Funciones exponenciales

Se trata de definir y dar algunos ejemplos sobre esta función

1. Prof. Carlos Mario Calle Funciones Exponenciales

2. Justificación Las funciones exponenciales son una de las familias de funciones más importantes en las matemáticas por la gran cantidad de aplicaciones que tienen ..

3. Pre-prueba Traza la gráfica las siguientes de funciones exponenciales B. Resuelve las siguientes de ecuaciones exponenciales Funciones Exponenciales

4. Definición de una función exponencial La x puede asumir cualquier valor real por lo que el dominio de las funciones exponenciales es el conjunto de los números reales, Como la los resultados al evaluar las funciones exponenciales son números positivos por lo tanto el alcance será, Sea un número real. A una función de la forma Si la función será una función constante, que no es exponencial. Funciones Exponenciales

5. “Estas funciones se conocen como funciones exponenciales porque el exponente es variable.” Ejemplos de funciones exponenciales Funciones Exponenciales

6. Ejemplos: Traza la gráfica de las siguientes funciones exponenciales. Solución Solución Solución Solución Solución Gráficas de funciones exponenciales Funciones Exponenciales

7. x f(x) Ejercicios Observe el dominio y el alcance en la gráfica. Observe también que si los valores de x tienden a menos infinito, los valores de la función tienden a 0. Funciones Exponenciales

8. x f(x) Ejercicios Funciones Exponenciales

9. x f(x) Ejercicios Funciones Exponenciales

10. x f(x) Ejercicios Funciones Exponenciales

11. x f(x) Ejercicios Funciones Exponenciales

12. Resumen de las propiedades de las funciones exponenciales Las funciones exponenciales pasan por el punto (0,1). 2. Si b > 0 la función es creciente. 3. Si b < 0 la función es decreciente. 4. El eje de x es una asíntota horizontal. 5. El dominio es el conjunto de los números reales. 6. El alcance es el conjunto de números reales positivos. 7. Las funciones exponenciales son uno a uno. Funciones Exponenciales

13. Transformaciones de las funciones exponenciales Al igual que las funciones estudiadas anteriormente podemos transformar las funciones exponenciales variando sus parámetros (números) para producir traslaciones, reflexiones, estiramientos y contracciones. Las funciones que resultan de estas transformaciones se conocen como funciones de forma exponencial. Veremos algunos ejemplos a continuación. Funciones Exponenciales

14. Traza la gráfica de las siguientes funciones. Solución Solución Solución Solución Solución Transformaciones de las funciones exponenciales Solución Funciones Exponenciales

15. x f(x) Ejercicios Funciones Exponenciales

16. x f(x) Ejercicios Funciones Exponenciales

17. x f(x) Ejercicios Funciones Exponenciales

18. x f(x) Ejercicios Funciones Exponenciales

19. x f(x) Ejercicios Funciones Exponenciales

20. x y -2 -1 1 2 1/8 1/2 1/4 1 1/16 3 2 Ejercicios Funciones Exponenciales

21. x y -2 -1 1 2 1/8 1/2 1/4 1 1/16 3 4 2 3 Ejercicios

22. Resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases. Las funciones exponenciales son funciones uno a uno, por lo tanto si y solo si x = y . Esta propiedad nos permite resolver ecuaciones exponenciales igualando las bases. O sea si las bases son iguales entonces los exponentes son iguales. Ejemplos : Resuelve las siguientes ecuaciones. Solución Solución Solución Funciones Exponenciales

23. Solución Solución Solución Solución Solución Funciones Exponenciales

24. Ejercicios Verificación Funciones Exponenciales

25. Verificación Ejercicios Funciones Exponenciales

26. Verificación Ejercicios Funciones Exponenciales

27. Ejercicios Funciones Exponenciales

28. Ejercicios Funciones Exponenciales

29. Ejercicios Funciones Exponenciales

30. Ejercicios Funciones Exponenciales

31. Ejercicios Funciones Exponenciales

32. Aplicaciones de las funciones exponenciales Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones en ciencias, matemáticas, comercio y en otras disciplinas. Veremos aquí algunas de esas aplicaciones. 1. Fórmula de interés compuesto Funciones Exponenciales

33. 2. Fórmula de interés continuo 3. Fórmula de crecimiento y decaimiento exponencial Funciones Exponenciales

34. 4. Fórmula de enfriamiento de Newton 5. Fórmula de crecimiento logístico Funciones Exponenciales

35. Resuelve el ejercicio. 1) Una muestra de 700 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la siguiente función, A(t) = 700e -0.032t , donde t es el tiempo en años. Encuentra la cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 60 años. (redondea a gramos) A) 103g B) 64g C) 4775g D) 75g 2) Una muestra de 900 gramos de plomo 210 decae a polonio 210 de acuerdo a la siguiente función, A(t) = 900e -0.032t , donde t es el tiempo en años. Encuentra la cantidad de plomo 210 en la muestra luego de 100 años. (redondea a gramos) A) 37g B) 56g C) 22,079 g D) 27g 3) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e 0.018t , donde t es el número de años desde 1950. Estima la población en el año 2003 al millón más cercano. A) 6,629 millones B) 6,872 millones C) 6,750 millones D) 36,152,864 millones 4) Desde 1950, el crecimiento de la población mundial en millones de personas puede ser aproximada por la función exponencial A(t) = 2600e 0.018t , donde t es el número de años desde 1950. Estima la población en el año 2015 al millón más cercano. A) 8,228 millones B) 8,529 millones C) 8,377 millones D) 313,486,458 millones Funciones Exponenciales

36. Encuentra el valor futuro de un principal P invertido durante m años a una tasa de interés nominal anual r y compuesto como se indica. Redondea a dos lugares decimales . 5) P = $1,000, m = 10, r = 7% compuesto anual A) $1,967.15 B) $1,838.46 C) $2,104.85 D) $967.15 6) P = $1,000, m = 4, r = 9% compuesto semianual A) $422.1 B) $1,411.58 C) $1,360.86 D) $1,422.10 7) P = $480, m = 2, r = 17% compuesto trimestralmente A) $189.65 B) $642.35 C) $669.65 D) $657.07 8) P = $12,000, m = 8, r = 8% compuesto trimestralmente $22,171.07 B) $22,211.16 C) $10,614.49 D) $22,614.49 Encuentra el valor presente de una cantidad A compuesto a una tasa de interés r por t años. Redondea a centavos. 9) A = $5,600, t = 3, r = 8% compuesto anual $7,938.32 B) $1,154.54 C) $4,445.46 D) $4,801.10 10) A = $10,500, t = 3, r = 4% compuesto semianual A) $8,889.96 B) $9,707.84 C) $1,165.54 D) $9,334.46 Funciones Exponenciales

37. 11) A = $6,500, t = 8, r = 13% compuesto trimestral A) $2,445.04 B) $2,411.69 C) $2,335.78 D) $4,164.22 12) A = $10,000, t = 4, r = 18% compuesto mensual A) $4,893.62 B) $2,500.00 C) $8,363.87 D) $11,956.18 Resuelve el ejercicio. 13) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 30 gramos. ¿Qué cantidad habrá luego 300 años? A) 22.383 B) 0 C) 29.134 D) 1.604 14) La media vida del silicón-32 es 710 años. Si tenemos una muestra de 40 gramos. ¿ Qué cantidad habrá luego 300 años? A) 29.845 B)0 C) 38.845 D)2.138 15) Un tronco fosilizado contiene un 28% de la cantidad normal de carbono-14 . ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del carbono 14 . A) 26,873 B)2649 C) 34,489 D) 10,266 16) Un tronco fosilizado contiene un 30% de la cantidad normal de carbono- 14 . ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del carbono-14 . A) 27,429 B)2876 C) 34,262 D)9709

38. 17) Un tronco fosilizado contiene un 13% de la cantidad normal de carbono-14 . ¿ Qué edad en años tiene el fósil? Use 5600 años como la media vida del carbono 14. A) 20,685 B) 1123 C) 36,015 D) 16,453 18) Un termómetro con una lectura de 11°C se ubica en un salón con una temperatura constante de 20°C. Si el termómetro tiene una lectura de 17°C luego de 6 minutos, encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 10 minutos. A) 7.91°C B) 18.56°C C) 21.44°C D) 20°C 19) Un termómetro con una lectura de 13°C se ubica en un salón con una temperatura constante de 20°C. Si el termómetro tiene una lectura de 18°C luego de 6 minutos, encuentra la lectura del termómetro luego de estar en el salón durante 9 minutos. A) 11.350C B) 18.93°C C) 21.07°C D) 20°C 20) Un carnicero guarda una carne cuya temperatura es de 98°F colocándola en una nevera con una temperatura constante de 35°F. Si la temperatura de la carne bajó a 91°F en 5 minutos, ¿ Cuánto tiempo le tomará a la carne alcanzar una temperatura de 52°F? Ley de enfriamiento de Newton: U = T + (U – T) ekt : T = T a + (T - Ta) ekt . A) 18 minutos B) 56 minutos C) 3 minutos D) 16 minutos

39. 21) La ecuación de crecimiento logístico P(t) = modela la población de cierto tipo de bacterias en un plato de cultivo luego de t horas. ¿Cuánto tardará en que el número de bacterias sea de 620? A) 2.86 horas B) 11.77 horas C) 8.61 horas D) 6.02 horas 22) La ecuación de crecimiento logístico P(t) = representa la población de una especie introducida en un nuevo territorio luego de t años. Encuentra la población luego de 20 años de introducida la especie. A) 178 B) 102 C) 240 D) 113

40. Resuelve el ejercicio. Redondea a tres lugares. 23) Encuentra la tasa de interés anual que se requiere para duplicar una inversión en 4 años. A) 18.921% B) 17.329% C)9.46% D)31.607% 24) Encuentra el tiempo que se requiere para duplicar una inversión si la tasa de interés es de 5.25% compuesto continuo. A) 14.114 años B) 20.926 años C) 6.601 años D) 13.203 años 25) Encuentra el tiempo que se requiere para triplicar una inversión si la tasa de interés es de 7.25% compuesto continuo. A) 16.362 años B) 9.561 años C)7.577años D) 15.153 años

41. Post-prueba Traza la gráfica las siguientes de funciones exponenciales B. Resuelve las siguientes de ecuaciones exponenciales Funciones Exponenciales

42. x f(x) Respuestas de la pre y post- prueba Funciones Exponenciales

43. x f(x) Funciones Exponenciales

44. x f(x) Funciones Exponenciales

45. x f(x) Funciones Exponenciales

46. x f(x) Funciones Exponenciales

47. Funciones Exponenciales

48. Definición La función f definida por: Se llama función exponencial con base b.

49. Gráfica x 2 x -2 ¼ -1 ½ 1 1 2 2 4 3 8

50. Gráfica x (½) x -3 8 -2 4 -1 2 1 1 ½ 2 ¼

51. En general: Si b > 1 x f(x) x f(x) Si 0 < b < 1

52. Función exponencial natural: Es la función exponencial cuya base es igual a “e”, donde e = 2.71828… x e x -2 0.14 -1 0.37 1 1 2.72 2 7.39 3 20.01

53. ¿A qué exponente debe elevarse 10 para producir los números: a. 1000 ? b. 0,001 ? c. -1000 ? d. 50 ? Pregunta de reflexión Función Logarítmica: Introducción

54. y = log x significa 10 y = x Logaritmo común (en base 10) Ejemplos: log 1= log 0,01 = log 10 = 0, Porque 10 =1 -2, Porque 10 -2 =0,01 ½ , Porque 10 1/2 = 10

55. y = ln x significa e y = x Logaritmo natural común (base e) Ejemplos: ln 1= ln 10 = ln e k = 0, Porque e =1 2,3025… Porque e 2,3025… =10 k , Porque e k = k

56. y = log a x significa a y = x Logaritmo en base “a” donde a : base y : exponente

57. Forma exponencial logarítmica 3 2 = 9 4 -3 = 1/64 (1/5) -2 = 25 10 3 = 1000 e = 1 log 3 9 = 2 log 4 (1/64) = -3 log 1/5 25 = -2 log 1000 = 3 ln 1 = 0

58. La función logaritmo de base a , donde a > 0 y a  1, se define como : Función logaritmo f(x) = log a x Observación: 1. Si x 1  x 2 , entonces log a x 1  log a x 2 2. Si log a x 1 = log a x 2 , entonces x 1 = x 2

59. 1/2 1 2 4 2 1 1/2 -1 -2 y = 2 x y = log 2 x x y 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 . . . . Gráfica s de y = 2 x , y = log 2 x

60. Gráficas de y = e x , y = lnx

61. . 1/2 1 2 4 2 1 1/2 -1 -2 y = (1/2) x y = log 1/2 x x y 1/4 2 1/2 1 1 0 2 -1 4 -2 . . . Gráfica de y = log 1/2 x

62. 1 b b 1 y = b x y = log b x De la gráfica: log a 1 = 0 log a a = 1 log a no definido log a x < si x<1 log a x > si x>1 Es creciente Gráfica de y = log a x para a >1

63. Función Exponencial Graficar: y = e -x Graficar: y = e x+2 Graficar: y = e x + 3 La población proyectada P de una ciudad está dada por: Donde t es el número de años después de 1990. Pronosticar la población para el año 2010.

64. Función Logarítmica Graficar las siguientes funciones, indicando su dominio y rango: y = ln(x-3) y = ln(-x) y = ln(x+1) – 2 y = -ln(x+3) + 1