Función biyectiva

En cálculo encontramos las funciones las cuáles es una relación entre dos conjuntos A y B, donde a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.
El conjunto de todos los elementos de B relacionados con algún elemento de A se denomina rango, o conjunto imagen y a cada elemento del conjunto B le denominamos imagen de algún elemento del conjunto A.
En la siguientes diapositiva veremos las función BIYECTIVA que es la unión de inyectiva y sobreyectiva.

1. Willy Jhoel Rodríguez Ramírez Juan Ángel Rodríguez Castro FUNCIÓN BIYECTIVA

2. FUNCIÓN BIYECTIVA. En matemáticas, una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida. Ejemplo: A={a,e,i,o,u} B={1,3,5,7,9} F={(a,5),(e,1),(i,9),(o,7),( u,3)}

3. Debe ser una relación unívoca . Todos los elementos que llegan al punto de partida reciben una relación del conjunto de llegada. No pueden haber dos ‘’uniones’’ desde el conjunto de partida hasta el conjunto de llegada. F CARACTERÍSTICAS

4. PROPIEDAD. Si es una función real biyectiva, entonces su función inversa existe y también es biyectiva. Ejemplo La función: F(x)= α x+ β Es biyectiva Luego, su inversa: F-1(x)= X- β α

5. EJEMPLOS. Ejemplo 1 Sea la función f(x) = 2x definida en los números reales. Esta función es biyectiva.

6. Para comprobarlo, veamos que f es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición de inyectividad: Demostración de la condición de inyectividad: Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos los números reales. Demostración de la condición de sobreyectividad en un ejemplo de función biyectiva. La función también es sobreyectiva, por lo que f es biyectiva.

7. EJEMPLO 2 En este segundo ejemplo, sea la función f(x) = x2-1. Esta función no es biyectiva. En la gráfica ya podemos observar como la función es igual en x = -2 y en x = 2, por lo tanto la función no puede ser inyectiva. Para verlo formalmente, veamos que no se cumple la condición de inyectividad

8. IDENTIFIQUEMOS.