Funciones

2. Concepto de función
Una función es una relación o correspondencia entre dos
magnitudes de manera que a cada valor de la primera le
corresponde un único valor de la segunda que llamamos
imagen.

3. La variable que se fija previamente se llama
variable
independiente y se denota frecuentemente por x.
La variable cuyo valor se deduce a partir de la variable
independiente se denomina
variabledependiente
y suele
denotarse por = ( ).
y f x

4. Formas de definir una función
Una función puede venir dada:
1.- Por una regla o fórmula que asocia a cada valor de la
primera magnitud el valor que le corresponde de la
segunda magnitud.
Ejemplos:
y = 3x
2
+5
f(x) =
14
1
2
-
+
x
x

5. 2.- Por una tabla. Ejemplo:
x ( )
f x
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9

6. Por una gráfica. Ejemplo:

7. Elementos de una función
El dominio o
campo de existencia
de la función es el
conjunto de todos los valores posibles que toma la
variable independiente. Se designa ()
Dom f
.
El recorrido de la función es el conjunto de todos los
valores posibles que toma la variable dependiente.

8. Simetrías
Una función f es par o
simétrica respecto al eje de
ordenadas cuando, para cualquier valor x de su dominio,
se verifica que (- )= ( ).
f x f x

9. Una función f es impar o
simétrica respecto del origen
cuando, para cualquier valor x de su dominio, se verifica
que (- ) = - ( )
f x f x
.

10. Periodicidad
Una función es periódica cuando los valores que toma se
van repitiendo cada cierto intervalo T, llamado período,
es decir, se cumple que ( + ) = ( ).
f x T f x

11. Continuidad
Una función es continua en un intervalo si su gráfica no
presenta saltos ni interrupciones en dicho intervalo, es
decir, si se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

12. Los puntos donde la función no es continua se llaman

puntosdediscontinuidad
.

13. Monotonía
Una función es creciente en un intervalo si para cualquier
par de puntos, x
1
y x
2,
se cumple:
x
1
<
x
2
Þ (
f x
1
) (
≤f x
2
)
Una función es decreciente en un intervalo si para
cualquier par de puntos, x
1
y x
2,
se cumple:
x
1
<
x
2
Þ (
f x
1
) (
≥f x
2
)

14. : :
Funcióncreciente Funcióndecreciente

15. Acotación
Una función f está
acotada superiormente
si existe un
número real M tal que para todo x es ( )
f x ≤M
. El número
M se llama
cotasuperior
.
Una función f está
acotada inferiormente
si existe un
número real m tal que para todo x es ( )
f x ≥m
. El número m
se llama
cotainferior
.
Una función está acotada si lo está superior e
inferiormente.

16. Función acotada inferiormente
y no acotada superiormente

17. Máximos y mínimos
Una función f tiene un
máximo relativo
en x=a si existe
un entorno del punto a en donde la función toma valores
menores o iguales a f(a).
Una función f tiene un
mínimo relativo
en x=a si existe
un entorno del punto a en donde la función toma valores
mayores o iguales a f(a).

19. Una función f tiene un
máximo absoluto
en x=a si el
valor de la ordenada, f(a), es mayor o igual que en
cualquier otro punto del dominio de la función.
Una función f tiene un
mínimo absoluto
en x=a si el
valor de la ordenada, f(a), es menor o igual que en
cualquier otro punto del dominio de la función.

20. Máximo absoluto: Mínimo absoluto: