FUNÇÕES: DEFINIÇÃO, DOMÍNIO, IMAGEM E GRÁFICO DE FUNÇÃO

polígrafo

1. FUNC
~
OES: DEFINIC
~
AO, DOM

INIO,
IMAGEM E GR

AFICO DE FUNC
~
AO
Prof. Dr. Carlos A. P. Campani
DEFINIC~AO DE FUNC~AO
Uma func~aof:A!Be uma lei ou regra que a cada elemento deAfaz
corresponder um unico elemento deB.
A- domnio def, dom(f)
B- codomnio ou contra-domnio def, cod(f)
Funcionalidade:
f:A!Bouf:B
A
Que e lido como \fdeAsobreB".
A gura a seguir apresenta um exemplo de func~ao usando diagrama de
setas:
Neste exemplo, dom(f) =A=f1;2;4;6ge cod(f) =B=f3;5;7;8;9;10g
1

2. Podemos representar esta mesma func~ao por meio de uma tabela que
relaciona os elementos do domnio com os do codomnio:
AB
13
23
49
67
Uma outra forma de representar a func~ao e a notac~aof(a) =b, denotando
que o valor da func~ao emaeb. No caso do exemplo acima:f(1) = 3;
f(2) = 3;f(4) = 9; ef(6) = 7.
Assim, uma func~ao e um conjunto de pares ordenados
(a; b)2dom(f)cod(f)
tal que
f=f(a; b)ja2dom(f)^b2cod(f)^b=f(a)g
No exemplo, a func~ao seria representada por:
f=f(1;3);(2;3);(4;9);(6;7)g
O que signica uma func~ao ser uma \lei ou regra"? O que signica \cada
elemento deAcorresponder a umunicoelemento deB"?
Uma lei ou regra estabelece uma relac~ao entre dois conjuntos. Por exem-
plo, as leis do nosso codigo penal atribuem punic~oes para cada um dos delitos.
Isso estabelece uma relac~ao entre os elementos do conjunto dos delitos, com
os elementos do conjunto das punic~oes. A lei penal faz corresponder a cada
delito uma punic~ao.
2

3. Quando uma lei ou regra e aplicada, so pode haver um resultado possvel,
nunca mais de um. Vejamos o exemplo de uma func~ao que associasse a cada
produto, por exemplo de um supermercado, o seu preco. N~ao faz nenhum
sentido que um produto seja associado a mais de um preco. Mas dois produ-
tos podem ter o mesmo preco. Vejamos isso ilustrado nos seguintes diagramas
de setas:
Este diagrama e uma func~aoEste diagrama e uma func~aoEsse diagrama n~ao e uma func~ao
3

4. Isso signica que um elemento do conjunto de partida, o domnio, n~ao
pode relacionar-se com mais de um elemento do conjunto de chegada, o
codomnio, mas um elemento do conjunto de chegada pode relacionar-se com
mais de um elemento do conjunto de partida.
Vejamos um segundo exemplo. Vamos assumir um carro deslocam-se por
uma estrada. Sua posic~ao na estrada ao longo do tempo, em relac~ao a um
ponto de origem, pode ser dado por uma func~ao que mapeia tempo, em
segundos, na posic~ao do carro em metros.
Vamos assumir a seguinte func~ao representada na forma can^onica
f(x) =
ondee uma express~ao emx. Por exemplo,
f(t) =t=2 + 5
ondete dado em segundos ef(t) em metros, representando o deslocamento
do carro. A seguinte tabela mostra esta func~ao para alguns valores:
t(segundos)f(t) (metros)
1 s 5;5 m
2 s 6 m
3 s 6;5 m
.
.
.
.
.
.
Observe-se que a denic~ao de func~ao imp~oe que um elemento do domnio
(neste caso, tempo em segundos) n~ao pode estar associado a mais de um
elemento do codomnio (neste caso, posic~ao no espaco em metros). Ou seja,
o carro n~ao pode ocupar duas posic~oes no espaco ao mesmo tempo!
4

5. IMAGEM
Sejaf:A!B. Dadox2A, o elementof(x)2Be chamado devalor
da func~ao no pontoxou deimagem dexporf.
O conjunto de todos os valores assumidos pela func~ao e chamado decon-
junto imagem defe e denotado por img(f).
Exemplos:
1.
Onde: dom(f) =f1;2;4;6g, cod(f) =f3;5;7;8;9;10ge img(f) =f3;7;9g.
2. Sejaf:N

!N

, comf(x) = 2x. Logo, img(f) =f2;4;6;8; : : :g, ou
seja, o conjunto dos numeros pares.
3. Sejaf:R!R, comf(x) =x
2
. Logo, dom(f) =Re img(f) =
[0;+1).
GRAFICO DE FUNC ~OES
Sejafuma func~ao. O graco defe o conjunto de todos os pontos (x; f(x))
de um plano coordenado, ondexpertence ao domnio def. Assim, o graco
consiste no conjunto de pares ordenadosf(x; y)2R
2
jx2dom(f)^y=x
2
g.
5

6. Exemplos:
1.f(x) =x
2
com dom(f) =R
xf(x)
.
.
.
.
.
.
-39
-24
-11
00
11
24
39
.
.
.
.
.
.
Chamamos este graco deparabola.
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7. 2.f(x) =xcom dom(f) =R
xf(x)
.
.
.
.
.
.
-3-3
-2-2
-1-1
00
11
22
33
.
.
.
.
.
.
Chamamos esta func~ao defunc~ao identidade.
7

8. 3.
f(x) =
8
<
:
2 sex 2
2 se2< x2
4 se x >2
com dom(f) =R
Este tipo de func~ao e chamada defunc~ao modularpois e denida por
casos.
8

9. TESTE DA RETA VERTICAL
O seguinte graco representa uma func~ao?
N~ao e uma func~ao porque um elemento do domnio se relaciona com mais
de um elemento do codomnio. Para vericar isso, basta tracar uma reta
vertical passando por mais de um ponto da curva do graco. Este teste e
chamado deteste da reta vertical.
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