Função de duas variáveis, domínios e imagem

Trabalho de Cálculo 2

1. FUNÇÃO DE DUAS VARIÁVEIS, DOMÍNIO E IMAGEM Isadora G. Toledo Jacqueline T. Itano

2. Definição Suponha que D seja um conjunto de pares ordenados de números reais (x, y). Uma função real f de duas variáveis em D é uma regra que associa um único número real w=f( x,y ) a cada par ordenado ( x,y ) em D. O conjunto D é o domínio de f, e o conjunto de valores de w assumidos por f é a sua imagem . As variáveis independentes x e y são as variáveis de entrada da função , e a variável dependente w é a variável de saída da função .

3. EXEMPLO 1 Seja a função dada por f(x,y) = √ x² + y² . Determine f(1,2), Dom f e Im f. SOLUÇAO: F (1,2) f(1,2)= √1² + 2² f(1,2) = √5

4. Domínio de f O domínio de uma função de duas variáveis é o conjunto de pares ordenados do R² para os quais a função tem sentido, neste caso, para os quais a f(x,y)= √ x² + y² é um número real. Como x² + y² ≥ 0, para qualquer (x ,y) ∈ R² , o Dom f = R²

5. Imagem de f A imagem de f é o conjunto formado pelas imagens de todos os elementos do domínio de f, neste caso, como a imagem de qualquer (x,y) ∈ R² par é dada por f(x,y) = √ x² + y² ≥ 0, a im f = R

6. O gráfico de f é uma superfície do R ³ que apareça abaixo:

7. CURVAS DE NÍVEIS

8. Definição Outro método de representar uma função de duas variáveis geometricamente é similar a representação de uma paisagem tridimensional por um mapa topológico bidimensional . Suponha que a superfície Z = f( x,y ) seja interceptada por um plano Z = K e que a curva de intersecção seja projetada no plano xy . A curva projetada tem por equação f ( x,y ) = K e é chamada de curva de nível .

9. EXEMPLO 2 Represente graficamente f(x,y) = 100 – x² - y² e trace as curvas de nível f(x,y) = 0, f(x,y) = 51 e f(x,y) = 75 no domínio de f no plano. SOLUÇÃO: O domínio de f é o plano xy inteiro, e a imagem de f é o conjunto de números reais menores ou iguais a 100. O gráfico é o paraboloide z = 100 – x² - y² .

10. A curva de nível f(x,y) = 0 é o conjunto de pontos no plano xy nos quais f(x,y) = 100 – x² - y² = 0, ou x² + y² = 100, o qual a circunferência de raio 10 centrada na origem. Similarmente, as curvas de nível f(x,y) = 51 e f(x,y)=75 são as circunferências f(x,y) = 100 – x² - y² = 51, ou x² + y² = 49 f(x,y) = 100 – x² - y² = 75, ou x² + y² = 25 A curva de nível f(x,y) = 100 consiste apenas na origem (Ainda é uma curva de nível.)

11. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6.ed. Porto Alegre : Bookman , 2000. 2 v. STEWART, J. Cálculo. Vol. I. 4.ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning , 2003.