Funciones periódicas

1. FUNCIONES PERIÓDICAS
Una función periódica f(t) cumple que para todo valor de t:
f(t) = f(t + T).
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el
periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función.
Observa que:
f(t) = f(t + nT), donde n = 0, ±1, ± 2, ±3,...
Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?
1

2. Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función
Si f(t) es periódica se debe cumplir:
Como cos(t + 2kp) = cos(t) para cualquier entero
k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se
requiere que:
T/3 = 2k
1p y T/4 = 2k
2p.
Es decir:
T = 6k
1
p = 8k
2
p
con k
1
y k
2
enteros.
El valor mínimo de T se obtiene con k
1= 4, k
2= 3,
es decir, T = 24p.
2
?coscos
43
)()(f(t)
tt
+=
)()(T)f(t
TtTt
43
coscos
++
+=+ )()(f(t)
tt
43
coscos+==

3. Gráfica de la función
3
0 50 100 150 200
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24p
T
)()(f(t)
tt
43
coscos+=

4. ¿Es la suma de dos funciones
periódicas una función periódica?
Depende. Consideremos la función:
f(t) = cos(w
1
t) + cos(w
2
t).
Para que sea periódica se requiere encontrar
dos enteros m, n tales que:
w
1
T = 2p m y w
2
T =
2p n.
Es decir, que cumplan:
T = m/ (2p w
1
) = n/ (2p w
2
)
4
n
m
=
2
1
w
w

5. Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((p+3)t)
tenemos que
¿Es periódica?
5
p+
=
w
w
3
3
2
1
0 5 10 15 20 25 30
-2
-1
0
1
2
f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)
t
f(t)

6. Para que exista periodicidad w
1
/ w
2
debe ser
un número racional (n/m).
Ejercicios: Encontrar el periodo de las
siguientes funciones, si es que son periódicas:
• f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
• f(t) = sen
2
(2pt)
• f(t) = sen(t) + sen(t + p/2)
• f(t) = sen(w
1
t) + cos(w
2
t)
• f(t) = sen(Ö2 t)
6

7. 7
Si f
1
(t) tiene periodo T
1
y f
2
(t) tiene periodo T
2
,
¿es posible que f
1
(t) + f
2
(t) tenga periodo
T < min(T
1
,T
2
)?
T
1
= 5
T
2
= 5
T = 2,5

8. 8
Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de
igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan
pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:
ï
î
ï
í
ì
<<
££
=
1
1
,0
1
0),2(
)(
1
t
N
N
ttNsen
tf
p
ï
î
ï
í
ì
<<
££
=
1
1
),2(
1
0,0
)(
2
t
N
tNsen
N
t
tf
p
extendida periódicamente con T = 1:
+¥<<¥-+= ttftf ),1()(
11
extendida periódicamente con T = 1:
+¥<<¥-+= ttftf ),1()(
22
î
í
ì
+¥<<¥-+++
<£
=+
ttftf
ttNsen
tftf
),1()1(
10,)2(
)()(
21
21
p
NN
T
1
2
22
===
p
p
w
p

9. 9
¿Puede una función f(t) cumplir la condición
f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo
fundamental?
î
í
ì
=
enterounes nosi0
enterounessi1
)(
1
t
t
tf
1
enterossonnoysi0
enterossonysi1
)()(
11
=Þ
î
í
ì
+
+
=+=
T
Ttt
Ttt
Ttftf

10. 10
î
í
ì
=
enterounesoirracionalessi0
enterounnoperoracionalessi1
)(
2
t
t
tf
1
enterosoesirracionalsonysi0
enteros noperoracionalessonysi1
)()(
22
=Þ
î
í
ì
+
+
=+=
T
Ttt
Ttt
Ttftf
î
í
ì
=+
irracionales si0
racionalessi1
)()(
21
t
t
tftf
T = ?

11. 11
...
3
)3(
2
)2(
2
+++=
- tsentsen
tsen
tp
¿Cómo lo alcanzó?
Volvamos al resultado
de Euler:
ï
î
ï
í
ì
++=
+++=
...)(
...)(
32
32
titiit
titiit
eetSe
eeetS
t
tsen
i
e
e
tS
it
it
cos12
1
2
1
1
)(
-
+-=
-
=
{ }...)3()2(...)3cos()2cos(cos
...)(
2
1
32
+++++++
=+++=
-
tsentsentsenittt
eeetS
titiit
  
2
;
4
...
7
1
5
1
3
1
1
2
2
1
...
3
)3(
2
)2(
4
ppp
p
=+-=+-+-®=
+-=+++
CCt
Ct
tsentsen
tsen

Integrando
término a término:
Utilizando la fórmula de
Euler para cada término:
Particularizamos t
para encontrar C:

12. 12
...
3
)3(
2
)2(
2
+++=
- tsentsen
tsen
tp
...
3
)3(
2
)2(
)(
22
...
3
)3(
2
)2(
)(
2
----=+
+
-
+
-
+-=
+
tsentsen
tsen
t
tsentsen
tsen
t
p
p

13. 13
(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.
(2) La serie es una función impar.
No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de
periodos enteros.
(3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2.
Pero no fuera del intervalo...
(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.
(5) La aproximación no es buena en "los extremos"...
Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o
sospechada ni por Euler, ni por Fourier...

14. 14
Jean
d'Alembert
1717-1783
Leonhard Euler
1707-1783
Daniel
Bernouilli
1700-1782
Lagrange

15. 15
Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1.
Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible
tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de una
función. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una función.
Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.

16. 16

17. 17
En realidad la forma de solucionar el problema por parte
de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta.
Se basó en la superposición de ondas y tomó como
solución:
u
n
(x,t) = sin(nx) cos(nt)
donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos
o nodos.
å
¥
=
=
1n
n )ntcos()nx(sena)t,x(u
Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...

18. 18
Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t)
.t,)t(T)t(''T
)(X)(X),,(x,)x(X)x(''X
.c.cy.i.c;
x
)t,x(u
t
)t,x(u
00
010100
2
2
2
2
>=l+
==Î=l+
¶
¶
=
¶
¶
Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como:
å
¥
=
==
1
0
n
n )nx(sena),x(u)x(f
con una adecuada elección de los coeficientes a
n
...

19. JOSEPH
FOURIER
19
En diciembre de 1807 Joseph
Fourier presentó un sorprendente
artículo a la Academia de Ciencias
en París. En él afirmaba que
cualquier función puede escribirse
en forma de serie trigonométrica
semejante al ejemplo de Euler.
Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
era uno de los muchos que opinaba que algo así
era simplemente imposible...
Jean Baptiste Joseph Fourier
1768-1830

20. 20
Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio.
Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).

21. t
u
kx
u
¶
¶
=
¶
¶ 1
2
2
21
Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la
ecuación del calor o de difusión:
Describe cómo el calor o una gota de tinta se
difunden en un medio.
Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables
trasatlánticos, edad de la Tierra,...

22. p££=
£=p=
¶
¶
=
¶
¶
x);x(f),x(u
t;)t,(u)t,(u
t
)t,x(u
kx
)t,x(u
00
000
1
2
2
22
00 =p=
=
=
)(X)(Xcon
)t(T)x(''X)t('T)x(X
)t(T)x(X)t,x(u
Dividiendo entre X(x)T(t):
)xA(senC)xAcos(C)x(X);x(AX)x(''X
eC)t(T);t(AT)t('T
.cteA,A
)x(X
)x(''X
)t(T
)t('T
At
-+-==
==
===
21
0
C
1
=0, C
0
=C
2
=1, A=-n
2
con n = 1, 2, 3, ...
)nx(sene)t,x(u
tn
n
2
-
=

23. 23
)nx(sene)t,x(u
tn
n
2
-
=La combinación lineal de soluciones
será también solución:
å
¥
=
=
1n
nn )t,x(ua)t,x(u
Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los
coeficientes a
n
.

24. SERIE TRIGONOMÉTRICA DE
FOURIER
Algunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la
siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier

Donde w
0
= 2p/T se denomina frecuencia fundamental.
24
])()cos([)(
1
0002
1
å
¥
=
++=
n
nn tnsenbtnaatf ww
...)3()2()(...
...)3cos()2cos()cos()(
030201
03020102
1
++++
++++=
tsenbtsenbtsenb
tatataatf
www
www

25. 25
...
3
)3(
2
)2(
2
+++=
- tsentsen
tsen
tp
])()cos([)(
1
0002
1
å
¥
=
++=
n
nn tnsenbtnaatf ww
a
0
= 0, a
1
= 0, a
2
= 0 ...

b
1
= 1, b
2
= 1/2, b
3
= 1/3,...