Funciones algebraicas

una breve explicacion de funciones algebraica

1. República Bolivariana de Venezuela.
Ministerio del Poder Popular para la Educación.
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
UPTAEB
Barquisimeto – Estado Lara






FUNCIONES ALGEBRAICAS









Prof.
Materia: Matemática
Integrantes:
Sairyt Leal Ci. 17.619.650

“Contaduría. 0406 Fase 1”

2. INTRODUCCION


Las funciones algebraicas son aquellas cuya regla de correspondencia es una expresión
algebraica, siendo a la vez una función que satisface una ecuación polinómica cuyos
coeficientes son a su vez polinomios.
Una función algebraica explícita es aquella cuya variable y se adquiere combinando un
número finito de veces la variable x y constantes reales a partir de operaciones algebraicas de
suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces.

3. FUNCIONES ALGEBRAICAS

Una función f es algebraica si ésta puede construirse usando operaciones algebraicas (adición,
sustracción, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces), comenzando con
polinomios. Los polinomios y las funciones racionales Son. Automáticamente, funciones
algebraica.

Se le conoce como expresión algebraica a la combinación de números reales
llamados coeficientes y literales o letras llamadas variables que representan cantidades,
mediante operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación, etc.
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las
letras de la expresión por números determinados y realizar las operaciones correspondiente
que se indican en tal expresión. Para realizar las operaciones debes seguir un orden de
jerarquía de las operaciones.
1. se resuelven las operaciones entre paréntesis.
2. potencias y radicales
3. multiplicaciones y divisiones
4. sumas y restas.

Una expresión algebraica es una combinación de letras o letras y números unidos por medio
de las operaciones: suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación, de manera
finita.
Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. si no se dice otra cosa,
representan valores fijos en la expresión. Estas letras también se pueden llamar parámetros.

Las últimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros símbolos, representan variables que
pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales.

Las operaciones más sencillas que puedes realizar con polinomios son las siguientes.
Suma y resta: para sumar o restar monomios deben ser semejantes. Se suman o restan los
coeficientes de cada monomio como resultado de sacar como factor común la parte literal.
Por ejemplo:
 6 x
2
+ 3 x
2
= 9 x
2

 (-3 x
4
)-(-2 x
4
) = -3 x
4
+ 2 x
4
= - x
4

Producto: para multiplicar dos monomios se multiplican los coeficientes entre sí y se suman
los grados (no es necesario que sean semejantes):
 6 x
2
· 3 x
5
= 18 x
7

 2 x · 4 x
5
= 8 x
1+5
= 8 x
6

4.  2 x
3
(-3 x
4
) = - 6 x
7


Cociente: para dividir dos monomios se dividen los coeficientes entre sí y se restan los grados
(el resultado puede que no sea un monomio):
 6 x
7
: 3 x
5
= 2 x
7-5
= 2 x
2

 8 x
7
: (-2 x) = -4 x
7-1
= -4 x
6

Potencia: la potencia de un monomio se obtiene elevando el coeficiente al exponente y
multiplicando el grado del monomio por el exponente de la potencia:
 (2 x
2
)
3
= 2
3
x
2·3
= 8 x
6

 (-2 x
2
)
3
=(- 2)
3
x
2·3
=-8 x
6


Al igual que con los monomios, se puede operar con polinomios de forma muy parecida.

Suma y resta: para sumar o restar dos polinomios se suman o restan entre sí los coeficientes
de los monomios semejantes:



Producto: para multiplicar dos polinomios se multiplican todos y cada uno de los monomios
del primero por todos y cada uno de los monomios del segundo, agrupando a continuación los
monomios semejantes:

El producto también se puede realizar aplicando la multiplicación término a término y luego
simplificando los términos del mismo grado:
(2x +3)(2x-4) = 4x
2
-8x + 6x - 12 = 4x
2
-2x - 12
(2x-3)(x
2
-2)= 2x
3
-4x-3x
2
+6 = 2x
3
- 3x
2
- 4x + 6

5. Cociente: para dividir dos polinomios, el grado del dividendo debe ser mayor o igual que el
grado del divisor. Colocamos el polinomio dividendo completo; de forma que si falta algún
término, se coloca un 0 en su lugar. Se dividen los términos principales de ambos polinomios,
obteniéndose el primer monomio del cociente. Se multiplica ese monomio por el divisor y se
resta del dividendo, con lo que el grado del dividendo disminuye. Se repite el proceso mientras
que el grado del dividendo sea mayor o igual que el del divisor. Al final, obtenemos el
polinomio cociente y el resto, que deberá tener grado menor que el divisor.


Multiplicación: Operación en las que dos expresiones denominadas "multiplicando" y
"multiplicador" dan como resultado un "producto".
Al multiplicando y multiplicador se les denomina "factores".
La multiplicación consiste en sumar una cantidad tantas veces lo indica la primera o segunda
cantidad.
Elementos De Una Multiplicación:
1. FACTORES: Son las cantidades que se multiplican
2. PRODUCTO: Es el resultado de multiplicar los factores.
 Para la multiplicación, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes.
 En la multiplicación de bases iguales, los exponentes se suman.
 En la multiplicación de expresiones algebraicas se pueden distinguir tres casos:

 Multiplicación de un monomio por un monomio
 Multiplicación de un polinomios por un monomio
Multiplicación de un polinomio por otro polinomio

6. Multiplicación de un: Procedimiento: Ejemplo:


Monomio por un
monomio
Determinar el signo del producto.
Multiplica los coeficientes
numéricos.
Multiplica las partes literales
utilizando las leyes de los
exponentes correspondientes




Monomio por un
polinomio



Se utiliza la propiedad
distributiva de la multiplicación;
es decir se multiplica cada
término del polinomio por el
monomio.





Polinomio por un
polinomio
Cada término del primer
polinomio se debe multiplicar por
cada uno de los términos del
segundo polinomio y después se
deben agrupar los términos
semejantes, ya que son los que se
pueden sumar o restar.


PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

7. División: Operación en la que dos expresiones denominadas “dividendo” y “divisor” dan
como resultado un “cociente”.
Para la división, debemos tener en cuenta la siguiente ley de exponentes:
En la división de bases iguales, los exponentes se restan y si el exponente es cero, recuerda
que todo número o expresión elevada a la potencia cero es igual a la unidad (1).
Elementos De Una División:
Dividendo
Divisor
Cociente
En la división se pueden distinguir tres diferentes casos:

División de un:

Procedimiento: Ejemplo:

Monomio entre
un monomio
Determinar el signo del cociente
Dividir los coeficientes numéricos.
Aplicar las leyes de los exponentes
correspondientes


Polinomio entre
monomio

Se utiliza la propiedad distributiva de la
división, Se divide cada término del
polinomio entre el monomio y se suman
o restan según sea el caso los cocientes
obtenidos.




Polinomio entre
polinomio
Se ordenan los dos polinomios en orden
decreciente
Se divide el primer término del
dividendo entre el primer término del
divisor.
Se multiplica el primer término del
cociente por el divisor y el producto
obtenido se resta del dividendo,

8. obteniendo un nuevo dividendo.
Con el nuevo dividendo se repiten las
operaciones de los pasos dos y tres hasta
que el resultado sea cero o de menor
exponente que el divisor.



Productos notables
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la
multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la
resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la
factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados, y recíprocamente.
Factor Común El resultado de multiplicar un binomio a+b por un término c se obtiene
aplicando la propiedad distributiva:

Para esta operación existe una interpretación geométrica, ilustrada en la figura adjunta. El
área del rectángulo es
(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la
suma de las dos áreas coloreadas: ca y cb

Binomio Al Cuadrado O Cuadrado De Un Binomio
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por sí mismo), se suman los
cuadrados de cada término con el doble del producto de ellos. Así:

Un trinomio de la expresión siguiente: se conoce como trinomio cuadrado
perfecto.
Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el signo del tercer término es siempre positivo.
Ejemplo:

9. Simplificando:

Producto De Dos Binomios Con Un Término Común
Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, el cuadrado del término
común se suma con el producto del término común por la suma de los otros, y al resultado se
añade el producto de los términos diferentes.

Ejemplo:

Agrupando términos:

Luego:


Producto De Dos Binomios Conjugados
Dos binomios conjugados se diferencian sólo en el signo de la operación. Para su
multiplicación basta elevar los monomios al cuadrado y restarlos (obviamente, un término
conserva el signo negativo), con lo cual se obtiene una diferencia de cuadrados.

Ejemplo:


Agrupando términos:

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio Al Cuadrado Para elevar un polinomio de cualquier cantidad de términos se
suman los cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble de la suma de los
productos de cada posible par de términos.


Ejemplo:

10. Multiplicando los monomios:


Agrupando términos:

Luego:


Binomio Al Cubo
Para calcular el cubo de un binomio se suman, sucesivamente:
 El cubo del primer término con el triple producto del cuadrado del primero por el
segundo.
 El triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
 El cubo del segundo término.

Ejemplo:

Agrupando términos:

Si la operación del binomio implica resta, el resultado es:
 El cubo del primer término.
 Menos el triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
 Más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo.
 Menos el cubo del segundo término.
Factorizacion
El proceso para escribir expresiones algebraicas únicamente como un producto de otras
expresiones algebraicas, se denomina factorización. Un número natural mayor que 1 es primo,
si sus únicos factores enteros positivos son el 1 y el mismo.

Ejemplo
Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13,… son números primos porque cada uno de ellos tiene como
únicos factores al 1 y a ellos mismos. Un número no primo se dice que está completamente
factorizado, si está representado como un producto de factores primos. Una expresión
algebraica está completamente factorizada si está representada equivalentemente por un

11. producto de expresiones irreducibles. Toda expresión de la forma es irreducible (no es
factorizable). Toda expresión de la forma ax ² + bx + c es irreducible si b ² - 4ac < 0.

PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Al expresar dos o más expresiones algebraica únicamente como un producto de expresiones
algebraicas, se puede proceder de la siguiente manera:

1. Obtener los factores numéricos y literal que aparezcan en todos los términos de la expresión
dada, si existen, lo que genera el conocido término llamado factor común.

2. Al sacar este factor común, si existe, la expresión original será equivalente al producto entre
este factor común y otra expresión algebraica. Esta expresión no tendrá ningún factor común y
por lo tanto debe descomponerse en otros factores, si es posible.
Al descomponer en factores o factorizar una expresión, se pueden considerar las siguientes
formas:
Considere que A, B y C son números enteros, expresiones algebraicas:
F1 Diferencia de cuadrados:
F2 Trinomio cuadrado perfecto:
F3 Trinomio con coeficiente principal: a =

F4 Trinomio con coeficiente principal: a ≠

F5 Suma y diferencia de
cubos:

Ejercicio

Expresa el lenguaje algebraico de cada uno de los siguientes enunciados:

A) El área de un rectángulo de base 3cm y altura desconocida
B) El perímetro de un rectángulo de base 3cm y altura desconocida
C) El doble del resultado de sumarle a un número entero su siguiente

Respuesta:
a) 3(x)
b)6+2x
c)2(x+(x+1))
Explicación paso a paso:
a) Área de un rectángulo = Base x altura

12. • Base = 3
• Altura = x
Área en Lenguaje Algebraico
=3(x)
b) Perímetro = suma de todos los lados
• Base = 3
• Altura = x
Perímetro en lenguaje algebraico
= 3+3+x+x
=6+2x
c) • Número entero = x
• Su siguiente = x+1
Lenguaje algebraico
2( x + (x+1))

13. BIBLIOGRAFIA

https://es.wikipedia.org
Calculo_Diferencial_Jorge_Saenz_Segunda
https://matematica.laguia2000.com