Mark G. Jones,
and Vijay K. Agarwal
168.
Clutches and Brakes: Design and Selection, Second Edition,
William C. Orthwein
169.
Fundamentals of Fluid Film Lubrication: Second Edition,
Bernard J. Hamrock, Steven R. Schmid, and Bo O. Jacobson
170.
Handbook of Lead-Free Solder Technology for Microelectronic Assemblies,
edited by Karl J. Puttlitz and Kathleen A. Stalter
171.
Vehicle Stability, Dean Karnopp
DK3139_series.qxd 1/20/05 11:17 AM Page 6© 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

172.Mechanical Wear Fundamentals and Testing: Second Edition,
Revised and Expanded
, Raymond G. Bayer
173.
Liquid Pipeline Hydraulics, E. Shashi Menon
174.
Solid Fuels Combustion and Gasification, Marcio L. de Souza-Santos
175.
Mechanical Tolerance Stackup and Analysis, Bryan R. Fischer
176.
Engineering Design for Wear,Raymond G. Bayer
177.
Vibrations of Shells and Plates: Third Edition, Revised and Expanded,
Werner Soedel
178.
Refractories Handbook, edited by Charles A. Schacht
179.
Practical Engineering Failure Analysis, Hani M. Tawancy,
Anwar Ul-Hamid, and Nureddin M. Abbas
180.
Mechanical Alloying and Milling, C. Suryanarayana
181.
Mechanical Vibration: Analysis, Uncertainties, and Control,
Second Edition, Revised and Expanded
, Haym Benaroya
182.
Design of Automatic Machinery, Stephen J. Derby
183.
Practical Fracture Mechanics in Design: Second Edition,
Revised and Expanded
, Arun Shukla
184.
Practical Guide to Designed Experiments, Paul D. Funkenbusch
185.
Gigacycle Fatigue in Mechanical Practive, Claude Bathias
and Paul C. Paris
186.
Selection of Engineering Materials and Adhesives, Lawrence W. Fisher
187.
Boundary Methods: Elements, Contours, and Nodes, Subrata Mukherjee
and Yu Xie Mukherjee
DK3139_series.qxd 1/20/05 11:17 AM Page 7© 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

DK3139_title 1/20/05 11:12 AM Page 1
Boundary
Methods
Elements, Contours, and Nodes
Boca Raton London New York Singapore
A CRC title, part of the Taylor & Francis imprint, a member of the
Taylor & Francis Group, the academic division of T&F Informa plc.
Subrata Mukherjee
Cornell University
Ithaca, New York, U.S.A.
Yu Xie Mukherjee
Cornell University
Ithaca, New York, U.S.A.© 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

Published in 2005 by
CRC Press
Taylor & Francis Group
6000 Broken Sound Parkway NW
Boca Raton, FL 33487-2742
© 2005 by Taylor & Francis Group, LLC
CRC Press is an imprint of Taylor & Francis Group
No claim to original U.S. Government works
Printed in the United States of America on acid-free paper
10987654321
International Standard Book Number-10: 0-8247-2599-9 (Hardcover)
International Standard Book Number-13: 978-0-8247-2599-0 (Hardcover)
Library of Congress Card Number 2004063489
This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources. Reprinted material is
quoted with permission, and sources are indicated. A wide variety of references are listed. Reasonable efforts
have been made to publish reliable data and information, but the author and the publisher cannot assume
responsibility for the validity of all materials or for the consequences of their use.
No part of this book may be reprinted, reproduced, transmitted, or utilized in any form by any electronic,
mechanical, or other means, now known or hereafter invented, including photocopying, microfilming, and
recording, or in any information storage or retrieval system, without written permission from the publishers.
For permission to photocopy or use material electronically from this work, please access www.copyright.com
(http://www.copyright.com/) or contact the Copyright Clearance Center, Inc. (CCC
Danvers, MA 01923, 978-750-8400. CCC is a not-for-profit organization that provides licenses and registration
for a variety of users. For organizations that have been granted a photocopy license by the CCC, a separate
system of payment has been arranged.

Trademark Notice:

Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and are used only
for identification and explanation without intent to infringe.

Library of Congress Cataloging-in-Publication Data

Mukherjee, Subrata.
Boundary methods : elements, contours, and nodes / Subrata Mukherjee and Yu Mukherjee.
p. cm. -- (Mechanical engineering ; 185)
ISBN 0-8247-2599-9 (alk. paper)
1. Boundary element methods. I. Mukherjee, Yu. II. Title. III. Mechanical engineering
(Marcel Dekker, Inc.) ; 185.
TA347.B69M83 2005

621'.01'51535--dc22 2004063489

Visit the Taylor & Francis Web site at
http://www.taylorandfrancis.com
and the CRC Press Web site at
http://www.crcpress.com
Taylor & Francis Group
is the Academic Division of T&F Informa plc.

DK3139_discl Page 1 Wednesday, January 19, 2005 9:05 AM© 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

iii
To our boys
Anondo and Alok
and
To Yu’s teacher, Professor Zhicheng Xie of Tsinghua University,
a distinguished scholar
who has dedicated himself to China.?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

v
PREFACE
The general subject area of concern to this book is computational science and
engineering, with applications in potential theory and in solid mechanics (linear
elasticity). This ﬁeld has undergone a revolution during the past several decades
along with the exponential growth of computational power and memory. Problems
that were too large for main frame computers 15 or 20 years ago can now be
routinely solved on desktop personal computers.
There are several popular computational methods for solving problems in po-
tential theory and linear elasticity. The most popular, versatile and most commonly
used is the ﬁnite element method (FEM). Many hundreds of books already exist
on the subject and new books get published frequently on a regular basis. Another
popular method is the boundary element method (BEM). Compared to the FEM,
we view the BEM as a niche method, in that it is particularly well suited, from the
point of view of accuracy as well as computational eﬃciency, for linear problems.
The principal advantage of the BEM, relative to the FEM, is its dimensionality
advantage. The FEM is a domain method that requires discretization of the entire
domain of a body while the BEM, for linear problems, only requires discretization
of its bounding surface.
The process of discretization (or meshing) of a three-dimensional (3-D) object of
complex shape is a popular research area in computational geometry. Even though
great strides have been made in recent years, meshing, for many applications, still
remains an arduous task. During the past decade, mesh-free (also called mesh-
less) methods have become a popular research area in computational mechanics.
The main purpose here is to substantially simplify the task of meshing of an object.
Advantages of mesh-free methods become more pronounced, for example, for prob-
lems involving optimal shape design or adaptive meshing, since many remeshings
must be typically carried out for such problems. One primary focus of this book
is a marriage of these two ideas, i.e. a discussion of a boundary-based mesh-free
method - the boundary node method (BNM) - which combines the dimensionality
advantage of the BEM with the ease of discretization of mesh-free methods.
Following an introductory chapter, this book consists of three parts related to
the boundary element, boundary contour and boundary node methods. The ﬁrst
part is short, in order not to duplicate information on the BEM that is already
available in many books on the subject. Only some novel topics related to the
BEM are presented here. The second part is concerned with the boundary contour
method (BCM). This method is a novel variant of the BEM in that it further reduces
the dimensionality of a problem. Only one-dimensional line integrals need to be
numerically computed when solving three-dimensional problems in linear elasticity
by the BCM. The third part is concerned with the boundary node method (BNM).
The BNM combines the BEM with moving least-squares (MLS) approximants,
thus producing a mesh-free boundary-only method. In addition to the solution of
3-D problems, Part II of the book on the BCM presents shape sensitivity analysis,
shape optimization, and error estimation and adaptivity; while Part III on the BNM
includes error analysis and adaptivity.?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

vi
This book is written in the style of a research monograph. Each topic is clearly
introduced and developed. Numerical results for selected problems appear through-
out the book, as do references to related work (research publications and books).
This book should be of great interest to graduate students, researchers and
practicing engineers in the ﬁeld of computational mechanics; and to others inter-
ested in the general areas of computational mathematics, science and engineering.
It should also be of value to advanced undergraduate students who are interested
in this ﬁeld.
We wish to thank a number of people and organizations who have contributed
in various ways to making this book possible. Two of Subrata’s former graduate
students, Glaucio Paulino and Mandar Chati, as well as Yu’s associate Xiaolan Shi,
have made very signiﬁcant contributions to the research that led to this book. Sin-
cere thanks are expressed to Subrata’s former graduate students Govind Menon and
Ramesh Gowrishankar, to one of his present graduate students, Srinivas Telukunta,
and to Vasanth Kothnur, for their contributions to the BNM. Earlin Lutz, Anan-
tharaman Nagarajan and Anh-Vu Phan have signiﬁcantly contributed to the early
development of the BCM; while Subrata’s just-graduated student Zhongping Bao
has made excellent contributions to the research on micro-electro-mechanical sys-
tems (MEMS) by the BEM. Sincere thanks are expressed to our dear friend Ashim
Datta for his help and encouragement throughout the writing of this book.
Much of the research presented here has been ﬁnancially supported by the Na-
tional Science Foundation and Ford Motor Company, and this support is gratefully
acknowledged. Most of the ﬁgures and tables in this book have been published
before in journals. They were all originally created by the authors of this book,
together with their coauthors. These items have been printed here by permission of
the original copyright owner (i.e. the publishers of the appropriate journal), and this
permission is very much appreciated. The original source has been acknowledged
in this book at the end of the caption for each item.
Subrata and Yu Mukherjee
Ithaca, New York
October 2004?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

Contents
Preface v
INTRODUCTION TO BOUNDARY M
I SELECTED TOPICS IN BOUNDARY ELEMENT
METHODS 1
1 BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS 3
1.1 Potential Theory in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Singular Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Hypersingular Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Linear Elasticity in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Singular Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Hypersingular Integral Equations . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Nearly Singular Integrals in Linear Elasticity . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 Displacements at Internal Points Close to the Boundary . 12
1.3.2 Stresses at Internal Points Close to the Boundary . . . . . 13
1.4 Finite Parts of Hypersingular Equations . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Finite Part of a Hypersingular Integral Collocated at an
Irregular Boundary Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Gradient BIE for 3-D Laplace’s Equation . . . . . . . . . 17
1.4.3 Stress BIE for 3-D Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.4 Solution Strategy for a HBIE Collocated at an Irregular
Boundary Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 ERROR ESTIMATION 23
2.1 Linear Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Iterated HBIE and Error Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.1 Problem 1 : Displacement Boundary Conditions . . . . . 25
2.2.2 Problem 2 : Traction Boundary Conditions . . . . . . . . 28
2.2.3 Problem 3 : Mixed Boundary Conditions . . . . . . . . . 30
2.3 Element-Based Error Indicators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Numerical Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
vii?oGww2obyoTayloro3oFrancisoGroupgoLLC

viii CONTENTS
2.4.1 Example 1: Lam´e’s Problem of a Thick-Walled Cylinder
under Internal Pressure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2 Example 2: Kirsch’s Problem of an Inﬁnite Plate with a
Circular Cutout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 THIN FEATURES 39
3.1 Exterior BIE for Potential Theory: MEMS . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Introduction to MEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.2 Electric Field BIEs in a Simply Connected Body . . . . . 41
3.1.3 BIES in Inﬁnite Region Containing Two Thin Conducting
Plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.4 Singular and Nearly Singular Integrals . . . . . . . . . . . 46
3.1.5 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.6 The Model Problem - a Parallel Plate Capacitor . . . . . 50
3.2 BIE for Elasticity: Cracks and Thin Shells . . . . . . . . . . . . 54
3.2.1 BIES in LEFM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.2 Numerical Implementation of BIES in LEFM . . . . . . . 60
3.2.3 Some Comments on BIEs in LEFM . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.4 BIEs for Thin Shells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
II THE BOUNDARY CONTOUR METHOD 65
4 LINEAR ELASTICITY 67
4.1 Surface and Boundary Contour Equations . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.1 BasicEquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1.2 Interpolation Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.1.3 Boundary Elements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.4 Vector Potentials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.1.5 Final BCM Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.6 Global Equations and Unknowns . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.7 Surface Displacements, Stresses, and Curvatures . . . . . 76
4.2 Hypersingular Boundary Integral Equations . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Regularized Hypersingular BIE . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Regularized Hypersingular BCE . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.3 Collocation of the HBCE at an Irregular Surface Point . . 80
4.3 Internal Displacements and Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.1 Internal Displacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.2 Displacements at Internal Points Close to the Bounding
Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.3.3 Internal Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.4 Stresses at Internal Points Close to the Bounding Surface 84
4.4 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4.1 Surface Displacements from the BCM and the
HBCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

CONTENTS ix
4.4.2 Surface Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4.3 Internal Stresses Relatively Far from the Bounding Surface 90
4.4.4 Internal Stresses Very Close to the Bounding Surface . . . 90
5 SHAPE SENSITIVITY ANALYSIS 93
5.1 Sensitivities of Boundary Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.1 Sensitivity of the BIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.1.2 The IntegralI
k........................ 94
5.1.3 The IntegralJ
k........................ 96
5.1.4 The BCM Sensitivity Equation . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2 Sensitivities of Surface Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.1 Method One . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.2 Method Two . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.3 Method Three . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.2.4 Method Four . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3 Sensitivities of Variables at Internal Points . . . . . . . . . . . . 101
5.3.1 Sensitivities of Displacements . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.3.2 Sensitivities of Displacement Gradients and Stresses . . . 103
5.4 Numerical Results: Hollow Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.4.1 Sensitivities on Sphere Surface . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4.2 Sensitivities at Internal Points . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5 Numerical Results: Block with a Hole . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.5.1 Geometry and Mesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.5.2 Internal Stresses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.5.3 Sensitivities of Internal Stresses . . . . . . . . . . . . . . . 112
6 SHAPE OPTIMIZATION 115
6.1 Shape Optimization Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.1 Shape Optimization of a Fillet . . . . . . . . . . . . . . . 116
6.2.2 Optimal Shapes of Ellipsoidal Cavities Inside Cubes . . . 118
6.2.3 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7 ERROR ESTIMATION AND ADAPTIVITY 125
7.1 Hypersingular Residuals as Local Error Estimators . . . . . . . . 125
7.2 Adaptive Meshing Strategy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.3 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.3.1 Example One - Short Clamped Cylinder under Tension . 127
7.3.2 Example Two - the Lam´e Problem for a Hollow Cylinder 130
III THE BOUNDARY NODE METHOD 133
8 SURFACE APPROXIMANTS 135
8.1 Moving Least Squares (MLS) Approximants . . . . . . . . . . . 135
8.2 Surface Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139?oGww2obyoTayloro3oFrancisoGroupgoLLC

x CONTENTS
8.3 Weight Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.4 Use of Cartesian Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.4.1 Hermite Type Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.4.2 Variable Basis Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9 POTENTIAL THEORY AND ELASTICITY 151
9.1 Potential Theory in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . 151
9.1.1 BNM: Coupling of BIE with MLS Approximants . . . . . 151
9.1.2 HBNM: Coupling of HBIE with MLS Approximants . . . 155
9.1.3 Numerical Results for Dirichlet Problems on a Sphere . . 156
9.2 Linear Elasticity in Three Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.2.1 BNM: Coupling of BIE with MLS Approximants . . . . . 165
9.2.2 HBNM: Coupling of HBIE with MLS Approximants . . . 167
9.2.3 Numerical Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
10 ADAPTIVITY FOR 3-D POTENTIAL THEORY 175
10.1 Hypersingular and Singular Residuals . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.1.1 The Hypersingular Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
10.1.2 The Singular Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
10.2 Error Estimation and Adaptive Strategy . . . . . . . . . . . . . . 177
10.2.1 Local Residuals and Errors - Hypersingular Residual Ap-
proach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
10.2.2 Local Residuals and Errors - Singular Residual Approach 178
10.2.3 Cell Reﬁnement Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
10.2.4 Global Error Estimation and Stopping Criterion . . . . . 179
10.3 Progressively Adaptive Solutions: Cube
Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
10.3.1 Exact Solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
10.3.2 Initial Cell Conﬁguration # 1 (54 Surface Cells) . . . . . 181
10.3.3 Initial Cell Conﬁguration # 2 (96 Surface Cells) . . . . . 182
10.4 One-Step Adaptive Cell Reﬁnement . . . . . . . . . . . . . . . . 188
10.4.1 Initial Cell Conﬁguration # 1 (54 Surface Cells) . . . . . 190
10.4.2 Initial Cell Conﬁguration # 2 (96 Surface Cells) . . . . . 191
11 ADAPTIVITY FOR 3-D LINEAR ELASTICITY 193
11.1 Hypersingular and Singular Residuals . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.1.1 The Hypersingular Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.1.2 The Singular Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
11.2 Error Estimation and Adaptive Strategy . . . . . . . . . . . . . . 194
11.2.1 Local Residuals and Errors - Hypersingular Residual Ap-
proach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
11.2.2 Local Residuals and Errors - Singular Residual Approach 195
11.2.3 Cell Reﬁnement Global Error Estimation and Stopping
Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
11.3 Progressively Adaptive Solutions: Pulling a Rod . . . . . . . . . 195?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

CONTENTS xi
11.3.1 Initial Cell Conﬁguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.3.2 Adaptivity Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.4 One-Step Adaptive Cell Reﬁnement . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Bibliography 203? 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

INTRODUCTION TO
BOUNDARY METHODS
This chapter provides a brief introduction to various topics that are of interest
in this book.
Boundary Ele
Boundary integral equations (BIE), and the boundary element method (BEM),
based on BIEs, are mature methods for numerical analysis of a large variety of
problems in science and engineering. The standard BEM for linear problems
has the well-known dimensionality advantage in that only the two-dimensional
(2-D) bounding surface of a three-dimensional (3-D) body needs to be meshed
when this method is used. Examples of books on the subject, published dur-
ing the last 15 years, are Banerjee [4], Becker [9], Bonnet [14], Brebbia and
Dominguez [16], Chandra and Mukherjee [22], Gaul et al. [47], Hartmann [62],
Kane [68] and Par´ıs and Ca˜nas [121]. BEM topics of interest in this book are
ﬁniteparts(FP)inChapter1,errorestimationinChapter2andthinfeatures
(cracksandthinobjects)inChapter3.
Hypersingular Boundary Integral Equations
Hypersingular boundary integral equations (HBIEs) are derived from a diﬀer-
entiated version of the usual boundary integral equations (BIEs). HBIEs have
diverse important applications and are the subject of considerable current re-
search (see, for example, Krishnasamy et al. [76], Tanaka et al. [162], Paulino
[122] and Chen and Hong [30] for recent surveys of the ﬁeld). HBIEs, for exam-
ple, have been employed for the evaluation of boundary stresses (e.g. Guiggiani
[60], Wilde and Aliabadi [173], Zhao and Lan [185], Chati and Mukherjee [24]),
in wave scattering (e.g. Krishnasamy et al. [75]), in fracture mechanics (e.g.
Cruse [38], Gray et al. [54], Lutz et al. [89], Paulino [122], Gray and Paulino
[58], Mukherjee et al. [110]), to obtain symmetricGalerkin boundary element
formulations (e.g. Bonnet [14], Gray et al. [55], Gray and Paulino ([56], [57]), to
xiii?oGww2obyoTayloro3oFrancisoGroupgoLLC

xiv INTRODUCTION TO BOUNDARY METHODS
evaluate nearly singular integrals (Mukherjee et al. [104]), to obtain the hyper-
singular boundary contour method (Phan et al. [131], Mukherjee and Mukherjee
[99]), to obtain the hypersingular boundary node method (Chati et al. [27]), and
for error analysis (Paulino et al. [123], Menon [95], Menon et al. [96], Chati et
al. [27], Paulino and Gray [125]) and adaptivity [28].
An elegant approach of regularizing singular and hypersingular integrals, us-
ing simple solutions, was ﬁrst proposed by Rudolphi [143]. Several researchers
have used this idea to regularize hypersingular integrals before collocating an
HBIE at a regular boundary point. Examples are Cruse and Richardson [39],
Lutz et al. [89], Poon et al. [138], Mukherjee et al. [110] and Mukherjee [106].
The relationship between ﬁnite parts of strongly singular and hypersingular in-
tegrals, and the HBIE, is discussed in [168], [101] and [102]. A lively debate (e.g.
[92], [39]), on smoothness requirements on boundary variables for collocating
an HBIE on the boundary of a body, has apparently been concluded recently
[93]. An alternative way of satisfying this smoothness requirement is the use of
the hypersingular boundary node method (HBNM).
Mesh-Free Methods
Mesh-free (also called meshless) methods [82], that only require points rather
than elements to be speciﬁed in the physical domain, have tremendous potential
advantages over methods such as the ﬁnite element method (FEM) that require
discretization of a body into elements.
The idea of moving least squares (MLS) interpolants, for curve and surface
ﬁtting, is described in a book by Lancaster and Salkauskas [78]. Nayroles et
al. [117] proposed a coupling of MLS interpolants with Galerkin procedures in
order to solve boundary value problems. They called their method the diﬀuse
element method (DEM) and applied it to two-dimensional (2-D) problems in
potential theory and linear elasticity.
During the relatively short span of less than a decade, great progress has
been made in solid mechanics applications of mesh-free methods. Mesh-free
methods proposed to date include the element-free Galerkin (EFG) method
[10, 11, 12, 13, 67, 174, 175, 176, 108], the reproducing-kernel particle method
(RKPM) [83, 84],h−pclouds [42, 43, 120], the meshless local Petrov-Galerkin
(MLPG) approach [3], the local boundary integral equation (LBIE) method
[152, 188], the meshless regular local boundary integral equation (MRLBIE)
method [189], the natural element method (NEM) [158, 160], the general-
ized ﬁnite element method (GFEM) [157], the extended ﬁnite element method
(X-FEM) [97, 41, 159], the method of ﬁnite spheres (MFS) [40], the ﬁnite
cloud method (FCM) [2], the boundary cloud method (BCLM) [79, 80], the
boundary point interpolation method (BPIM) [82], the boundary-only radial
basis function method (BRBFM) [32] and the boundary node method (BNM)
[107, 72, 25, 26, 27, 28, 52].?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

xv
Boundary Node Method
S. Mukherjee, together with his research collaborators, has recently pioneered
a new computational approach called the boundary node method (BNM) [26,
25, 27, 28, 72, 107]. Other examples of boundary-based meshless methods are
the boundary cloud method (BCLM) [79, 80], the boundary point interpolation
method (BPIM) [82], the boundary only radial basis function method (BRBFM)
[32] and the local BIE (LBIE) [188] approach. The LBIE, however, is not a
boundary method since it requires evaluation of integrals over certain surfaces
(calledL
sin [188]) that can be regarded as “closure surfaces” of boundary
elements.
The BNM is a combination of the MLS interpolation scheme and the stan-
dard boundary integral equation (BIE) method. The method divorces the tra-
ditional coupling between spatial discretization (meshing) and interpolation (as
commonly practiced in the FEM or in the BEM). Instead, a “diﬀuse” interpo-
lation, based on MLS interpolants, is used to represent the unknown functions;
and surface cells, with a very ﬂexible structure (e.g. any cell can be arbitrarily
subdivided without aﬀecting its neighbors [27]) are used for integration. Thus,
the BNM retains themeshless attribute of the EFG method and the dimen-
sionality advantage of the BEM. As a consequence, the BNM only requires the
speciﬁcation ofpoints on the 2-D bounding surfaceof a 3-D body (including
crack faces in fracture mechanics problems), together with surface cells for in-
tegration, thereby practically eliminating the meshing problem (see Figures i
and ii). The required cell structure is analogous to (but not the same as) a
tiling [139]. The only requirements are that the intersection of any two surface
cells is the null set and that the union of all the cells is the bounding surface of
the body. In contrast, the FEM needs volume meshing, the BEM needs surface
meshing, and the EFG needs points throughout the domain of a body.
It is important to point out another important advantage of MLS inter-
polants. They can be easily designed to be suﬃciently smooth to suit a given
purpose, e.g. they can be madeC
1
or higher [10] in order to collocate the HBNM
at a point on the boundary of a body.
The BNM is described in
Figure i: BNM with nodes and cells
(from [28])
Figure ii: BEM with nodes and elements
(from [28])? 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

xvi INTRODUCTION TO BOUNDARY METHODS
Boundary Contour Method
The Method
The usual boundary element method (BEM), for three-dimensional (3-D) lin-
ear elasticity, requires numerical evaluations of surface integrals on boundary
elements on the surface of a body (see, for example, [98]). [115] (for 2-D linear
elasticity) and [116] (for 3-D linear elasticity) have recently proposed a novel
approach, called the boundary contour method (BCM), that achieves a further
reduction in dimension! The BCM, for 3-D linear elasticity problems, only re-
quires numerical evaluation of line integrals over the closed bounding contours
of the usual (surface) boundary elements.
The central idea of the BCM is the exploitation of the divergence-free prop-
erty of the usual BEM integrand and a very useful application of Stokes’ the-
orem, to analytically convert surface integrals on boundary elements to line
integrals on closed contours that bound these elements. [88] ﬁrst proposed an
application of this idea for the Laplace equation and Nagarajan et al. gen-
eralized this idea to linear elasticity. Numerical results for two-dimensional
(2-D) problems, with linear boundary elements, are presented in [115], while
results with quadraticboundary elements appear in [129]. Three-dimensional
elasticity problems, with quadratic boundary elements, are the subject of [116]
and [109]. Hypersingular boundary contour formulations, for two-dimensional
[131] and three-dimensional [99] linear elasticity, have been proposed recently.
A symmetric Galerkin BCM for 2-D linear elasticity appears in [119]. Recent
work on the BCM is available in [31, 134, 135, 136, 186].
The BCM is described in
Shape Sensitivity Analysis with the BCM and the HBCM
Design sensitivity coeﬃcients (DSCs), which are deﬁned as rates of change of
physical response quantities with respect to changes in design variables, are
useful for various applications such as in judging the robustness of a given
design, in reliability analysis and in solving inverse and design optimization
problems. There are three methods for design sensitivity analysis (e.g. [63]),
namely, the ﬁnite diﬀerence approach (FDA), the adjoint structure approach
(ASA) and the direct diﬀerentiation approach (DDA). The DDA is of interest
in this work.
The goal of obtaining BCM sensitivity equations can be achieved in two
equivalent ways. In the 2-D work by [130], design sensitivities are obtained
by ﬁrst converting the discretized BIEs into their boundary contour version,
and then applying the DDA (using the concept of the material derivative) to
this BCM version. This approach, while relatively straightforward in principle,
becomes extremely algebraically intensive for 3-D elasticity problems. [100]
oﬀers a novel alternative derivation, using the opposite process, in which the
DDA is ﬁrst applied to the regularized BIE and then the resulting equations?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

xvii
areconvertedtotheirboundarycontourversion.Itisimportanttopointout
thatthisprocessofconvertingthesensitivityBIEintoaBCMformisquite
challenging.Thisnewderivation,forsensitivitiesofsurfacevariables[100],as
wellasforinternalvariables[103],for3-Delasticityproblems,ispresentedin
Chapter5ofthisbook.Thereaderisreferredto[133]foracorresponding
derivationfor2-Delasticity
ShapeOptimizationwiththeBCM
Shapeoptimizationreferstotheoptimaldesignoftheshapeofstructuralcom-
ponentsandisofgreatimportanceinmechanicalengineeringdesign.Atypical
gradient-basedshapeoptimizationprocedureisaniterativeprocessinwhich
iterativeimprovementsarecarriedoutoversuccessivedesignsuntilanoptimal
designisaccepted.Adomain-basedmethodsuchastheﬁniteelementmethod
(FEM)typicallyrequiresdiscretizationoftheentiredomainofabodymany
timesduringthisiterativeprocess.TheBEM,however,onlyrequiressurface
discretization,sothatmeshgenerationandremeshingprocedurescanbecarried
outmuchmoreeasilyfortheBEMthanfortheFEM.Also,surfacestressesare
typicallyobtainedveryaccuratelyintheBEM.Asaresult,theBEMhasbeen
apopularmethodforshapeoptimizationinlinearmechanics.Someexamples
arereferences[33],[145],[178],[144],[169],[177],[161]andthebook[184].
InadditiontohavingthesamemeshingadvantagesastheusualBEM,the
BCM,asexplainedabove,oﬀersafurtherreductionindimension.Also,surface
stressescanbeobtainedveryeasilyandaccuratelybytheBCMwithoutthe
needforadditionalshapefunctiondiﬀerentiationasiscommonlyrequiredwith
theBEM.ThesepropertiesmaketheBCMveryattractiveasthecomputational
engineforstressanalysisforuseinshapeoptimization.Shapeoptimizationin
2-Dlinearelasticity,withtheBCM,hasbeenpresentedby[132].Thecorre-
sponding3-Dproblemispresentedin[150]andisdiscussedinChapter6.
Error Estimation and Adaptivity
A particular strength of the ﬁnite element method (FEM) is the well-developed
theory of error estimation, and its use in adaptive methods (see, for example,
Ciarlet [34], Eriksson et al. [44]). In contrast, error estimation in the boundary
element method (BEM) is a subject that has attracted attention mainly over
the past decade, and much work remains to be done. For recent surveys on
error estimation and adaptivity in the BEM, see Sloan [155], Kita and Kamiya
[70], Liapis [81] and Paulino et al. [124].
Many error estimators in the BEM are essentially heuristicand, unlike for
the FEM, theoretical work in this ﬁeld has been quite limited. Rank [140]
proposed error indicators and an adaptive algorithm for the BEM using tech-
niques similar to those used in the FEM. Most notable is the work of Yu and
Wendland [171, 172, 181, 182], who have presented local error estimates based?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

xviii INTRODUCTIONTOBOUNDARYMETHODS
onalinearerror-residualrelationthatisveryeﬀectiveintheFEM.Morere-
cently,Carstensenetal.[18,21,19,20]havepresentederrorestimatesfor
theBEManalogoustotheapproachofEriksson[44]fortheFEM.Thereare
numerousstumblingblocksinthedevelopmentofasatisfactorytheoretical
analysisofagenericboundaryvalueproblem(BVP).First,theoreticalanaly-
sesareeasiestforGalerkinschemes,butmostengineeringcodes,todate,use
collocation-basedmethods(see,forexample,Banerjee[4]).Thoughonecan
viewcollocationschemesasvariantsofPetrov-Galerkinmethods,and,infact,
numeroustheoreticalanalysesexistforcollocationmethods(see,forexample,
referencesin[155]),themathematicalanalysisforthisclassofproblemsis
diﬃcult.Theoreticalanalysesformixedboundaryconditionsarelimitedand
involved(Wendlandetal.[170])andthepresenceofcornersandcrackshas
beenasourceofchallengingproblemsformanyyears(Sloan[155],Costabel
andStephan[35],Costabeletal.[36]).Ofcourse,problemswithcornersand
mixedboundaryconditionsaretheonesofmostpracticalinterest,andforsuch
situationsonehastorelymostlyonnumericalexperiments.
Duringthepastfewyears,therehasbeenamarkedinterest,amongmathe-
maticiansintheﬁeld,inextendinganalysesfortheBEMwithsingularintegrals
tohypersingularintegrals([21,19,156,45].Forinstance,Feistaueretal.[45]
havestudiedthesolutionoftheexteriorNeumannproblemfortheHelmholtz
equationformulatedasanHBIE.Theirpapercontainsarigorousanalysisof
hypersingularintegralequationsandaddressestheproblemofnoncompatibil-
ityoftheresidualnorm,whereadditionalhypothesesareneededtodesigna
practicalerrorestimate.Theseauthorsuseresidualstoestimatetheerror,
buttheydonotusetheBIEandtheHBIEsimultaneously.Finally,Goldberg
andBowman[51]haveusedsuperconvergenceoftheSloaniterate[153,154]to
showtheasymptoticequivalenceoftheerrorandtheresidual.Theyhaveused
Galerkinmethods,aniterationschemethatusesthesameintegralequationfor
theapproximationandfortheiterates,andusualresidualsintheirwork.
Paulino[122]andPaulinoetal.[123]ﬁrstproposedtheideaofobtaining
ahypersingularresidualbysubstitutingtheBEMsolutionofaprobleminto
thehypersingularBEM(HBEM)forthesameproblem;andthenusingthis
residualasanelementerrorestimatorintheBEM.Ithasbeenprovedthat
([95],[96],[127]),undercertainconditions,thisresidualisrelatedtoameasure
ofthelocalerroronaboundaryelement,andhasbeenusedtopostulatelocal
errorestimatesonthatelement.Thisideahasbeenappliedtothecollocation
BEM([123],[96],[127])andtothesymmetricGalerkinBEM([125]).Recently,
residualshavebeenobtainedinthecontextoftheBNM[28]andusedtoobtain
localerrorestimates(attheelementlevel)andthentodriveanh-adaptive
meshreﬁnementprocess.Ananalogousapproachforerrorestimationandh-
adaptivity,inthecontextoftheBCM,isdescribedin[111].Ref.[91]hasa
bibliographyofworkonmeshgenerationandreﬁnementupto1993.
ErroranalysiswiththeBEMispresentedinChapter2,whileerroranalysis
and adaptivity in the context of the BCM and the BNM are discussed in
7,andChapters10,11,respectively,ofthisbook.?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

Part I
SELECTED TOPICS IN
BOUNDARY ELEMENT
METHODS
1?oGww2obyoTayloro3oFrancisoGroupgoLLC

Chapter1
BOUNDARYINTEGRAL
EQUATIONS
Integralequations,usualaswellashypersingular,forinternalandboundary
points,forpotentialtheoryinthreedimensions,areﬁrstpresentedinthischap-
ter.Thisisfollowedbytheirlinearelasticitycounterparts.Theevaluationof
ﬁniteparts(FPs)ofsomeoftheseequations,whenthesourcepointisanirreg-
ularboundarypoint(situatedatacorneronaone-dimensionalplanecurveor
atacorneroredgeonatwo-dimensionalsurface),isdescribednext.
1.1PotentialTheoryinThreeDimensions
ThestartingpointisLaplace’sequationinthreedimensions(3-D)governinga
potentialfunction u(x
1,x2,x3)∈B,where Bisaboundedregion(alsocalled
thebody):
∇
2
u(x1,x2,x3)≡
∂
2
u
∂x
2
1
+
∂
2
u
∂x
2 2
+
∂
2
u
∂x
2 3
=0(1.1)
alongwithprescribedboundaryconditionsontheboundingsurface ∂BofB.
1.1.1SingularIntegralEquations
ReferringtoFigure1.1,let ξandηbe(internal)sourceandﬁeldpoints ∈B
andxandybe (boundary) source and ﬁeld points∈∂B, respectively. (Source
and ﬁeld points are also referred to aspandq(for internal points) and asP
andQ(for boundary points), respectively, in this book).
The well-known integral representation for (1.1), at an internal pointξ∈B,
is:
u(ξ)=
B
∂B
[G(ξ,y)τ(y)−F(ξ,y)u(y)]dS(y) (1.2)
3?oGww2obyoTayloro3oFrancisoGroupgoLLC

4 CHAPTER 1. BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS
B
x(P)
y(Q)
ξ(p)
r(ξ, y)
η(q)
n(y)
n(x)
∂B
Figure 1.1: Notation used in integral equations (from [6])
An inﬁnitesimal surface area on∂BisdS=dSn, wherenis the unit outward
normal to∂Bat a point on it andτ=∂u/∂n. The kernels are written in terms
of source and ﬁeld pointsξ∈Bandy∈∂B. These are :
G(ξ,y)=
1
4πr(ξ,y)
(1.3)
F(ξ,y)=
∂G(ξ,y)
∂n(y)
=
(ξ
i−yi)ni(y)
4πr
3
(ξ,y)
(1.4)
in terms ofr(ξ,y), the Euclidean distance between the source and ﬁeld points
ξandy. Unless speciﬁed otherwise, the range of indices in these and all other
equations in this chapter is 1,2,3.
An alternative form of
u(ξ)=
i
∂B
[G(ξ,y)u ,k(y)−H k(ξ,y)u(y)]e k·dS(y) (1.5)
wheree
k,k=1,2,3,are the usual Cartesian unit vectors,e k·dS(y)=
n
k(y)dS(y), and:
H
k(ξ,y)=
(ξ
k−yk)
4πr
3
(ξ,y)
(1.6)
The boundary integral equation (BIE) corresponding to (1.2) is obtained by
taking the limitξ→x. A regularized form of the resulting equation is:
0=
i
∂B
[G(x,y)τ(y)−F(x,y){u(y)−u(x)}]dS(y) (1.7)?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

1.1. POTENTIAL THEORY IN THREE DIMENSIONS 5
with an alternate form (from (1.5)):
0=
C
∂B
[G(x,y)u ,k(y)−H k(x,y){u(y)−u(x)}]e k·dS(y) (1.8)
1.1.2 Hypersingular Integral Equations
Equation (1.2) ξto obtain the
gradient
∂u
∂ξm
of the potentialu. The result is:
∂u(ξ)
∂ξm
=
C
∂B
O
∂G(ξ,y)
∂ξm
τ(y)−
∂F(ξ,y)
∂ξm
u(y)
N
dS(y) (1.9)
An interesting situation arises when one takes the limitξ→x(xcan even
beanirregularpointon ∂Bbutonemusthave u(y)∈C
1,α
aty=x)in
equation(1.9).AsdiscussedindetailinSection1.4.2,oneobtains:
∂u(x)
∂xm
=
C
∂B
=
O
∂G(x,y)
∂xm
τ(y)−
∂F(x,y)
∂xm
u(y)
N
dS(y) (1.10)
where the symbol
T
= denotes the ﬁnite part (FP) of the integral. Equation (1.10)
is best regularized before computations are carried out. The regularized version
given below is applicable even at an irregular boundary pointxprovided that
u(y)∈C
1,α
aty=x. This is:
0=
C
∂B
∂G(x,y)
∂xm
O
u
,p(y)−u ,p(x)
N
n p(y)dS(y)
−
C
∂B
∂F(x,y)
∂xm
O
u(y)−u(x)−u
,p(x)(y p−xp)
N
dS(y) (1.11)
An alternative form of (1.11), valid at a regular boundary pointx, [76] is:
0=
C
∂B
∂G(x,y)
∂xm
O
τ(y)−τ(x)
N
dS(y)
−u
,k(x)
C
B
∂G(x,y)
∂xm
O
n
k(y)−n k(x)
N
dS(y)
−
C
∂B
∂F(x,y)
∂xm
O
u(y)−u(x)−u
,p(x)(y p−xp)
N
dS(y) (1.12)
Carrying out the inner product of (1.12) with the source point normaln(x),
one gets:
0=
C
∂B
∂G(x,y)
∂n(x)
O
τ(y)−τ(x)
N
dS(y)? 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

6 CHAPTER 1. BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS
−u
,k(x)
i
B
∂G(x,y)
∂n(x)
v
n
k(y)−n k(x)
1
dS(y)
−
i
∂B
∂F(x,y)
∂n(x)
v
u(y)−u(x)−u
,p(x)(y p−xp)
1
dS(y) (1.13)
1.1.2.1 Potential gradient on the bounding surface
The gradient of the potential function is required in the regularized HBIEs (1.11
- 1.13). For potential problems, the gradient (at a regular boundary point) can
be written as,
∇u=τn+
∂u
∂s1
t1+
∂u
∂s2
t2 (1.14)
whereτ=∂u/∂nis the ﬂux,nis the unit normal,t
1,t2are the appropriately
chosen unit vectors in two orthogonal tangential directions on the surface of the
body, and∂u/∂s
i,i=1,2 are the tangential derivatives ofu(alongt 1andt 2)
on the surface of the body.
1.2 Linear Elasticity in Three Dimensions
The starting point is the Navier-Cauchy equation governing the displacement
u(x
1,x2,x3) in a homogeneous, isotropic, linear elastic solid occupying the
bounded 3-D regionBwith boundary∂B; in the absence of body forces:
0=u
i,jj+
1
1−2ν
u
k,ki (1.15)
along with prescribed boundary conditions that involve the displacement and
the tractionτon∂B. The componentsτ
iof the traction vector are:
τ
i=λuk,kni+µ(u i,j+uj,i)nj (1.16)
In equations (1.15) and (1.16),νis Poisson’s ratio andλandµare Lam´e
constants. As is well known,µis the shear modulus of the material and is also
calledGin this book. Finally, the Young’s modulus is denoted asE.
1.2.1 Singular Integral Equations
The well-known integral representation for (1.15), at an internal pointξ∈B
(Rizzo [141]) is:
u
k(ξ)=
i
∂B
[Uik(ξ,y)τ i(y)−T ik(ξ,y)u i(y)]dS(y) (1.17)
whereu
kandτ kare the components of the displacement and traction respec-
tively, and the well-known Kelvin kernels are:?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

1.2.LINEARELASTICITYINTHREEDIMENSIONS 7
U
ik=
1
16π(1−ν)Gr
[(3−4ν)δ
ik+r,ir,k](1.18)
T
ik=−
1
8π(1−ν)r
2
2
{(1−2ν)δ
ik+3r ,ir,k}
∂r∂n
+(1−2ν)(r
,ink−r,kni)
3
(1.19)
Intheabove, δ
ikdenotestheKroneckerdeltaand,asbefore,thenormal n
isdeﬁnedatthe(boundary)ﬁeldpoint y.Acommadenotesaderivativewith
respecttoaﬁeldpoint,i.e.
r
,i=
∂r
∂yi
=
y
i−ξi
r
(1.20)
Analternativeformofequation(1.17)is:
u
k(ξ)=
1
∂B
[Uik(ξ,y)σ ij(y)−Σ ijk(ξ,y)u i(y)]e j·dS(y)(1.21)
where σisthestresstensor, τ
i=σijnjandT ik=Σijknj.(Pleasenotethat
e
j·dS(y)=n j(y)dS(y)).Theexplicitformofthekernel Σis:
Σ
ijk=E ijmn
∂Ukm
∂yn
=−
1
8π(1−ν)r
2
[(1−2ν)(r ,iδjk+r,jδik−r,kδij)+3r ,ir,jr,k](1.22)
where Eistheelasticitytensor(forisotropicelasticity):
E
ijmn=λδijδmn+µ[δ imδjn+δinδjm](1.23)
Theboundaryintegralequation(BIE)correspondingto(1.17)isobtained
bytakingthelimit ξ→x.Theresultis:
u
k(x)=lim
ξ→x
1
∂B
[Uik(ξ,y)τ i(y)−T ik(ξ,y)u i(y)]dS(y)
=
1
∂B
=[U ik(x,y)τ i(y)−T ik(x,y)u i(y)]dS(y)(1.24)
wherethesymbol
0
∂B
=denotestheﬁnitepartoftheappropriateintegral(see
Section1.4).
A regularized form of equation (1.24) is:
0=
1
∂B
[Uik(x,y)τ i(y)−T ik(x,y){u i(y)−u i(x)}]dS(y) (1.25)? 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

8 CHAPTER 1. BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS
with an alternate form (from (1.21)):
0=
i
∂B
[Uik(x,y)σ ij(y)−Σ ijk(x,y){u i(y)−u i(x)}]e j·dS(y) (1.26)
1.2.2 Hypersingular Integral Equations
Equation (1.17) ξto obtain
the displacement gradient at this point:
∂u
k(ξ)
∂ξm
=
i
∂B
v
∂U
ik
∂ξm
(ξ,y)τ i(y)−
∂T
ik
∂ξm
(ξ,y)u i(y)
1
dS(y) (1.27)
An alternative form of equation (1.27) is:
∂u
k(ξ)
∂ξm
=
i
∂B
v
∂U
ik
∂ξm
(ξ,y)σ ij(y)−
∂Σ
ijk
∂ξm
(ξ,y)u i(y)
1
e j·dS(y) (1.28)
Stress components at an internal pointξcan be obtained from either of
equations (1.27) or (1.28) by using Hooke’s law:
σ
ij=λuk,kδij+µ(u i,j+uj,i) (1.29)
It is sometimes convenient, however, to write the internal stress directly.
This equation, corresponding (for example) to (1.27) is:
σ
ij(ξ)=
i
∂B
[Dijk(ξ,y)τ k(y)−S ijk(ξ,y)u k(y)]dS(y) (1.30)
where the new kernelsDandSare:
D
ijk=Eijmn
∂Ukm
∂ξn
=λ
∂U
km
∂ξm
δij+µ
P
∂U
ki
∂ξj
+
∂U
kj
∂ξi
o
=−Σ
ijk (1.31)
S
ijk=E ijmn
∂Σkpm
∂ξn
np=λ
∂Σ
kpm
∂ξm
npδij+µ
P
∂Σ
kpi
∂ξj
+
∂Σ
kpj
∂ξi
o
n
p
=
G4π(1−ν)r
3
v
3
∂r
∂n
[(1−2ν)δ
ijr,k+ν(δ ikr,j+δjkr,i)−5r ,ir,jr,k]
1
+
G
4π(1−ν)r
3
[3ν(n ir,jr,k+njr,ir,k)
+(1−2ν)(3n
kr,ir,j+njδik+niδjk)−(1−4ν)n kδij] (1.32)
Again, the normalnis deﬁned at the (boundary) ﬁeld pointy. Also:?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

1.2.LINEARELASTICITYINTHREEDIMENSIONS 9
∂U
ik
∂ξm
(ξ,y)=−U ik,m,
∂Σ
ijk
∂ξm
(ξ,y)=−Σ ijk,m (1.33)
Itisimportanttonotethat Dbecomesstronglysingular,and Shypersin-
gularasasourcepointapproachesaﬁeldpoint(i.e.as r→0).
ForfutureuseinChapter4,itisusefultorewrite(1.28)using(1.33).This
equation is:
u
k,m(ξ)=−
C
∂B
[Uik,m(ξ,y)σ ij(y)−Σ ijk,m(ξ,y)u i(y)]n j(y)dS(y) (1.34)
Again, as one takes the limitξ→xin any of the
(1.30),
Section1.4.3).Forexample,(1.28)and(1.30)become,respectively:
∂u
k(x)
∂xm
= lim
ξ→x
C
∂B
O
∂U
ik
∂ξm
(ξ,y)σ ij(y)−
∂Σ
ijk
∂ξm
(ξ,y)u i(y)
N
n j(y)dS(y)
=
C
∂B
=
O
∂U
ik
∂xm
(x,y)σ ij(y)−
∂Σ
ijk
∂xm
(x,y)u i(y)
N
n j(y)dS(y) (1.35)
σ
ij(x) = lim
ξ→x
C
∂B
[Dijk(ξ,y)τ k(y)−S ijk(ξ,y)u k(y)]dS(y)
=
C
∂B
=[D ijk(x,y)τ k(y)−S ijk(x,y)u k(y)]dS(y) (1.36)
Also, for future reference, one notes that the traction at a boundary point
is:
τ
i(x)=n j(x) lim
ξ→x
C
∂B
[Dijk(ξ,y)τ k(y)−S ijk(ξ,y)u k(y)]dS(y) (1.37)
Fully regularized forms of equations (1.35) and (1.36), that only contain
weakly singular integrals, are available in the literature (see, for example, Cruse and Richardson [39]). These equations, that can be collocated at an irregular pointx∈∂Bprovided that the stress and displacement ﬁelds in (1.38,
satisfy certain smoothness requirements (see Martin et al. [93] and, also, 1.4.4
0=
C
∂B
Uik,m(x,y)[σ ij(y)−σ ij(x)]n j(y)dS(y)
−
C
∂B
Σijk,m(x,y)[u i(y)−u i(x)−u TEY(x)(y Y−xY)]nj(y)dS(y) (1.38)? 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

10 CHAPTER1.BOUNDARYINTEGRALEQUATIONS
0=
i
∂B
Dijk(x,y)[σ kp(y)−σ kp(x)]n p(y)dS(y)
−
i
∂B
Sijk(x,y)[u k(y)−u k(x)−u k,p(x)(y p−xp)]dS(y)(1.39)
Analternateversionof(1.39)thatcanonlybecollocatedataregularpoint
x∈∂Bis:
0=
i
∂B
Dijk(x,y)[τ k(y)−τ k(x)]dS(y)
−σ
km(x)
i
∂B
Dijk(x,y)(n m(y)−n m(x))dS(y)
−
i
∂B
Sijk(x,y)[u k(y)−u k(x)−u k,m(x)(y m−xm)]dS(y)(1.40)
Finally,takingtheinnerproductof(1.40)withthenormalatthesource
pointgives:
0=
i
∂B
Dijk(x,y)n j(x)[τ k(y)−τ k(x)]dS(y)
−σ
km(x)
i
∂B
Dijk(x,y)n j(x)[n m(y)−n m(x)]dS(y)
−
i
∂B
Sijk(x,y)n j(x)[u k(y)−u k(x)−u k,m(x)(y m−xm)]dS(y)(1.41)
1.2.2.1Displacementgradientontheboundingsurface
Thegradientofthedisplacement uisrequiredfortheregularizedHBIEs(1.38
-1.41).Lutzetal.[89]haveproposedaschemeforcarryingthisout.Details
ofthisprocedureareavailablein[27]andaregivenbelow.
The(right-handed)globalCartesiancoordinates,asbefore,are( x
1,x2,x3).
Consider(right-handed)localCartesiancoordinates( x
i
1
,x
i
2
,x
i
3
)ataregular
point Pon∂BasshowninFigure1.2.Thelocalcoordinatesystemisoriented
such that thex
i
1
andx
i
2
coordinates lie along the tangential unit vectorst 1
andt 2whilex
i
3
is measured along the outward normal unit vectornto∂Bas
deﬁned in
Therefore, one has:
x
i
=Qx (1.42)
u
i
=Qu (1.43)
whereu
i
k
,k=1,2,3 are the components of the displacement vectoruin the
local coordinate frame, and the orthogonal transformation matrixQhas the
components:?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

1.2. LINEAR ELASTICITY IN THREE DIMENSIONS 11
x
x
x
x
x
1
2
3
3
1
2
'
'
'
x
P
Figure 1.2: Local coordinate system on the surface of a body (from [27])
Q=


t
11t12t13
t21t22t23
n1n2n3

 (1.44)
witht
ijthej
th
component of thei
th
unit tangent vector and (n 1,n2,n3) the
components of the unit normal vector.
The tangential derivatives of the displacement, in local coordinates, are
u
J
i,k
I,i=1,2,3;k=1,2.These quantities are obtained as follows:
u
J
i,k
I≡
∂u
J
i
∂sk
=Qij
∂uj
∂sk
(1.45)
where∂u
J i
/∂skare tangential derivatives ofu iatPwiths 1=x
J
1
ands 2=x
J
2
.
The remaining components of∇uin local coordinates are obtained from
Hooke’s law (see [89]) as:
∂u
J
1
∂x
J 3
=
τ
J
1
G
−
∂u
J 3
∂x
J 1
∂u
J 2
∂x
J 3
=
τ
J
2
G
−
∂u
J 3
∂x
J 2
∂u
J 3
∂x
J 3
=
(1−2ν)τ
J
3
2G(1−ν)
−
ν
1−ν
h
∂u
J 1
∂x
J 1
+
∂u
J 2
∂x
J 2
p
(1.46)
whereτ
J
k
,k=1,2,3,are the components of the traction vector in local coordi-
nates.
The components of the displacement gradient tensor, in the local coordinate
system, are now known. They can be written as:?µzκκaµbyµTaylorµ.µMrancisµGroupαµLLγ

12 CHAPTER1.BOUNDARYINTEGRALEQUATIONS
(∇u)
local≡A
∈
=


u
∈
1,1
−u
∈
1,2
−u
∈
1,3
−
u
∈
2,1
−u
∈
2,2
−u
∈
2,3
−
u
∈
3,1
−u
∈
3,2
−u
∈
3,3
−

 (1.47)
Finally,thecomponentsof ∇uintheglobalcoordinateframeareobtained
fromthoseinthelocalcoordinateframebyusingthetensortransformation
rule:
(∇u)
global ≡A=Q
T
A
∈
Q=


u
1,1u1,2u1,3
u2,1u2,2u2,3
u3,1u3,2u3,3

 (1.48)
Thegradientofthedisplacementﬁeldinglobalcoordinatesisnowreadyfor
useinequations(1.38-1.41).
1.3NearlySingularIntegralsinLinearElastic-
ity
ItiswellknownthattheﬁrststepintheBEMistosolvetheprimaryproblem
ontheboundingsurfaceofabody(e.g.equation(1.25))andobtainallthe
displacementsandtractionsonthissurface.Thenextstepsaretoobtainthe
displacementsandstressesatselectedpointsinsideabody,fromequations
suchas(1.17)and(1.30).IthasbeenknownintheBEMcommunityformany
years,datingbacktoCruse[37],thatoneexperiencesdiﬃcultieswhentrying
tonumericallyevaluatedisplacementsandstressesatpointsinsideabodythat
areclosetoitsboundingsurface(theso-callednear-singularorboundarylayer
problem).Variousauthorshaveaddressedthisissueoverthelast3decades.
ThissectiondescribesanewmethodrecentlyproposedbyMukherjeeetal.
[104].
1.3.1DisplacementsatInternalPointsClosetotheBound-
ary
Thedisplacementatapointinsideanelasticbodycanbedeterminedfrom
eitherofthe(equivalent)equations(1.17)or(1.21).Acontinuousversionof
(1.21),fromCruseandRichardson[39]is:
u
k(ξ)=u k
ˆ
(x)+
∈
∂B
[Uik(ξ,y)σ ij(y)−Σ ijk(ξ,y){u i(y)−u i(ˆx)}]n j(y)dS(y)
(1.49)
where ξ∈Bisaninternalpoint closeto∂Bandatargetpoint ˆx∈∂Bisclose
tothepoint ξ(seeFig.1.3).Analternativeformof(1.49)is:? 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

1.3. NEARLY SINGULAR INTEGRALS IN LINEAR ELASTICITY 13
B
∂B
ξ
z
z
v
x
v
y
Figure 1.3: A body with source pointξ, ﬁeld pointyand target pointˆx
(from [104])
u
k(ξ)=u k(ˆx)+
z
∂B
[Uik(ξ,y)τ i(y)−T ik(ξ,y){u i(y)−u i(ˆx)}]dS(y) (1.50)
Equation (1.49)
limit to the boundary (LTB asξ→ˆx∈∂B) provided thatu
i(y)∈C
0,α
(i.e.
H¨older continuous). Taking this limit is the standard approach for obtaining
the well-known regularized form (1.26) (or (1.25)).
In this work, however, equation (1.49) (or (1.50)) is put to a diﬀerent, and
novel use. It is ﬁrst observed thatT
ikin equation (1.50) isO(1/r
2
(ξ,y)) as
ξ→y, whereas{u
i(y)−u i(ˆx)}isO(r(ˆx,y)) asy→ˆx.Therefore, asy→ˆx,
the productT
ik(ξ,y){u i(y)−u i(ˆx)}, which isO(r(ˆx,y)/r
2
(ξ,y)),→0 ! As a
result, equation (1.50) (or (1.49)) can be used to easily and accurately evaluate
the displacement componentsu
k(ξ) forξ∈Bclose to∂B.This idea is the
main contribution of [104].
It is noted here that while it is usual to use (1.17) (or (1.21)) to evaluate
u
k(ξ) whenξisfarfrom∂B, equation (1.49) (or (1.50)) is also valid in this
case. (The target pointˆxcan be chosen asanypoint on∂Bwhenξis far from
∂B). Therefore, it is advisable to use the continuous equation (1.49) (or (1.50))
universally for all pointsξ∈B. This procedure would eliminate the need to
classify, a priori, whetherξis near to, or far from∂B.
1.3.2 Stresses at Internal Points Close to the Boundary
The displacement gradient at a pointξ∈Bcan be obtained from
(1.34)
(1.30)© 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

14 CHAPTER1.BOUNDARYINTEGRALEQUATIONS
u
k,n(ξ)= u k,n(ˆx)−
T
∂B
Uik,n(ξ,y)[σ ij(y)−σ ij(ˆx)]n j(y)dS(y)
+
T
∂B
Σijk,n(ξ,y)[u i(y)−u i(ˆx)−u i,k(ˆx)(y k−ˆxk)]nj(y)dS(y)(1.51)
σ
ij(ξ)= σ ij(ˆx)+
T
∂B
Dijk(ξ,y)[τ k(y)−σ km(ˆx)n m(y)]dS(y)
−
T
∂B
Sijk(ξ,y)[u k(y)−u k(ˆx)−u k,k(ˆx)(y k−ˆxk)]dS(y)(1.52)
Theintegrandsinequations(1.51)(or(1.52))are O(r(ˆx,y)/r
2
(ξ,y))and
O(r
2
(ˆx,y)/r
3
(ξ,y))asy→ˆx.SimilartothebehaviorofthecontinuousBIEs
intheprevioussubsection,theintegrandsinequations(1.51)and(1.52) →0
asy→ˆx.Eitheroftheseequations,therefore,isveryusefulforevaluatingthe
stressesataninternalpoint ξthatis close to∂B.Ofcourse(pleaseseethe
discussionregardingdisplacementsintheprevioussection),theycanalsobe
convenientlyusedtoevaluatedisplacementgradientsorstressesat anypoint
ξ∈B.
Henceforth,useofequations(1.17),(1.21),(1.30)or(1.34)willbereferred
toasthe standard method,whileuseofequations(1.49),(1.50),(1.51)or(1.52)
willbereferredtoasthe newmethod.
1.4FinitePartsofHypersingularEquations
Adiscussionofﬁniteparts(FPs)ofhypersingularBIEs(seee.g.equations
(1.9-1.11))isthesubjectofthissection.Thegeneraltheoryofﬁniteparts
ispresentedﬁrst.Thisisfollowedbyapplicationsofthetheoryinpotential
theoryandinlinearelasticity.FurtherdetailsareavailableinMukherjee[102].
1.4.1FinitePartofaHypersingularIntegralCollocated
atanIrregularBoundaryPoint
1.4.1.1Deﬁnition
Consider,forspeciﬁcity,thespace R
3
,andlet Sbeasurfacein R
3
.Letthe
points x∈Sandξ/∈S.Also,let
ˆ
Sand
¯
S⊂
ˆ
Sbetwoneighborhoods(in S)of
xsuchthat x∈
¯
S(Figure1.4).Thepoint xcanbeanirregularpointon S.
Let the functionK(x,y),y∈S, have its only singularity atx=yof
the form 1/r
3
wherer=|x−y|, and letφ(y) be a function that has no
singularity inSand is of classC
1,α
aty=xfor someα>0.
The ﬁnite part of the integral?C2QQ4CbyCTaylorCDC/rancisCﬀroupxC==ﬂ

1.4. FINITE PARTS OF HYPERSINGULAR EQUATIONS 15
S
S
x
S
yS
ξ
S
S
Figure 1.4: A surfaceSwith regions
ˆ
Sand
¯
Sand pointsξ,xandy(from [102])
I(x)=
J
S
K(x,y)φ(y)dS(y) (1.53)
is deﬁned as:
J
S
=K(x,y)φ(y)dS(y)=
J
S\
ˆ
S
K(x,y)φ(y)dS(y)
+
J
ˆ
S
K(x,y)[φ(y)−φ(x)−φ ,p(x)(y p−xp)]dS(y)
+φ(x)A(
ˆ
S)+φ
,p(x)B p(
ˆ
S) (1.54)
where
ˆ
Sis any arbitrary neighborhood (in S) ofxand:
A(
ˆ
S)=
J
ˆ
S
=K(x,y)dS(y) (1.55)
B
p(
ˆ
S)=
J
ˆ
S
=K(x,y)(y p−xp)dS(y) (1.56)
The above FP deﬁnition can be easily extended to any number of physical
dimensions and any order of singularity of the kernel functionK(x,y). Please
refer to Toh and Mukherjee [168] for further discussion of a previous closely re-
lated FP deﬁnition for the case whenxis a regular point onS, and to Mukherjee
[101] for a discussion of the relationship of this FP to the CPV of an integral
when its CPV exists.?µzκκaµbyµTaylorµ.µMrancisµGroupαµLLγ

16 CHAPTER 1. BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS
1.4.1.2 Evaluation ofAand B
There are several equivalent ways for evaluatingAandB.
Method one.ReplaceSby
ˆ
Sand
ˆ
Sby
¯
Sin
φ(y) = 1 in (1.54) and using (1.55), one gets:
A(
ˆ
S)−A(
¯
S)=
i
ˆ
S\
¯
S
K(x,y)dS(y) (1.57)
Next, settingφ(y)=(y
p−xp) (note that, in this case,φ(x)=0and
φ
,p(x) = 1) in (1.54), and using (1.56), one gets:
B
p(
ˆ
S)−B p(
¯
S)=
i
ˆ
S\
¯
S
K(x,y)(y p−xp)dS(y) (1.58)
The formulae (1.57) and (1.58) are most useful for obtainingAandBwhen
ˆ
Sis an open surface and Stoke regularization is employed. An example is the
application of the FP deﬁnition (1.54) (for a regular collocation point) in Toh
and Mukherjee [168], to regularize a hypersingular integral that appears in the
HBIE formulation for the scattering of acousticwaves by athin scatterer. The
resulting regularized equation is shown in [168] to be equivalent to the result of
Krishnasamy et al. [75]. Equations (1.57) and (1.58) are also used in Mukherjee
andMukherjee[99]andinSection3.2of[102].
Method two.From equation (1.57):
A(
ˆ
S)−A(
¯
S)=
i
ˆ
S\
¯
S
K(x,y)dS(y) = lim
ξ→x
i
ˆ
S\
¯
S
K(ξ,y)dS(y) (1.59)
The second equality above holds sinceK(x,y) is regular forx∈
¯
Sand
y∈
ˆ
S\
¯
S. Assuming that the limits:
lim
ξ→x
i
ˆ
S
K(ξ,y)dS(y),lim
ξ→x
i
¯
S
K(ξ,y)dS(y)
exist, then:
A(
ˆ
S) = lim
ξ→x
i
ˆ
S
K(ξ,y)dS(y) (1.60)
Similarly:
B
p(
ˆ
S) = lim
ξ→x
i
ˆ
S
K(ξ,y)(y p−xp)dS(y) (1.61)
Equations (1.60) and (1.61) are most useful for evaluatingAandBwhen
ˆ
S=∂B,a closed surface that is the entire boundary of a bodyB. Examples
appear in? 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

1.4.FINITEPARTSOFHYPERSINGULAREQUATIONS 17
Methodthree. Athirdwayforevaluationof AandBistouseanauxiliary
surface(or“tent”)asﬁrstproposedforfracturemechanicsanalysisbyLutzet
al.[89].(see,also,Mukherjeeetal.[110],Mukherjee[105]andSection3.2.1of
[102].Thismethodisusefulif Sisanopensurface.
1.4.1.3TheFPandtheLTB
ThereisaverysimpleconnectionbetweentheFP,deﬁnedabove,andthe
LTBapproachemployedbyGrayandhiscoauthors.With,asbefore, ξ/∈S,
x∈S(xcanbeanirregularpointon S),K(x,y)=O(|x−y|
−3
)asy→x
andφ(y)∈C
1,α
aty=x,thiscanbestatedas:
lim
ξ→x
∈
S
K(ξ,y)φ(y)dS(y)=
∈
S
=K(x,y)φ(y)dS(y)(1.62)
Ofcourse, ξcanapproach xfromeithersideof S.
Proofofequation(1.62). Considertheﬁrstandsecondtermsontheright-
hand side of
tive domains of integration, one has:
∈
S\
ˆ
S
K(x,y)φ(y)dS(y) = lim
ξ→x
∈
S\
ˆ
S
K(ξ,y)φ(y)dS(y) (1.63)
and
∈
ˆ
S
K(x,y)[φ(y)−φ(x)−φ ,p(x)(y p−xp)]dS(y)
= lim
ξ→x
∈
ˆ
S
K(ξ,y)[φ(y)−φ(ξ)−φ ,p(ξ)(y p−ξp)]dS(y) (1.64)
Use of1.54)
1.4.2 Gradient BIE for 3-D Laplace’s Equation
This section is concerned with an application of equation (1.54) for collocation
of the HBIE (1.9), for the 3-D Laplace equation, at an irregular boundary point.
A complete exclusion zone,
ˆ
S=∂Bis used here. An application of a vanishing
exclusion zone, for collocation of the HBIE for the 2-D Laplace equation, at an
irregular boundary point, is presented in Mukherjee [102].
Using1.6),1.9)1.10)
in the slightly diﬀerent equivalent forms:
∂u(ξ)
∂ξi
=
∈
∂B
[Di(ξ,y)τ(y)−S i(ξ,y)u(y)]dS(y) (1.65)
∂u(x)
∂xi
=
∈
∂B
=[D i(x,y)τ(y)−S i(x,y)u(y)]dS(y) (1.66)? 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

18 CHAPTER1.BOUNDARYINTEGRALEQUATIONS
where:
D
i(x,y)=−G ,i(x,y),S i=−H k,i(x,y)n k(y)(1.67)
Useof(1.54)in(1.66),with S=
ˆ
S=∂B,resultsin:
u
,i(x)=
i
∂B
Di(x,y)
v
u ,p(y)−u ,p(x)
1
n p(y)dS(y)
−
i
∂B
Si(x,y)
v
u(y)−u(x)−u ,p(x)(y p−xp)
1
dS(y)
−A
i(∂B)u(x)+C ip(∂B)u ,p(x)(1.68)
where,usingmethodtwoinSection1.4.1.2:
A
i(∂B) = lim
ξ→x
i
∂B
Si(ξ,y)dS(y) (1.69)
C
ip(∂B) = lim
ξ→x
i
∂B
[Di(ξ,y)n p(y)−S i(ξ,y)(y p−ξp)]dS(y) (1.70)
It is noted here that the (possibly irregular) boundary pointxis approached
fromξ∈B, i.e. from inside the bodyB.
The quantitiesAandCcan be easily evaluated using the imposition of
simple solutions. Following Rudolphi [143], use of the uniform solutionu(y)=c
(cis a constant) in
i
∂B
Si(ξ,y)dS(y) = 0 (1.71)
while use of the linear solution:
u=u(ξ)+(y
p−ξp)u,p(ξ)
τ(y)=
∂u
∂yk
nk(y)=u ,p(ξ)n p(y) (withp=1,2,3) (1.72)
in equation (1.65) (together with (1.71)) gives:
i
∂B
[Di(ξ,y)n p(y)−S i(ξ,y)(y p−ξp)]dS(y)=δ ip (1.73)
Therefore, (assuming continuity)A
i(∂B)=0,C ip(∂B)=δ ip, and (1.68)
yields a simple, fully regularized form of (1.66) as:
0=
i
∂B
Di(x,y)[u ,p(y)−u ,p(x)]n p(y)dS(y)
−
i
∂B
Si(x,y)[u(y)−u(x)−u ,p(x)(y p−xp)]dS(y) (1.74)?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

1.4.FINITEPARTSOFHYPERSINGULAREQUATIONS 19
whichisequivalenttoequation(1.11).
Afewcommentsareinorder.First,equation(1.74)isthesameasRudol-
phi’s[143]equation(20)with(his) κ=1and(his) S
0setequalto Sand
renamed ∂B.(See,also,Kane[68],equation(17.34)).Second,thisequation
canalsobeshowntobevalidforthecase ξ/∈B,i.e.foranoutsideapproach
totheboundarypoint x.Third,asnotedbefore, xcanbeanedgeorcorner
pointon ∂B(provided,ofcourse,that u(y)∈C
1,α
aty=x-Rudolphi
hadonlyconsideredaregularboundarycollocationpointinhisexcellentpaper
thatwaspublishedin1991).Finally,asdiscussedintheSection1.4.3,equation
(1.74)isanalogoustotheregularizedstressBIEinlinearelasticity-equation
(28)inCruseandRichardson[39].
1.4.3StressBIEfor3-DElasticity
Thissectionpresentsaproofofthefactthatequation(1.39)isaregularized
versionof(1.36),validatanirregularpoint x∈∂B,providedthatthestress
anddisplacementﬁeldsin(1.39)satisfycertainsmoothnessrequirements.These
smoothnessrequirementsarediscussedinSection1.4.4.Theapproachisvery
similartothatusedinSection1.4.2.
TheﬁrststepistoapplytheFPequation(1.54)toregularize(1.36).With
S=
ˆ
S=∂B,theresultis:
σ
ij(x)=
∈
∂B
Dijk(x,y)[σ kp(y)−σ kp(x)]n p(y)dS(y)
−
∈
∂B
Sijk(x,y)[u k(y)−u k(x)−u k,p(x)(y p−xp)]dS(y)
−A
ijk(∂B)u k(x)+C ijkp(∂B)u k,p(x)(1.75)
where,usingmethodtwoinSection1.4.1.2:
A
ijk(∂B) = lim
ξ→x
∈
∂B
Sijk(ξ,y)dS(y) (1.76)
C
ijkp(∂B) = lim
ξ→x
∈
∂B
EO∼−|Dijm(ξ,y)n ∼(y)dS(y)
−lim
ξ→x
∈
∂B
Sijk(ξ,y)(y p−ξp)dS(y) (1.77)
withEthe elasticity tensor (see (1.23)) which appears in Hooke’s law:
σ
O∼=EO∼−|uk,p (1.78)
Simple (rigid body and linear) solutions in linear elasticity (see, for example,
Lutz et al. [89], Cruse and Richardson [39]) are now used in order to determine? 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

20 CHAPTER 1. BOUNDARY INTEGRAL EQUATIONS
the quantitiesAandC. Using the rigid body modeu
k=ck(ckare arbitrary
constants) in (1.30), one has:
0=
i
∂B
Sijk(ξ,y)dS(y) (1.79)
while, using the linear solution:
u
k(y)=( y p−ξp)uk,p(ξ),u k,m(y)=u k,m(ξ),
τ
k(y)= σ km(y)n m(y)=E kmrsur,s(ξ)n m(y) (1.80)
in
σ
ij(ξ)=u k,p(ξ)
i
∂B
[Eeh aDijm(ξ,y)n h(y)−S ijk(ξ,y)(y p−ξp)]dS(y)
(1.81)
Taking the limitξ→xof (1.79), using continuity of the integral and com-
paring with (1.76), givesA=0.Taking the limitξ→xof (1.81) and comparing
with (1.77), one has:
σ
ij(x)=C ijkpuk,p(x) (1.82)
Comparing (1.82) with (1.78) yieldsC(∂B)=E.
Therefore,
Equation (1.39) is equation (28) of Cruse and Richardson [39] in the present
notation. As is the case in the present work, Cruse and Richardson [39] have
also proved that their equation (28) is valid at a corner point, provided that
the stress is continuous there.
It has been proved in this section that the regularized stress BIE (28) of
Cruse and Richardson [39] can also be obtained from the FP deﬁnition (1.54)
with a complete exclusion zone.
1.4.4 Solution Strategy for a HBIE Collocated at an Ir-
regular Boundary Point
Hypersingular BIEs for a bodyBwith boundary∂Bare considered here. Regu-
larized HBIEs, obtained by using complete exclusion zones, e.g.
for potential theory or (1.39) for linear elasticity, are recommended as starting
points.
An irregular collocation pointxfor 3-D problems is considered next. Let
∂B
n,(n=1,2,3, ..., N) be smooth pieces of∂Bthat meet at an irregular point
x∈∂B. Also, as before, let a source point, with coordinatesx
k, be denoted by
P, and a ﬁeld point, with coordinatesy
k, be denoted byQ.
Martin et al. [93] state the following requirements for collocating a regular-
ized HBIE, such as (1.39) at an irregular pointP∈∂B.These are:?c:OO´cbyc=aylorcdc]ranciscıroup’c““#

1.4. FINITE PARTS OF HYPERSINGULAR EQUATIONS 21
(i) The displacementumust satisfy the equilibrium equations inB.
(ii) (a) The stressσmust be continuous inB.
(b) The stressσmust be continuous on∂B.
(iii)|u
i(Qn)−u i
L(Qn;P)|=O(r
(1+α)
n
)asr n→0,for eachn.
(iv) [σ
ij(Qn)−σ ij(P)]n j(Qn)=O(r
α
n
)asr n→0, for eachn.
Box 1.1 Requirements for collocation of a HBIE at an irregular point
(from [93]).
In the above,r
n=|y(Q n)−x(P)|,Q n∈∂Bn,andα>0.Also,
u
L
i
(Qn;P)=u i(P)+u i,j(P)[y j(Qn)−x j(P)] (1.83)
There are two important issues to consider here.
The ﬁrst is that, if there is to be any hope for collocating (1.39) at an
irregular pointP, the exact solution of a boundary value problem must satisfy
conditions (i-iv) in Box 1.1. Clearly, one should not attempt this collocation
if, for example, the stress is unbounded at P (this can easily happen - see an
exhaustive study on the subject in Glushkov et al. [50]), or is bounded but
discontinuous at P (e.g. at the tip of a wedge - see, for example, Zhang and
Mukherjee [183]). The discussion in the rest of this book is limited to the class
of problems,referred to as the admissible class, whose exact solutions satisfy
conditions (i - iv).
The second issue refers to smoothness requirements on the interpolation
functions foru,σand the tractionτ=n·σin (1.39). It has proved very
diﬃcult, in practice, to ﬁnd BEM interpolation functions that satisfy, a priori,
(ii(b)-(iv)) in Box 1.1, for collocation at an irregular surface point on a 3-D
body [93]. It has recently been proved in Mukherjee and Mukherjee [111],
however, that interpolation functions used in the boundary contour method
(BCM - see, for example, Mukherjee et al. [109], Mukherjee and Mukherjee
[99]) satisfy these conditions a priori. Another important advantage of using
these interpolation functions is that∇ucan be directly computed from them
at an irregular boundary point [99], without the need to use the (undeﬁned)
normal and tangent vectors at this point. In principle, these BCM interpolation
functions can also be used in the BEM.
The BCM and the hypersingular BCM (HBCM) are discussed in detail
in
collocated on edges and at corners, from Mukherjee and Mukherjee [111], are
available in Chapter 4.? 2005 by Taylor & Francis Group, LLC

Chapter 2
ERROR ESTIMATION
Pointwise (i.e. that the error is evaluated at selected points) residual-based error
estimates for Dirichlet, Neumann and mixed boundary value problems (BVPs)
in linear elasticity are presented ﬁrst in this chapter. Interesting relationships
between the actual error and the hypersingular residuals are proved for the ﬁrst
two classes of problems, while heuristic error estimators are presented for mixed
BVPs. Element-based error indicators, relying on the pointwise error measures
presented earlier, are proposed next. Numerical results for two mixed BVPs
in 2-D linear elasticity complete this chapter. Further details are available in
[127].
2.1 Linear Operators
Boundary integral equations can be analyzed by viewing them as linear equa-
tions in a Hilbert space. A very readable account of this topic is available in
Kress [73]. Following Sloan [155], it is assumed here that the boundary∂Bis
aC
1
continuous closed Jordan curve given by the mapping:
z:[0,1]→∂B, z∈C
1
,|z

|=0
wherez∈C, the space of complex numbers. The present analysis excludes
domains with corners. It is also assumed that any integrable functionvon∂B
may be represented in a Fourier series:
v∼
∞

k=−∞
ˆv(k)e
2πikx1
=a0+
∞

k=1
(akcos(2πkx 1)+b ksin(2πkx 1) (2.1)
wherei≡
√
−1 and:
ˆv(k)=
B
1
0
e
−2πikx 1
v(x1)dx1,k∈Z (2.2)
23?oGww2obyoTayloro3oFrancisoGroupgoLLC

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

a Ferencziek-terén és a Kossuth Lajos-utczában van. Temploma a
régi, de a zárda-épület csak harmincz év előtt épült. A régi zárda
egyszerü kis emeletes ház volt nagy kerttel, melynek helyére
időközben a Ferencziek uj zárdája, bazár-épülete és az egyetemi
könyvtár palotája épült.
Itt volt a tüzes barát a régi egyszerü zárdában az 1838-ik év
végeig. Itt érte őt a nagy árviz is. Szerzetes társai név nélkül élt s
név nélkül elhalt barátok voltak.
Itt tünt fel mint hitszónok legelőször. Gyönyörü nyelven, erősen
és tisztán csengő hangon, szentséges hévvel és buzgósággal,
gyakran nagy szenvedélylyel tartotta beszédeit. Beszédei nem
egyszerü hitviták, nem az egyházi szószék általános szólásai, nem a
szent atyák ismeretes közmondásai voltak. Kora irodalmi magaslatain
szárnyalt gondolkozása. Egy öreg szabómesterrel még találkoztam, a
ki egy szónoklatát se mulasztotta el s a kinek az volt véleménye,
hogy olyan nagy szónok se előtte, se utána nem volt a Ferencziek
templomában.
Lehet, hogy igaza volt.
Hanem a tüzes barát vérének lázongása, szenvedélyes
természetének zsarnoki önkénye s kedélyének szinte beteges
izgalma itt már ismét elő-előtört. Szerzetének előljáróságával itt már
esetenként meg-meghasonlott s forrongó eszméi s a serkedező
cselekvési vágyak már alig tudtak a zárdának falai, feladatának
korlátai s szerzetes állásának kötelességei között megmaradni.
Egykor keserü boszu töltötte el lelkét a nagy urak ellen s a
végletekbe rohanó lélek kiterjesztette gyülöletét az egész nemesi
osztály, sőt pillanatonként a magyar faj ellen is. Erre is van
bizonyság irataiban. Betegsége, tanulmányai, a zárdának nyugalma s
csöndje s a szentirásnak isteni tanai hosszu időn át elvonták lelkét a
boszu és gyülölet emésztő érzeményeitől. De betegsége elmult. A
szentirás tanai egyéniségét, a vad természetnek e sajátságos
remekét végkép át nem idomithatták. Tanulmányai mind magasbra

szárnyaltak a nélkül, hogy egyuttal az örökkévalóság törvényeinek
mélyébe hatoltak volna. A zárdának nyugalma lassanként háborgó
lelkének nyügévé és gunyjává vált. Harmincz éves életkorának
minden testi és lelki izma feszülni kezdett. Az ellentétek, melyek
vágyai és társadalmi állása, eszméi és szenvedélyei közt voltak,
teljesen megalakultak lassanként s ugy látszott, nem lehet köztük
béke és kiengesztelődés.
Pesten annyi könyvhöz juthatott, a mennyihez csak akart. A
véletlen szeszélye Yung éjszakáit, Benthamot és Rottecket juttatá
kezébe.
Yung éjszakáiban a világ nem egyéb, mint a siralom völgye. S
még ez se nappal, hanem éjszaka. Dante pokla ez, de nem tűzzel,
kínokkal és fogcsikorgatással, hanem a könyeknek örök hullatásával.
Báró Eötvös is e könyvből merithette Karthauziájához a sötét eget, a
bánatos lelket s a kiapadhatatlan könyeket. A vallás se deriti föl ez
éjszakákat. Istennek igéi csak ugy világitanak be a sötétségbe, mint
a csillagok, ha fekete felhők takarják el őket.
Bentham is homályos. Különösen homályos az olyan elme előtt, a
ki a mindennapi élet ezer változatát nem közvetlenül szemléli s
azokat minden nap át nem éli.
V.
(Bentham és Rotteck. – A szószék varázsa. – Az árviz. – A templom falai
megrepedeznek. – Az angol szüzek kolostora.)
Bentham könyve egy bölcseleti rendszer, melynek tárgya a
legnehezebb tárgy. Az állam és a társadalom erőviszonyai
önmagukban s egymás ellen. Miként lehetne s kellene e viszonyokat
a joggal szabályozni? Bölcseleti rendszer, melyet egészében se a
tudomány, sem az államélet terén soha el nem fogadtak. Be sincs
talán fejezve. Befejezését az alkotó halála meggátolta. Részeiből

műegységet alkotni s ezt a világ rendjével összhangzásba hozni,
mind máig senki se vállalkozott.
Mit csináljon ily művel a barát, kinek elméje sohase fárad el, de a
titkok mélyéig se tud jutni?
Rotteck eszményi világtörténet. Korának bölcseleti felfogását
keresi s találja meg háromezer évnek történelmi eseményeiben. S a
jelen kor eszméit nem a multnak történetéből vonja le, hanem a
multnak történetét is a jelen kor eszméi szerint alakitja át. Amaz
eszmék szerint, melyeket a hegeli rendszer áramlatai vetettek
fölszinre. Ellenkezik a mű egész iránya a római katholikus egyház sok
százados szilárd felfogásával is. Vagy az egyik, vagy a másik iránt
támad kétségünk, vagy mind a kettő iránt, ha igazán belemerülünk.
E műveket olvasgatta Gasparich s olvasgatta a nélkül, hogy a
kellő ismeretekkel s előtanulmányokkal rendelkezett volna. S a
nélkül, hogy a művekben tárgyalt eszméket a gyakorlati élet
napfényes mezején a helyes birálat legjobb látó-távolából
szemlélhette volna. Benthamot olvasá, holott egész életét a zárda
falai közt töltötte s a társadalmat csak messze távolból ismerheté. S
Rottecket buvárolta, holott neki egy szegény szerzetes
gondolatköréből kitekinteni alig volt szabad és alig volt lehetséges.
S mindezen felül még a szószék titkos varázsló erejének is
hatalmába került.
Sajátságos hatalom a szónoklat. Oly alkotmány ez, melyhez a
tudomány, a szinpad, a költészet, az egyéniség és a véletlen adja az
anyagot s a melyben mindez csodálatos vegyülékben van együtt s
versenyez az egymás fölött való uraságért. E verseny, e soha el nem
dönthető verseny az, mely a szószéknek titkát képezi s hatalmát
alkotja.
A tudomány tulsulya értekezéssé, a szinpad tulsulya szinijátékká,
a költészet tulsulya képzelődéssé, az egyéniség tulsulya társalgássá s
a véletlen tulsulya adomázássá teszi a szónoklatot. Pedig a szónoklat

egyik se és valamennyi. Kevesebb, mint akármelyik s több, mint
mindegyik összevéve.
Gondolat, mely lángol; szenvedély, mely gondolkodik; egyéniség,
mely eszmévé magasul; költészet az önérdek szolgálatában s
önérdek, mely a világot öleli magához. Visszanéz a multra, előre
tekint a jövőbe s szeme mégis mindig a jelenen függ. Ismeri a
történetet, a tudomány érveit, az erények és bűnök vonzó erejét, a
természet szépségeit s a vallásnak titkait és nagyon ismeri az
emberek gyöngeségét. Ismeri és felhasználja mindezeket s ha
szükség: el is használja. Eszközeiben nem válogat, vagyis mindig
azokat választja, melyek a czélra biztosan vezetnek. Si nequit
superos, Acheronta movebit. Ha a magasság nem elég, a poklot
hivja segitségül. Az égben, a földön és a föld alatt levő hatalmak
közt a legnagyobb hatalom, – ugy mondta Stephenson György. De
csak akkor, ha sikert arat. Ha sikert nem arat: elveszett, eltünt,
mintha soha nem is történt volna. Gúny vagy közöny és feledés
moha nyomban eltemeti.
A szószék gyakran azt a hatást gyakorolja a szólóra, a melyet a
mámoritó italok gyakorolnak. A szónok agyában a gondolat
gondolatot kerget; eszmék gyulnak ki s tünnek el nagy hirtelen;
képeket rajzol, miként az álom; költészetet teremt, mint az ifjuság s
szenvedélyeket kelt, mint a gyülölet, szerelem, boszu, csatariadás,
őrültség s vallási düh. Szerencsés ember, ki a szószéken komoly,
nyugodt, a fontolgató értelemnek s teljes öntudatának ura. Még
szerencsésebb, ki ezen felül ura önmagának, birtokosa az emberek
és a világ titkainak s ki az önbizalom és önérzet rendithetlen
alapjáról mosolyogva beszél a mindenséggel. Ez a vidám komolyság,
melyet humornak nevez az irodalom.
A tüzes barát ama szónokok közé tartozott, kik elől, mihelyt a
szószékre felállanak, elvesz a világ s kik akkor önnön létezésüket is
elfelejtik. Azok közé, kiken az öntudatlanság mámorában vad
gondolatok s lobogó szenvedélyek uralkodnak. Kik a szónoklat
végével testben, lélekben kimerülve ugy érzik magukat, mintha mély,
lázas álomból most ébredtek volna fel.

Férfias alakja, erőteljes hangja, eszméinek élénk csapongása,
szokatlan bátorsága s merész gondolatai csakhamar ismeretessé
tették Pesten. Beszédeinek meghallgatására, mint emlitettem már,
özönlött a sokaság a Ferencziek templomába. E beszédeknek akkor
nemcsak a fővárosban, hanem messze vidéken is nagy hirük volt.
Pesten találta őt az 1838-dik évi nagy árviz.
Az árviz leirása történetünk folyamával semmiképen össze nem
függ. De én Gasparich életét a rendelkezésemre álló adatokból
lehetőleg megismertetni akarom, tehát röviden az árvizet is
érintenem kell, a mennyiben ez Gasparich életére s szerzetesi
cselekményeire vonatkozik.
A tüzes barátot a nagy árviz, az elemeknek e romboló szeszélye
rendkivüli izgalomba hozta. Azon a négy napon és négy éjszakán át,
mig az ár folyton hullámzott s mig egyes városrészek viz alatt voltak,
alig aludt valamit s igénytelen szükségleteiről alig volt képes
gondoskodni.
Szerzetének temploma és zárdája szárazon maradt. A templom
küszöbe majd két ölnyivel fekszik magasabban, mint a hogy a régi
központi városház kapuküszöbe. A városház terén jégtáblákat
himbált a szél által zaklatott mély áradat. A régi Kigyó-utcza végén,
az ugynevezett Kigyó-patikánál szünt meg a viz. A Ferencziek
kolostora körül egy kis keskeny szabad tér volt.
Tele a menekülők ezreivel.
A templom és a zárda a vész kezdetétől fogva menedéke volt
azoknak, kiket tanyájukból a jeges áradat kiszoritott. Annyian
menekültek oda, a mennyien a falak közt megférhettek.
Azt irja Gasparich:
– Telve volt a vész ideje alatt az egész templom. Földön és padok
között helyezte el magát kiki. Itt volt ágyuk, itt a vizes ágynemü
között sirtak a gyermekek, itt nyögtek a betegek.

Bár a kolostor szárazon volt, azért a föld meglágyulása s a viznek
a csatornákon áthatolása mégis éreztette romboló hatását a
szerzettel is. A templomnak sanctuariuma megrepedt s az egyik
keresztoltár lesülyedt s derékben kettészakadt.
Rettenetes jelenet volt ez. Márczius 16-án történt nap közben, a
mikor ébren volt mindenki. Zsufolva volt menekülő tömeggel a
templom. Agg férfiak és asszonyok üldögéltek a falak tövében.
Kisdedekkel tele voltak rakva a padok könyöklő deszkái. Álló ember
alig kapott már helyet a padokban, a padok közti folyosókon, az
oltárok mellett s a nagy oltár közelében. A tömeg lassu beszédének
zugása betölté a boltozatok üregeit. Mindenki a maga inségét s
menekülését emlegette s azokról beszélt, kik szerettei közül távol
voltak, ide nem juthattak. Borzadva gondoltak az elmult napokra és
éjszakákra s reszkettek a jövő napok rémségeitől.
Egyszer csak tömegekben hullott alá a vakolat a szentély
boltozatáról s meredt szemekkel láthatták, a mint a falak hosszában
és keresztben repedeznek.
A rémület orditásával ugrott föl mindenki a másik pillanatban s
egymást tiporva és taszigálva menekült az ajtók felé. A nők és
kisdedek sikoltása s a halálra rémültek jajgatása töltötte be a
szentegyházat. Ha össze nem omlik is az épület, száz halált okoz a
gyöngéket elgázoló rémület.
A tüzes barát nem vesztette el lelkét. A szószék mellett állt,
nyomban felfutott a szószékre s dörgő hangon szólt a holtra ijedt
sokasághoz.
– Emberek! Boldogtalan hiveim! Ide nézzetek! Az erős isten van
itt fölöttem és körülöttem. Ha sujtani akar: engem sujt s nem titeket.
Én pedig itt maradok s a hajam szála se görbül meg. A ti végzetetek
az enyém. Az én végzetem pedig nem ma s nem most következik el.
Boruljatok térdre!
Hangja, mint a harangszó betöltötte a boltozatok üregeit. Egy
pillanatra mindenki megállt, elhallgatott és feléje nézett. Sötét

szőrcsuhájára s fényes arczára oda villant egy napsugár. A rémült
szivekbe visszatért a nyugalom s térdre borulva mormogták a tüzes
barát imádságát.
A szerviták templomában semmi kár nem esett, valamint a Teréz-
és Lipót-városi templomokban is kevés. A Bel-városi plébánia
temploma, valamint a Józsefvárosé is sokat szenvedett. A Ferencz-
városiban három oltár dőlt le, köztük a főoltár is összeroskadt.
Legtöbbet szenvedett az Angol-kisasszonyok zárdája és temploma.
Itt akkora volt az áradat, hogy az első emeletből egyenesen be
lehetett az ablakon át a mentő csónakba lépni.
Gasparich valamennyi közt ezt fájlalta legjobban. Itt kis lánykák
tanultak. Végtelenül szerette a kis gyermekeket s alig volt nagyobb
gyönyörüsége, mint az, melyet akkor érzett, a mikor kis gyermekek
közt lehetett. A kisdedek ártatlan csevegései közben érezte magát
igazán embernek s a világ gyermekének. Ezek között elfelejtkezett
komor eszméiről, valósithatlan ábrándjairól s a zárdáról, melyet
gyakran ugy tekintett, mint sorsának igazságtalan vaskényszerét.
Mint börtönt, melyből csak fölfelé meg lefelé van szabadulás. Az
égbe és a sirba. S kisdedek közt lenni sehol se volt alkalma, csak az
angol szüzek zárdájában. Ide járt misézni és szónokolni.
Az Angol-kisasszonyok zárdája hónapokon át lakhatatlan lett.
Hónapokig kellett nélkülöznie a kisdedek társaságát. Szomoru hiányt
érzett e miatt a napok folyásában.
– Mennyire emelkedett lelkem – igy szól egyházi beszédében –
midőn gyakran hallám itt az Angol-kisasszonyok szorgalmas gondja
alatt növekedő kisded ártatlanságot utánunk dadogva az urhoz
imádkozni! És most mély csendet tapasztalok a szent romok közt
uralkodni!
Általában a templomok pusztulása mélyen hatott lelkére. Egyházi
szónoklataiban, melyekhez a tárgyat a pusztitó vész alkalmából
vette, legszebb részek azok, a melyekben a templomok pusztulása
miatt panaszkodik.

– Uram! – igy sóhajt fel egy helyütt. – Uram! hatalmas és igaz
vagy, imádom szentségedet. De miért zárod ki buzgalmunkat azon
helyeidről is, melyekben hozzád fel szoktuk sirni kérelmeinket,
kizokogni panaszainkat s megnyugtatni zajgó sziveinket?
A vész márczius 14-től 17-ikéig tartott.
Ez egész idő alatt naponként kijárt a zárdából menteni, segiteni,
vigasztalni a szerencsétleneket. Gyakran találkozott az emberszeretet
és áldozatkészség nemes hőseivel, a kiknek nevét az utókor
emlékezetére e napok története megörökitette. Nem emlitem e
neveket, ismeri ezeket a hazában mindenki.
Gasparich a maga jegyzeteiben különösen fölemlit három nevet.
Ők mindenütt s mind végig ott voltak, a hol a vész legnagyobb s a
segély szüksége legégetőbb volt. Kiemeli Földváry Ferencz királyi
tanácsost s a királyi tábla biráját s nejét báró Baldacci Francziskát,
továbbá Messkó Johanna urnőt s Andrássy József helytartótanácsost.
Amaz idők évkönyve ezeket kevésbbé emlegeté. A hol ezek osztották
a segély és könyörület áldásait, ugy látszik, a tüzes barát ott
részesitette a szerencsétleneket leggyakrabban a lelki vigasztalás
jótéteményeiben.
Valóban mélyen meghatók a beszédek, melyeket a hivek lelkeihez
és az imák, melyeket az egek urához bocsátott e napokban a tüzes
barát.
VI.
(A tüzes barát imája. – Az ország mindenféle papsága. – Gasparich nem
maradhat Pesten. – Egyházi beszédei. – Szent-Antalon és Szarvas-Gedén.
– Székes-Fehérvár.)
Különös ez! A ki horvátból lett magyarrá, kolduló barátból iróvá, a
nemzeti irodalom föllendülésének kezdetén minő szép nyelven tudott

istennel beszélni.
– Istenem! – mondá egyik szent beszédében – szomoru
gyermekeid fonják össze könyörgő kezeiket s emelik fel hozzád! Siró
teremtményeid alázzák meg magukat előtted kegyelemért. Mentsd
meg őket ezután minden vésztől s terjeszd ki malasztodat minél
előbbi fölsegélésükre.
– Istenem! tekintsd a feléd ázó szemeknek buzgó záporát; adjad,
hogy nem sokára ismét öröm mosolyogjon ott, hol az inség könyei
remegnek! Hallgasd rebegő ajkainkat, melyek bocsánatért
esedeznek, megnémulást igérve minden gonosznak. Ne engedd,
hogy ezután az inség, szenvedés és fájdalomnak ennyi áldozatja
legyen köztünk. Távoztass tőlünk minden veszedelmet, valamint mi
törekedünk magunktól elháritani minden erkölcstelenséget. Add meg
uram szivünk forró vágyait nyugtató kegyelmedet, könnyitsd a
sebhedt kebleket, hogy a melyek tőled méltán megkeserittettek, az
általad nyujtott segedelem alatt enyhüljenek. Isten, teljesitsd
alázatos kérelmünket!
Egyházi beszédei közül, melyeket e tárgyban tartott, külön
füzetben kinyomatta az árvizkárosultak fölsegélésére azt, melyet az
1838. évi ápril 1-én tartott nagy hálaünnep alkalmával roppant
néptömeg előtt mondott el. A hallgatók közt volt, mint nekem
mondták, Horváth István is, az egyetemi tanár s tudós történetiró, a
ki az egész világot magyarnak látta. Ő mondta volna e beszédre e
szavakat:
– Ha minden pap ugy beszélné a magyar nyelvet, mint e szegény
barát, ma-holnap mi magyarok nem azt néznénk, mik voltunk
valaha, hanem azt, van-e még föld, a melyet szaporodó unokáink
számára elfoglaljunk.
Sok jellemző van e szavakban.
Magyarországnak sokféle egyháza s minden egyháznak sok papja
van. A papok csak ott beszélnek magyarul isten előtt a néppel, a hol
az osztrák befolyás s a korona hatalma a magyar nyelvet semmiféle

erőszakkal ki nem irthatta. Német, tót, oláh, szerb, horvát, orosz,
görög nyelven, sőt még holt nyelveken is, latinul, héberül istennek
több szentegyházában vezették a szertartásokat összevéve, mint
magyarul. Egész vidékek vannak százezrekre menő lélekszámmal,
tiszta ajku ősmagyarok, kiknek isten igéjét saját nyelvükön hallgatni
nem szabad. Pedig egy szót se tudnak idegen nyelven.
Nincs ilyen ország több a világon.
Olyan szép nyelven, mint a tüzes barát, a sok egyháznak kevés
papja szolgálta az egyházat és a hazát. Első kinyomatott műve
különben az 1838. évi ápril 1-i beszéde volt.
Ő maga is becsesnek tartotta ezt. Azokat, a kiket szeretett s a kik
iránt tiszteletet érzett, szivesen ajándékozta meg e művel később is.
Igy adott egy példányt, saját keze irásával ellátva, Bobory Károly
országgyülési képviselőnek is. Ez katholikus pap volt, függetlenségi
harczunk egyik hőse s forradalmi elitéltje. Az ő példányát láttam
magam is.
E munka czime: Egyházi beszéd, melyet az elfelejthetlen kárt,
nyomort, inséget és szomoruságot okozott 1838-iki árviz elmultával a
kesergő pestiekhez Szent-György hó 1-én mondta s hallgatói
közkivánatára a károsult szerencsétlenek segedelmezésére ki is
nyomata P. Gasparich Kilit sz. ferenczrendi szerzetes s egyházi
szónok. Pesten Esztergomi E. Beimel József betüivel.
Láttam ez időből néhány kiadatlan egyházi beszédét is
kéziratban.
A tüzes barát ez után nem sokáig maradhatott Pesten.
Beszédének heve s gondolatainak merészsége sokkal nagyobb
figyelmet gerjesztett már, mintsem jámbor lelkü, félénk szerzetes
társai valami nagyon örülhettek volna vasárnapi egyházi
beszédeinek.
E beszédek nem maradtak a hitvallás és erkölcsi élet tárgytalan
elveinek magas légkörében, hanem hangjukkal, példázgatásukkal

belenyultak a napi eseményekbe s a politikai mozgalmakba is. A
nemzet ébredezett, ifjusága lángolni kezdett s a tüzes barát hire
napról-napra terjedt. A királyi tábla s a vármegyeház ott feküdt a
Ferencziek kolostorának szomszédságában. A tábla esküdt ifjai s a
vármegyeház bejárói lassanként oda szoktak a tüzes barát
szószékéhez. Uj eszmék szellői fuvalltak át a hazafi lelkeken s e
lelkeknek nagyon tetszett a barát minden beszéde. A hatalom kezelői
észrevették ezt.
Mi az e beszédekben, a mi a hatalom kezelőinek nem tetszhetett:
ezt ugyan ma már senki se érti. De a szabad szó üldözése épen
akkor napirenden volt. Kossuthot és társait akkor olyan szavak és
nézetek miatt pörölte és börtönözte a bécsi uralom, melyek ma
észrevétlenül tünnének el a zsibongó élet utczai zajában. Olyan
nézetek miatt, melyek okosak, szükségesek, szelidek, emberszeretők
s a minőket ma minden kormány saját nézeteinek vall és hirdet.
Nem tudom, de valószinünek tartom, hogy a szerzet előljáróságát
felsőbb helyről figyelmeztették Gasparich veszedelmes irányára.
Veszedelmes irány!
Minden ostoba és önkényü kormánynak ez a jelszava. Indokolni
ugyan nem tudja, nem is akarja, de majomként használja e szót. A
tüzes barát beszédeiben semmi sincs, a miből veszedelmes irányra
lehetett volna gondolni. Csak az, hogy a sokaság megszerette a
barátot s mindinkább szaporodtak, kik rajongtak érte. Mást is
szeretni, mint a kormányokat, másért is rajongani, nemcsak a
királyokért: ez a veszedelmes irány.
Bizonyos, hogy a zárdafőnök s szerzetes társai is nem egyszer
szóváltásba keveredtek a tüzes baráttal egyházi beszédei fölött. De a
tüzes barát nem az az ember volt, a ki egyhamar hajlandó lett volna
meghunyászkodni. Fiatal is volt még ehhez. De ha lett volna is benne
hajlandóság, a mint a szószékre feljuthatott, gondolatainak és
szenvedélyeinek nem tudott többé parancsolni.

Ez volt főoka, a miért őt már az 1838-ik év folyamán a pesti
zárdából eltávolitották. Van Pozsonyvármegyében a felső
Csallóközben egy kisded falu: Bácsfa. Ehhez tartozik a szent-antali
puszta, hol egy kis Ferenczi zárda áll fenn. Ide helyezték át. Itt csak
évenként egyszer-kétszer gyülik össze búcsu alkalmával néhány száz
főből álló kegyes hallgatóság. Itt se módjában nem állott, se
indittatva nem érezte magát az egyházi szónoklat terén valami
különös buzgalmat fejteni ki.
Eltették a világ szemei elől. Magányba, pusztaságba.
Napjai azért még se folytak munka nélkül. Nem békétlenkedett
legalább látszólag. Ki se tört. Ugy látszott, mintha végképen a
szerzetesi föltétlen engedelmesség alá hajtotta volna fejét. De
szorgalmasan olvasgatott s egyházi beszédeit rendezgette sajtó alá.
E beszédek két kötetben 1839-ben jelentek meg Pesten szintén
Beimelnál e czim alatt:
Az út, igazság és élet, vagyis a Megváltó szelid lelke szeretetben
és igazságban.
E beszédek nem szórul-szóra való másolatai azoknak, melyeket a
szószéken mondott el. Ez időben Gasparich még előre el szokta
beszédeit késziteni, de azokat ritkán mondta el változatlanul ugy, a
hogy előre megirta. Gyakran felejtett ki egyes részleteket s a
helyzethez képest rendesen uj eszmék, uj szónoki gondolatalakitások
támadtak agyában. Ezeket azután papirra jegyezte s üres óráiban
leginkább ezekből állitotta össze sajtó alá adott beszédeit.
E beszédek egyházi és irodalmi értékét nem akarom fejtegetni. A
tüzes barát általános jellemzését ugyis hosszura nyujtottam már.
Nyájas olvasóm bizonyára események leirását várja már. De még
meg kell jegyeznem, hogy e beszédekben már sok helyütt a
cselekvési vágy csillámlik föl. Mintha nem elégitené ki őt csupán a
vallás és erkölcs mélységeiben való emelkedés. Mintha a világba s a
világ küzdelmeibe való avatkozás vágya sarjadzanék lelkében. Egyes
helyek ugy hangzanak, mintha nem egyházi szónok, nem igénytelen

kolduló barát, hanem a közélet valamely világi férfia állana előttünk
erős érdeklődésekkel, tudományos elméletekkel s a napok
történetéből kikelt szenvedélyekkel.
A szent-antali pusztai zárdában egyébiránt kevés időt töltött.
Messkó János szarvas-gedei nógrádvármegyei előkelő birtokosnak
házi káplánra volt szüksége. Bejött Pestre Ferenczi barátért. Messkó
Johanna urnő, ki az árviz idejéből már jól ismerte Gasparichot, őt
ajánlotta. De ez már Szent-Antalon volt. Messkó János utána ment a
Csallóközbe s elvitte onnan uri házához.
Alig töltött ott egy évet. Talán a Messkó-család befolyása
következtében az 1839-ik év végén ismét bejutott a pesti kolostorba.
De itt már nem türték. A következő év végén a székes-fehérvári
zárdába helyezték át. Nem tudtam nyomára jönni: miért. A közvetlen
okot tehát nem ismerem.
Itt volt négy éven át 1844-ig. Az egész időn át egyházi
szónokként szerepelt. Szónoki hire itt is nagy volt s folyton
erősbödött. Még ezelőtt harmincz évvel többen éltek, kik nagy
hévvel, erős hangon s a szenvedély gyakori kitöréseivel tartott
szónoklataira élénken emlékeztek.
De a hatóság előtt még se tünt ugy fel itt, mint Pesten. A kis
város közönsége más, mint a nagy városé. Az urak, a nemesek, a
köztisztviselők, az értelmiség előkelő férfiai és női ez időben nem
jártak rendesen a templomba. Ha jártak is: nem a kolduló
barátokhoz. Székesfehérvár püspöki székhely. Ott van a káptalan is s
a gazdag zirczi szerzetnek is van ott zárdája és gimnáziuma. Az urak
inkább oda járnak istentiszteletre, ha járnak, a hol a püspök és a
kanonokok vannak, mint a barátokhoz. A kolduló barátok oltárai előtt
vidéken csak a szegényebb néposztály áhitatoskodik. Előtte
semmiféle tüzes szentbeszéd nem feltünő. Azt hiszi, ilyennek kell
lenni minden beszédnek. Ki félne vidéken egy kolduló baráttól, habár
az egeket hasogatná is heves beszédeivel?

A tüzes barát kedélye azonban itt már borulni kezdett. Sorsát,
függő helyzetét lassanként nyomasztónak kezdte tartani. Önmagával
mindinkább elégedetlen lett. A vármegye politikai élete ekkor nagyon
élénk volt. A nagy nemzeti ellenzék, melynek élén Madarász László
állott, hatalmas erővel döngette a régi rendszert s az udvari
törekvések itteni táborát. A nagy küzdelem Székes-Fehérvárott folyt
le. A megyei nemesség két tábora ott vivta csatáit. A szereplési vágy
oroszlánja eddig csak aludt a tüzes barát lelkében, most azonban
már ébredezni kezdett. Végzete még a messze távolban, de sugarai
már kezdtek csillámlani.
Itt ismerkedett meg Perczel Mórral is, a függetlenségi harcz egyik
hadvezérével. Nagy következéseket szült utóbb ez ismerkedés.
A lelkek átalakulása mindig vonzó és érdekes.
A szentirás és annak fölséges tudománya többé nem volt képes a
tüzes barát lelkét teljesen elfoglalni. Beszédei gyakran oly hevesek
voltak, hogy társai ugy tekintették már, mint valóságos rajongót.
Szerzetbeli főnöke gyakran figyelmeztette is szerzetesi kötelességeire
s talán a püspök is megintette néha, hogy mérsékeltebb s
vallásosabb szinü és tartalmu beszédeket tartson a hivek előtt. Az ily
intések egy pillanatig ingerültté tették, de hatásuk azért még
megvolt ez időben. Ugy látszik, ha némely pillanatban felmerült is
agyában a szerzetből kilépés gondolata: e gondolat ekkor még csak
röppenő volt s komoly tervvé nem válhatott.
A közélet nagy kérdése volt akkor a jobbágyság felszabaditása s
a törvény előtt való egyenlőség kivivása.
A tüzes barát szülői és rokonai szintén jobbágyok voltak.
Zalavármegye muraközi része, e több mint százezer holdnyi óriási
terület, alig két nagy uré volt. Sok-sok ezer jobbágy csak két uraság
szolgája. Hogy ne támadt volna keserüség a tüzes barát lelkében,
mikor elgondolta, hogy mi mindnyájan egyenlők vagyunk isten előtt,
de semmiképen se vagyunk egyenlők a törvény előtt.

A nagy szónok mindig nagy erőt érez magában arra, hogy a
dolgok rendjét megváltoztassa. Ez erő érzete föltámasztja a
cselekvés vágyát. Fel kellett támadnia ennek a tüzes barátban is.
Ekkor találkozott vele Hencsey. A szelid ember, az igénytelen,
tanulatlan, de éles elméjü, buzgó és ábrándos hittéritő.

HENCSEY ÉS A TÜZES BARÁT.
I.
(A hitviták. – Hencsey fölkeresi Gasparichot. – Értekezésük s leveleik.)
Hencsey hitalapitó és szelid lélek, Gasparich a római egyház
szegény és alázatos szerzetese, de nyugtalan és szilaj lélek.
Találkoznak és mérkőznek egymással.
Találkozásuk és mérkőzésük hit fölött való vitát idéz elő.
Nagy hitbeli vitákat ismer a világtörténet. A mikor Jézus verseng
a papokkal és irástudókkal. A mikor a keresztyén közönséges egyház
ketté válik: napnyugotira és napkeletire. A mikor a hitujitás
megkezdődik s diadalra jut. Nagy fejezetek az emberi nemzetség
történetéből.
Nálunk Magyarországon nem a hitujitás százada a nagy hitbeli
viták kora. A tizenhatodik századból kevés irodalmi emléke maradt e
vitáknak. Annál több és élénkebb a tizenhetedik századból, a mikor a
római egyház férfiai kezdték a harczot, hogy ez egyház számára
visszahóditsák a magyar nemzetet.
Szomoru, de dicsőséges korszak. A szabadságért és nemzeti
függetlenségért folytatott háboruk korszaka. Dicsőségéből még az se
von le semmit, hogy a hadi tárogatók hangjába belejátszik a hitbeli
viták zsivaja.

A mai kor még képzelni se tud üresebb, sivárabb dolgot, mint a
minő a hitelvek fölött való vita és versengés. A világ ma nem törődik
semmiféle hitelvvel. Nem is érti mi az. Érzéke sincs hozzá. Az
irodalom se fogadja be. A tudós társaságok is elzárják magukat a
hitelvek fejtegetése elől. Csak néhány hittanár borongós agya
foglalkozik még vele a papságra készülő ifjak társaságában.
Felekezeti harcz, vallásos gyűlölködés ma is van. De ez utálatos,
mert oka nem vallási buzgóság, hanem társadalmi önzés és hatalmi
érdek. Sokkal szebb volt a hitujitás korának szószéki és irodalmi
vitája, pedig azt is örökre megunta s elfelejtette a világ.
A szelid hittéritő és a tüzes barát közt hitbeli vita támadt. Ugy hat
reánk ez, mint régi mohos kődarab összeomlott épületekről, régi
korhadt ruhafoszlány sirbolt üregéből. Valami keveset mégis közlök e
hitbeli vitából. Hiszen ötven-hatvan év előtt mind a két szellem
köztünk élt s korának mind a kettő nagy közmunkása volt.
Emlitettem már, hogy Béla József az 1841-ik év végén
meglátogatta Székes-Fehérváron a tüzes barátot s erről értesitette
Hencseyt, ki akkor Szent-Péter-Urban, szülői házánál tartózkodott.
Levelében érintette, hogy a tüzes barátnak nem merte előhozni a
magyar nazarénusok felekezetének létezését s még kevésbbé azt,
hogy neki és Hencseynek mi a szándékuk s életük feladata. Béla
József a baráttal szemben nem érezte magát elég erősnek, de bizott
abban, hogy Hencsey különösen jártas a szentirásban s olyan kegyes
és tiszta életü fiatal ember, hogy egyedül őt illeti meg, hogy a
baráttal mind az eszmékben, mind a buzgóságban szembe szálljon.
Hiszen ő és társai azért választották Hencseyt vezérül, tanitóul,
követendő például.
Bár Gasparich már személyesen ismerte Hencseyt, de valódi és
benső érdeklődést iránta mégis csak Béla beszéde gerjesztett.
Feltünt a tüzes barát előtt az a majdnem rajongó kegyelet, bizalom
és hűség, melylyel Béla József az ő tanitójáról emlékezett. Meg is
kérte tehát, hogy Hencseynek adja tudtára az ő czimét, a mely alatt

intézze hozzá leveleit s közölje vele óhajtását is, hogy szeretne vele
találkozni s értekezni.
Óhajtása teljesedett.
Februári utjában, a mikor Pestre ment, ugyan csak pillanatra
látogathatta meg őt Hencsey, de innen márczius 24-én Hencsey
kiment Székes-Fehérvárra s a következő napon – pénteken, mint
egyik levelében megjegyzi – már korán reggel bejutott
Gasparichhoz. Látogatása sokáig tartott. Az egész napon át.
Végre igazán együtt volt hát a tüzes barát és a hittéritő szelid
lakatoslegény.
A kolduló barát lakása szegényes. Kis szobácska egy ablakkal,
ajtaja a folyosóra nyiló. Falai egyszerü meszelt falak. Egy ágy, durva
szürke pokróczczal leteritve, egy kis asztalka s rajta a feszület, egy
szekrény s néhány festetlen és fényezetlen fa-szék. Ebből áll a
kolduló barát lakása.
Hencsey jóval fiatalabb. Talán tiz-tizenöt évvel. Mind a kettő
valamivel magasabb a közepes termetnél. Egyiknek arczképét se
láttam, talán nem is volt nekik soha. Mindkettő sovány a sok
munkától, nagy buzgóságtól és sok álmatlan éjszakától.
Hogy a tüzes barátnak minő volt alakja 1842-ben: nem tudom.
Hogy minő volt nyolcz-tiz évvel később: azt hallottam ismerőseitől.
Előre hajlott termet, gyöngén lehajtott fej. Sovány redős arcz,
szegletes arczcsontok, sovány áll. Nem szép férfiarcz, de nagy sötét
szemek, melyekben a lélek nagy indulatainak lángjai égtek.
Értekezésük, a két különös lélek érintkezése rendkivül érdekes
lehetett. Beszélgetésüket szórul-szóra nem közölhetem. Csak
fenmaradt leveleikből ismerhetjük azt. Végtelen kár, hogy e levelek
nem bővebbek.
Hencsey ekként ir a találkozásról Kovács Józsefnek:
– Kedves szeretett atyámfia!

– A mint mindig mondottam, ugy mondom most is, hogy nincs e
földön ember, ki eléggé meg tudná hálálni az Istennek az ő hozzá
való irgalmasságát. Mert ő azoknak, kik őt szeretik s buzgó
könyörgéssel hozzáfordulnak, teljesiti az ő akaratjukat még
kivánságukon fölül is és ezért ő tőlünk, mint teremtéseitől csak
annyit kiván, hogy életünk utolsó órájáig csak egyedül ő neki adjunk
dicsőséget és tisztességet. Ámen!
Megjegyzem, hogy Hencsey minden levele efféle bevezetéssel
kezdődik. Ez után e levelét, mely Pesten 1842. évi ápril 1-én kelt, igy
folytatja:
– Óhajtok irni s alig várom, hogy tudomást végy róla, az itteni
atyafiakról és önmagamnak idáig való szerencsés elérkezéséről.
Légyen hála az Istennek, ugy nyujtá nekem kegyelmét, a mint csak
kivánhattam volna.
– Pénteken reggel, 25-ik márcziusban fölmentem a baráthoz és ő
engem ismét barátságosan fogadott. Kérdezte, hogy mi az én
szándékom ő vele? Én mondottam, hogy jó hirét hallottam az
atyafiaktól, a kik hozzám jöttek s ezért bátorkodtam neki levelet irni.
És ő mondá: Maga az a zalavármegyei ember, a kiről mi olyan hirt
vettünk, hogy a bibliát olvassa és a népet tériti? És én feleltem: igen
is, én vagyok. Azonnal leültetett és ő is mellém ült és jobb kezünket
egymáséban tartottuk és ugy beszélgettünk. Elkérdezte, hogy
miképen ment otthon sorsom és mi bajom volt a páhoki esperessel?
Én rendről-rendre elmondottam néki mindent és mondottam, hogy
már igen el voltam csüggedve. Ő nékem e bátoritó szóval felelt:
azért ne csüggedjek el, emlékezzem rá, hogy Urunknak Jézusnak is a
papok által kellett elveszni. Mert – ugymond – valamint már Urunk
Jézus idejében a törvénybeli papok elhidegültek a törvénytől, mely
Mózestól fogva volt a Krisztusig: ugy most el vannak hidegülve az
évangyéliomtól, mely fennáll a Krisztustól fogva máig. Ezért tehát ne
csodálkozzam, hogy igy cselekesznek velem.
– Ő engem ezzel nagyon megbátoritott.

– Továbbá olyan távolról kezdtem előtte a keresztségnek hit
nélkül való fölvevéséről szólani. Ő egy kissé ellenkező véleményben
volt, de nem sokat ellenkezett velem. Hanem azt mondá, hogy ő is
már az ő lelkében rég óta tusakodik az embereknek tökéletlen hite
felől. Erre én kérdeztem tőle, ha lélek szerint igazán tusakodik-e
vagy csak betü szerint? Ő arra igy felelt: én nem magasztalom
magamat, hanem a Jézustól el nem állok, ha meg kell is halnom.
– Ezen felelet, kedves atyámfia, nagyon jól van, mert azt tudjuk,
hogy a Jézustól, a kiben csak egy kis jó érzelem van is, el nem kiván
állani. Hiszen a páhoki pap is azt mondotta, hogy ha meg kell is
halnia, a Jézustól el nem áll. Nem ám beszéddel, hanem eláll a Jézus
Krisztus parancsolataitól cselekedettel.
– Továbbá azt monda a barát, hogy ő könyveket is irt, meg is
mutatta nékem könyveit. Erre én azt mondám, hogy én is
tusakodtam lelkemben és én is irtam egy kis könyvet, melyet ha
keresztül vizsgálna, nagyon szeretném. De mivel akkor arra idő nem
volt, könyvemet ott hagytam nála és azt mondottam neki, ha az
Isten a pesti atyafiakhoz segit, fogok irni neki és kértem, hogy ő is
irja meg, hogy micsoda hibákat talál könyvemben? Én már irtam is
neki. Majd csak várom, hogy ő mit fog irni nekem?
– Többet is beszéltem vele, de sok lenne megirni. Majd ha a mi
teremtőnk ismét összehoz bennünket: akkor majd elmondom előtted
élő szóval.
E levél, melyet Hencsey e találkozásról hátrahagyott, élénk
világot vet arra, miként vélekedett Gasparich ekkor már saját
egyházának papjairól. Hencsey szavainak igazsága s felfogásának és
emlékező tehetségének biztossága kétségtelen. Másfelől az is
nyilvánvaló, hogy a tüzes barát szavai épen nem azt jelentik, hogy ő
az egész egyházi rendet vagy az egyház minden papját itélte volna
meg oly sulyosan.
Nem kevésbbé érdekes, miként vélekedett a tüzes barát e
találkozás után Hencseyről s miként adja elő a vitát, mely közte és

Hencsey közt az utolsó kenet szentségéről kifejlődött. A háromszáz
esztendő előtt lefolyt hitviták nem ily szépek, nem ily szelidek.
A levelet egy papi ismerőséhez s később forradalmi barátjához
intézte a tüzes barát. Sághy Vendelnek hivták, derék pap s jeles
ember volt, ugy emlékszem utóbb köbölkuti plébános Esztergom
közelében.
A levél igy szól:
– Talán még egy esztendeje se mult el, midőn egy sápadt képü
mesterlegény fölkeresett itt a klastromban s elém állott, hogy ő
egynéhány beszédemet olvasta és azokban nagy gyönyörüségét
találja. Még azt gondoltam, alamizsnát akar kérni és engem csak
rászedni akar. Nevét is megmondta, de én azután nevét is, magát is
elfelejtettem.
– Később András beszélt róla; – itt meglehet Kertész Andrást érti,
kivel nem tudom, honnan származott ismeretsége neki is, barátjának
is – s ekkor eszembe jutott látogatása, de megint nem adtam az
egészre semmit. Ezelőtt pár hónappal meglátogatott egy másik
ismerőse s ugy beszélt róla, mintha ő volna Messiás, a kit rég óta
várnak a zsidók. Végre levelet is kaptam tőle, valóságos paraszt
irással, minden orthográfia nélkül, azonban tele bibliai czitátumokkal,
melyekből mindjárt gondoltam, hogy valami szent könyvekben
tudákos mesterrel vagy kivel van dolgom.
– Hanem megvallom, a fiatalban nagyon csalódtam. Alig hinné az
ember: jobban ismeri a bibliát, mint akármelyikünk. Semmiféle
papnak se tanácslom, hogy disputáczióba keveredjék vele, mert ugy
is hiába. Valóságos téritő ez s mióta nálam volt, éjjel-nappal
tünődöm szavai felett s aztán olyan alázatosan s annyira lélekből
beszél, hogy az ember alig tud vele ellenkezni. Mondjanak róla
akármit, ez se nem rossz ember, se nem bolond. És ha a
gondviseléstől van küldve: nagy dolgokat fog még cselekedni.
– Be akarta előttem bizonyitani, hogy a kis gyermekek
megkeresztelése ellenére van az isteni tudománynak és hogy csak

akkor szabad a felnőtt embereket megkeresztelni, ha hitvallásukat
kijelentik s lélek szerint megvallják. Én nem akartam vele disputálni
és csak mosolyogva hallgattam.
– Kikelt azután a szentségek ellen is. Én a többek között azt
mondottam neki, hogy olyan keresztyénnek, a ki a bibliát ugy ismeri,
hogyan lehet az utolsó kenet ellen beszélni, mely e nyomoruságos
földi életből oly szépen viszi át a megterhelt lelkiismeretet a mennyei
életbe?
Ő azt kérdezte tőlem, hogyan tudom én ezt a Krisztusnak
tudományából megbizonyitani?
– E kérdésre föltettem magamban: megállj nazarénus, majd
mindjárt megpróbálom én a te bibliai tudományodat s a te hitednek
vagy babonádnak vagy rajongásodnak őszinteségét!
II.
(Gasparich itélete Hencsey fölött. – Hencsey istenre bizza a végső
döntést.)
S igy folytatja levelét a tüzes barát:
– Elkezdtem neki az utolsó kenet szentségét megmagyarázni.
Figyelmeztettem, hogy szent Jakab apostol világosan mondja, hogy
ha beteg köztetek valaki, hivassa magához az egyház véneit és ezek
imádkozzanak fölötte, megkenvén őt olajjal az Urnak nevében. És a
hitből származott imádság megtartja a beteget és fölsegéli őtet az
Ur, – ha pedig bűnt cselekedett: megbocsáttatik neki.
– Hencsey rögtön felelni akart. Én nem engedtem. Mondtam
neki, várja be a beszéd végét és szépen leültettem s ő komoly
képpel meghallgatott.

– Elmondtam, hogy ő is hiszi az örök életet, ő is hiszi a
bűnbocsánatot, melyet nyer az igazi keresztyén az által, hogy
Krisztus magát érettünk feláldozta. Ha tehát az apostol nem
mondaná is: nem volna-e szükséges a haldoklót isten szolgájának
meglátogatni, annak hamvadozó lelkét Krisztus tudományához még
egyszer visszavezetni s midőn már vállairól kezd az életnek terhe
lemaradni s előtte a másvilág kapuja kezd kinyillani, nem szükség-e
neki az utolsó áldozat szentségét kiszolgáltatni s őt bűneitől
megszabaditván, az örök élet ösvényére soha el nem veszendő szent
utravalóval ellátni?
– Hát még mikor ezt az apostol is világosan parancsolja? Nem
vétek-e az utolsó kenet szentségében kételkedni s ennek bűntisztitó
voltát eltagadni s ezzel a szerencsétlen beteg lelkeket a koporsó
szélén az örök kétségbeesés örvényébe taszitani?
– Képzelheted, minő kiváncsi voltam, hogy mit felel ő
mindezekre?
– Szép nyugodtan végignézett s azon kezdte beszédét, hogy ő
nem tanit senkit és engem se akar tanitani, miután ez hiábavaló
dolog. Mert a tanitás és a hitnek erőssége Istentől van és nem az
emberektől.
– Hanem ő ezekről a dolgokról beszélgetni szokott azokkal, a kik
ő néki lélek szerint való atyafiai és akként szokott beszélgetni, a mint
neki és az ő atyafiainak lelkét megvilágositja az Isten.
– Ő az ő atyafiainak azt mondja, hogy hit által él az igaz ember, a
mint ezt Szent Pál apostol tanusitja. A megigazulásra és a bűnöknek
bocsánatára az Isten csak egy áldozatot rendelt, a mint Szent Pál
apostol mondja.
– Hogy a miképen elvégzett dolog az emberek között, hogy
egyszer meghaljanak, azután pedig lészen az örök itélet: azonképen
a Krisztus is egyszer megáldoztatván, hogy sokaknak bűneiket
elvenné, másodszor a bűnért való áldozat nélkül megláttatik azoktól,
a kik ő általa várják üdvösségüket.

– Nincs hát semmi szükség ujabb áldozatra se a halálos ágyon,
se akkor, mikor az emberek egészségesek, mert a kin az az áldozat,
hogy Krisztus érettünk halált szenvedett, nem segit, azon a papnak
áldozata bizony még ugy se segit.
– Beszélt még sokat és Isten bocsássa meg, mondhatom, a mily
gőgösen néztem először e fiatal emberre, olyan figyelemmel
hallgattam később. Utóbb egy kis könyvet vett elő, melyet azután
nálam is hagyott, melyet ő irt. Ebből megmutatott és felolvasott egy
darabot, mely igy szól:
»Igaz, hogy ugy mondják, hogy a keresztség az eredendő bűnt
törli el, de hát a keresztség után elkövetett bűnöket mi törli el?«
»Azt mondják: a bérmálás. De hát a bérmálás után fölvett
gonosz cselekedeteket mi töröli el?«
»Azt mondják: a gyónás. De hát a gyónás után szabad akarat
szerint való bűnöket mi töröli el?«
»Utoljára oda jutnak, hogy a pénzért való miseszolgáltatás. A
kinek pedig pénze nincsen, az bűnben marad, vagy annak messze el
kell fáradni csodálatos képek látogatására.«
»A ki pedig innen megjön és ujra bűnt követ el, annak az utolsó
gyónás és a szent kenet használ.«
»Ime, ezért van a bűn elterjedve az emberi nemzet között, mivel
egyik szentségről a másikra támaszkodik s halálos ágyáig a bűnt
követi.«
»Pedig a halálos betegnek nem használ már, ha az egész patikát
odaviszik is, mert neki meg kell halni.«
»Ugy azoknak, kik halálos ágyukig a bűnt követik, nem fog az
utolsó gyónás Isten előtt mentségül szolgálni.«
Ezeket beszélte és olvasta én előttem Hencsey. Ezekből meg
lehet itélni, hogy ki ez az ember. Én ugyan nem vagyok barátja

annak, hogy műveletlen, tudatlan emberek a vallás felett sokat
tanakodjanak, mert erre az ő lelkük nem elég erős és gyenge
értelmük a legvilágosabb bibliai igazságot is félremagyarázza s az
Apokalipszisben is mindennapi dolgokat fedez fel. De annyi bizonyos,
hogy ha az ember el akarja felejteni azon egyháznak szervezetét,
melyet 1800 esztendő épitett és azon érdekeket, melyek az
egyházhoz füződnek és ha nem akarnak többek lenni, mint hivők és
emberek: akkor e szegény fiatal embert és ennek tudományát s
rendithetlen hitét elkárhoztatnunk nem lehet!
Ime a tüzes barát levele.
E levélben nem szórul-szóra, de azért hiven idézi azt, a mit
Hencsey a római egyház szentségeiről az ő könyvében a 30-ik és 31-
ik lapokon irt.
Hogy a katholikus hitoktatásban fölnevekedett lakatos legény ezt
a birálatot se önmagától, se csupán a szentirás olvasása után meg
nem alkothatta: bizonyosnak tartom. E hitvitán Fröhlich Henrik
Sámuel elméjének nyomait látom. Ez Kalvin tanain nőtt fel Svájczban
s a hitujitás korának hitvitató könyveit ismerhette. Ismerte is
bizonynyal.
Gasparich e levelében sok más, kevésbbé fontos jegyzés is van,
melynek közlését fölöslegesnek tartom. A magyar olvasóközönség
tulnyomó része talán azt is sokallja, a mit közöltem. De ezt úgy a
tüzes barát, mint a szelid téritő gondolkozásának megismertetésére
szükségesnek véltem.
Hogy a tüzes barát mikor és mennyiben lett nazarénussá: ez
későbbi kérdés.
Annyi bizonyos, hogy az első találkozás őt nazarénussá nem
tette. Ezt nemcsak épen most közlött levele bizonyitja; ez abból is
kétségtelen, hogy ő még sok ideig, még öt-hat évig egyszerü
szerzetes maradt s habár utóbb a hitszónoki működést megtiltották
is neki, a zárdából s az egyház kebeléből nem lépett ki. Ha
nazarénussá lett volna vagy akart volna lenni, minden esetre volt

benne annyi elszántság, hogy a szerzetet azonnal sietett volna
elhagyni. E nélkül a nazarénusok se vették volna fel gyülekezetükbe.
Abban is kételkedem, hogy ő később is valóban s s egész lélekkel
átment volna a nazarénusok felekezetébe, vagy hogy őt a felekezet
alkalmasnak tartotta volna arra, hogy benne édes testvért lásson. Ha
csatlakozott is hozzájuk: csak rövid időre.
De kétségtelen s történetünk folyamában adatokkal igazolom,
hogy ő Hencseyvel, mig ez élt, folytonos összeköttetésben s
bizalmas levelezésben állott. Sőt utódjaival is. Hencsey munkáját
megbirálta, e munkára sokféle megjegyzést tett, ezeket Hencseyvel
közölte s ő volt az, ki Hencseynek azt tanácsolta, hogy munkájának
kinyomatását kisértse meg Németországban, ha erre ideje, módja és
alkalma lesz.
Ugy látszik, Hencsey is nagyrabecsülte Gasparich ismeretségét és
barátságát.
Hencsey később levelezésbe bocsátkozott Fröhlichhel. Csak
másodkézből, Kovács József és Denkel János utján, mert ő se latinul
nem tudott, se németül. Németül utóbb tudott ugyan beszélni, de
irni nem. Fröhlichhel is közölte a tüzes baráttal való érintkezését.
Fröhlich komolyan intette, hogy pappal, baráttal bizalmas viszonyba
ne bocsátkozzék, s az uj hitvallás titkait ne közölje. De Hencsey még
ez intés daczára is fentartotta a tüzes baráttal ismeretségét. Pedig
Fröhlich szavait ugyan nagyrabecsülte.
Ez ismeretség s a gyakori eszmecsere a tüzes barát lelkén is
hagyott nyomokat. Másként nem is lehet. Ugy is tehernek találta már
helyzetét és se vérével, se csapongó eszméivel, se a világ fölött
kiképződött nézetével nem volt már összhangzásban szerzetesi élete.
Szerepre vágyott, cselekvésre hajszolta ösztöne. A zárda szűk fala s
a szószék szigoru korlátai nyomasztók voltak immár rá nézve.
Lelke a zajos világgal élt együtt. Képzelete le-leszállott már a
vallásnak egéből, hol mérhetlen magasságban szerényen
tündökölnek a hitnek csillagai s fölkereste a földet, hol füsttel és

zsarátnokkal keverve szerte lobogtak a politikai szenvedélyek
tűzhalmai. Erősebben kötötte le figyelmét a társadalmi érdekek
forrongása, mint az a fenséges forradalom, melyet a Megváltónak
bujdosó tanitványai az emberiség öntudatában egykor előidéztek.
Harczot óhajtott már az ő nyugtalan szelleme, nem a kolostor
nyugodalmát. Harczot, a melyben diadalt vivjon ki vagy hősiesen
bukjék el.
A végzet ekkor küldötte utjába Hencseyt.
Mit láthatott ő Hencseyben?
Ime egy vagyontalan fiatal bujdosó iparos legény. Álla alig
pelyhedzik, tudása semmi, nem támaszkodik semmire, nincs
szövetségese sehol, utja töretlen, a melyen halad; végső czélja a
láthatatlan messzeségben. És mégis előre tör, mégis az egyházak
ezer éves alapjait akarja felforgatni. Semmivel mással, csak azzal a
titkos hatalommal, mely lelkében él.
Azt irja egyik levelében Sághynak.
– Nem megy ki fejemből ez a különös ifju ember. Nem bolond ez,
nem őrjöngő, nem is ördöngős. Hitére, vallására semmit se adok,
elmulik az vele együtt, miként a szellő fuvalma. De micsoda erő van
lelkében. Mekkora eltökélés! Ha ismernéd, velem együtt téged is
elfogna a csoda.
Ime mit bámult ő Hencseyben.
Sokat eltanult tőle, ugy látszik. Nem a hitet, hanem annak
mélységét. Nem a meggyőződést, hanem annak tisztaságát. Talán
nem is az elszántságot, hanem annak rendithetetlenségét.
Ujra meg ujra visszatért rá gondolataiban és leveleiben. Még
akkor is, a mikor már Hencsey nem élt és csak halálos ágyáról
küldött izenete rezgett lelkében.
Ideje azonban, hogy Hencseyhez visszatérjünk s kövessük őt
téritő utján, mely utóbb a hazából kivezette, de többé oda vissza

nem vezette.
Mihelyt Pestre ért: a tüzes baráttal való találkozását rögtön
tudatta hitsorsosaival. Azt a levelet, melyet Kovács Józsefhez irt, már
közöltem. Egy másik levelében igy nyilatkozik:
– A mi Urunk Istenünk végezése az, hogy felvilágositsa a barát
lelkét. Mi bennünk nincs se erő, se hatalom, hogy siettessük vagy
késleltessük azt, a minek történni kell. Nekünk nagy lelki
alázatossággal és békességes türéssel kell arra várakoznunk. Nem is
nyugtalankodik az én elmém a fölött. Én mindent elmondottam neki,
a mit Isten sugallott és a kezeiben hagytam könyvemet. Megigérte,
hogy sorról-sorra elolvassa könyvemet és azután megirja rá a maga
tudományát. Ha megirja: azt is tudatom veletek mindnyájan
szerelmes atyámfiai!
A nazarénusok, Hencsey társai azonban semmi jót se vártak a
baráttól. Lassanként elszaporodtak köztük azok, kik előbb kálvinisták
voltak. Ők már az előtt is némi elfogultságot éreztek a barát iránt.
Nem volt hozzá bizodalmuk.

Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade
Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookgate.com

[FREE PDF sample] Boundary methods elements contours and nodes 1st Edition Subrata Mukherjee ebooks

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

[FREE PDF sample] Boundary methods elements contours and nodes 1st Edition Subrata Mukherjee ebooks

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79