Funciones Cuadráticas

Funciones Cuadráticas, por alumnos de 2° Polimodal.

1. Funciones Cuadráticas Materia: Matemática Curso: 2º 1ª Humanidades Colegio: José Manuel Estrada Profesora: Juliana Isola Año: 2011 Nicolás Sivero – Franco Maggi – Franco Guzmán – Sebastián Vera – Leonardo Marrupe – Agustín Yurovich

2. DEFINICIÓN Una F unción Cuadrática o Función de segundo grado es una Función P olinómica de grado dos. La forma general de la función cuadrática es a b Números c reales cualesquiera a ≠ 0

3. GRÁFICO La curva que se obtiene al graficar una función cuadrática se denomina PARÁBOLA La recta de color verde representa el Eje de simetría . El punto en que se intersectan la parábola con su Eje se denomina vértice . En el gráfico, el eje de simetría está orientado hacia el semieje positivo de las ordenadas (Eje Y )

4. COMO CALCULAR EL VÉRTICE DE LA PARÁBOLA LAS COORDENADAS DEL VÉRTICE DE LA PARÁBOLA DEPENDEN DE LOS VALORES DE LOS COEFICIENTES. Si llamamos “v” al Vértice ( Xv ; Yv ) a sus coordenadas F(x)=Ax ² + Bx + c , la abscisa de su vértice es Xv = - b / 2a “B” es el coeficiente del termino de primer grado y A el coeficiente principal. Una vez calculando Xv para hallar Yv basta con calcular la imagen de Xv ya que el vertice es un punto que pertenece a la parábola ; o sea que Yv = F( Xv )

5. Como calcular el eje de la parábola El eje es una recta vertical que corta la parábola en el vértice, su ecuación es : X= Xv ( recuerden que Xv es la abscisa del vértice ) Ejemplo : T(x) = x² - 4x + 3 Xv = - (-4 / 2x1) = 2 Yv = t (2) = 22 - 4 x 2 + 3 = -1 Entonces el vértice es , es este caso , V= (2 ; -1 ). Además la ecuación del eje es x=2

6. Una parábola es el conjunto de puntos  en el plano que equidistan de un punto fijo (llamado foco de la parábola) y de una recta fija  (llamada la directriz de la parábola) El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola. La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice  u = ( h, k) y directriz  es  y= k – p es (x – h) ²= 4p (y - k) El eje de la parábola es vertical y el foco  F está a  /P/ unidades (orientadas) del vértice. Si  P<0, la parábola abre hacia arriba y el foco está en ( h,k+p ); si P> 0,  la parábola abre hacia abajo y el foco está en  ( h,k -p).  Si la directriz es  x = h - p(eje horizontal), la ecuación es  (y-k) ² = 4p (x-h) El eje de la parábola es horizontal y el foco F está a  /P/ unidades (orientadas) del vértice. Si  P>0 , la parábola abre hacia la derecha y el foco está en  ( h+ p,k ); si ,p<0  la parábola abre hacia la izquierda y el foco está en (h – p, k) . Como calcular el eje de la parábola

7. y ² -6y – 4x + 17 =0 Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado en a. De la ecuación de la parábola tenemos que y ² - 6y +9 -9-4x +17 = 0 (y-3) ² - 4 (x-2) = 0 (y-3) ² = 4 ( x- 2 ) De donde obtenemos que p = 1  y el vértice  u = (2;3 ) , por lo tanto, la parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en F = (3 , 3) , la recta directriz es  x = 1. Ejemplos Resoluciòn

8. FUNCIONES COMPLETAS E INCOMPLETAS Si en una función cuadrática el coeficiente del término de Primer grado, el término independiente o ambos son cero/s: La ecuación se denomina Incompleta. f(x) = 2.X² *Si en una función cuadrática posee todas sus partes, es decir, |ax²+bx+c|: La ecuación se denomina Completa. f(x) = 2X² + 4X + 1

9. Ceros en una función Los ceros o raíces de una función son los valores de la variable independiente (x) cuya imagen es igual a 0 (cero) Por Ejemplo: (-2;0) y (2;0) son los ceros de la función x 2  - 4 Como hallar los Ceros, en una función incompleta: F( x ) = 0 A la función incompleta determinada, tenemos que igualarla a 0 (cero) obteniendo así, los ceros de la función.

10. Ceros en una función Como hallar los Ceros, en una función completa: Para hallar los ceros en esta clase de funciones debemos resolverla mediante la utilización de la fórmula: El doble signo (+/-) es una forma abreviada de escribir que un cero se halla sumando y el otro restando: * Ejemplo: las soluciones de la ecuación 3x² + 7/4x – 3/8= 0 son los ceros de la función f(x)= 3x² + 7/4x – 3/8.

11. COMO HALLAR CEROS EN UNA FUNCION Ejemplo de resolucion : Teniendo: f(x)=X² + 2X – 3 -2 + / - 2² - 4 . 1 . (-3) 2 . 1 -2 +/- 16 2 -2 +/- 4 2 -2 + 4 = 1 - 2 – 4 = -3 2 2

12. Forma Canónica Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera: A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado ( h;k )  las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento: Toda función cuadrática puede ser expresada mediante el cuadrado de un binomio de la siguiente manera: A esta forma de expresión se la llama forma canónica. Siendo a el coeficiente principal y el par ordenado ( h;k )  las coordenadas del vértice de la parábola. Para llegar a esta expresión se parte de la forma polinómica y se realiza el siguiente procedimiento: *Dado: Se extrae  a  como factor común en el término cuadrático y en el lineal 2.

13. Forma Canónica *Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad. *Se completa el trinomio cuadrado perfecto, sumando y restando para no alterar la igualdad: Se factoriza formando el cuadrado de un binomio: Sustituyendo: La expresión queda:

14. METODO DE COMPLETAR CUADRADOS Ejemplo: X² + 6X – 7 = 0 X² + 6X = 7 (se eleva al cuadrado la mitad del coeficiente de X y se suma en ambos lados) X² + 6X + 3² = 7 + 3² ( X + 3 ) ² = 16 (Se extrae la raiz cuadrada de ambos miembros. RECORDAR, el binomio es igual a + / - la raiz del segundo miembro) ( X + 3)² = 16

15. METODO DE COMPLETAR CUADRADOS X + 3 = 4 X + 3 = - 4 X = 4 - 3 X = - 4 - 3 X = 1 X = -7 COMPROBAMOS 1 + 3 = 4 - 7 + 3 = 4

16. ECUACION CONOCIENDO 3 PUNTOS Para comenzar se parte de la siguiente ecuación: f(x) = ax² + bx + c Conociendo los tres puntos del plano XY por los que pasa una función Polinómica de segundo grado: Se cumple que: A, B y C son incógnitas (Solo habrá solución si el determinante de los coeficientes de las incógnitas es distinto de cero)

17. “P” POR TRES PUNTOS Un ejemplo sencillo, teniendo los siguientes puntos: P=(X;Y) Reemplazamos los valores de cada numero: P 1 = (0;1) (i) 1 = a.0² + b.0 + c P 2 = (1 ; 1) ( ii ) 1 = a.1 ²+ b.1 + c P 3 = (-2 ; 7) ( iii ) 7 = a. (-2) ² + b.(-2) + c Obtenemos los valores: (I) 1= a.0+b.0+c 1= C ( ii ) 1= a.1+b.1+c (1) 1-1(c) = a+b A +B = 0 A=-B ( iii ) 7=4a-2b+1 (c) 7-1= 4 a-2b 6= 4A-2B

18. “P” POR TRES PUNTOS A Continuación utilizaremos los valores obtenidos anteriormente: 1= C A=- B 6= 4A-2B Reemplazando para obtener el valor de “B”: 6= 4A-2B 6= 4.(-b)–2b 6= -4b -2b 6=-6b 6 : (-6)= b -1=B A=- B a= -b(-1) a= -(-1) A=1 Entonces, una vez obtenido el valor de cada uno de las letras, podemos obtener la parábola: Y= 1x² + (-1)x+1 “ Y = x² -x +1”

19. FIN DE LA PRESENTACIÓN Muchas Gracias por recurrir a nuestra biblioteca virtual. Profesora: Juliana Isola Alumnos : Nicolás Sivero – Franco Maggi – Franco Guzmán – Sebastián Vera – Leonardo Marrupe – Agustín Yurovich Curso : 2º 1ª Humanidades Año: 2011 MATERIAL DE CONSULTA: INTERNET WIKIPEDIA, YAHOO RESPUESTAS, YOUTUBE BIBLIOGRAFIA “MATEMATICA” Números reales. El lenguaje del álgebra. Funciones. Polinomios. Proporcionalidad y semejanza. Trigonometría. Vectores – Editorial Santillana