Funciones elementales

1. FUNCIONES ALGEBRAICAS
FUNCIONES ELEMENTALES O SIMPLES
Son aquellas funciones especiales, las cuales nos servirán de apoyo para el estudio de otras
funciones más complicadas.
Las más importantes son:
Funciones Polinomiales
Sean f(x) un polinomio de coeficientes reales, cuyos pasos particulares son:
a) Funciones constantes
Es una función cuyo dominio es y su rango es la constante real C.
Luego, f= {(x;c)/c es una constante}
f= {(x;y)/y=c, es una constante}
Su grafica es una recta paralela al eje X, conseguido a través de la tabulación



b) Funciones lineal
Función polinomial de primer grado
f={(x;y)/y = ax + b; a ≠ 0 }
Gráficamente, representa una línea recta que corta al eje Y en b y al eje X en –b/a.

2. Ejemplo I
Graficar la función:
I. f(x) = 3x – 1
II. g(x) = 2x + 3
Resolución
Se sabe que sus graficas serán rectas, para ello solo se necesita dos puntos de paso.
I. X 0 1…
f(x) -1 2…















II. X 0 1…
g(x) 3 1…

3. e) Función polinomial general
Sea el polinomio de grado n y coeficientes reales
F(x) = a0x
n
+a1x
n-1
+ a2x
n-2
+…+ an; 00 ≠ 0
La geometría de estas funciones depende del tipo de raíces que posee aunque puede decirse que
estas funciones tienen un comportamiento ondulatorio.
I) Si todas las raíces son reales y simples, la función será escrito como:
F(x) = a0 (x-x1)(x-x2)(x-x3)…..(x-xn) y su grafica será:

a>0,n par

a>0,n impar

a≤0,n impar

a≤0,n par

4. II) Raíces reales y de multiplicidad,f(x) tiene un factor de la forma (x-x0)
k
, k es la multiplicidad. k
k

Si k es par



Si k es impar


Función constante
La función constante es del tipo:
y = n
El criterio viene dado por un número real.
La pendiente es 0.
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

5. Rectas verticales
Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones, ya que un valor de x tiene infinitas imágenes y
para que sea función sólo puede tener una. Son del tipo:
x = K


Función implícita

Es función implícita de la que no se puede despejar la variable independiente de la variable
dependiente.
Un ejemplo de una función implícita seria:

En la cual no es posible expresar una de las variables en términos de la otra.
Diferenciación
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable
independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera
como una función que a su vez esta en función de la variable independiente:
Dada una función , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x:
.
Si consideramos es una función en términos de la variable independiente x y es
una función en términos de la variable dependiente y, dado que , entonces para obtener la
derivada:

6. Función Identidad
Definición:

Función Identidad

La función de identidad se define mediante la expresión xxf)(


Propiedades:
“La función identidad tiene la propiedad de que a cada argumento x del dominio le
hace corresponder el mismo valor en el contradominio y, por lo tanto, éste es R”. La gráfica de
esta función es la recta que pasa por el origen y tiene un ángulo de inclinación de 45°

Gráfica:






FUNCIÓN DOMINIO CONTRADOMINIO
xxf)(


Todo número real x


Todo número real x

7. Función Cuadrática.
Definición:


Para hallar las raíces de una función cuadrática, utilizamos la fórmula general de
segundo grado que tiene la forma: a
acbb
x
2
4
2

y de la cual podemos obtener dos, una o ninguna raíz real dependiendo del discriminante b
2
–
4ac bajo las siguientes condiciones.

> 0 da lugar a dos raíces reales distintas.
b
2
– 4ac = 0 da lugar a dos raíces reales iguales.
< 0 no da lugar a raíces reales.


La gráfica de la función cuadrática es una parábola que abre hacia arriba si 0a ,
o abre hacia abajo si 0a .
El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales.
El contradominio de esta función es el conjunto de números y tales que ky si 0a
, o bien ky si 0a , donde k es la ordenada del vértice de la parábola.
El vértice de la parábola se determina por la fórmula:


Ejemplo 1. Determina el dominio y el contradominio de la función 2
)(xxf

f(x) = x
2
es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba,
pues a > 0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido
es cero y los reales positivos (y ≥ 0). b
a
f
b
a2 2
, .
Función Cuadrática. La función cuadrática es un polinomio de segundo grado. Tiene la forma 0,)(
2
acbxaxxf
.

8. Ejemplo 2.- Determina el dominio y el contradominio de la función 2
)( xxf
f(x) = -x
2
es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo, pues a
< 0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el
conjunto de los números reales negativos y el cero (y ≤ 0).






Función Cúbica.
Definición:







0
5
10
15
20
-5 0 5 -20
-15
-10
-5
0
-5 0 5
Función cúbica: La función cúbica se define como polinomio de tercer grado; tiene la forma: 0,)(
23
adcxbxaxxf
.

9. FUNCIÓN DOMINIO CONTRADOMINIO
0,)(
23
adcxbxaxxf


Todo número real x


Todo número real x


Ejemplo 1: Realiza la gráfica de la función y = x
3



FUNCIONES A TROZOS
Definición:
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos
que se consideren. -10
-5
0
5
10
-5 0 5
x y = x
3

-3 -27
-2 -8
-1 -1
0 0
1 1
2 8
3 27

10. El dominio lo forman todos los números reales menos el 2.
Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en l os
intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función .





D=

11. Funciones tr asc en dentes
la v ariabl e independ iente figura como ex ponente, o como índ ice de la
raíz , o s e hall a afe ctada del signo logar itmo o de cualqui er a de los
signos que e mplea l a trigonometrí a.
Función exponenci al
Sea a un número r eal positiv o. La función que a cad a
número re al x l e ha ce cor re sponder la potencia a
x
s e lla m a func i ón
ex pone nc ia l d e b as e a y ex pon ent e x.




Prop ied ades d e la
f unc ión ex p one nc ia l
Dominio: .
Recor rido: . ; Es c ontinua.
Los puntos (0, 1) y ( 1, a) pe rtenec en a l a gráfica .
Es in yectiv a a ≠ 1(ni ngun a im agen ti en e m ás de un orig in al). Creci ent e
si a >1 ; De cr ecient e si a< 1.
Las c urvas y= a
x
e y= (1/a)
x
s on s im étric as res pec to d el ej e O Y.

12. Funciones loga rítmi cas
La función logarít mica en bas e a es la función inv ersa de l a
exponenci al e n bas e a.




Propied ades d e las
funciones logar ítmic as
Dominio: ; Re cor rido: ; Es continua.
Los puntos (1, 0) y ( a, 1) pe rtenec en a l a gráfica.
Es in yectiv a (n ing un a im agen t ien e m ás de un orig in al).
Creci ente si a >1 ; De cre ciente si a < 1.
Las gráf ic a de la f unción logarítmic a es sim étric a (res pe c to a l a
bis ec tri z de l 1
er
y 3
er
c uadrant e) de la gráf ic a de la funció n
exponenci al, ya que s on f unc ion es rec ipro c as o in vers as e ntre s í.




Funciones trigonom étrica s
La funciones tr igonométrica s as oc i an a c ada núm ero real, x , el val or d e
la ra zón trig onom étric a de l á ngu lo c u ya m edid a en rad ian es es x .

13. Función s eno f(x ) = s en x
Función coseno f(x ) = c os en x
Función tangente f (x ) = tg x
Función cose cante f(x ) = c os ec x
Función sec ante f(x ) = s ec x
Función cotangente f(x ) = c otg x
Función s eno
f(x) = sen x

Propied ades d e la fu nción seno
Dominio:
Recor rido: [ −1, 1]
Per íodo:
Continuidad: Cont in u a en
Creci ente en:
Decr eci ente en:
M áximos:
M ínimos:
Impar: s e n(−x ) = −s e n x

14. Cortes con el e je O X :
Función coseno
f (x) = c os en x

Propied ades d e la fu nción coseno
Dominio:
Recor rido: [ −1, 1]
Per íodo:
Continuidad: Cont in u a en
Creci ente en:
Decr eci ente en:
M áximos:
M ínimos:
Par: c os (−x ) = c os x
Cortes con el e je O X :
Función tangente
f (x) = tg x

15. Propied ades d e la fu nción tangente
Dominio:
Recor rido:
Continuidad: Cont in u a en
Per íodo:
Creci ente e n:
M áximos: No ti ene .
M ínimos: No t ien e.
Impar: t g(−x ) = −t g x
Cortes con el e je O X :
Función cotangente
f(x) = cotg x

Prop ied ades d e la f un c ión c ot ang ente
Dominio:
Recor rido:
Continuidad: Cont in u a en
Per íodo:
Decr eci ente en :
Impar: c ot g(−x ) = −c o tg x

16. Cortes con el e je O X :
Función sec ante
f(x) = se c x

Prop ied ades d e la f un c ión s ec an te
Dominio:
Recor rido: (− ∞, −1] [1, ∞)
Per íodo:
Continuidad: Cont in u a en
Creci ente en:
Decr eci ente en:
M áximos:
M ínimos:
Par: s ec (−x ) = s ec x
Cortes con el e je O X : No c orta
Función cose cante
f(x) = co sec x
Prop ied ades d e la f un c ión c os ec an te
Dominio:
Recor rido: (− ∞, −1] [1, ∞)

17. Per íodo:
Continuidad: Cont in u a en
Creci ente en:
Decr eci ente en:
M áximos:
M ínimos:
Impar: c os ec (−x ) = − c os ec x
Cortes con el e je O X : No c orta
Funciones Trigonométricas Inversas.
Son necesarias para calcular los ángulos de un triangulo a partir de la medición de sus
lados, aparecen con frecuencia en las soluciones de ecuaciones diferenciales. Sin
embargo ninguna de las 6 funciones trigonométricas básicas tiene inversa debido a que
son funciones periódicas y por lo tanto no son inyectivas pero restringiendo los
dominios se puede hallar la inversa
Las tres funciones trigonométricas inversas usadas de manera común son:
AR CO S ENO
Es la función inversa del seno de un ángulo. Si tenemos arco seno, su significado
geométrico es el arco cuyo seno es alfa.
La función seno no es biyectiva, por lo que no tiene inversa. Es posible aplicarle una
restricción del dominio de modo que se vuelve inyectiva y sobreyectiva. Por convección
es preferible restringir el dominio de la función seno intervalo [- ].
La función arcoseno real es una función , es decir, no está definida
para cualquier número real.
y = arc sen x x = s en y y es el arco
cu yo seno es el núm ero x. El arco seno ta mbién se pu ede e xpr esar
como: sen
-1
o sin
-1
e n las c alcul adora s. f (x) = arc s en x
Dominio: [-1, 1 ] ; Continua: (-1, 1 ; De crec iente: (-1, 1

18. Ar co co seno
Es la función inversa del coseno de un ángulo. El significado geométrico es: el arco
cuyo coseno es dicho alfa. La función coseno no es biyectiva, por lo que no tiene
inversa. Es posible aplicarle una restricción del dominio de modo que se vuelve
inyectiva y sobreyectiva. Por convección es preferible restringir el dominio de la función
coseno intervalo [ ].
Propiedades :
El arcocoseno de una función continua es estrictamente de creciente, definida por todo
el valor del intervalo [-1;1]: Arccos: [-1;1] => []
Su grafico es simétrico respecto al punto (0;), siendo arcosx=??? – arcos(-x)
y = arc cos x x = co s y
y es e l ar co cu yo co seno es el número x . arcco s (cos x) =
x. E l ar co co seno ta mbién se pu ede e xpr esar como: cos
-1
.
Func ión arc oc os en o
f (x) = arc c os en x
Dominio: [-1, 1] ;Continua: (-1, 1) ; Dec rec iente: (-1, 1)
FUNCIO N D E ARCO T ANG ENT E
El a rcotangente es l a función inv ers a o recip roca de l a ta ngente. y
= a rctg x x = tg y
y e s el ar co cu ya ta ngente es el número x. Como el arco tangente y
la tangente son funciones inv ers as, su composición es la función
identidad. a rctg (tg x) = x. R EG L A D E CO R RE SPO N DENCI A
El a rco tang ente ta mbién se puede exp resa r como : tg
-1
o t a n
-1
en la s
calcul adora s.f (x ) = arc tg x

Dominio: Continua en en

19. Creci ente:

ARCO COTANGENTE:
Se restringe el dominio de la función cotangente considerando únicamente ángulo en (0,π).
La inversa de la función cotangente, llamada arco cotangente, la denotaremos como y
se define como:

Cotangente inversa o arco cotangente, cot =arccot, tiene dominio =< -∞, ∞ > y rango
=< 0, π >.

ARCO SECANTE:
Se escribe arco secante, arc secx, o
El valor de la función arco secante de cualquier argumento es un ángulo en radianes cuya
función secante es igual al argumento dado, esto es,

Secante inversa o arco secante, sec=arcsec, tiene dominio = U ∞ >
y rango U

20. ARCO COSECANTE:
Se restringe el dominio de la función de la función cosecante considerando únicamente ángulo
en U ( para que sea uno a uno.
La inversa de la función cosecante, llamada arco cosecante, la denotaremos como arccsc y se
define como:

Cosecante inversa o arco cosecante, csc=arccsc, tiene dominio ∞ >
Y rango U <



FUNCIONES MONOTONAS:
1º. Decimos que una función f es creciente (o estrictamente creciente) en el intervalo
↔ ∀, ϵ : < ↔ f()<f()
2º. Decimos que f es no creciente en el intervalo
↔ ∀, ϵ : < ↔ f()f()
3º.decimos que función f es decreciente (o estrictamente decreciente) en el intervalo
↔ ∀, ϵ : < ↔ f()>f()
4º. Decimos que una función f es no decreciente en el intervalo
↔ ∀, ϵ : < ↔ f()f()
Cuando una función verifica cualquier de las cuatro propiedades anteriores, decimos que es
monótona.
PROPIEDADES:
Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es inyectiva.
La suma de funciones monótonas de un mismo tipos tiene el mismo tipo de monotonía. Lo
anterior no es cierto ni para restas ni para productos.

21. Función monótona creciente. Función monótona decreciente. Función no monótona.



Función compuesta
La función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g ∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X.A
g ∘ f se le llama composición de f y g.
Propiedades
La composición de funciones es asociativa, es decir:

La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

La inversa de la composición de dos funciones es:

22. Función acotada
Diremos que una función está acotada, sin más, cuando lo está superior e inferiormente. La
gráfica de esta función está totalmente contenida en una banda limitada por dos rectas
horizontales.

Función acotada superiormente
El significado geométrico de este concepto es que la gráfica de la función y=f(x) está
completamente por debajo de la recta horizontal y=K.
f acotada superiormente KR / xDom(f) f(x)K

Función acotada inferiormente
Se dice que una función está acotado inferiormente si existe algún número real, k, que es
menor o igual que cualquiera de los posibles valores de f(x). El número real k recibe el nombre

23. de cota inferior de f. El significado geométrico de este concepto es que la gráfica de la función
y=f(x) está completamente por encima de la recta horizontal y=k.
f acotada inferiormente kR / xDom(f) f(x)k

Propiedades
Propiedad 1
En la gráfica de , el que esté acotada superiormente ( inferiormente ) se traduce en que
existe una linea horizontal ( paralela al eje ), tal que ningun punto de la gráfica se encuentra
por encima ( debajo ) de dicha recta.
Propiedad 2.
1. Si existe un número real
, tal que o , entonces no está acotada superiormente.
2.- Recíprocamente, si existe un número real
, tal que o , entonces no está acotada
inferiormente.
Propiedad 3
Si o , entonces NO está acotada superiormente.
Si o , entonces NO está acotada inferiormente
Función cóncava
Se dice que es cóncava, si para dos puntos x e y cualesquiera definidas en su dominio C, y
para cualquier t en [0,1], se cumple

24. Además, f(x) es cóncavo en [a, b] si y sólo si la función −f(x) es convexa en [a, b]. Una función
es estrictamente cóncava si

para cualquier t en (0,1) y x ≠ y.


Propiedades
si su segunda derivada f ′′(x) es positiva, entonces f es convexa; si f ′′(x) es negativa, entonces
es cóncava.
Si una función cóncava (es decir, cóncava hacia abajo) tiene un "ápice" ("ápex"), cualquier
punto al ápice es un máximo extremo.
Entonces f(x) es cóncavo si y sólo si f ′′(x) es negativo o cero.
Una función es cuasi-cóncava si y sólo si posee un tal que para todo , es
no-decreciente y para todo es no-creciente. puede también ser , haciendo la
función no-decreciente (no-creciente).






Una función cóncava es lo
opuesto de una función convexa.
Función convexa
Se llama función convexa o cóncava hacia arriba, si para dos puntos cualquiera x e y es su
dominio C y cualquier t en [0,1], se cumple

Una función estrictamente convexa es aquella en que

25. Una función es cóncava si la función es convexa.
Propiedades
Una función es punto-medio convexa (midpoint convex) en un intervalo "C" si

se encuentra por encima de todas sus tangentes: f(y) ≥ f(x) + f '(x) (y − x) para todo x e y en el
intervalo. En particular, si f '(c) = 0, luego c es un mínimo absoluto de f(x).
Función continúa
Una función f(x) es continua si es continua en cada punto de su dominio, y es continua en un
punto específico x = b si el límite de f(x), conforme x se aproxima a b, es f(b).
PROPIEDADES
Sea f:[a,b] -->R una función continua en (a,b) entonces si f(x0) ≠ 0,existe un entorno E(x0, δ)en
que f tiene el mismo signo que f(x0).
Si x0 =b (respectivamente x0 =a) entonces existe δ un tal que f toma en (b- δ ,b)
(respectivamente (a,a+ δ) el mismo signo que f(x0).

26. Función discreta

Una función discreta es una función matemática cuyo dominio de definición es un conjunto
numerable (o discreto).
1
Es decir, es una definición:

Una función discreta no debe confundirse con una función discontinua, puesto que estas
últimas corresponden a funciones reales definidas por tramos.
Aplicaciones
Este tipo de funciones son muy comunes en las ramas de matemática discreta y teoría de
computación, dado el manejo finito de datos que en ellos se utiliza. Por ejemplo, las funciones
de distribución de variable discreta en estadística son un conocido ejemplo de funciones
discretas.

Función escalonada o “parte entera”

27. Una función escalonada es aquella función definida a trozos que en cualquier intervalo finito
[a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c1 < c2 < ... < cn, y en
cada intervalo ]ck, ck+1[ es constante, teniendo discontinuidades de salto en los puntos ck.
Propiedades
Cambio de signo del argumento.

La derivada en el sentido de las distribuciones es la delta de Dirac.

Transformada de Laplace.

La función primitiva es la función rampa:

Es la integral de la función delta de Dirac.