Funcion compuesta teoria

teoria de funcion compuesta de funciones vectoriales

1. 1
1. Función Compuesta
1.1. Composición de funciones
Sean A, B, C y D conjuntos no vacíos tales que B  C ; sean F y G dos funciones
tales que F: A→B y G: C→ D. Entonces la composición entre F y G se denota G F y da
como resultado una función H tal que:
Para cada X  E A, H(X) = (G F)( X) = G(F( X)) D.


















La notación G F se lee “G compuesta con F”. En la figura puede observarse que el
dominio de H es el conjunto E  A, donde para todo X  E, F(X)  B  C ; y el rango de
H es el conjunto K  D , donde para todo F(X)  B  C , G(F(X))  K

















Para que sea posible hallar G F, se debe cumplir lo siguiente:

 la dimensión del rango de F debe ser igual a la dimensión del
dominio de G.
 la intersección entre el rango de F y el dominio de G no
debe ser el conjunto vacío; para que G F tenga imagen en el
conjunto de llegada (rango de G).
G F
D
G (F(X))
C B
F(X)
A
X
E
H
K

2. 2



1.2. Continuidad de una función compuesta
Sea F: A→B una función continua en X0  A , y sea G : C→D tal que B C  una
función continua en F(X0)  B C . Sea H = G F.

















Como F es continua en X0 entonces )F(XF(X)lim
0
XX


0 , lo que indica que dado un
 > 0 existe un  > 0 tal que:
 )X(F)X(F
0
Cuando 
0XX .






La composición de funciones no cumple con la propiedad conmutativa.
No obstante, si cumple con la propiedad asociativa:

(H (G F)) (X) = H(G F(X)) = H(G(F(X))) y
((H G) F))(X) = (H G)( F(X)) = H(G(F(X))),

(H (G F)) (X) = ((H G) F))(X) = (H G F)(X).
F G
D
G(F(X0))

A
X0

E
B
C
F(X0)

H

3. 3
Así mismo, Como G es continua en F(X0) entonces:
))F(X(GG(F(X))lim
0
)X(F)X(F


0
,

lo que indica que dado un  > 0 existe un  > 0 tal que :
 ))X(F(G))X(F(G
0
Cuando  )X(F)X(F
0 .

De donde  ))X(F(G))X(F(G
0 cuando 
0XX , lo que es equivalente a
decir que ))F(X(GG(F(X))lim
0
XX


0


Y permite afirmar que la función H = G F es continua en X0.







1.3. Teorema de la función compuesta
Sean F y G dos funciones tales que F: 
n
→ 
p
es diferenciable en el elemento X0 y
G: 
p
→ 
m
es diferenciable en el elemento F(X0). Entonces la función G ○ F: 
n
→ 
m

es diferenciable en el elemento X0 y se cumple que:











De la composición de dos funciones continuas en X0, resulta otra
función que también es continua en X0.

4. 4
En caso que se tenga la compuesta de tres o más funciones que cumplan las condiciones del
teorema de la función compuesta el mismo puede aplicarse en forma reiterada. Por ejemplo,
si F: 
n
→ 
p
es diferenciable en X0, G:
p
→ 
q
es diferenciable en F(X0) y H: 
q
→ 
m

es diferenciable en G(F(X0)) entonces, sobre la base de la propiedad asociativa de la
composición de funciones y el teorema de la función compuesta, para H G F: 
n
→ 
m

se tiene que:








Siendo
una matriz de “m” filas con “n” columnas.


1.4. Derivadas de orden superior de una función compuesta
Sea z = z(x,y) una función donde x = x(u,v) e y = y(u,v). Aplicando la regla de la cadena: u
y
y
z
u
x
x
z
u
z













Donde x
z

 y y
z

 son funciones que dependen de x e y. Dado que x e y dependen de u y v,
entonces x
z

 y y
z

 son dependientes de x e y. Luego: 


























































u
y
y
z
uu
x
x
z
uu
y
y
z
u
x
x
z
uu
z
uu
z
2
2

Sobre la base de las propiedades de las derivadas parciales:
















































x
z
u
u
x
u
x
u
x
z
u
x
x
z
u
, 






















































y
z
u
u
y
u
y
u
y
z
u
y
y
z
u
Como x
z

 y y
z

 dependen de u y v, entonces: u
y
xy
z
u
x
x
z
u
y
y
x
z
u
x
x
x
z
u
x
z














































2
2
2
u
y
y
z
u
x
yx
z
u
y
y
y
z
u
x
x
y
z
u
y
z




















































2
22

5. 5
Y en virtud que 2
2
u
x
u
x
u 










 , 2
2
u
y
u
y
u 










 , entonces: 






















































x
z
u
x
u
x
u
y
xy
z
u
x
x
z
u
x
x
z
u
2
22
2
2 



























































y
z
u
y
u
y
u
y
y
z
u
x
yx
z
u
y
y
z
u
2
2
2
22

Al sustituir estas derivadas parciales en 2
2
u
z

 queda:
y
z
u
y
u
y
u
y
y
z
u
x
yx
z
x
z
u
x
u
x
u
y
xy
z
u
x
x
z
u
z




































































2
2
2
22
2
22
2
2
2
2


Desarrollando y simplificando, se obtiene que:
y
z
u
y
u
y
u
x
yx
z
u
y
y
z
x
z
u
x
u
x
u
y
xy
z
u
x
x
z
u
z






















































2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2


En forma similar se obtiene el resto de las derivadas de segundo orden de z = z(x, y). Y
determinadas las derivadas de segundo orden puede determinarse, mediante el
procedimiento descrito, las derivadas de tercer orden y así sucesivamente. Todo lo expuesto
aquí es valido para una función de 
n
en  .











Tomado de la guía “Diferenciación de Funciones Vectoriales”
Prof. Jesús Jiménez- Prof. E. Flores.