FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU.pptx

Matemática

1. Professora: Fabíola Função do 2° Grau (Quadrática)

2. FUNÇÃO DO 2° GRAU Uma função polinomial do 2º grau é uma função do tipo y = ax² + bx + c ou f(x) = ax² + bx + c , com a, b e c números reais e a ≠ 0. EXEMPLOS: 1- Determine os coeficientes a, b e c nas funções abaixo: y = 3x² + 2x + 1 y = x² - 5x + 2 y = 4x - x² + 6 y = 3 x + x² y = x² - 4 y = -2x²

3. EXEMPLOS: Nem sempre nossa expressão algébrica aparecerá na forma y = ax² + bx + c , mas através de manipulações algébricas conseguimos identificar os coeficientes: f(x) = (x + 2)² b) f(x) = 3x.(x – 1)

4. AnÁlise dos COEFICIENTES da função COEFICIENTE “a” O coeficiente “a” determina a concavidade da parábola . Se: a > 0 a parabola tem concavidade voltada para “ cima ” a < 0 a parabola tem concavidade voltada para “ baixo ” a > 0 a < 0

5. AnÁlise dos COEFICIENTES da função COEFICIENTE “b” Indica se a paráboba intercepta o eixo y no ramo crescente ou decrescente . b > 0 a parábola intercepta o eixo y no ramo crescente . b < 0 a parábola intercepta o eixo y no ramo decrescente . b > 0 b < 0

6. Análise dos COEFICIENTES da função Indica o ponto onde a parábola intersecta o eixo Y . A parabola cruza o eixo y no ponto (0,c) c > 0 ,a parábola intercecpta o eixo Y acima da origem ; c < 0, a parábola intercecpta o eixo Y abaixo da origem ; c = 0, a parábola intercecpta o eixo Y na origem (0,0). c > 0 c = 0 c < 0

7. Valor numérico da função do 2° grau A forma geral desse tipo de função pode ser dada por f(x) = ax² + bx + c . Dado o valor de x , o cálculo de y ou f(x) é realizado por meio de substituição desses valores na função dada. Exemplos: Dada a função f(x) = x² – 3x + 2, determinar o valor de: a) f(–1) b) f(3).

8. EXEMPLOS: Dada a função f(x) = 3x² – x + 2, determinar o valor de: a) f(–1) b) f(0). c) f( ).  

9. Exemplo: O resultado da expressão 2x² - 3x + 10, para x= -2, é: a) 12 b) – 4 c) 24 d) 8

10. Exemplo: Um copo lançado do solo verticalmente para cima tem posição em função do tempo dada pela função h(t) = 40t – 5t², em que a altura h é dada em metros e o tempo t é dado em segundos. Determine a altura em que o corpo se encontra em relação ao solo no instante de t = 3s. a) 45 m b) 105 m c) 75 m d) 115 m

11. Exemplo: As funções do 2º grau têm diversas aplicações no nosso cotidiano. Por exemplo: Considere que numa padaria na cidade de São Paulo, a receita diária R(x) (em reais) depende da quantidade “x” vendida e é obtida através da função descrita a seguir: R(x) = x² – 10x Com base nessas informações, a receita diária obtida com a venda de 20 pães é igual a: a) R$ 200,00 b) R$ 150,00 c) R$ 100,00 d) R$ 50,00

12. RAÍZES ou zeros Da EQUAÇão DO 2 O GRAU RAÍZES ou ZEROS de uma Equação do 2 o grau são os valores de “x” que zeram a equação ou que tornam a igualdade verdadeira . Existem métodos/fórmulas de resolução dessas equações, tanto para quando ela for completa quanto incompleta. Conforme já estudamos, a quantidade de raízes de uma equação do 2 º grau, de acordo com o discriminante ( ) pode:   > 0, então temos duas raízes reais diferentes   = 0, temos d uas raízes reais iguais   < 0, não temos raízes reais  

13. RAÍZES ou zeros Da EQUAÇão DO 2 O GRAU ax² + bx + c = 0 COMPLETAS: INCOMPLETAS: Quando e   Quando e   Quando   Quando   ax² + c = 0 ax² + bx = 0 ax² = 0 Podemos resolver pela Fórmula da Bháskara : Por soma e produto:

14. EXEMPLOS: Calcule as raízes da equação das seguintes funções : a) f(x) = x² - 4 b) f(x) = x² - 3x c) f(x) = 3x² d) f(x) =  

15. EXEMPLOS: Calcule as raízes da equação da seguinte função : a) f(x) = x² + 9x + 18

16. EXEMPLOS: Calcule as raízes da equação da seguinte função : b) f(x) = x² – 2x – 1

17. EXEMPLOS: Calcule as raízes da equação da seguinte função : b) f(x) = x² – 3x + 9

18. Representação gráfica da função do 2º grau O gráfico da função quadrática é uma curva denominada PARÁBOLA. A CONCAVIDADE da parábola é voltada para CIMA. A CONCAVIDADE da parábola é voltada para BAIXO.

19. Representação gráfica da função do 2º grau Observe a função quadrática e responda se o gráfico da parábola tem concavidade voltada para cima ou para baixo: f(x) = x² - 4x + 3 f(x) = -x² + 3x – 2 f(x) = 2x² - 8x + 8 f(x) = x² - 4 f(x) = -x² - 3x f(x) = -3x² + 6x - 5

20. GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2° GRAU Seja a função definida por: f(x) = x² - 4x + 3 Complete a tabela e construa o gráfico da função: x f(x) = x² - 4x + 3 f(x) ( x,f (x)) 1 2 3 4

21. GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2° GRAU Seja a função definida por: f(x) = -x² + 6x - 8 Complete a tabela e construa o gráfico da função: x f(x) = -x² + 6x - 8 f(x) ( x,f (x)) 1 2 3 4 5

22. VÉRTICE DA FUNÇÃO VALOR MÁXIMO OU MÍNIMO Na FUNÇÃO QUADRÁTICA , se a parábola tem concavidade voltada para cima (a > 0), é o valor mínimo da função e se é o valor que gera o valor mínimo .   a > 0 VÉRTICE = PONTO MÍNIMO  

23. VÉRTICE DA FUNÇÃO VALOR MÁXIMO OU MÍNIMO Na FUNÇÃO QUADRÁTICA , se a parábola tem concavidade voltada para baixo (a < 0), é o valor máximo da função e se é o valor que gera o valor mínimo .   a < 0 VÉRTICE = PONTO MÁXIMO  

24. VÉRTICE DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Se a > 0, o vértice é o ponto MÍNIMO da função; Se a < 0, o vértice é o ponto MÁXIMO da função; Calculamos o vértice da função ( V( x.y ) ) da seguinte forma:

25. Exemplo: Determinar o vértice da função do 2° grau f(x) = x² - 4x + 3 DICA:

26. Exemplo: Determinar o vértice da função do 2° grau f(x) = -x² - 6x + 9 DICA:

27. Exemplo: Um carrinho se move sobre um arco de parábola de uma montanha-russa, de modo que sua altura em relação ao solo, em metros, é dada em função do tempo “t”, medido em segundos, pela equação h(t) = 2t² – 8t + 11. Então, o menor valor de “h” é igual a: a) 2 m. b) 3 m. c) 4 m. d) 5 m.

28. Exemplo: Uma bola lançada para cima, verticalmente, tem sua altura “h” (em metros) dada em função do tempo “t” (em segundos) decorrido após o lançamento pela fórmula h = – 5t² + 20t. Então a altura máxima atingida pela bola é: 5 m. 25 m. 15 m. 10 m. 20 m.

29. Exemplo: O custo diário de produção de uma indústria de computadores é dado pela função C(x) = x² – 92x + 2800, onde C(x) é o custo em reais, e “x” é o número de unidades fabricadas. Quantos computadores devem ser produzidos diariamente para que o custo seja mínimo ? 128 2800 46 92 684

30. PONTOS NOTÁVEIS DA PARÁBOLA No gráfico de uma FUNÇÃO QUADRÁTICA conseguimos identificar os seguintes elementos . Zeros da Função Vértice Ponto Máximo ou Mínimo Intercepto Vertical Zeros da Função

31. INTERCEPTO VERTICAL DA FUNÇÃO A parábola intercepta o eixo das ordenadas sempre quando temos o valor de x igual a zero, ou seja: y = a.0 2  + b.0 + c = 0 + 0 + c = c. Logo, a parábola intercepta o eixo das ordenadas no ponto (0,c).

32. exemplos Seja a função definida por f(x) = x² - 4x + 3, construa o gráfico da função com os seguintes dados: Ponto que intercepta o eixo x Zeros da função Vértice da parábola

33. exemplos Seja a função definida por f(x) = -x² + 5x - 6, construa o gráfico da função com os seguintes dados: Ponto que intercepta o eixo x Zeros da função Vértice da parábola

34. IMAGEM DA FUNÇÃO QUADRÁTICA VÉRTICE - PONTO MÍNIMO Se o coeficiente a > 0, temos : Im(f) = }   Im(f) = }   Se o coeficiente a < 0, temos : VÉRTICE - PONTO MÍNIMO

35. DESAFIO! Determine a lei de formação do gráfico abaixo . DICAS: Identifique o ponto em que o gráfico intercepta o eixo y. ( coeficiente c) Identifique os zeros da função : Substitua os dados encontrados na lei de formação da função quadráfica f(x) = ax² + bx + c e resolva o Sistema.

36. AGORA É A SUA VEZ DE PRATICAR! FAÇA OS EXERCÍCIOS PROPOSTOS COM ATENÇÃO!