Funciones a trozos

Funciones a trozos

1. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
DEFINIDAS A TROZOS Y FUNCIÓN
VALOR ABSOLUTO
JAVIER LÓPEZ ÁLVAREZ

2. FUNCIONES DEFINIDAS A
TROZOS
z
Una función definida a trozos es, como su
propio nombre indica, una función que se
forma a partir de “trozos” o partes de otras
funciones.
z
Para definirla tendremos que determinar qué funciones intervienen y qué trozos de ellas
nos interesan.

3. Veamos un ejemplo
232
() 1 2 3
43
si x
fx x si x
xsix
≤
− ⎧
⎪
=− −<< ⎨
⎪
−≥
⎩

4. Vamos a trabajar con trozos de tres
funciones:
1
3 y
=
2
2
1 yx
=
−
3
4yx
=
−

5. Partición del eje OX z
Dividimos el eje OX en los trozos indicados:
(
]
2,2 x
≤
−⇒−∞−
(
)
232,3x −<<⇒−
[
)
33, x≥⇒ +∞

6. −6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
A partir de los ejes de coordenadas
obtenemos tres regiones:

7. El trozo correspondiente a la
primera función se construye así:
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y

8. −6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
El trozo correspondiente a la
segunda función se construye así:

9. −6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y
El trozo correspondiente a la
tercera función se construye así:

10. Finalmente obtenemos la gráfica
completa de la función a trozos:
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
−1
123456789
x
y

11. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO z
La función valor absoluto mantiene el signo
de las imágenes positivas y cambia el de las
negativas.
z
Analíticamente este tipo de funciones son en
realidad funciones definidas a trozos.

12. Ejemplo 1
33
() 3 ()
(3) 3
xsix
fx x fx
xsix
−
≥ ⎧
=−⇒ =⎨
−− < ⎩

13. −1
1
2
3
4
5
6
7
8
−3−2−1
12345
x
y
() 3
f
xx
=
−

14. −1
1
2
3
4
5
6
7
8
−3−2−1
12345
x
y
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
−3−2−1
12345
x
y
Gráficamente es tan sencillo como conservar la parte
positiva de la gráfica (por encima del eje OX) y añadir el
simétrico respecto del eje OX de la parte negativa.

15. −1
1
2
3
4
5
6
7
8
−3−2−1
12345
x
y
() 3 fx x
=
−

16. Ejemplo 2
(
]
()
() [
)
2
22
2
2,1
() 221,2
22,
xx six
fx x x x x si x
xx six
⎧
−
−∈−∞−
⎪⎪
=−−⇒−−− ∈−⎨
⎪
−
−∈+∞ ⎪⎩

17. −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−2−1
123456
x
y
2
() 2
f
xxx
=
−−

18. −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−2−1
123456
x
y
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−2−1
123456
x
y

19. −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−2−1
123456
x
y
2
() 2 fx x x
=
−−

20. Ejemplo 3
()cos
f
xx=

21. −4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−4−3−2−1
1234
x
y
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
−4−3−2−1
1234
x
y
()cos () cos
f
xxfxx=⇒=