Função composta e Inversa

Resumo do assunto baseado em diversos livros de matemática do Ensino Médio. Após o resumo encontra-se uma série de exercícios de livros e de vestibulares do Brasil todo. Todos os exercícios possuem gabarito, presente na última página do PDF.

1. Fungóes Composta, Inversa e Constante

Funçäo Composta

Para entendermos a definisdo de uma funçäo composta, vejamos o seguinte
exemplo:

A cada dia os x bombons produzidos por uma fábrica de chocolate säo
embalados em pacotes de 20 bombons cada um, e esses pacotes so armazenados
em calxas de 10 pacotes cada um.

Representando por f a funçäo que associa o número de bombons produzidos em
cada dia ao número de pacotes formados. E representando por g a funçäo que
associa o número de pacotes ao número de calxas formadas, temos:

20 e g(x/20)= x/200.

£ 2 Note que F(x)
CO) Assim podemos esrever 00)= 1/200, ou sie,
ne

a funcio g composta com a funçäo f.

9669) où (oo

Fungäo Inversa

Tomemos o exemplo a seguir:
oR, F(x)= 3x G: ROR, 96

x

5 © 5 ©

Observe que o dominio da funçäo f & a Imagem da funçäo g. Nesse caso
dizemos que a funcáo g é o inverso da fungäo f e representamos por (x)= f-1(x)
Obs. Toda funcio inversa & bijetora e-o D(N=Im(f=

Obter da lei da fungäo: Obter a
por exemplo, seguimos 2 passos.

fa funçäo inversa f dado por f(x

2.2

2. Os gráficos de f(x) e f-4(x) so simétricos em relaçäo
à bissetriz do primelro e terceiro quadrante.

Funçäo Constante

Uma fungáo em f: RR cuja lel & f(x)= b, b © R é chamada de constante.
‘Assim para qualquer valor de x, a imagem será o coeficiente b.

À representaçäo de uma funcáo constante em um gráfico é sempre uma reta na
horizontal.

Exemolo:

Um automóvel percorreu o trecho do km 34 ao km 36 de uma rodovia com
velocidade constante de 80 km/h. Represente graficamente no plano cartesiano a
velocidade em fungäo do espago percorrido e determine o dominio e a imagem da
fungáo,

3. Exercicios

01. Sejam as fungdes reals f e 9, definidas por f(x)= 4x e g(x)= 2 - 3x. Obtenha;
2) (fog) b) (a 0 Po (of 4) go gh

02, Dada a funçäo real f(x)= 3x2, calcule f((5))-

03. Sejam f e a funcdes definidas por f(x)=
valor de m de tal forma que f(g(x)) = o(f(x))-

x + me g(x)= Sx - 3. Obtenha o

04. Voc deverá obter a lei de formagäo da fungáo g(x) a partir de f(x)= 3x - 1 €
Kae 7x + 13.

05. Sendo f: R>R uma funçäo bijetora tal que f(x)= 2x - 4, obtenha:
a) a inversa == b) F410) or a) (FAO Noo

06. Se f e f-1 s80 duas funcées inversas entre si. Assinale as afirmactes que sio
verdadeires com V e as que So falsas com F

a) () Se (2:7) € f, entáo (7,2) € Ft.

b) ( ) Se f(10)= 2,1, entäo f-1(2,1)= 10.

OL ) Fe ft tém gráficos simétricos em relagdo à bissetriz dos quadrantes impares.
DONE 5.

07. Sendo f(x)= (K+ 1).{x - 1) € g{x)= 2x + 1, determine:
a) (F0 9) DECO) 2) 00) DEI

-2

08. Dada a funcio real f(x)

, determine:

a) 400) DES 90) b) Im) e) Im(f-)

09. Dadas as funcöes Fi RR e G: ROR definidas por f(x)= ax + b e g(x)= x2
Marque V ou F para as seguintes afrmacües:

() ona = (a +bJ2

() Fo ghoo = (fo g)tn , para qualquer x & R.

€ (6 0 No = (Fo geo, para qualquer x € Ra

10, Considere as seguintes afirmativas a respeito da funçäo F: R>R definida por
100/10.

01) O ponto x=1 näo pertence ao conjunto D.

02) F(4/x)= 1/0x - 1)

04) f(x) -1, qualquer que seja x € R.

08) A funcio inversa de f & f-1(x)= (x + 1)/x

4. 11. Dadas as funçées f(x)= -3x + 1 e g(x)= 2x - 1, resolva em R a inequacéo
(gone 20,

x+1

12. Obtenha o dominio e a imagem da funçäo real (x)=

2-3

13, (UFGO) Se f(x)= x - 3, o conjunto de valores de x tais que f(x2)= f(x) é:
2) (051) Dé) 94} DE e){34)

14 (U Seo funge (4/3)—8 ER ena pr (De same

Inversa, entáo o conjunto B €:
DR by Re R-(1/3) 0) R=(-13) e)R-(3)

15. (UECE) Sejam f(x)= x2 para x > 0 e g(x) a inversa de f, entáo o valor de
(gt4)) + 9(f(4)) está no intervalo:
2) (056€ HI Oz LE e)[12;18)

16. (UFMG) O valor de a, para que a funçäo inversa de f(x)= 3x + a seja o(x)= x/3
16
23 DEN] ow Or DE

17. (UFMG) Uma fungéo f: RR & tal que f(5x)= f(x) para todo número real x. Se
K25)= 75, entäo o valor de f(1) é:
a3 DE 915 DES 0) 45

18. (UFGO) Se fi Z>Z é tal que fn + 1)= n - 1, entäo o velor de fin - 1) és
an+ı bn 9n-1 dn-2 en-3

19. (UCSal-BA) Sejam f e g funçées de R em R, tais que f(x)= 2x - 3 e f(g(x))= -4x
+ 1. Nessas condigées, g(-1) é igual a:
DEI b)-4 90 aa es

20. (FUVEST-SP) Seja f uma funçäo tal que f(x + 3)= x2 + 1 para todo x real.
Entéo f(x) é igual a:

a)x-2 9-38 + 16x - 20 e)x + 6x - 16

b)10- 3x xr 6x + 10

21. (uray ete A
aR €) {x € R/x*-3) e) {x e R/x#1/2}
Dr Due D

5. 22. (FEI-SP) Considere a funçäo composta (9 o = 9(f(x)) em que ft
9(¥)= ax + b. Se (g 0 Mcn= (x - 1)%, em que x pertence a R, pode-se afirmar que
a+ bvale:

2)2 to ot DE 92

23, (PUC-MG) Considere as funçées f(x)= 2x - 1 e g(x)= Fx). O ponto no gráfico
de y= 9(x) que tem ordenada 5 é:
2) (2:5) bar) ©) (9:5) 2) (5:9) e) (5:37)

24. (FAAP-SP) Dadas as fungdes reais f(x)= 2 - 3x € ofx)= 3x + k, determine o
valor de k de modo que f(a(x))= g(109).

25. (UFPR) Para cada valor real de x, sejam (x)= x? e 9(x)= fLf(R)). Calcule o valor
de (9(3))/a13).

26. (UFPR) Se f(x)= 1/(x ~ 1), entáo (IG) é Igual a

27. (MACK-SP) Seja f:R—>R uma funcio definida por y=f(x). Sabendo que:
KO 3 - M1)=2 - 1(3)=0

O valor de x tal que f(f(x + 2))= 3 €

#0 DE 92 DE 4

28. (UFSC) Sendo f(x)= 4x + 1 e f(g(x))= x? + 1, com f e g definidas para todo x
real, determine o valor numérico da fungáo g no ponte x=18, ou seja, (18).

29. (UFPR) Considere as afirmativas a seguir a respeito das fungdes f(x)= x2 -2x -3
€ 909= x/2 - 1, em x € R,

01) A funcio f(x) + 90) tém exatamente 3 zeros.

02) A fungdo f(x) + 9(x) € crescente no intervalo fechado [2;5]

(04) À fungäo g(x) = f(x) é positiva no Intervalo aberto (0;3).

08) Quando x=0, tem-se (Fo glo = (9 0 few.

30. (Unifor-CE) Sejam f e g fungóes de Rem R d
2x. Se f(g(-3))= -9, entáo a funcdo gof é dada por:

2) a(fox))= 4x + 3 ©) g{f(x))= ax + 9 ©) a(f6O)= 4x + 6
b) 9(f(x))= 4x - 3 d) a(f(x))= 4x - 6

idas por f(x)= kx + 3 e g(X)=

6. Gabarito

O1.a)8-12x b)2-12% 16x d)-4+9%
02. 16875
03. -3/4
me

wa b7 ox dx

06. v-v-v-F

07.) 4x2 + 4x b) 22-1 Qx-2e di
=2

08. a bre OR-M OR-{)

o9.v-v-F
10. 01 - 02 - 04

11.52 {x € R/xs 1/6)

12. D(D= R - {3/2}; Im(N= R - (1/2)

13.0
14.c 23.0
15.0 24.4
16.0 25.81
17.2

18.0 2625
19.4 27.5
20.4 28.81
216 29. 02 - 04

22.5 30.0

eRe