Funciones trascendentes

UNISANGIL
CALCULO DIFERENCIAL
INGENIERIA EN SISTEMAS

1. Funciones trascendentes Daniel Alejandro acero Almanza Calculo diferencial Unisangil 2017

2. Tabla de contenido Funciones trascendentes Funciones trigonométricas Funciones inversas Funciones exponenciales Función logarítmica

3. Funciones trascendentes Una  función trascendente es una función que no satisface una ecuación polinómica cuyos coeficientes sean a su vez polinomios; esto contrasta con lasfunciones  algebraicas, las cuales satisfacen dicha ecuación . Por ejemplo: Y= e^x+sen x Y=3^2

4. Funciones trigonométricas Una función trigonométrica  f  es aquella que está asociada a una  razón trigonométrica. Éstas extienden su dominio a los números reales . Las razones trigonométricas de un ángulo α son las obtenidas entre los tres lados de un  triangulo rectángulo. Es decir, las comparaciones por su cociente de sus tres costados  a ,  b  y  c . Existen seis funciones trigonométricas que son : Seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante

5. seno El seno de un angulo se define como la razón entre el cateto opuesto “a” y la hipotenusa “c”. Su abreviatura es “ sen ” o “sin” Dominio: Todos los reales Codominio: [-1, 1] Dirivada [ sen x]^1= cos x Integral: La función del seno es periódica de período 360º (2π radianes), por lo que esta sección de la gráfica se repetirá en los diferentes períodos.

6. coseno El coseno del angulo se define como la razón entre el cateto adyacente “b” y la hiputenusa “c”. Su abreviatura es cos Dominio: todos los números reales Codominio: [-1,1] Derivada:[ cos x]^1= sen x Integral: La función del coseno es periódica de período 360º (2π radianes)

7. Tangente La tangente de un ángulo α es la razón entre el cateto opuesto ( a ) y el cateto contiguo o cateto adyacente ( b ). La función tangente es periódica de periodo 180°( π radianes ) Dominio: R Codominio: R Derivada de la función tangente [tan x]^1 = sec^2x= 1+tan^2 Integral de la función

8. cosecante La cosecante es la razón trigonométrica inversa del seno, es decir csc  α ·  sen  α=1. La cosecante del ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa ( c ) y el cateto opuesto  (a) La función de la cosecante es periódica de período 360º (2π radianes ). Dominio: R Codominio : [-inf,-1]u[1+inf] Derivada de la función [ csc x]^1 = - csc x cot x Integral de la función

9. secante La secante es la razón trigonométrica inversa del coseno, es decir sec  α ·  cos  α=1. La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre la hipotenusa ( c ) y el cateto contiguo o cateto adyacente ( b ). La función de la secante es periódica de período 360º (2π radianes ). Dominio : R Codominio : -inf,-1]u[1+inf ] Derivada de la función: [ sec x]^1 = sec x tan x Integral de la función

10. cotangente La cotangente es la razón trigonométrica inversa de la tangente, por lo tanto tan α ·  cot  α=1. La cotangente de un ángulo α de un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto contiguo o cateto adyacente ( b ) y el cateto opuesto ( a ). La función de la cotangente es periódica de período 180º (π radianes ). Dominio: R Codominio : R Derivada de la función: [ cot ]^1=-csc^2 x = -1-cot^2 x Integral de la función

11. Funciones inversas S e llama función inversa o recíproca de una función f a una nueva función cuyo dominio es la imagen de la función inicial, y su imagen es el dominio de la función inicial. es decir, si la función g es la función inversa de f, entonces se cumple que si f (b) = a, entonces g(a)=b.

12. propiedades L a primera propiedad coincide con la que habíamos visto anteriormente en la función compuesta. si realizamos la función inversa de una composición de funciones obtenemos la composición de sus inversas permutando el orden de la composición : s i hacemos la inversa de la inversa de una función, obtenemos la función inicial La composición de una función y su inversa nos da la función identidad L a función inversa no siempre existe. Si una función es continua también lo es su inversa y viceversa, si la inversa es derivable también lo será la función inicial Análogamente, si una función es derivable su inversa también lo es y viceversa.

13. GRAFICA DE UNA FUNCION INVERSA L a gráfica de una función f, y la de su inversa g, son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante, es decir la recta y = x, como podemos ver en la siguiente imagen:

14. PASOS PARA CALCULAR LA FUNCIÓN INVERSA P ara poder calcular la función inversa de una dada debemos seguir unos pasos: 1º. Realizamos un cambio de variable, cambiando y por x, y viceversa. recordad que y=f(x). 2º. Una vez que ya hemos cambiado las variables, tenemos que despejar la variable y en función de x. 3º. El resultado final, es la función inversa que hemos buscado.

15. Función exponencial L as funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente   x   en el exponente, es decir, son de la forma:

16. Características generales E l dominio de una función exponencial es r. A u recorrido es   (0, +∞) . Son funciones continuas. C omo   a  = 1 , la función siempre pasa por el punto   (0, 1) la función corta el eje y en el punto   (0, 1)   y no corta el eje x. C omo   a 1  = a , la función siempre pasa por el punto   (1, a). S i   a > 1   la función es creciente. S i   0 < a < 1   la función es decreciente S on siempre cóncavas. E l eje x es una asíntota horizontal si a > 1 : al elevar un número mayor que  1  a cantidades negativas cada vez más grandes, el valor de la potencia se acerca a cero, por tanto :  cuando  x → - ∞ , entonces  a  x  → 0 S i 0 < a < 1 : ocurre lo contrario que en el caso anterior cuando  x → + ∞ , encortes  a  x  → 0

17. Tabla de valores

18. Función logarítmica U na función logarítmica es aquella que genéricamente se expresa como f (x) == log a x , siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. la función logarítmica es la inversa de la función exponencial, dado que: log a  x = b û a b  = x.

19. Propiedades de la función logarítmica L as propiedades generales de la función logarítmica se deducen a partir de las de su inversa, la función exponencial. así, se tiene que: L a función logarítmica sólo existe para valores de x positivos, sin incluir el cero. por tanto, su dominio es el intervalo (0,+¥). L as imágenes obtenidas de la aplicación de una función logarítmica corresponden a cualquier elemento del conjunto de los números reales, luego el recorrido de esta función es r. E n el punto x = 1, la función logarítmica se anula, ya que log a  1 = 0, en cualquier base. L a función logarítmica de la base es siempre igual a 1. F inalmente, la función logarítmica es continua, y es creciente para a > 1 y decreciente para a < 1.

20. Ecuaciones logarítmicas la resolución de  ecuaciones logarítmicas  se basa en los mismos procedimientos utilizados en la resolución de las ecuaciones habituales. aunque no existen métodos fijos, habitualmente se procura convertir la ecuación logarítmica en otra equivalente donde no aparezca ningún logaritmo. para ello, se ha de intentar llegar a una situación semejante a la siguiente: log a  f (x) = log a  g (x) entonces, se emplean los antilogaritmos para simplificar la ecuación hasta f (x) = g (x), que se resuelve por los métodos habituales. también puede operarse en la ecuación logarítmica para obtener una ecuación equivalente del tipo: log a  f (x) = m de donde se obtiene que f (x) = a m , que sí se puede resolver de la forma habitual.

21. Sistemas de ecuaciones logarítmicas C uando en un sistema aparecen una o varias ecuaciones logarítmicas, se denomina sistema de ecuaciones logarítmicas. en el caso de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se pueden producir tres casos distintos: U n sistema formado por una ecuación polinómica y una logarítmica. U n sistema constituido por dos ecuaciones logarítmicas. U n sistema compuesto por una ecuación polinómica y una ecuación exponencial . E n cada caso, se utilizan los métodos habituales de resolución de sistemas de ecuaciones, teniendo siempre presente que estas ecuaciones han de transformarse en otras equivalentes, donde la incógnita no aparezca en el argumento o la base del logaritmo, ni en el exponente de la función exponencial.

22. Grafica de ecuación logarítmica